吉林省長春六中、八中、十一中等省重點中學2025屆高一數(shù)學第二學期期末統(tǒng)考試題含解析

吉林省長春六中、八中、十一中等省重點中學2025屆高一數(shù)學第二學期期末統(tǒng)考試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則（）A． B． C． D．2．已知為的一個內角，向量.若，則角()A． B． C． D．3．過點A(3，3)且垂直于直線的直線方程為A． B． C． D．4．若函數(shù)，則（）A．9 B．1 C． D．05．已知等差數(shù)列的首項,公差,則()A．5 B．7 C．9 D．116．在△ABC中，sinA:sinB:sinC=4:3:2，則cosA的值是（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)向左平移個單位長度后，其圖象關于軸對稱，則的最小值為()A． B． C． D．8．如圖，將邊長為的正方形沿對角線折成大小等于的二面角分別為的中點，若，則線段長度的取值范圍為（）A． B．C． D．9．已知，，，則（）A． B． C．-7 D．710．已知是奇函數(shù)，且.若，則（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．向量在邊長為1的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則以向量為鄰邊的平行四邊形的面積是_________.12．函數(shù)的最小正周期為__________．13．若數(shù)列滿足，且，則___________.14．在四面體中，平面ABC，，若四面體ABCD的外接球的表面積為，則四面體ABCD的體積為_______．15．我國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關．”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天才到達目的地．”則該人第一天走的路程為__________里．16．將邊長為1的正方形(及其內部)繞旋轉一周形成圓柱,點?分別是圓和圓上的點,長為,長為,且與在平面的同側,則與所成角的大小為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．直線的方程為.(1)若在兩坐標軸上的截距相等，求的值；(2)若不經(jīng)過第二象限，求實數(shù)的取值范圍.18．已知角的頂點與原點重合，其始邊與軸正半軸重合，終邊與單位圓交于點，若，且.（1）求的值；（2）求的值.19．已知離心率為的橢圓過點．（1）求橢圓的方程；（2）過點作斜率為直線與橢圓相交于兩點，求的長．20．已知等差數(shù)列滿足：，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和為.21．某高中為了選拔學生參加“全國高中數(shù)學聯(lián)賽”，先在本校進行初賽（滿分150分），隨機抽取100名學生的成績作為樣本，并根據(jù)他們的初賽成績得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這次初賽成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù).

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】試題分析：由圖可知，，∴，又，∴，∴，又．∴.考點：由圖象確定函數(shù)解析式.2、C【解析】

帶入計算即可．【詳解】即,選C.【點睛】本題考查向量向量垂直的坐標運算，屬于基礎題．3、D【解析】過點A(3，3)且垂直于直線的直線斜率為，代入過的點得到.故答案為D.4、B【解析】

根據(jù)的解析式即可求出，進而求出的值．【詳解】∵，∴，故，故選B.【點睛】本題主要考查分段函數(shù)的概念，以及已知函數(shù)求值的方法，屬于基礎題.5、C【解析】

直接利用等差數(shù)列的通項公式，即可得到本題答案.【詳解】由為等差數(shù)列，且首項，公差，得.故選：C【點睛】本題主要考查利用等差數(shù)列的通項公式求值，屬基礎題.6、A【解析】

由正弦定理可得，再結合余弦定理求解即可.【詳解】解：因為在△ABC中，sinA:sinB:sinC=4:3:2，由正弦定理可得，不妨令，由余弦定理可得，故選：A.【點睛】本題考查了正弦定理及余弦定理，重點考查了運算能力，屬基礎題.7、A【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象關于軸對稱,即為偶函數(shù).，求得的最小值．【詳解】把函數(shù)向左平移個單位長度后.可得的圖象.再根據(jù)所得圖象關于軸對稱,即為偶函數(shù).所以即，當時，的值最小.所以的最小值為：故選：A【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎題．8、A【解析】

連接和，由二面角的定義得出，由結合為的中點，可知是的角平分線且，由的范圍可得出的范圍，于是得出的取值范圍．【詳解】連接，可得，即有為二面角的平面角，且，在等腰中，，且，，則，故答案為，故選A．【點睛】本題考查線段長度的取值范圍，考查二面角的定義以及銳角三角函數(shù)的定義，解題的關鍵在于充分研究圖形的幾何特征，將所求線段與角建立關系，借助三角函數(shù)來求解，考查推理能力與計算能力，屬于中等題．9、C【解析】

把已知等式平方后可求得．【詳解】∵，∴，即，，∵，∴，∴，，∴．故選C．【點睛】本題考查同角間的三角函數(shù)關系，考查兩角和的正切公式，解題關鍵是把已知等式平方，并把1用代替，以求得．10、C【解析】

根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質可得，變形可得：，結合題意計算可得的值，進而計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，是奇函數(shù)，則，變形可得：，則有，即，又由，則，，故選：．【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性的性質以及應用，涉及誘導公式的應用，屬于基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、3【解析】

將向量平移至相同的起點，寫出向量對應的坐標，計算向量的夾角，從而求得面積.【詳解】根據(jù)題意，將兩個向量平移至相同的起點，以起點為原點建立坐標系如下所示：則，故.又兩向量的夾角為銳角，故，則該平行四邊形的面積為.故答案為：3.【點睛】本題考查用向量解決幾何問題的能力，涉及向量坐標的求解，夾角的求解，屬基礎題.12、【解析】

先將轉化為余弦的二倍角公式,再用最小正周期公式求解.【詳解】解：最小正周期為.故答案為【點睛】本題考查二倍角的余弦公式,和最小正周期公式.13、【解析】

對已知等式左右取倒數(shù)可整理得到，進而得到為等差數(shù)列；利用等差數(shù)列通項公式可求得，進而得到的通項公式，從而求得結果.【詳解】，即數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列故答案為：【點睛】本題考查利用遞推公式求解數(shù)列通項公式的問題，關鍵是明確對于形式的遞推關系式，采用倒數(shù)法來進行推導.14、【解析】

設,再根據(jù)外接球的直徑與和底面外接圓的一條直徑構成直角三角形求解進而求得體積即可.【詳解】設,底面外接圓直徑為.易得底面是邊長為3的等邊三角形.則由正弦定理得.又外接球的直徑與和底面外接圓的一條直徑構成直角三角形有.又外接球的表面積為,即.解得.故四面體體積為.故答案為：【點睛】本題主要考查了側棱垂直于底面的四面體的外接球問題.需要根據(jù)題意建立底面三角形外接圓的直徑和三棱錐的高與外接球直徑的關系再求解.屬于中檔題.15、192【解析】設每天走的路程里數(shù)為由題意知是公比為的等比數(shù)列∵∴∴故答案為16、【解析】

畫出幾何體示意圖，將平移至于直線相交，在三角形中求解角度.【詳解】根據(jù)題意，過B點作BH//交弧于點H，作圖如下：因為BH//，故即為所求異面直線的夾角，在中，，在中，因為，故該三角形為等邊三角形，即：，在中，，，且母線BH垂直于底面，故：，又異面直線夾角范圍為，故，故答案為：.【點睛】本題考查異面直線的夾角求解，一般解決方法為平移至直線相交，在三角形中求角.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)0或2；(2).【解析】

（1）當過坐標原點時，可求得滿足題意；當不過坐標原點時，可根據(jù)直線截距式，利用截距相等構造方程求得結果；（2）當時，可得直線不經(jīng)過第二象限；當時，結合函數(shù)圖象可知斜率為正，且在軸截距小于等于零，從而構造不等式組求得結果.【詳解】（1）當過坐標原點時，，解得：，滿足題意當不過坐標原點時，即時若，即時，，不符合題意若，即時，方程可整理為：，解得：綜上所述：或（2）當，即時，，不經(jīng)過第二象限，滿足題意當，即時，方程可整理為：，解得：綜上所述：的取值范圍為：【點睛】本題考查直線方程的應用，涉及到直線截距式方程、由圖象確定參數(shù)范圍等知識；易錯點是在截距相等時，忽略經(jīng)過坐標原點的情況，造成丟根.18、（1）；（2）【解析】

（1）平方處理求出，根據(jù)角的范圍可得，即可得解；（2）變形處理，結合（1）已計算的結果即可求解.【詳解】（1）由題：角的頂點與原點重合，其始邊與軸正半軸重合，終邊與單位圓交于點，若，，即，兩邊平方可得：，，所以；（2）【點睛】此題考查同角三角函數(shù)的關系，根據(jù)平方關系處理同角正余弦的和差積三者關系，利用平方關系合理變形求值.19、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)離心率可得的關系，將點代入橢圓方程，可得橢圓方程；（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，可得弦長.【詳解】（1），又，，即橢圓方程是，代入點,可得，橢圓方程是.（2）設直線方程是，聯(lián)立橢圓方程代入可得.【點睛】本題考查了橢圓方程和直線與橢圓的位置關系，涉及弦長公式，屬于簡單題.20、（1）（2）【解析】

（1）由等差數(shù)列的性質，求得，進而得到，即可求得數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可得，列用裂項法，即可求解數(shù)列的前項和.【詳解】（1）由等差數(shù)列的性質，可得，所以，又由，所以數(shù)列的通項公式.（2）由（1）可得，所以.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式及求和公式、以及“裂項法”求和的應用，此類題目是數(shù)列問題中的常見題型，解答中確定通項公式是基礎，準確計算求和是關鍵，能較好的考查考生的邏輯思維能力及基本計算能力，屬于基礎題.21、（1）（2）平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)依次為80，81，80【解析】

（1）利用頻率分布直方圖的性質，列出方程，即可求解；（2）由頻率分布直方圖，結合平均數(shù)、中位