《預(yù)測與決策教程 第2版》 課件 李華第6章 灰色預(yù)測方法

主要內(nèi)容：灰色預(yù)測概念灰建模數(shù)列預(yù)測區(qū)間預(yù)測災(zāi)變預(yù)測第6章灰色預(yù)測方法【案例6-1】城鎮(zhèn)基本醫(yī)療參保人數(shù)預(yù)測時間2011年2012年2013年2014年2015年人數(shù)（萬人）47343.253641.357072.659746.966581.6表6-1城鎮(zhèn)基本醫(yī)療保險年末參保人數(shù)（萬人）部分統(tǒng)計指標數(shù)據(jù)量不足，會使得傳統(tǒng)基于大量統(tǒng)計數(shù)據(jù)建立預(yù)測模型的方法失效。比如城鎮(zhèn)基本醫(yī)療保險參保人數(shù)從2011年起才有連續(xù)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，具有明顯的“少數(shù)據(jù)”特征。根據(jù)這些數(shù)據(jù)能否發(fā)現(xiàn)近5年城鎮(zhèn)基本醫(yī)療保險年末參保人數(shù)變化的規(guī)律？這種規(guī)律是否可以通過數(shù)學模型來描述？是否可以根據(jù)建立的數(shù)學模型來預(yù)測未來幾年的城鎮(zhèn)基本醫(yī)療保險年末參保人數(shù)？灰色預(yù)測模型一、灰色預(yù)測的概念

—灰色系統(tǒng)及灰色預(yù)測、序列生成算子二、灰建?！狦M(1,1)模型、GM(1,1)模型檢驗、GM(1,1)殘差模型三、數(shù)列預(yù)測四、區(qū)間預(yù)測五、災(zāi)變預(yù)測一、灰色預(yù)測的概念—灰色系統(tǒng)及灰色預(yù)測1、灰色系統(tǒng)、白色系統(tǒng)和黑色系統(tǒng)白色系統(tǒng)：系統(tǒng)的內(nèi)部特征完全已知，即系統(tǒng)的信息是充足完全的；黑色系統(tǒng)：系統(tǒng)的內(nèi)部信息一無所知，只能從它同外部的聯(lián)系來觀測研究；灰色系統(tǒng)：介于白色系統(tǒng)和黑色系統(tǒng)之間，一部分信息已知，一部分信息未知，系統(tǒng)各因素間有不確定的關(guān)系。2、灰色系統(tǒng)的特點用灰色數(shù)學來處理不確定量，使之量化；充分利用已知信息尋求系統(tǒng)的運行規(guī)律；灰色系統(tǒng)理論能處理貧信息系統(tǒng)。一、灰色預(yù)測的概念—灰色系統(tǒng)及灰色預(yù)測3、灰色預(yù)測灰色預(yù)測是基于GM(其中G表示灰色(Grey)，M表示模型(Model))模型來進行定量分析，包括數(shù)列預(yù)測、區(qū)間預(yù)測和畸變預(yù)測等。(1)數(shù)列預(yù)測。用等時距觀測到的反映預(yù)測對象特征的一系列數(shù)量（如產(chǎn)量、銷量、人口數(shù)量、存款數(shù)量、利率等）構(gòu)造灰色預(yù)測模型，預(yù)測未來某一時刻的特征量，或者達到某特征量的時間。(2)區(qū)間預(yù)測。通過模型預(yù)測其未來取值的變化范圍。(3)畸變預(yù)測（災(zāi)變預(yù)測）。通過模型預(yù)測異常值出現(xiàn)的時刻，預(yù)測異常值什么時候出現(xiàn)在特定時區(qū)內(nèi)。一、灰色預(yù)測的概念—灰色系統(tǒng)及灰色預(yù)測上述灰色預(yù)測方法的共同特點是：(1)允許少數(shù)據(jù)預(yù)測。(2)允許對灰因果律事件進行預(yù)測，包括灰因白果律事件:在糧食生產(chǎn)預(yù)測中，影響糧食生產(chǎn)的因子很多，多到無法枚舉，稱為灰因；然而糧食產(chǎn)量卻是具體的，稱為白果。糧食預(yù)測即為灰因白果律事件預(yù)測。白因灰果律事件:在開發(fā)項目前景預(yù)測時，開發(fā)項目的投入是具體的，為白因；而項目的效益暫時不很清楚，為灰果。項目前景預(yù)測即為白因灰果律事件預(yù)測。

(3)具有可檢驗性。包括：建?？尚行缘募壉葯z驗（事前檢驗），建模精度檢驗（模型檢驗），預(yù)測的滾動檢驗（預(yù)測檢驗）。一、灰色預(yù)測的概念—序列生成算子1、初值生成算子設(shè)為原序列，則初值生成算子INIT為2、均值生成算子設(shè)為原序列，則均值生成算子AVG為3、區(qū)間生成算子設(shè)為原序列，則區(qū)間生成算子INTV

為一、灰色預(yù)測的概念—序列生成算子4、級比生成算子設(shè)序列，則序列X的級比生成算子為根據(jù)原始序列X的級比生成算子大小，可以判斷GM(1,1)建?？尚行?。只有當全部落入級比界區(qū)內(nèi)，才能建立滿意的GM(1,1)模型。級比界區(qū)：5、累加生成算子(AGO)設(shè)原始序列為，累加生成序列為上標“0”指原始序列，“1”表示一次累加生成序列。1-AGO指一次累加生成。一、灰色預(yù)測的概念—序列生成算子5、累加生成算子例：，求一次累加生成序列。得到一次累加生成序列：一、灰色預(yù)測的概念—序列生成算子6、累減生成算子(IAGO)設(shè)原始序列為，進行一次累減生成，得到生成序列

，，。累加生成和累減生成之間的關(guān)系：1-AGOIAGO一、灰色預(yù)測的概念—序列生成算子6、累減生成算子例：，求累減生成序列。得到累減生成序列為：二、灰建?！狦M(1,1)模型設(shè)為原始序列，為1次累加生成序列，稱GM(1,1)模型的原始形式為式中a為發(fā)展系數(shù)，b為灰色作用量。設(shè)，則二、灰建?！狦M(1,1)模型估計模型參數(shù)后，以原始形式的解作為時間響應(yīng)式，得到的模型為GM(1,1)模型的原始差分形式，簡稱原始差分GM(1,1)模型(ODGM)。

原始差分GM(1,1)模型的時間響應(yīng)式為二、灰建?！狦M(1,1)模型令為緊鄰均值生成序列，其中

稱為GM(1,1)模型的均值形式，同樣設(shè)，則二、灰建?！狦M(1,1)模型

GM(1,1)模型均值形式的白化方程為

根據(jù)最小二乘法估計，借助白化方程的解構(gòu)造GM(1,1)時間響應(yīng)式的差分、微分混合模型稱為GM(1,1)模型的均值混合形式，簡稱均值GM(1,1)模型(EGM)。均值GM(1,1)模型是目前影響最大、應(yīng)用最為廣泛的形式，提到GM(1,1)模型往往指的就是EGM。均值GM(1,1)模型時間響應(yīng)響應(yīng)式為

時間響應(yīng)式的累減還原式為

二、灰建?！狦M(1,1)模型基于GM(1,1)模型均值形式估計參數(shù)，以式的解作為時間響應(yīng)式所得模型稱為GM(1,1)模型的均值差分形式，簡稱均值差分GM(1,1)模型(EDGM)。時間響應(yīng)式為

稱為GM(1,1)模型的離散形式，簡稱離散GM(1,1)模型(DGM)。二、灰建?！狦M(1,1)模型稱為GM(1,1)模型的離散形式，簡稱離散GM(1,1)模型(DGM)，設(shè)，可根據(jù)式進行估計。離散GM(1,1)模型的時間響應(yīng)式為有關(guān)建模的問題說明：(1)原始序列中的數(shù)據(jù)不一定要全部用來建模，對原始數(shù)據(jù)取舍不同，所得模型也不同，即a和b

不同；(2)數(shù)據(jù)的取舍應(yīng)保證建模序列等時距、相連，不得有跳躍出現(xiàn)；

(3)一般建模數(shù)據(jù)序列應(yīng)當由最新的數(shù)據(jù)及其相鄰數(shù)據(jù)構(gòu)成。當再出現(xiàn)新數(shù)據(jù)時，可采用兩種方法處理：一是將新信息加入原始序列中，重估參數(shù)；二是去掉原始序列中最老的一個數(shù)據(jù)，加上最新的數(shù)據(jù)，所形成的序列和原序列維數(shù)相等，再重估參數(shù)。二、灰建?！狦M(1,1)模型時間2011年2012年2013年2014年2015年2016年人數(shù)（萬人）758287610576420767047697777253表6-22011-2016年全國就業(yè)人數(shù)（萬人）例：2011-2016年全國就業(yè)人數(shù)如表6-2所示，試建立GM(1,1)模型對2017年全國就業(yè)人數(shù)進行預(yù)測。二、灰建模—GM(1,1)模型累加生成序列緊鄰均值生成序列計算得到GM(1,1)模型為二、灰建?！狦M(1,1)模型計算得到殘差檢驗時間實際數(shù)據(jù)模擬數(shù)據(jù)絕對殘差相對殘差2011年758287582800.00%2012年7610576122.2917.290.02%2013年7642076405.9914.010.02%2014年7670476690.7513.250.02%2015年7697776976.580.420.00%2016年7725377263.4610.460.01%平均相對殘差為0.01%<0.01，模型精度優(yōu)。預(yù)測2017年全國就業(yè)人數(shù)為77551.41。二、灰建?！狦M(1,1)模型檢驗1、殘差檢驗

計算原始序列和的絕對殘差序列

相對殘差序列

平均相對殘差

給定，當且成立時，稱模型為殘差合格模型。二、灰建?！狦M(1,1)模型檢驗2、灰色關(guān)聯(lián)度檢驗參考序列為，比較序列為，則關(guān)聯(lián)系數(shù)定義為

為分辨系數(shù)，，一般取0.5。

關(guān)聯(lián)系數(shù)只表示每個時刻參考序列和比較序列之間的關(guān)聯(lián)程度，為了從總體上了解序列之間的關(guān)聯(lián)程度，需要求灰色關(guān)聯(lián)度。二、灰建?！狦M(1,1)模型檢驗3、后驗差檢驗(1)計算原始序列平均值(2)計算原始序列的均方差(3)計算殘差均值(4)計算殘差的均方差(5)計算方差比(6)計算小殘差概率

給定，時，模型為均方差比合格模型；給定，時，模型為小殘差概率合格模型。二、灰建?！狦M(1,1)模型檢驗殘差關(guān)聯(lián)度方差比小殘差概率模型精度<0.01>0.90<0.35>0.95優(yōu)<0.05>0.80<0.5>0.80合格<0.10>0.70<0.65>0.70勉強合格>0.10<0.70>0.65<0.70不合格表6-4模型檢驗參照表二、灰建?！狦M(1,1)殘差模型當原始序列建立的GM(1,1)模型檢驗不合格或者不夠精確時，考慮對殘差序列建立GM(1,1)模型。

設(shè)為原始序列，為一次累加生成序列，GM(1,1)模型時間響應(yīng)式為

則導(dǎo)數(shù)還原值為

累減還原值為

，當充分小時，，微分還原和差分還原結(jié)果非常接近。鑒于導(dǎo)數(shù)還原值和累減還原值不一致，為了減少往復(fù)運算造成的誤差，往往用殘差修正的模擬值。二、灰建?！狦M(1,1)殘差模型設(shè)其中為的殘差序列，若存在滿足(1)符號一致；(2)，則稱為可建模殘差尾段，據(jù)此建立相應(yīng)GM(1,1)模型，得到時間響應(yīng)式為二、灰建?！狦M(1,1)殘差模型用對進行修正，則稱修正后的時間響應(yīng)式：為殘差修正GM(1,1)模型，簡稱殘差GM(1,1)。THANKS主要內(nèi)容：灰色預(yù)測概念灰建模數(shù)列預(yù)測區(qū)間預(yù)測災(zāi)變預(yù)測第6章灰色預(yù)測方法【案例6-1】城鎮(zhèn)基本醫(yī)療參保人數(shù)預(yù)測時間2011年2012年2013年2014年2015年人數(shù)（萬人）47343.253641.357072.659746.966581.6表6-1城鎮(zhèn)基本醫(yī)療保險年末參保人數(shù)（萬人）部分統(tǒng)計指標數(shù)據(jù)量不足，會使得傳統(tǒng)基于大量統(tǒng)計數(shù)據(jù)建立預(yù)測模型的方法失效。比如城鎮(zhèn)基本醫(yī)療保險參保人數(shù)從2011年起才有連續(xù)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，具有明顯的“少數(shù)據(jù)”特征。根據(jù)這些數(shù)據(jù)能否發(fā)現(xiàn)近5年城鎮(zhèn)基本醫(yī)療保險年末參保人數(shù)變化的規(guī)律？這種規(guī)律是否可以通過數(shù)學模型來描述？是否可以根據(jù)建立的數(shù)學模型來預(yù)測未來幾年的城鎮(zhèn)基本醫(yī)療保險年末參保人數(shù)？灰色預(yù)測模型一、灰色預(yù)測的概念

—灰色系統(tǒng)及灰色預(yù)測、序列生成算子二、灰建?！狦M(1,1)模型、GM(1,1)模型檢驗、GM(1,1)殘差模型三、數(shù)列預(yù)測四、區(qū)間預(yù)測五、災(zāi)變預(yù)測三、數(shù)列預(yù)測

數(shù)列預(yù)測是對系統(tǒng)變量的未來取值進行預(yù)測，均值GM(1,1)模型是較為常用的數(shù)列預(yù)測模型。根據(jù)實際情況，也可以考慮采用其他灰色模型。在定性分析的基礎(chǔ)上，定義適當?shù)男蛄兴阕?，對算子作用序列建立預(yù)測模型，通過精度檢驗后，即可用來進行預(yù)測。

例：河南某鎮(zhèn)企業(yè)產(chǎn)值近4年的數(shù)據(jù)由統(tǒng)計資料查得，于是可以構(gòu)建序列，試對第5-9年該企業(yè)的產(chǎn)值進行預(yù)測。四、區(qū)間預(yù)測當原始數(shù)據(jù)存在不規(guī)則波動的情形時，人們通常無法找到合適的模型描述其變化趨勢，從而無法對其未來變化進行準確預(yù)測。這時可以考慮預(yù)測其未來取值的變化范圍，即灰色區(qū)間預(yù)測。

設(shè)，為對應(yīng)的序列折線，和為光滑曲線。若對任意t，恒有，則稱為的下屆函數(shù)，為

的上屆函數(shù)，并稱為的取值域。對固定的，稱為的預(yù)測區(qū)間。四、區(qū)間預(yù)測為原始序列，1-AGO序列為。令則下界函數(shù)和上界函數(shù)分別為可以得到的取值域并稱為的喇叭形區(qū)域。對固定的，稱

為的預(yù)測區(qū)間。四、區(qū)間預(yù)測設(shè)為原始序列，和為其1-AGO序列下界函數(shù)和上界函數(shù)，對于任意，稱為的基本預(yù)測值，分別為的最低預(yù)測值和最高預(yù)測值。四、區(qū)間預(yù)測例：設(shè)有原始數(shù)據(jù)序列為試計算其一次累加生成序列的最高預(yù)測值、最低預(yù)測值和基本預(yù)測值。四、區(qū)間預(yù)測最高預(yù)測值

最低預(yù)測值

基本預(yù)測值五、災(zāi)變預(yù)測灰色災(zāi)變預(yù)測的任務(wù)是給出下一個或幾個異常值出現(xiàn)的時刻，以便人們提前防備，采取對策，減少損失。

設(shè)原始序列，給定上限異常值(災(zāi)變值)，稱的子序列為上災(zāi)變序列。若給定下限異常值，稱的子序列為下災(zāi)變序列。上災(zāi)變序列和下災(zāi)變序列統(tǒng)稱災(zāi)變序列。

設(shè)為災(zāi)變序列，則稱為災(zāi)變?nèi)掌谛蛄?。其中，為最近一次?zāi)變發(fā)生日期，則稱為下一次災(zāi)變的預(yù)測日期，對任意，稱為未來第次災(zāi)變的預(yù)測日期。五、災(zāi)變預(yù)測設(shè)的1-AGO序列為，的緊鄰均值生成序列為，則稱為災(zāi)變GM(1,1)模型。

設(shè)為災(zāi)變GM(1,1)模型參數(shù)序列的最小二乘估計，則災(zāi)變?nèi)掌谛蛄械腉M(1,1)序號響應(yīng)式為五、災(zāi)變預(yù)測例：某地區(qū)平均降水量（單位：毫米）的原始數(shù)據(jù)為規(guī)定年降水量(毫米)為旱災(zāi)年，試作旱災(zāi)預(yù)測。

時為異常值，則

五、災(zāi)變預(yù)測得到災(zāi)變?nèi)掌谛蛄袨閷?zāi)變?nèi)掌谛蛄薪?zāi)變GM(1,1)模型，得到的模擬序列為通過殘差檢驗后，進行預(yù)測得即從最近一次旱災(zāi)發(fā)生的時間算起，五年之后可能發(fā)生旱災(zāi)?！景咐?-1】城鎮(zhèn)基本醫(yī)療參保人數(shù)預(yù)測時間2011年2012年2013年2014年2015年人數(shù)（萬人）47343.253641.357072.659746.966581.6表6-1城鎮(zhèn)基本醫(yī)療保險年末參保人數(shù)