北京市通州區(qū)2024屆高三下學期二模數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1北京市通州區(qū)2024屆高三下學期二模數(shù)學試題第一部分（選擇題）一、選擇題1.已知集合，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意知，，則.故選：B.2.在復平面內(nèi)，復數(shù)z對應的點的坐標為，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可得，所以，故選：A.3.在的展開式中，常數(shù)項為（）A.60 B.120 C.180 D.240〖答案〗D〖解析〗展開式的通項為，令，所以，所以常數(shù)項為240.故選：D.4.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗A：因為，所以不是奇函數(shù)，故A錯誤；B：因為的定義域為，又，所以是奇函數(shù)，又在恒成立，所以區(qū)間上單調(diào)遞減，故B正確；C：由正切函數(shù)的定義域可得函數(shù)在上不連續(xù)，所以在區(qū)間上不單調(diào)，故C錯誤；D：因為，所以不是奇函數(shù)，故D錯誤；故選：B.5.在梯形ABCD中，，，，則（）A. B.8 C.12 D.〖答案〗C〖解析〗如圖，取的中點，則，且，所以四邊形為平行四邊形，則，所以為正三角形，過作于，則，所以.故選：C.6.在平面直角坐標系xOy中，角的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓交于點，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由三角函數(shù)的定義可得，所以.故選：B.7.已知圓心為C的圓與雙曲線E：（）交于A，B兩點，且，則雙曲線E的漸近線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可得的圓心，半徑，顯然適合和，即為圓與雙曲線E：的一個交點，且為雙曲線的左頂點，則軸；因為，所以，所以，解得或（舍），所以，代入雙曲線方程可得，雙曲線E的漸近線方程為，故選：A.8.某池塘里原有一塊浮萍，浮萍蔓延后的面積S（單位：平方米）與時間t（單位：月）的關系式為（，且），圖象如圖所示．則下列結(jié)論正確的個數(shù)為（）①浮萍每個月增長的面積都相等；②浮萍蔓延4個月后，面積超過30平方米；③浮萍面積每個月的增長率均為50%；④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所經(jīng)過的時間分別是，，，則．A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗B〖解析〗由已知可得，則.對于①，浮萍蔓延1月至2月份增長的面積為（平方米），浮萍蔓延2月至3月份增長的面積為（平方米），①錯；對于②，浮萍蔓延4個月后的面積為（平方米），②對；對于③，浮萍蔓延第至個月的增長率為，所以，浮萍蔓延每個月增長率相同，都是，③錯；對于④，若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所經(jīng)過的時間分別是，，，則，，，所以，④錯.故選：B.9.已知等差數(shù)列的前項和為，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗設等差數(shù)列的公差為，由得：，，，，即，充分性成立；由得：，，即，，即，必要性成立；“”是“”的充分必要條件.故選：C.10.已知函數(shù),,若關于x的方程恰有3個不同的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為函數(shù)，其圖象如下圖，則因為，，令，解得：；令，解得：，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又因為關于x的方程恰有3個不同的實數(shù)根，即和共有3個不同的實數(shù)根，由的圖象知，只有一個解為，所以有兩個不同的解，且根中不含，即與有兩個不同的交點，與的圖象如下圖所示：所以.故選：A.第二部分（非選擇題）二、填空題11.已知函數(shù)的定義域為____________．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意可得,解得故定義域為.故〖答案〗為：12.已知點為拋物線上一點，則點P到拋物線C的焦點的距離為____________．〖答案〗3〖解析〗由題意得：，解得，所以拋物線，即焦點坐標是，即，故〖答案〗為：3.13.已知數(shù)列為等比數(shù)列，，，則____________；數(shù)列的前4項和為____________．〖答案〗8148〖解析〗等比數(shù)列中，由，得數(shù)列的公比，通項，所以；數(shù)列的前4項和為.故〖答案〗為：81；4814.已知的數(shù)（），若的最小正周期為，的圖象向左平移個單位長度后，再把圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變）得到函數(shù)的圖象，則____________；若在區(qū)間上有3個零點，則的一個取值為____________．〖答案〗或6（〖答案〗不唯一）〖解析〗因為的最小正周期為，所以，解得：，所以，的圖象向左平移個單位長度后，可得：，再把圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變）得到函數(shù)的圖象，所以；因為，，在區(qū)間上有3個零點，所以，解得：，則的一個取值可以為6.故〖答案〗為：或；6（〖答案〗不唯一）.15.如圖，幾何體是以正方形ABCD的一邊BC所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)90°形成的面所圍成的幾何體，點G是圓弧的中點，點H是圓弧上的動點，，給出下列四個結(jié)論：①不存在點H，使得平面平面CEG；②存在點H，使得平面CEG；③不存在點H，使得點H到平面CEG的距離大于；④存在點H，使得直線DH與平而CEG所成角的正弦值為．其中所有正確結(jié)論的序號是____________．〖答案〗②③④〖解析〗由題意可將圖形補全為一個正方體，如圖所示：以點為坐標原點，、、所在的直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，則、、、、、，，設點，其中，對于①，，，設平面，則，即，取x=1，則，可得，設平面，，，則，即，取，則，可得，若平面平面CEG，則，解得：，所以存在使得平面平面CEG，故①錯誤；對于②，，若平面CEG，則，即，即，故，故存在點H，使得平面CEG，故②正確；對于③，，所以點H到平面CEG的距離為，，因為，所以，所以，，所以，所以不存在點H，使得點H到平面CEG的距離大于，故③正確；對于④，，，則直線與平面CEG的所成角為，所以，，整理可得，因為函數(shù)在時的圖象是連續(xù)的，且，，所以，存在，使得，所以，存在點，使得直線與平面CEG所成角的余弦值為，④正確.故〖答案〗為：②③④.三、解答題16.如圖，幾何體ABCDE中，，四邊形ABDE是矩形，，點F為CE的中點，，．（1）求證：平面ADF；（2）求平面BCD與平面ADF所成角的余弦值．（1）證明：連結(jié)BE交AD于G，連結(jié)FG．因為四邊形ABDE是矩形，所以點G為BE的中點．因為點F為CE的中點，所以FG是的中位線．所以，又平面ADF，平面ADF，所以平面ADF．（2）解：因為四邊形ABDE是矩形，所以．因為，，且平面，平面，所以平面ABC，因為，所以平面ABC．所以以點A為原點，分別以AC，AE所在直線為y軸、z軸建立空間直角坐標系A-xyz．所以，，，，，．所以，．設平面ADF的法向量為，所以，．所以，令，得，，所以．因為平面ABC，所以．因為，，平面BCD，所以平面BCD，所以為平面BCD的一個法向量．而．所以平面BCD與平面ADF所成角的余弦值為．17.在中，角，，的對邊分別為，，，且．（1）求角的大??；（2）若，，為邊上的一點，再從下面給出的條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求的面積．條件①；；條件②：．解：（1）因為，由正弦定理可得，即，所以，所以，所以，因為，所以，所以，因為，所以．（2）若選條件①：，所以為中點，所以，因為，，，所以由余弦定理，可得，即，解得或（舍去）．則，即，所以為直角三角形，所以．所以．所以的面積為．若選條件②：．所以，因為，，，所以由余弦定理，可得，即，解得或（舍去），則，即，所以為直角三角形，所以．所以，在中由余弦定理，即，解得，所以，所以的面積為．18.隨著生活水平的不斷提高，人們對于身體健康越來越重視．為了解人們的健康情況v某地區(qū)一體檢機構(gòu)統(tǒng)計了年歲到歲來體檢的人數(shù)及年齡在，，，的體檢人數(shù)的頻率分布情況，如下表．該體檢機構(gòu)進一步分析體檢數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：歲到歲（不含歲）體檢人群隨著年齡的增長，所需面對的健康問題越多，具體統(tǒng)計情況如圖．組別年齡（歲）頻率第一組第二組第三組第四組注：健康問題是指高血壓、糖尿病、高血脂、肥胖、甲狀腺結(jié)節(jié)等余種常見健康問題．（1）根據(jù)上表，求從年該體檢機構(gòu)歲到歲體檢人群中隨機抽取人，此人年齡不低于歲的頻率；（2）用頻率估計概率，從年該地區(qū)歲到歲體檢人群中隨機抽取人，其中不低于歲的人數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學期望；（3）根據(jù)圖的統(tǒng)計結(jié)果，有人認為“該體檢機構(gòu)年歲到歲（不含歲）體檢人群健康問題個數(shù)平均值一定大于個，且小于個”．判斷這種說法是否正確，并說明理由．解：（1）由表格數(shù)據(jù)知：從年該體檢機構(gòu)歲到歲體檢人群中抽取人，此人年齡不低于歲的頻率為：.（2）用頻率估計概率，從年該地區(qū)歲到歲體檢人群中隨機抽取人，此人年齡不低于歲的概率為，則；所有可能的取值為，；；；；的分布列為：數(shù)學期望.（3）這種說法不正確，理由如下：假設在體檢人群年齡歲到歲（不含歲）中，、、、體檢人群所占頻率分別為、、、，則歲到歲（不含歲）體檢人群健康問題平均值為個，與該說法結(jié)論不同，該說法是不正確的．19.已知函數(shù)，．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（3）在（2）的條件下，若對于任意，不等式成立，求a的取值范圍．解：（1）因為，所以．所以．所以，．所以曲線在點處的切線方程為，即．（2）因為，定義域為，所以．因為，令，即，解得，，所以．當x變化時，，的變化情況如下表所示．x200單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為．（3）在（2）的條件下，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．因為對于任意，不等式成立，所以，，．所以，得，，得；，得．因為，所以．所以a的取值范圍是．20.已知橢圓：（）的長軸長為4，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）直線l過橢圓E的左焦點F，且與E交于兩點（不與左右頂點重合），點在軸正半軸上，直線交軸于點P，直線交軸于點，問是否存在，使得為定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，請說明理由．解：（1）因為橢圓的長軸長為，離心率為，所以，．所以，．所以．所以橢圓的方程為．（2）若直線的斜率存在，設直線的方程為，．聯(lián)立方程組，消去，化簡得．則，即,設，，所以，．所以直線TM的方程為，直線的方程為．所以，．所以，，所以．所以當時，為定值，即（負值舍）時，有定值．當時，若直線l斜率不存在，不妨設，，所以，．所以．綜上，當時，有定值．21.從數(shù)列中選取第項，第項，，第項（），若數(shù)列，，，是遞增數(shù)列或遞減數(shù)列（規(guī)定時，該數(shù)列既是遞增數(shù)列，也是遞減數(shù)列），稱，，，為數(shù)列的長度為m的單調(diào)子列.已知有窮數(shù)列A：，，，（），任意兩項均不相同，現(xiàn)以A的每一項為首項選取長度最大的遞增的單調(diào)子列，設其共有項，則，，，構(gòu)成一個新數(shù)列B.（1）當數(shù)列A分別為以下數(shù)列時，直接寫出相應的數(shù)列B；（?。?，3，5，7；（ⅱ）4，1，2，6，3.（2）若數(shù)列A為等差數(shù)列，求證：數(shù)列B為等差數(shù)列；（3）若數(shù)列A共有（）項，求證：A必存在一個長度為的單調(diào)子列.（1）解：（ⅰ）根據(jù)題意：選，則有1，3，5，7，共有項；選，則有3，5，7，共有項；選，則有5，7，共有項；選，則有7，共有項；所以數(shù)列B為：4，3，2，1；（ⅱ）同理數(shù)列B為：2，3，2，1，1.（2）證明：設數(shù)列A的公差為d，因為，當時，數(shù)列A為單調(diào)遞減數(shù)列，所以，所以B為等差數(shù)列.當時，數(shù)列A為單調(diào)遞增數(shù)列，以數(shù)列A的任意項為首項選取長度最大的遞增的單調(diào)子列為，，，，.所以（，2，3，，n）.所