北師大第二附屬中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一下期末統(tǒng)考試題含解析

北師大第二附屬中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一下期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知數(shù)列滿足，，則的值為（）A． B． C． D．2．在等差數(shù)列中，已知，數(shù)列的前5項(xiàng)的和為，則（）A． B． C． D．3．如圖，一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形里有一個(gè)月牙形的圖案，為了估算這個(gè)月牙形圖案的面積，向這個(gè)正方形里隨機(jī)投入了粒芝麻，經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)，落在月牙形圖案內(nèi)的芝麻有粒，則這個(gè)月牙圖案的面積約為（）A． B． C． D．4．在三棱柱中，已知,，此三棱柱各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則球的體積為（）.A． B． C． D．5．在中，角、、所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，，，，，，則的面積為（）A． B． C． D．96．函數(shù)的部分圖像如圖所示，則當(dāng)時(shí)，的值域是（）A． B．C． D．7．不等式的解集為()A．(-4，1) B．(-1，4)C．(-∞，-4)∪(1，+∞) D．(-∞，-1)∪(4,+∞）8．如圖所示：在正方體中，設(shè)直線與平面所成角為，二面角的大小為，則為（）A． B． C． D．9．正三角形的邊長(zhǎng)為，如圖，為其水平放置的直觀圖，則的周長(zhǎng)為（）A． B． C． D．10．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a2+a4=6,則S5等于()A．10 B．12 C．15 D．30二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知直線y=b(0＜b＜1)與函數(shù)f(x)=sinωx(ω＞0)在y軸右側(cè)依次的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1=,x2=,x3=,則ω的值為_(kāi)_____12．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的單調(diào)增區(qū)間是______．13．某小區(qū)擬對(duì)如圖一直角△ABC區(qū)域進(jìn)行改造，在三角形各邊上選一點(diǎn)連成等邊三角形,在其內(nèi)建造文化景觀．已知,則面積最小值為_(kāi)___14．如圖，在邊長(zhǎng)為的菱形中，，為中點(diǎn)，則______.15．過(guò)點(diǎn)直線與軸的正半軸，軸的正半軸分別交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，直線的一般方程為_(kāi)_____.16．已知三棱錐外接球的表面積為，面，則該三棱錐體積的最大值為_(kāi)___。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．我市某商場(chǎng)銷售小飾品，已知小飾品的進(jìn)價(jià)是每件3元，且日均銷售量件與銷售單價(jià)元可以用這一函數(shù)模型近似刻畫(huà).當(dāng)銷售單價(jià)為4元時(shí)，日均銷售量為400件，當(dāng)銷售單價(jià)為8元時(shí)，日均銷售量為240件.試求出該小飾品的日均銷售利潤(rùn)的最大值及此時(shí)的銷售單價(jià).18．已知向量，，且.（1）求向量在上的投影；（2）求.19．某校團(tuán)委會(huì)組織某班以小組為單位利用周末時(shí)間進(jìn)行一次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組有5名同學(xué)，在活動(dòng)結(jié)束后，學(xué)校團(tuán)委會(huì)對(duì)該班的所有同學(xué)進(jìn)行了測(cè)試，該班的A，B兩個(gè)小組所有同學(xué)得分（百分制）的莖葉圖如圖所示，其中B組一同學(xué)的分?jǐn)?shù)已被污損，但知道B組學(xué)生的平均分比A組同學(xué)的平均分高一分．（1）若在B組學(xué)生中隨機(jī)挑選1人，求其得分超過(guò)86分的概率；（2）現(xiàn)從A、B兩組學(xué)生中分別隨機(jī)抽取1名同學(xué)，設(shè)其分?jǐn)?shù)分別為m、n，求的概率．20．已知函數(shù)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最小值.21．已知過(guò)點(diǎn)A(0，1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點(diǎn)．(1)求k的取值范圍；(2)若＝12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

由，得，然后根據(jù)遞推公式逐項(xiàng)計(jì)算出、的值，即可得出的值.【詳解】，，則，，，因此，，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列中相關(guān)項(xiàng)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是遞推公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

由，可求出，結(jié)合，可求出及.【詳解】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，因?yàn)?，所以，則，故.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和，考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

根據(jù)幾何概型直接進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】月牙形圖案的面積約為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】試題分析：直三棱柱的各項(xiàng)點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，如圖所示，所以中，，所以下底面的外心為的中點(diǎn)，同理，可得上底面的外心為的中點(diǎn)，連接，則與側(cè)棱平行，所以平面，再取的中點(diǎn)，可得點(diǎn)到的距離相等，所以點(diǎn)是三棱柱的為接球的球心，因?yàn)橹苯侵?，，所以，即外接球的半徑，因此三棱柱外接球的體積為，故選A.考點(diǎn)：組合體的結(jié)構(gòu)特征；球的體積公式.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了球的組合體的結(jié)構(gòu)特征、球的體積的計(jì)算，其中解答中涉及到三棱柱的線面位置關(guān)系、直三棱柱的結(jié)構(gòu)特征、球的性質(zhì)和球的體積公式等知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，著重考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，以及推理與運(yùn)算能力和學(xué)生的空間想象能力，試題有一定的難度，屬于中檔試題.5、A【解析】

，利用正弦定理，和差公式化簡(jiǎn)可得，再利用三角形面積計(jì)算公式即可得出.【詳解】化為：的面積故選：【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理與兩角和余弦公式化簡(jiǎn)求值，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】如圖，，得，則，又當(dāng)時(shí)，，得，又，得，所以，當(dāng)時(shí)，，所以值域?yàn)?，故選D．點(diǎn)睛：本題考查由三角函數(shù)的圖象求解析式．本題中，先利用周期求的值，然后利用特殊點(diǎn)（一般從五點(diǎn)內(nèi)?。┣蟮闹担詈蟾鶕?jù)題中的特殊點(diǎn)求的值．值域的求解利用整體思想．7、A【解析】

將原不等式化簡(jiǎn)并因式分解，由此求得不等式的解集.【詳解】原不等式等價(jià)于，即，解得.故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

連結(jié)BC1，交B1C于O，連結(jié)A1O，則∠BA1O是直線A1B與平面A1DCB1所成角θ1，由BC⊥DC，B1C⊥DC，知∠BCB1是二面角A1﹣DC﹣A的大小θ2，由此能求出結(jié)果．【詳解】連結(jié)BC1，交B1C于O，連結(jié)A1O，∵在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1⊥B1C，BC1⊥DC，∴BO⊥平面A1DCB1，∴∠BA1O是直線A1B與平面A1DCB1所成角θ1，∵BO＝A1B，∴θ1＝30°；∵BC⊥DC，B1C⊥DC，∴∠BCB1是二面角A1﹣DC﹣A的大小θ2，∵BB1＝BC，且BB1⊥BC，∴θ2＝45°．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查線面角、二面角的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，屬于中檔題．9、C【解析】

根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法以及正余弦定理求解各邊長(zhǎng)再求周長(zhǎng)即可.【詳解】由斜二測(cè)畫(huà)法可知,,,.所以.故..故.所以的周長(zhǎng)為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了斜二測(cè)畫(huà)法的性質(zhì)以及余弦定理在求解三角形中線段長(zhǎng)度的運(yùn)用.屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}中,a2+a4=6,故a1+a5=6,所以S5===15.故選C.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】

由題得函數(shù)的周期為解之即得解.【詳解】由題得函數(shù)的周期為.故答案為1【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查三角函數(shù)的周期，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.12、（區(qū)間端點(diǎn)開(kāi)閉均可）【解析】

由已知函數(shù)圖象求得，進(jìn)一步得到，再由五點(diǎn)作圖的第二點(diǎn)求得，則得到函數(shù)的解析式，然后利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出的單調(diào)增區(qū)間．【詳解】由圖可知，，則，．又，．則．由，，解得，．的單調(diào)增區(qū)間是．【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)的部分圖象求函數(shù)解析式以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法．13、【解析】

設(shè)，然后分別表示，利用正弦定理建立等式用表示，從而利用三角函數(shù)的性質(zhì)得到的最小值，從而得到面積的最小值.【詳解】因?yàn)?，所以，顯然，，設(shè)，則，且，則，所以，在中，由正弦定理可得：，求得，其中，則，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取得最大值1，則的最小值為，所以面積最小值為，【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用三角函數(shù)求解實(shí)際問(wèn)題的最值，涉及到正弦定理的應(yīng)用，屬于難題.對(duì)于這類型題，關(guān)鍵是能夠選取恰當(dāng)?shù)膮?shù)表示需求的量，從而建立相關(guān)的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求解最值.14、【解析】

選取為基底，根據(jù)向量的加法減法運(yùn)算，利用數(shù)量積公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?,，又，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的加法減法運(yùn)算，向量的數(shù)量積，屬于中檔題.15、【解析】

設(shè)直線的截距式方程為，利用該直線過(guò)可得，再利用基本不等式可求何時(shí)即取最小值，從而得到相應(yīng)的直線方程．【詳解】設(shè)直線的截距式方程為，其中且．因?yàn)橹本€過(guò)，故．所以，由基本不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故當(dāng)取最小值時(shí)，直線方程為：．填．【點(diǎn)睛】直線方程有五種形式，常用的形式有點(diǎn)斜式、斜截式、截距式、一般式，垂直于的軸的直線沒(méi)有點(diǎn)斜式、斜截式和截距式，垂直于軸的直線沒(méi)有截距式，注意根據(jù)題設(shè)所給的條件選擇合適的方程的形式，特別地，如果考慮的問(wèn)題是與直線、坐標(biāo)軸圍成的直角三角形有關(guān)的問(wèn)題，可考慮利用截距式.16、【解析】

根據(jù)球的表面積計(jì)算出球的半徑.利用勾股定理計(jì)算出三角形外接圓的半徑，根據(jù)正弦定理求得的長(zhǎng)，再根據(jù)圓內(nèi)三角形面積的最大值求得三角形面積的最大值，由此求得三棱錐體積的最大值.【詳解】畫(huà)出圖像如下圖所示，其中是外接球的球心，是底面三角形的外心，.設(shè)球的半徑為，三角形外接圓的半徑為，則，故在中，.在三角形中，由正弦定理得.故三角形為等邊三角形，其高為.由于為定值，而三角形的高等于時(shí)，三角形的面積取得最大值，由于為定值，故三棱錐的體積最大值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查外接球有關(guān)計(jì)算，考查三棱錐體積的最大值的計(jì)算，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、當(dāng)該小飾品銷售單價(jià)定位8.5元時(shí)，日均銷售利潤(rùn)的最大，為1210元.【解析】

根據(jù)已知條件，求出，利潤(rùn)，轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最大值，即可求解.【詳解】解：由題意，得解得所以日均銷售量件與銷售單價(jià)元的函數(shù)關(guān)系為.日均銷售利潤(rùn).當(dāng)，即時(shí)，.所以當(dāng)該小飾品銷售單價(jià)定位8.5元時(shí)，日均銷售利潤(rùn)的最大，為1210元.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，確定函數(shù)解析式是關(guān)鍵，考查二次函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題18、（1）（2）40【解析】

（1）根據(jù)垂直得到，再計(jì)算投影得到答案.（2）展開(kāi)直接計(jì)算得到答案.【詳解】（1）因?yàn)?，由?，.在上的投影為.（2）.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的投影和數(shù)量積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.19、（1）（2）【解析】

（1）求出A組學(xué)生的平均分可得B組學(xué)生的平均分，設(shè)被污損的分?jǐn)?shù)為X，列方程得X，從而得到B組學(xué)生的分?jǐn)?shù)，其中有3人分?jǐn)?shù)超過(guò)86分，由此能求出B組學(xué)生中隨機(jī)挑選1人，其得分超過(guò)86分概率．（2）利用列舉法寫(xiě)出在A、B兩組學(xué)生中隨機(jī)抽取1名同學(xué)，其分?jǐn)?shù)組成的所有基本事件（m，n），利用古典概型求出|m﹣n|≥8的概率．【詳解】（1）A組學(xué)生的平均分為，所以B組學(xué)生的平均分為86分設(shè)被污損的分?jǐn)?shù)為，則，解得所以B組學(xué)生的分?jǐn)?shù)為91、93、83、88、75，其中有3人分?jǐn)?shù)超過(guò)86分在B組學(xué)生中隨機(jī)挑選1人，其得分超過(guò)86分概率為.（2）A組學(xué)生的分?jǐn)?shù)分別是94、80、86、88、77,B組學(xué)生的分?jǐn)?shù)為91、93、83、88、75，在A、B兩組學(xué)生中隨機(jī)抽取1名同學(xué)，其分?jǐn)?shù)組成的基本事件（m，n），有（94,91），（94,93），（94,83）,（94,88），（94,75），（80,91），（80,93），（80,83），（80,88），（80,75），（86,91），（86,93），（86,83），（86,88），（86,75），（88,91），（88,93），（88,83），（88,88），（88,75），（77,91），（77,93），（77,83），（77,88），（77,75），共25個(gè)隨機(jī)各抽取1名同學(xué)的分?jǐn)?shù)滿足的基本事件有（94,83），（94，75），（80,91），（80,93），（80,88），（86,75），（88,75），（77,91），（77,93），（77,88），共10個(gè)∴的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法、莖葉圖等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了推理能力與計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．20、當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.【解析】

將函數(shù)的解析式化成二次函數(shù)的形式，然后把作為整體，并根據(jù)的取值范圍，結(jié)合求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的方法進(jìn)行求解即可．【詳解】由題意得．∵，∴．當(dāng)，即時(shí)，則當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值，且；當(dāng)，即時(shí)，則當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值，且；當(dāng)，即時(shí)，則當(dāng)，函數(shù)取得最小值，且．綜上可得．【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問(wèn)題求解，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值時(shí)要結(jié)合拋物線的開(kāi)口方向和對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．21、（3）；（3）3．【解析】試題分析：（3）由題意可得，直線l的斜率存在，用點(diǎn)斜式求得直線l的方程，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求得k的值，可得滿足條件的k的范圍．（3）