人教版5年級數學下冊-爬坡題

第一單元觀察物體

【例1】從上面看是從左面看是已搭這樣的立體圖形,最多用

()個小立體方塊。

A4B5C6D7

解析：本題考查的知識點是從不同的方向觀察幾何體，考查了學生的空間表象能

力，解答時要用到分析、推理和排除法。

根據從上面看到的圖形可得：這個圖形只有一行，方法提示：

有3個正方體；從左面看到的圖形可得：這個圖形推理法和排除法是解

一共有2層；要使小正方體個數最多，則上層需要有答此類問題常用的方

3個正方體；最多需要：3+3=6(個)就可以搭成這法。

樣一個立體圖形。

解答：C

【例2】如圖所示，要使從上面看到的圖形不變：

(1)如果是5個小正方體，可以怎樣擺？

(2)如果有6個小正方體，可以有幾種不同的擺法？

(3)最少需要幾個小正方體？

解析：本題考查的知識點是用數學的“分類討論思想”解答小正方體的拼擺問題。

解答時，由上面看到的圖形得出：幾何體的最下面一層有3歹力最右邊一列有2

行。

(1)如果是5個小正方體，可以把第5個擺放在第二層的任何一個小正方體的

上面；

(2)如果有6個小正方體，可以有10種不同的擺法：擺成2層的，有6種擺法,

擺成3層，有4種擺法。

(3)根據圖形分析，幾何體至少是1層，因此最少需要4個小正方體。

解答：

(1)如果是5個小正方體，可以把第5個擺放在第二層的任何一個小正方體的

上面。

(2)如圖2,如果有6個小正方體，可以有10種不同的擺法；擺成2層的，有

6種擺法，擺成3層，有4種擺法。

分類討論思想：

分成若干類，轉化成若

干個小問題來解決

（3）根據從上面看圖分析，幾何體至少是1層，因此最少需要4個小正方體。

////7

【例3】用4個同樣大小的正方體，匚匚匚口擺成下面下面的長方體，按下

面的要求再添加一個同樣大小的正方體，各有多少種不同的擺法?

（1）從側面看到的是匚匚I,共有（）種不同的擺法。

（2）從側面看到的是LJ,共有（）種不同擺法。

（3）從上面看到的是U，共有（）種擺法。

解析：本題考查的知識點是用“分類討論思想”解答小正方體的拼擺問題。解答

時，要根據要求，分情況討論各有幾種不同的擺法。

（1）從側面看到的形狀是L_LJ,也就是說第5個小正方體可以擺在第一橫行

每個小正方體的后面，這樣就有4種不同的擺法。

（2）從側面看到的是也就說擺成的小正方體有2層，這樣第5個小正方

體可以擺在第一層任意一個小正方體的上面，這樣也有4種不同的擺法。

（3）從上面看到的形狀是1—1,也就是說這樣的位置擺放是固定的，因

此只有一種擺法。

解答：

（1）4（2）4（3）1

【例4］一個物體是由棱長為1的正方體模型堆砌而成，從不同方向看到的形狀

圖如下圖。該物體的體積有幾個小正方體組成的？

0Z土

從正面看從左面看從上面看

解析：本題考查的知識點是綜合利用“分析綜合法”根據從三個方向觀察到的圖

形來確定和判斷組成幾何體的小正方體的個數問題。從正面、左面看到的最多層

數，就是該物體的層數共兩層，下層6個，分兩行，上、下行各3個，上層1

個，位于下層前排左面一個小正方體之上，這樣一共有6+1=7（個）小正方體。

解答：7個

［例5］紅紅和亮亮分別用5個同樣的小正方體擺成立體圖形，從右面看到的圖

形是L_LJ,從正面看到的圖形是L_LJ,你能判斷出他們誰擺的正確嗎？

紅紅亮亮

解析：本題考查的知識點是用對應法分析和判斷搭成的物體的形狀。我們先看紅

紅搭的，從右能看到4個正方形，分兩列，左列1個，右列3個，下齊；從正面

看到4個正方形，分兩列，左列3個，右列1個，下齊。再看亮亮的，從右面能

看到4個正方形，分兩列，左列3個，右列1個，下齊，從正面看到的形狀與從

右面看到的形狀相同，由此即可判定誰搭的正確。

解答:紅紅拼擺的正確。

第二單元因數和倍數

【例1】從圖中的3個橄欖枝可以讀出：（）和（）是（）的因數，（）

是（）和（）的倍數。

解析：本題考查的知識點有數學的“數形結合”思想和利用因數、倍數知識判斷

誰是誰的因數，誰是誰的倍數。

解答時要先讀懂圖形中隱含的數學信息：每支樹葉5片，3支共有15片樹葉。

這樣就可以得出5X3=15、15+3=5、154-5=3,所以5和3是15的因數，15是

5和3的倍數。

解答：53151535

【例2】小明家有三種塑料桶，分別是5千克裝，10千克裝，2千克裝的。媽媽

計劃買75千克花生油，選（）塑料桶裝能正好把豆油裝完，需這樣的桶（）

個。

解析：本題考查的知識點是判斷一個數是不是另一個數的因數。解答時可以利用

“篩選法”和“排除法”來進行分析和思考。先看5、10和2這三個數哪個數是

75的因數。因為75的個位數字是5,所以排除10和2,所以選用5千克裝的。

又因為75+5=15（個），因此需要15個油桶。

解答：515

【例3】體育課上,30名學生站成一行,按老師口令從左到右報數：L2,3,4,…，

30o

（1）老師先讓所報的數是2的倍數的同學去跑步，參加跑步的有多少人？

（2）余下學生中所報的數是3的倍數的同學進行跳繩訓練，參加跳繩的有多少

人？

（3）兩批同學離開后，再讓余下同學中所報的數是5的倍數的同學去器材室拿

籃球，有幾個人去拿籃球？

（4）現在隊伍里還剩多少人？

解析：本題考查的知識點：找一個數的倍數的方法，能被2、3、5整除的數的特

征。由于數據較多，解答時可以采用“列舉法”先列出1至30數表，再利用排

除法一一篩選來進行解答。

（1）利用自然數中奇偶數的排列規(guī)律直接計算得出；

（2）在余下的奇數中找出3的倍數；

（3）找30以內能被5整除且不能被3整除的奇數；在前三題的基礎上；

（4）通過計算得出。

解答

（1）30+2=15（人）答：參加跑步的有15人。

（2）30以內既能被3整除又是奇數的是：3,9,15,21,270

答：參加跳繩的有5人。

（3）30以內能被5整除不能被3整除，且是奇數的數是：5,250

答：有2個人去拿籃球。

（4）30-15-5-2=8（人）答：現在隊伍里還剩8人。

【例4】學校要把74枝鉛筆和80本練習本平均獎給幾名優(yōu)秀學生，結果鉛筆多

出4枝，練習本少了4本。得獎的同學最多有多少人？

解析：本題考查的知識點是靈活應用最大公因數的求解方法來解決實際問題。

鉛筆74支減去4支，余下的70支是得獎同學人數的整數倍；80本練習本

加上4本，得到84本是得獎同學人數的整數倍；所以得獎同學最多人數是70

和84的最大公因數。

解答：74-4=7080+4=84方法提示：

70=2X5X7人數是鉛筆支數和練習本

84=2X2X3X7本數的最大公因數。

70和84的最大公因數是2X7=14

答：得獎的同學最多有14人。

[例5]一盒棋子共有96個，如果不一次拿出，也不一粒一粒地拿出，但每次

拿出的粒數要相同，最后一次正好拿完。共有幾種拿法？

解析：本題考查的知識點是找一個數的因數的方法。解答時要抓住拿完時又正好

不多不少，說明每次拿出的個數都是96的因數來解答。

解答：96=2X2X2X2X2X3,那么96的因數可以表示為：96=1X96=2X48=3

><32=6X16=4X24=8X12,一共有12個因數，不一次拿出，也不一個個地拿，

96和1這對因數不要，這樣一共有10種拿法。

答：共有10種拿法。

【例6】小船最初在南岸，從南岸駛向北岸，再從北岸駛回南岸，不斷往返。

（1）小船擺渡11次后，船在南岸還是在北岸，為什么？

（2）有人說擺渡100次后，小船在北岸，他的說法對嗎？為什么？

解析：本題考查的知識點是奇數和偶數的特征。解答時，可以采用列舉法列舉出

小船最初在南岸（如下圖），則第一次擺渡后到達北岸，第二次擺渡到達南岸；

第三次到達北岸，第四次南岸，…，這樣在南北岸之間不斷往返。由此發(fā)現，在

擺渡奇數次后，船在北岸，擺渡遇數次后，船在南岸。

北

解答：在擺渡奇數次后，小船在北岸，擺渡遇數次后，小船在南岸。

（1）11為奇數，所以擺渡11次后，小船在北岸；

（2）100為偶數，所以擺渡100次后，小船在南岸。

［例7］在1—100這100個自然數中任取其中的幾個數，要使這幾個數中至少

有一個合數，則至少?。ǎ﹤€數。

解析：本題考查的知識點有100以內的質數、抽屜原理。解答時先用列舉法列舉

出1到100這100個自然數中共有25個質數，其中1既不是質數也不是合數。

在最壞的情況下，拿到這26個非合數之后，只要在拿一個數，必然會出現一個

合數。因此要保證多少取出一個合數，至少取27個數。

解答：27

【例8】幼兒園里有一些小朋友，王老師拿了48顆糖平均分給他們，正好分完。

小朋友的人數可能是多少？

解析：本題考查的知識點是靈活運用一個數的因數的個數來解答簡單的實際問

題。解答時先用“列舉法”列舉出48的因數：1,2,3、4,6,8,12,16,24,

48o

根據題意可以知道，不可能分給1個小朋友，因此可以平均分給2,3,4,

6,8,12,16,24,48個小朋友。

解答：小朋友的人數可能是2,3,4,6,8,12,16,24,480

【例9】仔細觀察填一填。

（12,18,6,14,80,52,74,96）（11,9,23,29,35,49,81,97）

（1）從第一個括號里任意取2個數和是（），從第2個括號里任意取2個數和

是（）。

（2）分別從第1個括號里和第2個括號里各取一個數相加和是（）o

（3）偶數+偶數=（）奇數+奇數=（）偶數+奇數=（）o

解析：本題考查的知識點是用不完全歸納法概括奇數和偶數的運算性質。解答時,

可以按照要求多列舉幾個數求和，然后再進行歸納和概括。

解答：

（1）偶數偶數（2）奇數（3）偶數偶數奇數

【例10】在17的后面添上三個數字，使這個五位數既是偶數，同時又有因數3

和5,這個五位數最大是（）,最小是（）。

解析：本題考查的知識點有偶數、3、5倍數的特征，解答時要利用推理分析以

及排除法來進行解答。首先，寫出來的數是偶數，這個數的個位數字只能是0、

2、4、6、8；其次，這個數有因數5,說明個位數字只能是0或5,這樣可以確

定個位數字只能是0；接著看含有因數3的數：寫出來的這個數的后三位要保證

和是3的倍數，因為1+7=8,所以最大的數的百位上的數是9,十位上的數是7；

最小的數百位上的數是0,十位上的數是1。

解答：1797017010

【例10］

第三單元長方體和正方體

【例1】將一個正方體鋼坯鍛造成長方體，它們的（）。

A.體積相等，表面積不相等B.體積不相等，表面積相等

C.體積和表面積都相等D.表面積相等，體積不相等

解析：本題考查的知識點是數學的“等積變形”思想。解答時要抓住將正方體鋼

坯鍛造成長方體形狀這一基本條件，鍛造就是說形狀要改變，所以表面積一定會

發(fā)生變化，但是體積是不會變化的，因為鋼坯所占空間的大小不變，所以選A。

解答：A

［例2］小華說：“棱長6厘米的正方體，體積和表面積相等?！毙〖t說：“表面

積相等的兩個正方體，體積也一定相等。”他們說的（）o

A.小紅對B.小華對C.都對D.都不對

解析：本題考查的知識點有：不是同類量能否進行比較以及正方體的特征。解答

時，根據表面積、體積的意義：正方體的表面積是指6個面的總面積，正方體的

體積是指題所占空間的大小，表面積和體積不是同類量所以不能進行比較。

正方體的表面積=棱長X棱長X6,正方體的體積=棱長X棱長X棱長，因為

兩個正方體的表面積相等，則每個面的面積相等，也就可以判定棱長相等，所以

體積也相等。

綜合上述分析得出：小華的說法是錯誤的，小紅的說法是正確的。

解答：Ao

［例3］一個棱長為10厘米的正方體容器里裝有5厘米高的水，現在將一塊不

規(guī)則的石塊全部浸沒水中，測得水面上升了2厘米，這塊石塊的體積是（）o

A100cm3B500cm3C200cm3DSOOcm3

解析：本題考查的知識點是利用”等積變形思想”求不規(guī)則物體的體積。根據物

體完全浸沒在水中，上升了的水的體積就是物體的體積，然后利用長方體的體積

公式計算公式：v=abh,把數據代入公式v=10X10X2=100X2=200（立方厘米）

所以選C。

解答：C

【例4】“淘寶之父”馬云新出了兩本大小相同的書，長20厘米、寬12厘米、

厚3厘米，如果將這兩本書包裝在一起，怎樣包裝最省紙？請畫出示意圖，并算

出包裝紙的面積。（接頭處不計）

解析：本題考查的知識點是用“分類討論思想”解答長方體的拼組包裝問題。解

答此題的關鍵是要明白：把長方體的兩個最大面重合時，拼成的長方體最省包裝

紙。

已知長方體的長為20厘米、寬為12厘米、厚3厘米，所以這把這兩個長

方體書的20X12的面相重合，得到的大長方體的表面積最小，比原來兩個長方

體書的表面積減少了2個最大的面，這樣最節(jié)約包裝紙，組成的長方體長20厘

米，寬12厘米，高6厘米，然后再根據表面積的計算方法來解答。

解答：如圖所不：

(20X12+20X6+12X6)X2=432X2=864(平方厘米)

答：包裝紙的面積是864平方厘米。

【例5】把一個長方體切成兩個小長方體，（）切法增加的表面積最大。

解析：本題考查的知識點是利用比較法解答切割長方體時增加的表面積最大問

題。解答時，可以先分別計算出每種切法增加的表面積是多少，然后再比較確定。

根據長方體的切割方法，可知把長方體切割成兩個小長方體，則表面積就增加了

兩個切割面的面積，所以要使表面積增加的最多，則平行于最大面進行切割，則

表面積就會增加兩個最大的面的面積。圖A增加的面積為：3X2X2=12（平方厘

米）、圖B增加的面積為：4X3X2=24（平方厘米）、圖C增加的面積為：4X2

義2=16（平方厘米），24>16>12,所以圖B種切法，增加的表面積最大。

解答：B

【例6】一個長方體，如果高增加3厘米，就成為一個正方體。這時表面積比原

來增加了96平方厘米。原來的長方體的體積是多少立方厘米？

3度去

解析：本題考查的知識點是根據長方體和正方體的關系來計算長方體的體積。一

個長方體如果高增加3厘米，就變成了一個正方體，說明長和寬相等且比高大3

厘米，因此增加的96平方厘米是4個同樣的長方形的面積和（如下圖），這樣得

出長方體的底面周長是96+3=32（厘米），底面邊長是32+4=8（厘米），長方體

的高是8-3=5（厘米），最后再根據長方體的體積公式解答。

32厘米

要點提示：

1

；----I-----|------1-----增加的96平方厘米是一個

I|?I3成木

長是32厘米，寬是3厘米

J?___________?I___________I__________I__I___________I的長方形。

解答：

底面周長：96+3=32（厘米）

底面邊長：32+4=8（厘米）

高：8-3=5（厘米）

體積：8X8X5=320（立方厘米）

答：原來這個長方體的體積是320立方厘米。

【例7】一個長方體玻璃缸，從里面量長40厘米，寬25厘米，缸內水深12厘

米。把一塊石頭浸入水中后，水面升到16厘米，求石塊的體積。

解析：本題考查的知識點是不規(guī)則物體體積的計算，考查方法是用排水法和等積

變形思想計算不規(guī)則物體的體積。

把一塊石頭浸入水中后，水面升到16厘米，要點提示：

水面上升的高度是16厘米T2厘米=4厘米，因為等積變形就是指物體的形

石頭的體積等于玻璃缸內高為4厘米的水的體積，狀發(fā)生變化，體積不變。

然后根據長方體體積計算公式計算出上升的水的

體積，也就是石塊的體積。

解答：40X25X（16-12）=1000X4=4000（立方厘米）

答：石塊的體積是4000立方厘米。

[例8]一根鐵絲能圍成一個棱長是10厘米的正方體框架，如果用這根鐵絲再

圍成一個長方體框架，長是10厘米，寬是9厘米，高是（）厘米。

解析：本題考查的知識點是利用抓“不變量的方法”來計算長方體的高。解答時

要抓住“用這根鐵絲再圍成一個長方體框架”也就是說圍成的長方體和正方體的

棱長和是不變的。因此可以先根據正方體的棱長是10厘米，求出正方體的棱長

和，也就是長方體的棱長和，然后再根據長方體的長是10厘米，寬是9厘米，

求出長方體的高。

解答:10X124-4-10-9=11（厘米）

【例9】一個長方體的長、寬、高都擴大2倍，這個長方體的體積擴大多少倍？

解析：本題考查的知識點是用設數法來解答長方體的體積變化問題。解答時，可

以先設出長方體的長是3厘米、寬是2厘米、高是1厘米，如果長、寬和高都擴

大2倍，則分別為6厘米、4厘米和2厘米，這樣原來長方體的體積是3X2X1=6

（立方厘米）擴大以后的體積是6X4X2=48（立方厘米），所以長方體的體積擴

大了48+6=8倍。

解答：8

【例10】一個長方體，底面是一個周長為12分米的正方形，側面展開后是一個

正方形，這個長方體的體積是（）立方分米。

A144B108C36D216

解析：本題考查的知識點是用圖示法計算長方體的體積。已知長方體底面是一個

周長為12分米的正方形，側面展開后是一個正方形，這說明長方體的高與底面

周長相等，（如下圖）也是12分米；這樣先求出底面邊長，再根據體積公式v=sh,

代入數據計算出長方體的體積：12+4=3（分米）3X3X12=9X12=108（立方分

米）

12分米

解答：B

【例11】和諧村用24n?的沙子鋪一條寬4m的甬路，沙子鋪12cm厚，這條甬路

的長是多少？

解析：本題考查的知識點是利用數學的“等積變形”數學思想解答甬路的長問題。

解答時首先要抓住不變量：24n?的沙子的體積是不變的，改變的是這24n?沙

子的形狀。（如下圖）

問題中，單位不統(tǒng)一，先統(tǒng)一單位，把12cm化成0.12m,接著求出沙子鋪

成甬路后的側面積（如上圖），列式為4X0.12,最后用沙子的體積除以甬路的

側面積就是甬路的長，列式為249（4X0.12）o

解答：12cm=0.12m244-（4X0.12）=50（m）

答：這條甬路的長是50米。

【例12】用36cm長的鐵絲做長方體或正方體框架（不考慮接頭，要正好用完，

棱的長度都取整厘米）。請你寫出幾種不同的做法，并分別求出它們的體積。把

各個長方體的體積與正方體比較，你有什么發(fā)現？由此你得出什么猜想？和同學

交流你的想法。

解析：本題考查的知識點是利用數學的“分類討論思想”、歸納、猜想思維解決

數學問題。

解答時，先根據長方體的棱長總和=（長+寬+高）X4,用棱長總和除以4

求出長、寬、高的和，進而確定出、寬、高，接著根據長方體的體積公式：v=abh,

求出長方體的體積。

因為正方體的12條棱的長度都相等，用36除以12求出正方體的棱長，根

據正方體的體積公式：v=a3,求出正方體的體積，然后進行比較即可。

解答：

長、寬、高的和：364-4=9（厘米）

長7厘米、寬1厘米、高1厘米，體積是7X1X1=7（立方厘米）

長6厘米、寬2厘米、高1厘米，體積是6X2X1=12（立方厘米）

長5厘米、寬2厘米、高2厘米，體積是5X2X2=20（立方厘米）

長5厘米、寬3厘米、高1厘米，體積是5X3X1=15（立方厘米）

正方體的棱長：364-12=3（厘米）

正方體的體積：3X3X3=27（立方厘米）

7<2712<2720<2715<27

當長方體和正方體的棱長總和相等時，正方體的體積大于長方體的體積。

【例13】兩個正方體，拼成一個長方體，在拼成的過程中它們的表面積減少了

72平方厘米，求這個長方體的體積。

解析：本題考查的知識點是正方體的體積的計算，解答時可以利用圖示法畫出示

意圖來分析幫助解答。

把兩個正方體，拼成一個長方體，有兩個面重合在一起，表面積減少的72

平方厘米，就是正方體的兩個面的面積(如下圖)，由此可以一個面的面積，再根

據正方形的面積公式：s=a2,即可求出邊長(也就是正方體的棱長)，最后根據

正方體的體積公式：v=a'求出一個正方體的體積再乘2。

解答：正方體每個面的面積：724-2=36(平方厘米)

因為6的平方是36,所以正方體的棱長是6厘米

6X6X6X2=216X2=432(立方厘米)

答：這個長方體的體積是432立方厘米。

【例14】在括號里填上適當的數。

(1)4.5立方米=()立方米()立方分米(2)250毫升=()升

(3)650立方分米=()立方米(4)2.4升=()毫升

解析：本題考查的知識點是單位的化聚，解答時要利用數學的轉化法來進行分析

和解答。

(1)4.5立方米是復名數，含有兩個不同類計量單位。整數部分的4立方米是

不需進行轉化的，直接寫在立方米前面的括號里，只需要把0.5立方米轉化為立

方分米即可，0.5立方米=500立方分米。

(2)250毫升=?升，這是低級單位數化高級單位數，轉化時，用250直接除

以進率1000,也就是把小數點向左移動三位。

(3)650立方分米=?立方米，這是低級單位數化高級單位數，轉化時，用650

直接除以進率1000,也就是把小數點向左移動三位。

(4)2.4升=?毫升，這是高級單位數轉化為低級單位數，轉化時，用2.4直接

乘進率1000,也就是把小數點向右移動三位。

解答：

4.5立方米=(4)立方米(500)立方分米250毫升=(0.25)升

650立方分米=(0.65)立方米2.4升=(2400)毫升

第四單元分數的意義和性質

【例1】一根繩子第一次剪去|,第二次剪去:米，兩次減去的繩子相比()

A第一次長B第二次長C同樣長D三種情況都有可能

解析：本題考查的知識點是用分數表示數量和分率時的比較與區(qū)別。解答時，先

將這根繩子當作單位“1”，第一次剪去士，則還剩即無論第

二次剪去多長，都不如第一次剪去的多。解答此題的關鍵是利用剪去的與剩下的

占全部的分率進行比較即可，也就是說，第二次剪去的米數為多余條件。

解答：A

【例2】圖中陰影部分的面積占整個圖形面積的（）

解析：本題考查的知識點是利用數學的“數形結合思想”和“份數法”來解答分

數問題。

從圖中讀出把單位“1”平均分成了7份，前面的4份中取了2份，后面的

陰影部分是把剩下的3個小長方形平分，即后面的陰影部分是1.5份，這樣陰影

部分一共是3.5份，3.5份是7份的一半。所以選A。

解答時，搞清楚把單位“1”（大長方形）平均分成幾份，取了幾份是關鍵。

解答：A

【例3】用分數表示陰影部分。

解析：本題考查的知識點是利用數學結合思想和“拼組法”解答看圖寫分數

問題。解答時，陰影部分不是標準的規(guī)則圖形，需要用“拼組法”把它轉化為規(guī)

則

三角形來解答，也就是說可以把圖中空白梯形換成涂色梯形，這樣可以得出

陰影部分占整個長方形的一半；或者把空吧三角形換成陰影三角形，也可以得出

同樣的結論。

解答：

【例4】化簡一個分數時，分子、分母同時除以2次3,分子、分母又同時除以

一次4得,，這個分數化簡前是多少？

4

解析：本題考查的知識點是用“還原法”或“逆推法”來解答分數的約分問題。

解答時，先從最簡分數,開始思考，讓’的分子和分母分別乘約分的1次4和2

44

次3,就可以求出化簡前的分數。

解號.I_lx（3x3x4）,36

口44x（3x3x4）144

【例5】一個分數，分母比分子大15,它的分數值是這個分數是多少？

8

解析：本題考查的知識點是用''抓不變量”的方法，利用份數知識解答分數問題。

解答時，先求出分子和分母的份數差8-3=5,然后用數量差15除以份數差154-

（8-3）=3就是一份量；接著用還原法或逆推法計算出原來分數的值：

3_3x3_9

8~8^3-24

解答：154-(8-3)=3-=^=—

88x324

Q

答：這個分數是2。

24

【例6】食品店運來一些面包，如果每2個裝一袋、每3個裝一袋、每5個裝一

袋，都能正好裝完，這些面包至少有多少個？

解析：本題考查的知識點是2、3、5的倍數的特征和求2、3、5的最小公倍數。

解答時，可以直接求出2、3、5三個數的最小公倍數，這個最小公倍數就是面包

的最少個數。

解答：2、3、5的最小公倍數是30,所以這些面包至少有30個。

【例7】a、b是相鄰的兩個偶數(a、b均不為0),a和b的最大公因數是()。

AabB2Ca+bDab2

解析：本題考查的知識點是用“簡單枚舉法”來歸納、概括兩個相鄰非0偶數的

最大公因數。

因為a、b是兩個相鄰的非零偶數，即兩數相差2,如：2和4,它們的最

大公因數是2；4和6,它們的最大公因數是2；再如10和12的最大公因數還是

2,……，所以a、b的最大公因數是2。

[例8]求12和18的最大公因數和最小公倍數。

解析：本題考查的知識點是求最大公因數和最小公倍數的方法。求最大公因數和

最小公倍數的方法有列舉法、短除法、分解質因數法、篩選法等。

一般情況下，兩個數較小時，用列舉法就可以很快求出最大公因數和最小公

倍數；而兩個數較大時，用短除法比較簡單。用短除法求最大公因數時，只需把

所有的除數相乘；而求最小公倍數時，需要把除數和商都相乘。

當兩個數只有公因數1時，直接就可得出最大公因數和最小公倍數，最大

公因數是1,最小公倍數是這兩個數的積；當兩個數成倍數關系時，最大公因數

就是較小的數，最小公倍數就是較大的數。顯然12和18不屬于這兩種情況，可

以用上面介紹的方法求出答案。

解答：

方法一篩選法。

(1)12的因數有1,2,3,4,6,12o

12的因數中是18的因數的有1,2,3,6o

12和18的最大公因數是6。

(2)18的倍數有18,36,54,72,…

18的倍數中是12的倍數的有36,72,…

12和18的最小公倍數是36o

方法二列舉法。

(1)12和18的最大公因數是6。

(2)12和18的最小公倍數是36O

方法三分解質因數法。

12=2X2X318=2X3X3

12和18的最大公因數：2X3=6；最小公倍數：2X3X2X3=36。

方法四短除法。

6|1218

23

12和18的最大公因數：6；最小公倍數：6X2X3=36。

【例9】大雪后的一天，佳美和爸爸從同一點出發(fā)沿同一方向分別步測一個圓形

花圃的周長。佳美每步長約72厘米，爸爸每步長約90厘米，由于兩個人的腳印

有重合，所以雪地上只留下80個腳印。請問：這個花圃的周長約多少米？

解析：本題考查的知識點是利用“枚舉法”求兩個數的最小公倍數解決問題。

解答時，先求出72和90的最小公倍數是360,也就是說他們倆每走360厘

米就有一個腳印重合。因為：佳美走一步是72厘米，二步是144厘米，三步是

216厘米，四步是288厘米，五步是360厘米。爸爸走一步是90厘米，二步是

180厘米，三步是270厘米，四步是360厘米。他們兩每走360厘米就有8個腳

印。

解答：360X(804-8)=3600(厘米)=36米

答：這個花圃的周長是36米。

【例10】分數占的分子和分母同時加上一個數后，約分得：，分子和分母同時

加上的數是多少？

解析：本題考查的知識點是利用抓不變量的方法解答分數的約分問題。分數卷的

分子和分母同時加上一個相同的數，說明分子和分母的差不變，還是13-5=8；

又由于新分數約分后是則現在的分子和分母的差從8到1,可以知道分子和

2

分母都縮小到了原來的1,也就是將’的分子和分母同時擴大到原來的8倍，分

82

子和分母的差才是8,這樣，，的分子和分母同時擴大到原來的8倍是芻，

216

8-5=3,16-13=3,所以同時加上的數是3o

解答：(13-5)4-(2-1)-5=3

答：時加上的這個數是3。

【例11］在下圖的方框中填上適當的數，直線的上面填假分數，直線的下面填

帶分數。

1□□

°IIIII1IIInII2InIIII3I.

解析：本題考查的知識點是利用對應法和數形結合思想解答填寫直線上的數問

題。

解答時，明確線段圖中每一小格代表多少、單位“1”被平均分成了多少份,

要填寫的方框中的數在哪兩個整數之間是解答此類問題的關鍵，最后根據上面的

判斷再填寫出正確的結果。

解答：

9圖S

IIIIIIIIII

12S

2

-11

74和§按照從小到大的順序排列。

【例12】把0.29、0.3、

解析：本題考查的知識點有利用數學的轉化思想把分數化成小數從而比較數的大

小。

解答時，先把分數化成小數，然后通過比較小數的大小，再比較出原來給

出的數的大小。

解答：

211

0.29=0.290.3=0.3-^0.2857>上=0.25、-?^0.33

743

因為:0.25V0.2857Vo.29Vo.3Vo.33

I91

所以，一V—VO.29Vo.3V—

473

【例13］填一填。

曳===()-12=上=二==

⑴24()48()()4

3〈〉〈〉1

(2)5><>><>>2

解析：本題考查的知識點根據分數的基本性質，利用數學的轉化思想來解答分數

變形問題。

(1)根據分數的基本性質和分數與除法的關系來進行填空。填空時注意，抓住

分數的值不變這一基本條件，變化的是分數的分子和分母。

(2)先通分，把3和L化成色和W,這兩個分數之間寫不出分母是10的分數,

521010

接著根據分數的基本性質，把色和W轉化為分母是20的分數為U和12,這

10102020

兩個分數之間只能寫出分母是20的一個分數是口；要求寫出兩個，繼續(xù)根據分

20

數的基本性質，轉化為分母是30的分數為史和竺，這樣可以寫出兩個分母是

3030

30的分數，分別為丑和生

3030

解答：

(1)436916963

【例14】一個分數（a和b都是自然數），已知5VaV9,lVbV3,這個分數

a

可能是哪些分數？

解析：本題考查的知識點有分類討論思想和組合法。解答時，先分情況看分母可

能取哪些整數，再看分子肯能取哪些整數，最后再確定這個分數是多少。

因為a和b都是自然數，且5VaV9,所以分母可能是6、7或8,分子只能是

2,分數可能是2:、士2或2

678

解答：這個分數可能是白7、士?或?

678

【例15】一瓶水，亮亮喝了一半，媽媽喝了剩下的一半，他們喝的同樣多嗎？

解析：本題考查的知識點是不同的單位“1”的工。解答時為了區(qū)分和比較亮亮

2

喝的一半和媽媽喝的一半的不同，可以采取圖示法來理解（如下圖）。

解答：亮亮喝的多。

【例16】比較*和3的大小

87

解析：本題考查的知識點是異分母分數的大小比較，解答時可以用通分的方法比

較分數的大?。贿€可以結合分數與;的大小比較（找中間數比較的方法）、以及

化成分子相同的數的方法來比較分數的大小。

解答：

方法一：方法提示：

5353_243524

因為，-=—通分的方法

8567-56'5656

所以5上3。

87

方法二：

方法提示：

因為，->—2<1

8272找中間數的方法

53

所以，->-

87

方法三：方法提示：

31515、15

因為,-=——=—,——>—化成相同的分子的方

8247352435法

53

所以，->-

87

第五單元圖形的運動（三）

【例1】圖形繞A點順時針旋轉90"后的圖形是（）0

A用

解析：本題考查的知識點是圖形的旋轉。解答時，要抓住與點A相連的兩條邊的

變化情況，根據這些邊順時針旋轉90"后的形狀和位置來確定答案。

圖形繞A點順時針旋轉90。后，上邊的邊長為3個單位的長邊旋轉成和左邊

2個單位的短邊成垂直位置，2個單位的邊在上，3個單位的邊在右的。所以選Bo

解答：B

【例2】觀察圖形，給風車的風葉涂上相應的顏色。

逆時針

旋轉M

解析：本題考查的知識點是利用對應法結合旋轉知識解答風車涂色問題。解答時,

根據旋轉的角度、旋轉中心和旋轉方向這三個要素，找到各風葉對應的圖形，然

后涂上顏色。

要注意最后一個圖形是在原圖形按順時針旋轉90°的基礎上，再按逆時針

旋轉了180°而得到的。

解答:

【例3】將下列圖形繞著各自的中心點旋轉120°后，不能與原來的圖形重合的

是（）。

B.△

D-O

解析：本題考查的知識點是圖形的旋轉，解答時要抓住繞中心點旋轉120°這一

不變的條件。

根據圓的特征，繞圓心旋轉任何度數都能與原圖重合；等邊三角形每兩個

相鄰頂點與三條高的交點的夾角都是120°,繞三條高的交點旋轉120°能與原

圖重合；五角星兩個相鄰頂點與外接圓圓心的夾角是360+5=72°,它繞這點旋

轉72°或是72。的整數倍時才能與原圖重合；正六邊形兩個相鄰頂點與外接圓

圓心的夾角是360+6=60°,它繞這點旋轉120°后能與原圖重合。

解答：c

【例4】請你用圖（1）的四塊拼板，在圖（2）中拼出圖（3）,并說一說你的操

作過程。

圖⑴圖(2)圖(3)

解析：本題考查的知識點是利用旋轉知識解決拼圖問題。解答時要抓住繞哪個點

旋轉多少度放在圖（2）的什么位置。

解答：將圖（1）中左上角的一塊繞某一點順時針旋轉90°拼在圖（2）的左上

角；將圖（1）中右上角的一塊繞某一點按逆時針旋轉90°拼在圖（2）的左下

角；將圖（1）中左下角的一塊繞某一點順時針（或逆時針）旋轉180°拼在圖

（2）的右下角；最后將圖（1）中右下角的一塊繞某一點逆時針旋轉90°拼在

圖（2）的右上角。

【例5］下面左圖的七巧板是如何平移或旋轉得到右圖的？

解析：本題考查的知識點是利用圖形的變換解決實際問題。解答時要判斷和確定

圖形向什么方向（沿水平方向、豎直方向）平移幾個單位；繞哪個點，順時針還

是逆時針，旋轉多少度（90度、180度、270度）。

（1）先找出左、右圖中圖形位置沒有變化和旋轉的圖形，通過觀察發(fā)現：圖1、

2、4、6的位置沒變，位置變化和旋轉的是圖形是3、5、7。

（2）接著判斷和確定位置變化的圖形是如何變化的，對比左右圖會發(fā)現：圖3

先向右平移2格然后再向上平移6格；圖5先向上平移6格后再以直角頂點為中

心逆時針方向旋轉180度；圖7先已直角頂點為中心順時針旋轉45度后再向上

8格。

解答：左圖中的圖3先向右平移2格然后再向上平移6格；圖5先向上平移6

格后再向左旋轉180度；圖7先順時針旋轉45度后再向上8格；圖1、2、4、6

位置不變就得到右圖。

第六單元分數的加法和減法

【例1】看圖填空。

①+囚包+*)=*)山一_n+口曲口=口曲口+□曲口=?曲口?

;+*=()+()=()y+|=()+()=()

解析：本題考查的知識點是利用數學的“數形結合和轉化思想”進行異分母分數

加減法。解答時，先通分，化成分母相同的分數，然后再利用同分母分數加法的

法則進行計算。

解答.LL3+-

,2366639999

【例2】一塊蛋糕，小紅第一天吃了一半，第二天吃了剩下的一半，第三天又吃

了剩下的一半，則小紅三天共吃了這塊蛋糕的（）。

解析：本題考查的知識點是利用對不同的單位“1”的理解來解答分數問題。解

答時，要利用“轉化法”先統(tǒng)一單位“1”。抓住每次吃掉的一半的單位“1”不

同是解答此題的關鍵。

第一天吃的一半是這個蛋糕的一半，也就是單位“1”的,，第二天吃了

2

剩下的一半，也就是剩下的i-'=_L的一半，即單位“1”的L；第三條吃了剩

224

下的一半，即的一半，也就是單位“1"的工；這樣3天一共吃了這

2448

塊蛋糕的L+L+'=N即l--o

24888

解答:D

【例3］在計算』+」+_L+」+_L+_L中，必須去掉（）,才能使余下的分數之

24681012

和為lo

11111111

A.2jffl4B.k和1C,1和記D.10和12

解析：本題考查的知識點是異分母分數的加法，采用的方法是“排除法”。

仔細觀察算式發(fā)現：,和,，這幾個分數的分母是倍數關系，它

24612

們相加時，L+,+L+_L和為1,所以選C。

24612

解答:C

【例4】西西喝一瓶飲料，第一次喝了一半后加滿水，第二次喝了之后加滿水，

4

第三次一飲而盡，西西喝的水多還是飲料多？為什么？

解析：本題考查的知識點是用比較法來比較水和飲料的多少，解答時先抓住不變

的量，西西一共喝了一瓶飲料；西西第一次喝了一半后加滿水，第二次喝了3后

4

加滿水，第三次一飲而盡，說明西西一共喝了上1+23=25（杯）水，51>1,所以

2444

喝的水多。

解答：西西喝的水多。

因為：西西先后一共喝了一杯飲料；水一共喝了：244（杯）

->1,所以喝的水多。

4

【例5】在每組括號里填上不同的數，使等式成立。

111111

-------------------=------+------

(1)10()()(2)16()()

解析：本題考查的知識點是用分情況討論的方法、類推的方法以及分數的基本性

質、約分等知識來解答分數變形問題。解答時，抓住把一個分子為1的分數寫成

兩個分子是1的分數的和這一基本特征來進行轉化。

（1）把,寫成兩個分子為1的分數和，可以先根據分數的基本性質，把L變

1010

形為二或上或&……，從分母是20的分數開始分析：要把已寫成兩個分子

20304020

是1的分數和，可以寫成工+工，但是要求寫出的數是不同的數，不符合題意;

2020

3921

從分母是30的分數開始分析，上可以寫成1工+上，上約分后是士，符合條件

3030303015

的數可以是-5-=，+,；同理，按此方法還可以寫出等等。

10