五年級(jí)奧數(shù)第21講-“三向”行程問題（教）

學(xué)科教師輔導(dǎo)講義

學(xué)員編號(hào)：年級(jí)五年級(jí)課時(shí)數(shù)：3

學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目奧數(shù)學(xué)科教師：

授課主題第21講一一“三向”行程問題

授課類型T同步課堂P實(shí)戰(zhàn)演練S歸納總結(jié)

熟練掌握“路程和=速度和X時(shí)間”這一公式并能利用其解決相向行程問題（相

教學(xué)目標(biāo)

遇問題）、同向行程問題（追及問題）、背向行程問題（相離問題）。

授課日期及時(shí)段

T(Textbook-Based)后1少1果早

知識(shí)梳理

一、相向行程問題（相遇問題）

甲從/地到占地，乙從8地到/地，然后兩人在途中相遇，實(shí)質(zhì)上是甲和乙一起走了4B之間這段

路程，如果兩人同時(shí)出發(fā)，那么

一個(gè)甲一乙

ABAB

。時(shí)刻準(zhǔn)備出發(fā)時(shí)間t后相遇

相遇路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度X相遇時(shí)間+乙的速度X相遇時(shí)間

=（甲的速度+乙的速度）X相遇時(shí)間

=速度和X相遇時(shí)間.

一般地，相遇問題的關(guān)系式為：速度和x相遇時(shí)間=路程和，即5和=%/

二、同向行程問題（追及問題）

有兩個(gè)人同時(shí)行走，一個(gè)走得快，一個(gè)走得慢，當(dāng)走得慢的在前，走得快的過了一些時(shí)間就能追上他.這

就產(chǎn)生了'‘追及問題”.實(shí)質(zhì)上，要算走得快的人在某一段時(shí)間內(nèi)，比走得慢的人多走的路程，也就是要計(jì)算

兩人走的路程之差（追及路程）.如果設(shè)甲走得快，乙走得慢，在相同的時(shí)間（追及時(shí)間）內(nèi)：

追及路程=甲走的路程-乙走的路程=甲的速度X追及時(shí)間-乙的速度X追及時(shí)間

=（甲的速度-乙的速度）X追及時(shí)間

=速度差X追及時(shí)間.

一般地，追擊問題有這樣的數(shù)量關(guān)系：追及路程=速度差x追及時(shí)間，即5差=丫￡

例如：假設(shè)甲乙兩人站在100米的跑道上，甲位于起點(diǎn)（0米）處，乙位于中間5米處，經(jīng)過時(shí)間1后甲乙同時(shí)

到達(dá)終點(diǎn)，甲乙的速度分別為小和電，那么我們可以看到經(jīng)過時(shí)間力后，甲比乙多跑了5米，或者可以說,

在時(shí)間f內(nèi)甲的路程比乙的路程多5米，甲用了時(shí)間f追了乙5米

。米5米100米100

三、背向行程問題（相離問題）

相離問題：“兩物體從同一地點(diǎn)出發(fā)，相背而行”，注意對“速度和”的理解，注意時(shí)間的因素

圖示：

甲出發(fā)點(diǎn)乙

AB

關(guān)系式：相離距離=速度和X相背而行的時(shí)間.

典例分析.

考點(diǎn)一：相向行程問題（相遇問題）

例1、一輛客車與一輛貨車同時(shí)從甲、乙兩個(gè)城市相對開出，客車每小時(shí)行46千米，貨車每小時(shí)行48千米。

3.5小時(shí)兩車相遇。甲、乙兩個(gè)城市的路程是多少千米？

【解析】本題是簡單的相遇問題，根據(jù)相遇路程等于速度和乘以相遇時(shí)間得到甲乙兩地路程為：（46+48）

X3.5=94X3.5=329（千米）.

例2、大頭兒子的家距離學(xué)校3000米，小頭爸爸從家去學(xué)校接大頭兒子放學(xué)，大頭兒子從學(xué)校回家，他們同

時(shí)出發(fā)，小頭爸爸每分鐘比大頭兒子多走24米，50分鐘后兩人相遇，那么大頭兒子的速度是每分鐘走多少米？

【解析】大頭兒子和小頭爸爸的速度和：3000+50=60（米/分鐘），小頭爸爸的速度：（60+24）+2=42（米/

分鐘），大頭兒子的速度：60-42=18（米/分鐘）.

例3、甲、乙兩輛汽車分別從A、8兩地出發(fā)相對而行，甲車先行1小時(shí)，甲車每小時(shí)行48千米，乙車每小時(shí)

行50千米，5小時(shí)相遇，求A、3兩地間的距離.

【解析】這題不同的是兩車不“同時(shí)”.

（法1）求4、8兩地間的路程就是求甲、乙兩車所行的路程和.這樣可以充分別求出甲車、乙車所行的

路程，再把兩部分合起來.48x（1+5）=288（千米），50x5=250（千米），288+250=538（千米）.

（法2）還可以先求出甲、乙兩車5小時(shí)所行的路程和，再加上甲車1小時(shí)所行的路程.（48+50）x5=490（千

米），490+48=538（千米）.

例4、甲、乙兩輛汽車分別從A、8兩地出發(fā)相向而行，甲車先行3小時(shí)后乙車從8地出發(fā)，乙車出發(fā)5小時(shí)

后兩車還相距15千米.甲車每小時(shí)行48千米，乙車每小時(shí)行5（）千米.求A、B兩地間相距多少千米？

【解析】題目中寫的“還”相距15千米指的就是最簡單的情況。畫線段圖如下：

甲行駛5小時(shí)乙行駛5小時(shí)

甲先行駛3小時(shí)15千米

由圖中可以看出，甲行駛了3+5=8（小時(shí)），行駛距離為：48x8=384（千米）；乙行駛了5小時(shí)，行

駛距離為：50x5=250（千米），此時(shí)兩車還相距15千米，所以A、B兩地間相距：384+250+15=649（千

米）也可以這樣做：兩車5小時(shí)一共行駛：（48+50）x5=490（千米），A、8兩地間相距：490+48x3

+15=649（千米），所以，A、B兩地間相距649千米.

例5、甲、乙二人分別從東、西兩鎮(zhèn)同時(shí)出發(fā)相向而行.出發(fā)2小時(shí)后，兩人相距54千米：出發(fā)5小時(shí)后，兩

人還相距27千米.問出發(fā)多少小時(shí)后兩人相遇？

【解析】根據(jù)2小時(shí)后相距54千米，5小時(shí)后相距27千米，可以求出甲、乙二人3小時(shí)行的路程和為（54-27）

千米，即可求出兩人的速度和：（54-27）+（5-2）=9（千米），根據(jù)相遇問題的解題規(guī)律；相隔距離+速度和=

相遇時(shí)間，可以求出行27千米需要：5+27+9=5+3=8（小時(shí)）.

例6、兩列城鐵從兩城同時(shí)相對開出，一列城鐵每小時(shí)走40千米，另一列城鐵每小時(shí)走45千米，在途中每列

車先后各停車4次，每次停車15分鐘，經(jīng)過7小時(shí)兩車相遇，求兩城的距離？

【解析】每列車停車時(shí)間：15x4=60（分）=1（小時(shí)），兩列車停車時(shí)間共2小時(shí)，共同行駛時(shí)間：7-1=6小時(shí)，

速度和：40+45=85（千米），兩城距離：85x6=510（千米）.

例7、兩地相距3300米，甲、乙二人同時(shí)從兩地相對而行，甲每分鐘行82米，乙每分鐘行83米，已經(jīng)行了

15分鐘，還要行多少分鐘兩人可以相遇？

【解析】根據(jù)題意列綜合算式得到：3300^（82+83）-15=5（分鐘），所以兩個(gè)人還需要5分鐘相遇。

例8、甲、乙二人同時(shí)從A地去3地，甲每分鐘行60米，乙每分鐘行90米，乙到達(dá)3地后立即返回，并與甲

相遇，相遇時(shí)，甲還需行3分鐘才能到達(dá)8地，A、B兩地相距多少米？

【解析】相遇時(shí)甲走了距離減去60x3=180（米），乙走了A5距離加上180米，乙比甲多走了360米，這個(gè)

路程差需要360+（90-60）=12（分鐘）才能達(dá)到，這12分鐘兩人一共行走了12x（90+60）=1800米.所以至距

離為1800+2=900米.

考點(diǎn)二：同向行程問題（追及問題）

例1、甲、乙兩地相距240千米，一列慢車從甲地出發(fā)，每小時(shí)行60千米.同時(shí)一列快車從乙地出發(fā)，每小

時(shí)行90千米.兩車同向行駛，快車在慢車后面，經(jīng)過多少小時(shí)快車可以追上慢車？（火車長度忽略不計(jì)）

【解析】追及路程即為兩地距離240千米，速度差90-60=30（千米），所以追及時(shí)間240+30=8（小時(shí)）。

例2、甲、乙兩列火車同時(shí)從A地開往8地，甲車8小時(shí)可以到達(dá)，乙車每小時(shí)比甲車多行20千米，比甲車提

前2小時(shí)到達(dá).求A、3兩地間的距離.

【解析】這道題的路程差比較隱蔽，需要仔細(xì)分析題意，乙到達(dá)時(shí)，甲車離終點(diǎn)還有兩小時(shí)的路程，因此路程

差是甲車兩小時(shí)的路程.

方法一：如圖：

120千米

甲車6小時(shí)/人________

乙車6小時(shí)

甲車8小時(shí)可以到達(dá)，乙車比甲車提前2小時(shí)到達(dá)，因此，乙車到達(dá)時(shí)用了：8-2=6（小時(shí)），此時(shí)

路程差為：20x6=120（千米），此時(shí)路程差就是甲車2小時(shí)的路程，所以甲車速度為：120+2=60（千

米/小時(shí)），A、8兩地間的距離：60x8=480（千米）

方法二：如圖：

千米

甲車8小時(shí)160

______________入______________

乙車8小時(shí)

假設(shè)兩車都行了8小時(shí)，則甲車剛好到達(dá)，乙車則超出了：20x8=160（千米），這段路程正好是乙車

2小時(shí)走的，因此乙車速度：160+2=80（千米/小時(shí)），乙車到達(dá)時(shí)用了：8-2=6（小時(shí)），A、B兩

地間的距離：80x6=480（千米）。

例3、軍事演習(xí)中，“我”海軍英雄艦追及“敵”軍艦，追到4島時(shí)，“敵”艦已在10分鐘前逃離，“敵”

艦每分鐘行駛1000米，“我”海軍英雄艦每分鐘行駛1470米,在距離“敵”艦600米處可開炮射擊，問“我”

海軍英雄艦從A島出發(fā)經(jīng)過多少分鐘可射擊敵艦？

【解析】“我”艦追到4島時(shí)，“敵”艦已逃離10分鐘了，因此，在/島時(shí)，“我”艦與“敵”艦的距離為

10000米（=1000X10）.又因?yàn)椤拔摇迸炘诰嚯x“敵”艦600米處即可開炮射擊,即“我”艦只要追上“敵”

艦9400（=10000米-600米）即可開炮射擊.所以，在這個(gè)問題中，不妨把9400當(dāng)作路程差，根據(jù)公式求得追

及時(shí)間.（1000X10-600）4-（1470-1000）=（10000-600）4-470=94004-470=20（分鐘），經(jīng)過20分鐘可開炮

射擊“敵”艦.

例4、龜、兔進(jìn)行1000米的賽跑.小兔斜眼瞅瞅?yàn)觚?，心想：“我小兔每分鐘能?00米，而你烏龜每分鐘

只能跑10米，哪是我的對手.”比賽開始后，當(dāng)小兔跑到全程的一半時(shí)，發(fā)現(xiàn)把烏龜甩得老遠(yuǎn)，便毫不介意

地躺在旁邊睡著了.當(dāng)烏龜跑到距終點(diǎn)還有40米時(shí)，小兔醒了，拔腿就跑.請同學(xué)們解答兩個(gè)問題：它們誰

勝利了？為什么？

1OOO米

500米40米

⑴烏龜勝利了.因?yàn)橥米有褋頃r(shí)，烏龜離終點(diǎn)只有40米，烏龜需要40+10=4（分鐘）就能到達(dá)終點(diǎn)，而兔子

離終點(diǎn)還有500米，需要500+100=5（分鐘）才能到達(dá)，所以烏龜勝利了.

⑵烏龜跑到終點(diǎn)還要40+10=4（分鐘），而小兔跑到終點(diǎn)還要1000+2+100=5（分鐘），慢1分鐘.當(dāng)勝利者

烏龜跑到終點(diǎn)時(shí)，小兔離終點(diǎn)還有：100x1=100（米）.

例5、小明步行上學(xué)，每分鐘行70米.離家12分鐘后，爸爸發(fā)現(xiàn)小明的明具盒忘在家中，爸爸帶著明具盒，

立即騎自行車以每分鐘280米的速度去追小明.問爸爸出發(fā)幾分鐘后追上小明？當(dāng)爸爸追上小明時(shí)他們離家多

遠(yuǎn)？

【解析】

小明12分鐘走的路程，八

人、70米/分

200米/分

當(dāng)爸爸開始追小明時(shí)，小明已經(jīng)離家：70x12=840（米），即爸爸要追及的路程為840米,也就是爸爸與

小明的距離是840米，我們把這個(gè)距離叫做“路程差”，爸爸出發(fā)后，兩人同時(shí)走，每過1分，他們之間的距

離就縮短280-70=210（米），也就是爸爸與小明的速度差為280-70=210（米/分），爸爸追及的時(shí)間：

840+210=4（分鐘）.當(dāng)爸爸追上小明時(shí)，小明已經(jīng)出發(fā)12+4=16（分鐘），此時(shí)離家的距離是：

70x16=1120（米）

例6、甲、乙兩架飛機(jī)同時(shí)從一個(gè)機(jī)場起飛，向同一方向飛行，甲機(jī)每小時(shí)行300千米，乙機(jī)每小時(shí)行340千

米，飛行4小時(shí)后它們相隔多少千米？這時(shí)候甲機(jī)提高速度用2小時(shí)追上乙機(jī)，甲機(jī)每小時(shí)要飛行多少千米？

【解析】①4小時(shí)后相差多少千米：（340-300）x4=160（千米）.②甲機(jī)提高速度后每小時(shí)飛行多少千米：

160+2+340=420（千米）.

例7、王芳和李華放學(xué)后，一起步行去體校參加排球訓(xùn)練，王芳每分鐘走110米，李華每分鐘走70米，出發(fā)5

分鐘后，王芳返回學(xué)校取運(yùn)動(dòng)服，在學(xué)校又耽誤了2分鐘，然后追趕李華.求多少分鐘后追上李華？

【解析】已知二人出發(fā)5分鐘后，王芳返回學(xué)校取運(yùn)動(dòng)服，這樣用去了5分鐘，在學(xué)校又耽誤了2分鐘，王芳

一共耽誤了5x2+2=12（分鐘）.李華在這段時(shí)間比王芳多走：70x12=840（米），速度差為：110-70=40（米

/秒），王芳追上李華的時(shí)間是：840+40=21（分鐘）。

例8、甲、乙二人分別從/、8兩地同時(shí)出發(fā)，如果兩人同向而行，中26分鐘趕上乙；如果兩人相向而行，6

分鐘可相遇，又已知乙每分鐘行50米，求爾6兩地的距離.

【解析】先畫圖如下：

若設(shè)甲、乙二人相遇地點(diǎn)為C,甲追及乙的地點(diǎn)為。，則由題意可知甲從4到。用6分鐘.而從｛到〃則用26

分鐘，因此，甲走。到〃之間的路程時(shí)，所用時(shí)間應(yīng)為：（26-6）=20（分）。同時(shí)、由上圖可知，C,〃間的路

程等于比■加BD.即等于乙在6分鐘內(nèi)所走的路程與在26分鐘內(nèi)所走的路程之和，為50X（26+6）=1600（米）.

所以，甲的速度為1600+20=80（米/分），由此可求出/、8間的距離。50X（26+6）+（26-6）=50X324-20

=80（米/分）,（80+50）X6=130X6=780（米）

考點(diǎn)三、背向行程問題（相離問題）

例1、兩列火車從相距80千米的兩城背向而行，甲列車每小時(shí)行40千米，乙列車每小時(shí)行42千米，5小

時(shí)后，甲、乙兩車相距多少千米？

【解析】因?yàn)槭潜诚蚨校悦窟^1小時(shí)，兩車就多相距40+42=82（千米），則5小時(shí)后兩車相距是：

（40+42）x5+80=490（千米）.

例2、小強(qiáng)每分鐘走70米，小季每分鐘走60米，兩人同時(shí)從同一地點(diǎn)背向走了3分鐘，小強(qiáng)掉頭去追小季，

追上小季時(shí)小強(qiáng)共走了多少米？

【解析】小強(qiáng)走的時(shí)間是兩部分，一部分是和小季背向走的時(shí)間，另一部分是小季追他的時(shí)間，要求追及時(shí)間，

就要求出他們的路程差.路程差是兩人相背運(yùn)動(dòng)的總路程：（60+70）x3=390（米）追及時(shí)間為：

390-（70-60）=39（分鐘）小強(qiáng)走的總路程為：70x（39+3）=2940（米）.

例3、甲乙兩車分別從48兩地同時(shí)相向開出，4小時(shí)后兩車相遇，然后各自繼續(xù)行駛3小時(shí)，此時(shí)甲車距8

地10千米，乙車距4地80千米.問：甲車到達(dá)8地時(shí)，乙車還要經(jīng)過多少時(shí)間才能到達(dá)/地？

【解析】由4時(shí)兩車相遇知，4時(shí)兩車共行/,8間的一個(gè)單程.相遇后又行3時(shí)、剩下的路程之和10+80=

90（千米）應(yīng)是兩車共行4—3=1（時(shí)）的路程.所以46兩地的距離是（10+80）+（4-3）X4=360（千

米）。因?yàn)?時(shí)甲車比乙車共多行80—10=70（千米），所以甲車每時(shí)比乙車多行704-7=10（千米），又因?yàn)?/p>

兩車每時(shí)共行90千米，所以每時(shí)甲車行50千米，乙車行40千米.行一個(gè)單程，乙車比甲車多用360?40—

3604-50=9-7.2=1.8（時(shí)）=1時(shí)48分.

例4、甲、乙兩車同時(shí)從4地向5地開出，甲每小時(shí)行38千米，乙每小時(shí)行34千米，開出1小時(shí)后，甲車因

有緊急任務(wù)返回A地；到達(dá)A地后又立即向8地開出追乙車，當(dāng)甲車追上乙車時(shí)，兩車正好都到達(dá)8地，求A、

3兩地的路程.

【解析】根據(jù)題意畫出線段圖：

?千米

--------Y--------

乙2小時(shí)行

可以看出，當(dāng)甲開始追乙的時(shí)候兩車的路程差正好是乙車已經(jīng)行駛的2小時(shí)的路程，那么根據(jù)追及路程和速度

差可以求出追及時(shí)間，而追及時(shí)間正好是甲車從A地到B地所用的時(shí)間，由此可以求出A、3兩地的路程，追

及路程為：34x2=68（千米），追及時(shí)間為：68+（38-34）=17（小時(shí)），A、3兩地的路程為：38x17=646（千

米）.

P（Practice-Oriented）一—實(shí)戰(zhàn)演練

實(shí)戰(zhàn)演練■

>課堂狙擊

1、兩地間的路程有255千米，兩輛汽車同時(shí)從兩地相對開出，甲車每小時(shí)行45千米，乙車每小時(shí)行40千米。

甲、乙兩車相遇時(shí)，各行了多少千米？

【解析】根據(jù)相遇公式知道相遇時(shí)間是：255+（45+40）=255+85=3（小時(shí)），所以甲走的路程為：45X3=135

（千米），乙走的路程為：40X3=120（千米）.

2、A、8兩地相距90米，包子從A地到3地需要30秒，菠蘿從8地到A地需要15秒，現(xiàn)在包子和菠蘿從A、

8兩地同時(shí)相對而行，相遇時(shí)包子與8地的距離是多少米？

【解析】包子的速度：90+30=3（米/秒），菠蘿的速度：90+15=6（米/秒），相遇的時(shí)間：

90+（3+6）=10（秒），包子距8地的距離：90-3x10=60（X）.

3、甲、乙兩列火車從相距770千米的兩地相向而行，甲車每小時(shí)行45千米，乙車每小時(shí)行41千米，乙車先

出發(fā)2小時(shí)后，甲車才出發(fā).甲車行幾小時(shí)后與乙車相遇？

【解析】甲、乙兩車出發(fā)時(shí)間有先有后，乙車先出發(fā)2小時(shí)，這段時(shí)間甲車沒有行駛，那么乙車這2小時(shí)所行

的路程不是甲、乙兩車同時(shí)相對而行的路程，所以要先求出甲、乙兩車同時(shí)相對而行的路程，再除以速度和，

才是甲、乙兩車同時(shí)相對而行的時(shí)間.乙車先行駛路程：41x2=82（千米），甲、乙兩車同時(shí)相對而行路程：

770-82=688（千米），甲、乙兩車速度和：45+41=86（千米/時(shí)），甲車行的時(shí)間：688+86=8（小時(shí)）.

4、媽媽從家出發(fā)到學(xué)校去接小紅，媽媽每分鐘走75米.媽媽走了3分鐘后，小紅從學(xué)校出發(fā)，小紅每分鐘走

60米.再經(jīng)過20分鐘媽媽和小紅相遇.從小紅家到學(xué)校有多少米？

【解析】媽媽先走了3分鐘，就是先走了75x3=225（米）.20分鐘后媽媽和小紅相遇，也就是說媽媽和小紅

共同走了20分鐘，這一段的路程為：（75+60）慧20=2700（米），這樣?jì)寢屜茸叩哪且欢温烦?，加上后來?/p>

媽和小紅走的這一段路程，就是小紅家到學(xué)校的距離.即（75x3）+（75+60）x20=2925（米）.

5、甲、乙兩輛汽車從A、8兩地同時(shí)相向開出，出發(fā)后2小時(shí)，兩車相距141千米；出發(fā)后5小時(shí)，兩車相

遇.4、3兩地相距多少千米？

【解析】公式“相遇時(shí)間=路程和+速度和”中，對于速度不變的兩車，“相遇時(shí)間”與“路程和”是一一對

應(yīng)的.如圖所示

5小時(shí)的相遇時(shí)間與A、8兩地的距離相對應(yīng)，（5-2）小時(shí)的相遇時(shí)間與141千米相對應(yīng).兩車的速

度之和是：141+（5-2）=47（千米/時(shí)）.A、3兩地相距：47x5=235（千米）

6、兩地相距400千米，兩輛汽車同時(shí)從兩地相對開出，甲車每小時(shí)行40千米，乙車每小時(shí)比甲車多行5千

米，4小時(shí)后兩車相遇了嗎？為什么？

【解析】40+5=45（千米），（40+45）x4=340（千米），340千米〈400千米，因?yàn)閮绍?小時(shí)共行340千米，

所以4小時(shí)后兩車沒有相遇.

7、孫悟空在花果山，豬八戒在高老莊，花果山和高老莊中間有條流沙河，一天，他們約好在流沙河見面，孫

悟空的速度是200千米/小時(shí).豬八戒的速度是150千米/小時(shí)，他們同時(shí)出發(fā)2小時(shí)后還相距500千米，

則花果山和高老莊之間的距離是多少千米？

【解析】注意：“還相距”與“相距”的區(qū)別.建議教師畫線段圖.可以先求出2小時(shí)孫悟空和豬八戒走的

路程：（200+150）x2=700（千米），又因?yàn)檫€差500米，所以花果山和高老莊之間的距離：700+500=1200（千

米）.

8、兩列貨車從相距450千米的兩個(gè)城市相向開出，甲貨車每小時(shí)行38千米，乙貨車每小時(shí)行40千米，同時(shí)

行駛4小時(shí)后，還相差多少千米沒有相遇？

【解析】所求問題=全程一4小時(shí)行駛的路程和.路程和：38x4+40x4=312（千米），

450-312=138（千米）.

9、小明的家住學(xué)校的南邊，小芳的家在學(xué)校的北邊，兩家之間的路程是1410米，每天上學(xué)時(shí)，如果小明比

小芳提前3分鐘出發(fā)，兩人可以同時(shí)到校.已知小明的速度是70米/分鐘，小芳的速度是80米/分鐘，求小

明家距離學(xué)校有多遠(yuǎn)？

【解析】小明比小芳提前3分鐘出發(fā)，則多走70x3=210（米）.兩家之間的所剩路程是1410-210=1200（米），

兩人的速度和是70+80=150（米），所剩路程需：1200+（70+80）=8（分鐘）走完.小明家距離學(xué)校

70x（8+3）=770（米）.

10、小明每天早晨按時(shí)從家出發(fā)上學(xué)，李大爺每天早晨也定時(shí)出門散步，兩人相向而行，小明每分鐘行60米,

李大爺每分鐘行40米，他們每天都在同一時(shí)刻相遇.有一天小明提前出門，因此比平時(shí)早9分鐘與李大爺相

遇，這天小明比平時(shí)提前多少分鐘出門？

【解析】因?yàn)樘崆?分鐘相遇，說明李大爺出門時(shí)，小明已經(jīng)比平時(shí)多走了兩人9分鐘合走的路，即多走了

（60+40）x9=900（米），所以小明比平時(shí)早出門900+60=15（分）.

11、哥哥和弟弟在同一所學(xué)校讀書.哥哥每分鐘走65米，弟弟每分鐘走40米，有一天弟弟先走5分鐘后，

哥哥才從家出發(fā)，當(dāng)?shù)艿艿竭_(dá)學(xué)校時(shí)哥哥正好追上弟弟也到達(dá)學(xué)校，問他們家離學(xué)校有多遠(yuǎn)？

【解析】哥哥出發(fā)的時(shí)候弟弟走了：40x5=200（米），哥哥追弟弟的追及時(shí)間為：200+（65-40）=8（分鐘）,

所以家離學(xué)校的距離為：8x65=520（米）.

12、小明以每分鐘50米的速度從學(xué)校步行回家，12分鐘后小強(qiáng)從學(xué)校出發(fā)騎自行車去追小明，結(jié)果在距學(xué)校

1000米處追上小明，求小強(qiáng)騎自行車的速度.

【解析】小強(qiáng)出發(fā)的時(shí)候小明走了50x12=600（米），被小強(qiáng)追上時(shí)小明又走了：（1000-600）-50=8（分鐘）,

說明小強(qiáng)8分鐘走了1000米，所以小強(qiáng)的速度為：1000+8=125（米/分鐘）.

13、小聰和小明從學(xué)校到相距2400米的電影院去看電影.小聰每分鐘行60米，他出發(fā)后10分鐘小明才出發(fā),

結(jié)果倆人同時(shí)到達(dá)影院，小明每分鐘行多少米？

【解析】要求小明每分鐘走多少米，就要先求小明所走的路程（已知）和小明所用的時(shí)間；要求小明所用的時(shí)

間，就要先求小聰所用的時(shí)間，小聰所用的時(shí)間是：2400+60=40（分鐘），小明所用的時(shí)間是：40-10=30（分

鐘），小明每分鐘走的米數(shù)是：2400+30=80（米）.

14、小王、小李共同整理報(bào)紙，小王每分鐘整理72份，小李每分鐘整理60份，小王遲到了1分鐘，當(dāng)小王、

小李整理同樣多份的報(bào)紙時(shí)，正好完成了這批任務(wù).一共有多少份報(bào)紙？

【解析】本題可用追及問題思路解題，類比如下：路程差：小王遲到1分鐘這段時(shí)間，小李整理報(bào)紙的份數(shù)（60

份），速度差：72-60=12（份/分鐘）.此時(shí)可求兩人整理同樣多份報(bào)紙時(shí)，小王所用時(shí)間，即追及時(shí)間是

60+12=5（分鐘）.共整理報(bào)紙：5x72x2=720（份）。

15、東、西兩鎮(zhèn)相距69千米。張、王二人同時(shí)自兩鎮(zhèn)之間的某地相背而行，6小時(shí)后二人分別到達(dá)東、西兩

鎮(zhèn)。已知張每小時(shí)比王多行1.5千米。二人每小時(shí)各行多少千米？出發(fā)地距東鎮(zhèn)有多少千米？

【解析】由二人6小時(shí)共行69千米，可求出他們的速度和是（69?6）千米/小時(shí)。張每小時(shí)比王多行1.5千

米，這是他們的速度差。從而可以分別求出二人的速度。

張每小時(shí)行：（69+6+1.5）4-2=（11.5+1.5）+2=13+2=6.5（千米）

王每小時(shí)行：6.5-1.5=5（千米）

出發(fā)地距東鎮(zhèn)的距離是:6.5X6=39（千米）。

16、甲、乙兩地相距260千米，客車和貨車分別從甲、乙兩地同時(shí)相向而行，在距乙地95千米處相遇，相遇

后兩車又繼續(xù)前進(jìn)，客車到乙地，貨車到甲地后，都立即返回，兩車又在距甲地多少千米處相遇？

【解析】如下圖：

26azp米

客車____<.堡車

if-^

Y地

甲地堡翟次點(diǎn)

第一次相遇點(diǎn)距乙地95千米，即兩車合走1個(gè)全程的時(shí)間里，貨車走了95千米。兩車從出發(fā)到第二次

相遇合行了3個(gè)全程，總共行駛了兩車合行3個(gè)全程的時(shí)間，則貨車從乙地出發(fā)，經(jīng)過甲地到達(dá)第二次相遇

地點(diǎn)，也就行駛了3個(gè)95千米（紅色線條全長）。如上圖，兩車第二次相遇點(diǎn)距甲地的距離，就是貨車行駛

的總路程減去甲乙兩地距離的差：95X3-260=25（千米）。

17、在一環(huán)形跑道上，甲從A點(diǎn)，乙從B點(diǎn)同時(shí)反向而行，6分鐘后兩人相遇，再過4分鐘甲到達(dá)B地，又過

8分鐘兩人再次相遇，甲、乙各行一周各需多少分鐘？

【解析】如下圖，藍(lán)色線條是甲走的路程，圖中標(biāo)注的時(shí)間是指甲走過每一段路程花費(fèi)的時(shí)間；紅色線條是

乙走過的路程；細(xì)線條是第一次相遇前甲乙兩人走過的路程，粗線條是第一次相遇和再次相遇之間兩人走過

的路程。

從上圖中可以看出，從第一次相遇到再次相遇，走了（8+4）分鐘，兩人合走的路程正好是一周。甲乙

合走A、B兩點(diǎn)間路程（黃色）用了6分鐘。

甲乙兩人的速度是一定的，路程與時(shí)間成正比例。（8+4）4-6=2,所以環(huán)形跑道一周的路程正好是A、B

間路程（黃色）的2倍。

甲從A走到B用了（6+4）分鐘，所以甲走一周需要時(shí)間：（6+4）X2=20（分）。

從B點(diǎn)到第一次相遇地點(diǎn)，乙走了6分鐘，甲走了4分鐘，即甲走1分鐘的路程，乙需要（6+4）分鐘,

所以乙走完全程需要時(shí)間：6+4X20=30（分）。

＞課后反擊

1、聰聰和明明同時(shí)從各自的家相對出發(fā)，明明每分鐘走20米，聰聰騎著腳踏車每分鐘比明明快42米，經(jīng)過

20分鐘后兩人相遇，你知道聰聰家和明明家的距離嗎？

【解析】方法一：由題意知聰聰?shù)乃俣仁牵?0+42=62（米/分），兩家的距離=明明走過的路程+聰聰走

過的路程=20x20+62x20=400+1240=1640（米），請教師畫圖幫助學(xué)生理解分析.

注意利用乘法分配律的反向應(yīng)用就可以得到公式：S和=4八對于剛剛學(xué)習(xí)奧數(shù)的孩子，注

意引導(dǎo)他們認(rèn)識(shí)、理解及應(yīng)用公式.

方法二：直接利用公式：S利=嗎/=（20+62）x20=1640（米）.

2、甲、乙兩車分別從相距360千米的A、8兩城同時(shí)出發(fā)，相對而行，已知甲車到達(dá)3城需4小時(shí)，乙車到

達(dá)A城需12小時(shí)，問：兩車出發(fā)后多長時(shí)間相遇？

【解析】要求兩車的相遇時(shí)間，則必須知道它們各自的速度，甲車的速度是360+4=90（千米/時(shí)），乙車

的速度是360+12=30（千米/時(shí)），貝IJ相遇時(shí)間是360+（90+30）=3（小時(shí)）.

3、甲、乙兩列火車從相距144千米的兩地相向而行，甲車每小時(shí)行28千米，乙車每小時(shí)行22千米，乙車先出

發(fā)2小時(shí)后，甲車才出發(fā).甲車行幾小時(shí)后與乙車相遇？

【解析】甲、乙兩車出發(fā)時(shí)間有先有后，乙車先出發(fā)2小時(shí)，這段時(shí)間甲車沒有行駛，那么乙車這2小時(shí)所行

的路程不是甲、乙兩車同時(shí)相對而行的路程，所以要先求出甲、乙兩車同時(shí)相對而行的路程，再除以速度和，

才是甲、乙兩車同時(shí)相對而行的時(shí)間.乙車先行駛路程：22x2=44（千米），甲、乙兩車同時(shí)相對而行路：

144-44=100（千米），甲、乙兩車速度和：28+22=50（千米），與乙車相遇時(shí)甲車行的時(shí)間為：100+50=2（小

時(shí)）.

4、甲乙兩座城市相距530千米，貨車和客車從兩城同時(shí)出發(fā)，相向而行.貨車每小時(shí)行50千米，客車每小時(shí)

行70千米.客車在行駛中因故耽誤1小時(shí)，然后繼續(xù)向前行駛與貨車相遇.問相遇時(shí)客車、貨車各行駛多少

千米？

【解析】因?yàn)榭蛙囋谛旭傊械⒄`1小時(shí)，而貨車沒有停止繼續(xù)前行，也就是說，貨車比客車多走1小時(shí).如果

從總路程中把貨車單獨(dú)行駛1小時(shí)的路程減去，然后根據(jù)余下的就是客車和貨車共同走過的.再求出貨車和客

車每小時(shí)所走的速度和，就可以求出相遇時(shí)間.然后根據(jù)路程=速度義時(shí)間，可以分別求出客車和貨車在相

遇時(shí)各自行駛的路程.相遇時(shí)間：（530-50）+（50+70）=480+120=4（小時(shí),）相遇時(shí)客車行駛的路

程：70x4=280（千米）相遇時(shí)貨車行駛的路程：50x（4+1）=250（千米）.

5、一輛公共汽車和一輛小轎車同時(shí)從相距450千米的兩地相向而行，公共汽車每小時(shí)行40千米，小轎車每小

時(shí)行50千米，問幾小時(shí)后兩車相距90千米？

【解析】兩車在相距450千米的兩地相向而行，距離逐漸縮短，在相遇前某一時(shí)刻兩車相距90千米，這時(shí)兩

車共行的路程應(yīng)為（450-90）千米.即（450-90）+（40+50）=4（小時(shí)）.需要注意的是當(dāng)兩車相遇后繼續(xù)行

駛時(shí)，兩車之間的距離又從零逐漸增大，到某一時(shí)刻，兩車再一次相距90千米.這時(shí)兩車共行的路程為450+90

千米,即（450+90）+（40+50）=6（小時(shí)）.

6、兩列火車從相距480千米的兩城相向而行，甲列車每小時(shí)行40千米，乙列車每小時(shí)行42千米，5小時(shí)

后，甲、乙兩車還相距多少千米？

【解析】兩車的相距路程減去5小時(shí)兩車共行的路程，就得到了兩車還相距的路程：

480-（40+42）x5=480-410=70（千米）.

7、甲、乙兩輛汽車同時(shí)從A地出發(fā)去8地，甲車每小時(shí)行50千米，乙車每小時(shí)行40千米.途中甲車出故障

停車修理了3小時(shí)，結(jié)果甲車比乙車遲到1小時(shí)到達(dá)3地.A、3兩地間的路程是多少？

【解析】由于甲車在途中停車3小時(shí)，比乙車遲到1小時(shí)，說明行這段路程甲車比乙車少用2小時(shí).可理解成

甲車在途中停車2小時(shí)，兩車同時(shí)到達(dá)，也就是乙車比甲車先行2小時(shí)，兩車同時(shí)到達(dá)3地，所以，也可以用

追及問題的數(shù)量關(guān)系來解答.即：行這段路程甲車比乙車少用的時(shí)間是：3-1=2（小時(shí)），乙車2小時(shí)行的路

程是：40x2=80（千米），甲車每小時(shí)比乙車多行的路程是：50-40=10（千米），甲車所需的時(shí)間是：

80+10=8（小時(shí)），A、3兩地間的路程是：50x8=400（千米）.

8、學(xué)校和部隊(duì)駐地相距16千米，小宇和小宙由學(xué)校騎車去部隊(duì)駐地，小宇每小時(shí)行12千米，小宙每小時(shí)行15

千米.當(dāng)小宇走了3千米后，小宙才出發(fā).當(dāng)小宙追上小宇時(shí)，距部隊(duì)駐地還有多少千米？

【解析】追及時(shí)間為:3+（15-⑵=1（小時(shí)），此時(shí)距部隊(duì)駐地還有:16-15x1=1（千米）.

9、小紅和小強(qiáng)同時(shí)從家里出發(fā)相向而行。小紅每分鐘走52米，小強(qiáng)每分鐘走70米，二人在途中的4處相遇。

若小紅提前4分鐘出發(fā)，但速度不變，小強(qiáng)每分鐘走90米，則兩人仍在/處相遇。小紅和小強(qiáng)的家相距多遠(yuǎn)?

【解析】因?yàn)樾〖t的速度不變，相遇地點(diǎn)不變，所以小紅兩次走的時(shí)間相同，推知小強(qiáng)第二次比第一次少走4

分。由（70X4）+（90-70）=14（分），推知小強(qiáng)第二次走了14分，第一次走了18分，兩人的家相距（52+70）

X18=2196（米）.

10、甲、乙兩車從力，6兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行。如果甲車提前一段時(shí)間出發(fā)，那么兩車將提前30分相遇。

己知甲車速度是60千米/時(shí)，乙車速度是40千米/時(shí)。問：甲車提前了多少分出發(fā)？

【解析】50分。因?yàn)樘崆?0分相遇，甲車應(yīng)提前走了（60+40）+2=50（千米），所以甲車提前出發(fā)50+60=之

(B't)=50(分)。

11、一輛慢車從甲地開往乙地，每小時(shí)行40千米，開出5小時(shí)后，一輛快車以每小時(shí)90千米的速度也從甲地

開往乙地.在甲乙兩地的中點(diǎn)處快車追上慢車，甲乙兩地相距多少千米？

【解析】慢車先行的路程是：40x5=200（千米），快車每小時(shí)追上慢車的千米數(shù)是：90-40=50（千米），追

及的時(shí)間是：200+50=4（小時(shí)），快車行至中點(diǎn)所行的路程是：90x4=360（千米），甲乙兩地間的路程是：

360x2=720（千米）.

12、六年級(jí)同學(xué)從學(xué)校出發(fā)到公園春游，每分鐘走72米，15分鐘以后，學(xué)校有急事要通知學(xué)生，派李老師騎

自行車從學(xué)校出發(fā)9分鐘追上同學(xué)們，李老師每分鐘要行多少米才可以準(zhǔn)時(shí)追上同學(xué)們？

【解析】同學(xué)們15分鐘走72x15=1080（米），即路程差.然后根據(jù)速度差=路程差+追及時(shí)間，可以求出李

老師和同學(xué)們的速度差，又知道同學(xué)們的速度是每分鐘72米，就可以得出李老師的速度.即1080+9+72=192

（米）.

13、下午放學(xué)時(shí)，弟弟以每分鐘40米的速度步行回家.5分鐘后，哥哥以每分鐘60米的速度也從學(xué)校步行回

家，哥哥出發(fā)后，經(jīng)過幾分鐘可以追上弟弟？（假定從學(xué)校到家有足夠遠(yuǎn)，即哥哥追上弟弟時(shí)，仍沒有回到

家）.

【解析】若經(jīng)過5分鐘，弟弟已到了/地，此時(shí)弟弟已走了40X5=200（米）；哥哥每分鐘比弟弟多走20米，

幾分鐘可以追上這200米呢？40X54-（60-40）=2004-20=10（分鐘），哥哥10分鐘可以追上弟弟.

14、甲地和乙地相距40千米，平平和兵兵由甲地騎車去乙地，平平每小時(shí)行14千米，兵兵每小時(shí)行17千米，

當(dāng)平平走了6千米后，兵兵才出發(fā)，當(dāng)兵兵追上平平時(shí)，距乙地還有多少千米？

【解析】平平走了6千米后，兵兵才出發(fā)，這6千米就是平平和兵兵相距的路程.由于兵兵每小時(shí)比平平多走

17-14=3（千米），要求兵兵幾小時(shí)可以追上6千米，也就是求6千米里包含著幾個(gè)3千米，用6+3=2（小

時(shí)）.因?yàn)榧椎睾鸵业叵嗑?0千米，兵兵每小時(shí)行17千米，2小時(shí)走了17x2=34（千米），所以兵兵追上平平

時(shí)，距乙地還有40-34=6（千米）。

15、上一次龜兔賽跑兔子輸?shù)煤懿环猓谑窍驗(yàn)觚斣俅蜗聭?zhàn)書，比賽之前，為了表示它的大度，它讓烏龜

先跑10分鐘，但是兔子不知道烏龜經(jīng)過鍛煉，速度已經(jīng)提高到5倍，那么這一次誰將獲得勝利呢？

【解析】由烏龜速度提高到5倍，可知烏龜現(xiàn)在的速度為10x5=50（米/分），烏龜先跑10分鐘，即兔子開始

跑時(shí)，烏龜已經(jīng)跑了50x10=500（米），還乘打000-500=500（米），需要500+50=10（分鐘）就可以到達(dá)終點(diǎn)，

而兔子到達(dá)終點(diǎn)需要的時(shí)間是：1000+100=10（分鐘），所以，兔子和烏龜同時(shí)到達(dá)終點(diǎn).

16、從甲城到乙城的鐵路線上每隔10千米有一個(gè)小車站。一列慢車上午9點(diǎn)以45千米/時(shí)的速度由甲城開

往乙城，另一列快車上午9點(diǎn)30分以60千米/時(shí)的速度也由甲城開往乙城。鐵路部門規(guī)定，同方向前進(jìn)的

兩列火車之間相距不能少于8千米。問：這列慢車最遲應(yīng)該在距甲城多遠(yuǎn)的小車站停車讓快車超過？

【解析】60千米。解：快車距離慢車8千米需要（45x0.5-8）+（60-45）=言（時(shí)）。此時(shí)慢車距甲城

OQ

60x—+8=66（千米）。所以慢車應(yīng)在距甲城60千米的小車站停車。

30

17、哥哥由家向東到工廠去上班，每分鐘走85米，弟弟同時(shí)由家往西到學(xué)校去上學(xué)，每分鐘走75米。幾分

鐘后二人相距960米？

【解析】二人同時(shí)、同地相背而行，只要求出速度和，由“時(shí)間=距離+速度和”即可求出所行時(shí)間。因此，

得：9604-（85+75）=9604-160=6（分鐘）。

18、甲、乙二人從同一城鎮(zhèn)某車站同時(shí)出發(fā)，相背而行。甲每小時(shí)行6千米，乙每小時(shí)行7千米。8小時(shí)后，

甲、乙二人相距多少千米？

【解析】先求出二人速度之和，再乘以時(shí)間就得到二人之間的距離。（6+7）X8=13X8=104（千米）

19、甲、乙兩輛汽車分別以不同的速度同時(shí)從A、B兩地相對而行，途中相遇，相遇點(diǎn)距A地60千米。相遇

后兩車以原速前進(jìn)，到底目的地后，兩車立即返回，在途中又第二次相遇，這時(shí)距A地40千米。問第一次相

遇點(diǎn)距B地多少千米？

【解析】甲、乙兩輛汽車同時(shí)從A、B兩地相對而行，行駛情況如下圖。

藍(lán)色線條表示甲車行駛路線，紅色線條表示乙車行駛路線；細(xì)線條是第一次相遇前兩車行駛路程，粗線

條表示兩車從第一次相遇到第二次相遇之間行使的路程。

從圖中可以看出，從出發(fā)到第一次相遇，兩車合走了1個(gè)全程（細(xì)線條）；從第一次相遇到第二次相遇，

兩車合走了2個(gè)全程（粗線條）；兩車總共合走了3個(gè)全程。每輛汽車的速度是一定的，所以它們各自行駛的

路程與時(shí)間成正比例。

第相

（方法一）如上圖，第一次相遇時(shí)，即兩車合走1個(gè)全程的時(shí)間里，甲走了60千米。兩車總共合走了3個(gè)全

程，則甲車從A地出發(fā)，經(jīng)過B地到達(dá)第二次相遇地點(diǎn)，總共行駛了3個(gè)60千米（藍(lán)色線條全長），加上第

二次相遇地點(diǎn)到A地40千米，共2個(gè)全程。所以A、B兩地的距離為：（60X3+40）4-2=110（千米）。

所以第一次相遇地點(diǎn)到B地的距離為：110—60=50（千米）。

（方法二）如上圖，從第一次相遇到第二次相遇，即兩車合走2個(gè)全程的時(shí)間里，乙從第一次相遇點(diǎn)經(jīng)過A

地到達(dá)第二次相遇地點(diǎn)，共走了（60+40）千米。則乙從出發(fā)到第一次相遇，即兩車合走1個(gè)全程的時(shí)間里，

行駛的路程為：（60+40）+2=50（千米）。

第一次相遇點(diǎn)距B地的距離就是乙從出發(fā)到第一次相遇行駛的路程，即50千米。

直擊賽場“a

1、（希望杯一試）甲乙兩人分別以每小時(shí)6千米，每小時(shí)4千米的速度從相距30千米的兩地向?qū)Ψ降某霭l(fā)地

前進(jìn).當(dāng)兩人之間的距離是10千米時(shí)，他們走了小時(shí)?.

【解析】有兩種情況，一種是甲乙兩人一共走了30-10=20（千米），一種是甲乙兩人一共走了30+10=40（千

米），所以有兩種答案：（30-10）+（6+4）=2（小時(shí)）或（30+10）+（6+4）=4（小時(shí)）

2、（迎春杯初試）小張和小王早晨8時(shí)整從甲地出發(fā)去乙地，小張開車，速度是每小時(shí)60千米。小王步行，

速度為每小時(shí)4千米。如果小張到達(dá)乙地后停留1小時(shí)立即沿原路返回，恰好在10時(shí)整遇到正在前往乙地的

小王。那么甲、乙兩地之間的距離是千米。

【解析】根據(jù)分析得：（60x1+4x2）+2=34（千米）.

3、（希望杯二試）甲、乙兩人分別從相距2