中山市重點(diǎn)名校2017-2018學(xué)年高二下學(xué)期期末監(jiān)測數(shù)學(xué)試題

中山市重點(diǎn)名校2017-2018學(xué)年高二下學(xué)期期末監(jiān)測數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共12小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.在滿分為15分的中招信息技術(shù)考試中，初三學(xué)生的分?jǐn)?shù)尤~N(H,22),若某班共有54名學(xué)生，則這

個(gè)班的學(xué)生該科考試中13分以上的人數(shù)大約為()

(附：P(〃—cr<X<〃+cr)=0.68)

A.6B.7C.9D.10

【答案】C

【解析】

【分析】

【詳解】

分析：現(xiàn)利用正態(tài)分布的意義和2b原則結(jié)合正態(tài)分布曲線的對稱性，計(jì)算大于13的概率，即可求解得到

其人數(shù).

詳解：因?yàn)槠渲袛?shù)學(xué)考試成績X服從XN(11,22)正態(tài)分布，

因?yàn)槭?〃一cr<XK〃+cr)=0.6827,即P(ll—2<X<H+2)=0.6827

根據(jù)正態(tài)分布圖象的對稱性，可得P(X211+2)=J=0.15865,

所以這個(gè)班級中數(shù)學(xué)考試成績在13分以上的人數(shù)大約為54x0.15865。9人，故選C.

點(diǎn)睛：本題主要考查了隨機(jī)變量的概率分布中正態(tài)分布的意義和應(yīng)用，其中熟記正態(tài)分布圖象的對稱性是

解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想方法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2.設(shè)集合A={1,2,3,4},5={—1,0,2,3},C={x^R\-l<x<2\,則(AB)C=

A.{-1,1}B.{0,1}

C.{-1,0,1}D.{2,3,4}

【答案】C

【解析】

分析：由題意首先進(jìn)行并集運(yùn)算，然后進(jìn)行交集運(yùn)算即可求得最終結(jié)果.

詳解：由并集的定義可得：AoB={-1,0,1,2,3,4},

結(jié)合交集的定義可知：{—1,0,1}.

本題選擇C選項(xiàng).

點(diǎn)睛：本題主要考查并集運(yùn)算、交集運(yùn)算等知識，意在考查學(xué)生的計(jì)算求解能力.

3.已知隨機(jī)變量X的取值為L2,3,若P(X=3)=LE(X)=-,則。(X)=()

【答案】C

【解析】

【分析】

設(shè)p(x=l)="，P(X=2)=q,則由P(X=3)=L,E(X)=3,列出方程組，求出。，q,即可求

63

得。(X).

【詳解】

設(shè)p(x=l)=。，P(X=2)=q,

E(X)=p+2q+3x-=------①，

63

又-+p+q=l-----②

6

由①②得，P=3,q=1,

D(X)=-(I--)2+-(2--)2+-(3--)2=-

2333639

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查離散型隨機(jī)變量的方差的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法等基礎(chǔ)知識，考

查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.

4.復(fù)數(shù)2=匕電在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于()

l+3z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則化簡，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義即可求出.

【詳解】

7-4z(7—4,)(1—3，)—5—25715.7-4z

2=g=一丁7,所以在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)2=^”對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是

l+3z=：(l+3z)(l-3z)1022l+3z

2，-2,位于第三象限，故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則的應(yīng)用，以及復(fù)數(shù)的幾何意義.

5.期末考試結(jié)束后，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)預(yù)測數(shù)學(xué)成績

甲：我不能及格.

乙：丁肯定能及格.

丙：我們四人都能及格.

?。阂俏夷芗案?，大家都能及格.

成績公布后，四人中恰有一人的預(yù)測是錯(cuò)誤的，則預(yù)測錯(cuò)誤的同學(xué)是()

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】A

【解析】分析：若甲預(yù)測正確，顯然導(dǎo)出矛盾.

詳解：若甲預(yù)測正確，則乙，丙，丁都正確，乙：丁肯定能及格.

丙：我們四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.，即四人都及格顯然矛盾，

故甲預(yù)測錯(cuò)誤.

故選A.

點(diǎn)睛：本題考查推理與論證，根據(jù)已知分別假設(shè)得出矛盾進(jìn)而得出是解題關(guān)鍵.

6.已知函數(shù)/(x)=ksinx+2x+l(keH),當(dāng)左?(一?,-2)(2,收)時(shí)，/(X)在(0,2乃)內(nèi)的極值點(diǎn)的

個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】

22

求導(dǎo)令導(dǎo)函數(shù)等于0,得出cosx=——，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)=cosx,(0,2p),h(x)=——，

kX

xw(—8,—2)。(2,+8)的交點(diǎn)問題，畫出圖象即可判斷.

【詳解】

2

令/(%)=丘05%+2=。得出85*=——

k

2

令函數(shù)g(無)=cosx,(0,2p),h(x)=——,XW(T?,-2)D(2,+8)

它們的圖象如下圖所示

2

由圖可知，函數(shù)g(X)=COSX,(0,4>),h(x)=——，X€(—00,-2)。(2,+8)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則/(X)

在(0,2。)內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè)

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了求函數(shù)零點(diǎn)或方程的根的個(gè)數(shù)，屬于中檔題.

7.設(shè)隨機(jī)變量X?N(u,。2)且「低<1)=1,P(X>2)=p,則P(O<X<1)的值為()

2

11

A.—pB.1—pC.1—2pD.——p

22

【答案】D

【解析】

【分析】

由P(X<l)=g,得正態(tài)分布概率密度曲線關(guān)于〃=1對稱，又由P(X>2)=。，根據(jù)對稱性，可得

P(X<0)=p,進(jìn)而可得P(O<X<1)=；—p,即可求解.

【詳解】

由隨機(jī)變量xN(A，b),可知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，其中x=〃是圖象的對稱軸，

又由P(X<1)=L,所以〃=1,

2

又因?yàn)镻(X>2)=p,根據(jù)正態(tài)分布概率密度曲線的對稱性，可得尸(X<0)=p,

所以P(0<X<l)=g—p,故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正態(tài)分布曲線性質(zhì)的簡單應(yīng)用，其中熟記正態(tài)分布概率密度曲線的對稱性，合理推算是解

答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖1和圖2所示.為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，

用分層抽樣的方法抽取4%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為()

A.400,40B.200,10C,400,80D.200,20

【答案】A

【解析】

【分析】

由扇形圖能得到總數(shù)，利用抽樣比較能求出樣本容量；由分層抽樣和條形圖能求出抽取的高中生近視人數(shù).

【詳解】

用分層抽樣的方法抽取4%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，

樣本容量為：(3500+4500+2000)*4%=400,

抽取的高中生近視人數(shù)為：2000x4%x50%=40,

故選A.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)概率統(tǒng)計(jì)的問題，涉及到的知識點(diǎn)有扇形圖與條形圖的應(yīng)用，以及分層抽樣的性質(zhì)，注

意對基礎(chǔ)知識的靈活應(yīng)用，屬于簡單題目.

*T<0

9.已知函數(shù)/'(X)=J,則/⑵=()

/(%-3),%>0

11

A.32B.-C.16D.——

232

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)自變量符合的范圍代入對應(yīng)的解析式即可求得結(jié)果.

【詳解】

/(2)=/(2-3)=/(-1)=2-*=1

本題正確選項(xiàng)：B

【點(diǎn)睛】

本題考查分段函數(shù)函數(shù)值的求解問題，屬于基礎(chǔ)題.

10.荷花池中，有一只青蛙在成“品”字形的三片荷葉上跳來跳去(每次跳躍時(shí)，均從一片荷葉跳到另一片

荷葉)，而且逆時(shí)針方向跳的概率是順時(shí)針方向跳的概率的兩倍，如圖所示.假設(shè)現(xiàn)在青蛙在A荷葉上，則

跳三次之后停在A荷葉上的概率是()

【答案】c

【解析】

【分析】

根據(jù)條件先求出逆時(shí)針和順時(shí)針跳的概率，然后根據(jù)跳3次回到A,則應(yīng)滿足3次逆時(shí)針或者3次順時(shí)針,

根據(jù)概率公式即可得到結(jié)論.

【詳解】

設(shè)按照順時(shí)針跳的概率為P，則逆時(shí)針方向跳的概率為2p,則p+2P=3p=l,

11?

解得P=-,即按照順時(shí)針跳的概率為-，則逆時(shí)針方向跳的概率為一，

333

若青蛙在A葉上，則跳3次之后停在A葉上，

則滿足3次逆時(shí)針或者3次順時(shí)針，

222g

①若先按逆時(shí)針開始從A1B,則對應(yīng)的概率為—x—x—=一,

33327

②若先按順時(shí)針開始從A9C,則對應(yīng)的概率為』x'X'=」-,

33327

則概率為§+'=2」，

2727273

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬于基礎(chǔ)題.

11.設(shè)實(shí)數(shù)。>匕>0,。>0,則下列不等式二定正碩的是（）

A.0<-<1B.ca>Cb

b

C.ac-bc<0D.In—>0

b

【答案】D

【解析】

【分析】

對4個(gè)選項(xiàng)分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：由于a>b>0,—>1,A錯(cuò)；

b

當(dāng)O<C<1時(shí)，Ca<Cb;當(dāng)C=1時(shí)，Ca=Cb;當(dāng)C>1時(shí)，Ca>Cb,故ca>cb不一定正確，B錯(cuò)；

a>b>0,c>0,故ac-bc>0,C錯(cuò).

In—>Ini=0,D對；

b

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查不等式的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題.

12.已知正項(xiàng)等差數(shù)列｛%｝滿足：/<+?！癬1=/25?2）,等比數(shù)列｛2｝滿足:bn+1-bn_^2bn（n>2）,

則1082（。2018+62018）=（）

A.T或2B.0或2C.2D.1

【答案】C

【解析】

分析：根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，結(jié)合等差和等比數(shù)列的定義和性質(zhì)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到結(jié)論.

詳解：由%+1+%_]=%2("之2),得*=4+]+%],

???｛風(fēng)｝是正項(xiàng)等差數(shù)列，

an~an+l+an-l=2?！?，

.?.a,=2,(n>2),bn+x-bn_x-2bn=0(n>2),bn+i-bn_x=2^(n>2),

?.?也｝是等比數(shù)列，，bn+l-%=b：=2“〃22),??也=2,(n>2),

4

則log，an+b,)=log/2+2)="24=2,即log2(陶^+%i8)=

故選：D.

點(diǎn)睛：本題主要考查對數(shù)的基本運(yùn)算，根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決本題

的關(guān)鍵.

二、填空題：本題共4小題

13.已知〃=「3公，則的展開式中常數(shù)項(xiàng)為

【答案】-32

【解析】

4rr

n=尸質(zhì)=不4|；=4,二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為心=C；x-(-^)=(一2)「C：x「叱

43

令4—3廠=0,則r=3,展開式中常數(shù)項(xiàng)為(一2)3。；=-8x4=-32.

故答案為-32.

點(diǎn)睛：求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略：

(1)求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第廠+1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出廠值即可.

(2)已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第廠+1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出廠

值，最后求出其參數(shù).

42

14.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3++“2=與2(〃〉1),在第二步證明從〃=左到〃=左+1成立時(shí)，左

邊增加的項(xiàng)數(shù)是項(xiàng).

【答案】2k+l

【解析】

【分析】

根據(jù)等式1+2+3++/="；〃一(“〉1)時(shí),考慮〃=左和〃=攵+1時(shí)，等式左邊的項(xiàng)，再把〃=攵+1

時(shí)等式的左端減去〃=左時(shí)等式的左端，即可得到答案.

【詳解】

解：當(dāng)”=左時(shí)，等式左端=1+2++左之，

當(dāng)〃=左+1時(shí)，等式左端=1+2++G+儼+1)+(/+2)+,2+3)++(左+1)2,

所以增加的項(xiàng)數(shù)為：伏+1)2-/=2k+1

即增加了2左+1項(xiàng).

故答案為：2左+1.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的問題，解答的關(guān)鍵是明白等式左邊項(xiàng)的特點(diǎn)，再把〃=左+1時(shí)等式的左端減去

“=左時(shí)等式的左端，屬于基礎(chǔ)題.

15.設(shè)4~N(5,22),則尸(3＜。＜7)=

【答案】0.6826

【解析】

由正態(tài)分布中三個(gè)特殊區(qū)間上的概率知尸(〃—b<X<〃+。)=0.6826,

P(3<X<7)=P(5-2<X<5+2)=0.6826.

答案：0.6826

16.某籃球運(yùn)動員在三分線投球的命中率是,,他投球10次，恰好投進(jìn)3個(gè)球的概率為

.(用數(shù)值

2

作答「

【答案】黑

128

【解析】

【分析】

直接運(yùn)用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)九次，有人次發(fā)生的事件的概率公式進(jìn)行求解.

【詳解】

投球10次，恰好投進(jìn)3個(gè)球的概率為5審=備故答案為尋

【點(diǎn)睛】

本題考查了獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)”次，有上次發(fā)生的事件的概率公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.已知％=會是函數(shù)/(%)=/“sinox-cosox((y>0)的一條對稱軸，且/(%)的最小正周期為萬.

(1)求，〃值和/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)設(shè)角A,5c為AABC的三個(gè)內(nèi)角，對應(yīng)邊分別為a/,c,若/⑻=2,b=6求1■的取

值范圍.

【答案】(1)m=6,左乃一￡,左乃+￡(2)

L63JL2J

【解析】

【分析】

(1)由三角函數(shù)的輔助角公式，得/(力=府Wsin(ox—夕)，求得。=2,又由Xo=g為對稱軸，

求得夕=—左乃+工，進(jìn)而得到則工=tane=Wnm=6,得出函數(shù)的解析式，即可求解函數(shù)的單調(diào)

6m5/3

遞增區(qū)間；

(2)由(1)和/(5)=2,求得8=3,在利用正弦定理，化簡得a—T=6sin]A—看],利用角A的

范圍，即可求解答案.

【詳解】

(1)f(x)=msmcox-coscox=y/m2+lsin(^cox-(p^,所以T=[=?nG=2.

TTTTTTTC

因?yàn)椋=—為對稱軸，所以2x——(p=kn+—，即0=一左〃+—，

3326

則工=tane=[r,則相=百，所以〃x)=6sin2x-cos2x=2sin[2x-f.

TTTTTTTTTC

令2k7t<2x---<2k7iH——nk7i<x<k7i-\——eZ),

26263

jrjr

所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k7U--,k7L+-(左eZ).

(2)/(3)=2sin25—J=2,所以28—工=工，則6=工，

<6J623

hnc

由正弦定理得2R=「；=2=「=「；，R為A6C外接圓半徑，

siansinAsinC

所以〃一￡二2sinA-sinA+—=—sinA----cosA—^3sinA--,

2V3J22v6J

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，以及正弦定理的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)題設(shè)條件求解函數(shù)的解析式,

熟記三角函數(shù)的恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔

試題.

is.已知函數(shù)/(%)=|2x—3|+k+1.

（1）解不等式/（無）＜9；

⑵設(shè)/心）=田—a|+|3x+3],若對任意存在々eR,使得力（%）=成立，求。的取

值范圍.

I111

【答案】（1）%￡-py;(2)I-co,--——,+oo

2

【解析】

【分析】

⑴令g（x）=|2x-3|+|x+l|-9,通過零點(diǎn)分段法可得g（x）解析式，進(jìn)而將不等式變?yōu)間（x）＜0,

在每一段上分別構(gòu)造不等式即可求得結(jié)果;

（2）將問題轉(zhuǎn)化為/《X）的值域是"％）值域的子集的問題；利用零點(diǎn)分段法可確定/（九）解析式，進(jìn)而

得到/（%）值域；利用絕對值三角不等式可求得從九）的最小值，由此可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.

【詳解】

3x—11,x>一

2

(1)令g(x)=|2x-3|+|x+l/9=<-x-5,-l<x<—,

2

—3x—7,x<—1

3x-ll<0-x-5<0

f-3x-7<0711

由g（x）＜0得：得＜

3或<13或<x<-l，解得:——<x<—>

X>一-1<%<—33

22

711

即不等式/'（可＜9的解集為一不丁

⑵對任意都有使得〃（玉卜/卜）成立，則外力的值域是/（九）值域的子集.

3x—2,%>一

2

，二/（X）值域?yàn)閨■，+

/(x)=|2x-3|+|x+l|=<-x+4,-l<x<-

2

—3x+2,%<—1

/2(x)=|3x-a|+|3x+3|>|3x-?-3x-3|=|a+3|,

I?+3l>—,解得：a>—或a<---,即。的取值范圍為1―00,—："—,+00|.

112222jL2）

【點(diǎn)睛】

本題考查絕對值不等式的求解、與絕對值不等式有關(guān)的恒成立和能成立問題的求解，涉及到零點(diǎn)分段法和

絕對值三角不等式的應(yīng)用；關(guān)鍵是能夠?qū)⒑?、能成立問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的值域之間的關(guān)系，進(jìn)而通過最值

確定不等式.

19.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，過點(diǎn)_作圓0=y立a的切線，則切線的極坐標(biāo)方

（2、充）

程是.

【答案】pCosO=2

【解析】

分析：由圓）=二一、化為、.二+產(chǎn)—由極坐標(biāo)系中，點(diǎn)_，求出其直角坐標(biāo)，可求過點(diǎn)

（2、藥）

4（2,2）的圓N+產(chǎn)―=0的切線極坐標(biāo)方程。

詳解：?圓p=4sm8,；.p:=ipsind,：.x2+y;-4y=0,

???極坐標(biāo)系中，點(diǎn)_,_._

2、②;x=2\>2-cos=2,y=2y/2sin^=2,vA（2,2）

在X。—4j=0上'產(chǎn)-4j=0的圓心Br0,2

二J=言=。，

???過點(diǎn)/（2,2）的圓產(chǎn)+M_4丁=0的切線方程為：（=。?

即pcos。=2.

故答案為"osH=2..

點(diǎn)睛：本題考查簡單曲線的極坐標(biāo)方程，是基礎(chǔ)題.解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)

轉(zhuǎn)化.

20.已知AABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,且百bsinA—acosB—2a=0.

（I）求角3的大??；

（H）若。=J7,AABC的面積為走，求。，c的值.

2

27rci=l,a=2,

【答案】（I）B=—（II）{c或{1

3c=2,c=I.

【解析】

試題分析：(I)先利用正弦定理將邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角角關(guān)系，再利用配角公式進(jìn)行求解；(II)利用三角

形的面積公式和余弦定理進(jìn)行求解.

試題解析：(I)Vy/3bsinA一acosB-2a=0,

由正弦定理得^sinBsinA—sinAcosB—2sinA=0，

又人￡(0,萬)，sinAW0,???豆sinB—cosB=2,sinfB--

=1,AJB=T

11?妙

acsm-

RS^BC=-acsinB,737'<ac=2,

(II)V{*2A{232即{22_s

b~=a~+-2accosB,a1+c1—2accos^~=7,'

3

21.已知曲線C的極坐標(biāo)方程是Q=4COS，.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建

x=l+tcosa

立平面直角坐標(biāo)系，直線I的參數(shù)方程是(t為參數(shù)).

y=tsma

(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

(2)若直線I與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，且求直線I的傾斜角a的值.

【答案】⑴(無一2)2+丁2=4；(2)。=工或?qū)W.

【解析】

【分析】

(1)利用好+/=22,x=pcos0,y=〃sin。將曲線c的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

(2)將直線/的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，利用直線/參數(shù)的幾何意義表示出|A到,列方

程求解即可.

【詳解】

(1)由O=4cos6得P2=4夕cos?.

X2+y2-p2,x=pcosO,y=psin0

二曲線C的直角坐標(biāo)方程為：x2+y2-4x=Q,

即(x-2)?+y2=4

x=l+tcosacc

(2)將直線/的方程代入/+y2—4%=0的方程,

y=tsma

化簡為：產(chǎn)—2fcosa—3=0.(A3對應(yīng)的參數(shù)為乙和)

t,+t=2coscr

故：7.

62=-3

|=,］—胃=J(4+々J-例)=J4cos之a(chǎn)+12=y/15

/.4cos2c)f=3,貝！lcosa=±9,

2

ae［0,萬)

71fsil

a——或—.

66

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，直線參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義，圓的弦長問題的

計(jì)算，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.

22.已知函數(shù)/(X)=加-(a+6)x+31nx,其中aeR.

⑴當(dāng)a=l時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)。，/⑴)處的切線方程；

(2)當(dāng)a>0時(shí)，若函數(shù)/(%)在區(qū)間［l,3e］上的最小值為-6,求。的取值范圍.

【答案】(1)2x+y+4=0；⑴［3,+8).

【解析】

【分析】

(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f(1),*(1)的值，求出切線方程即可；

(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出a的范圍即可.

【詳解】

(1)當(dāng)a=l時(shí)，f(x)=x-7x+31nx(x>2),

3

**./'(九)=2%一7H—,f(1)--6,f'(1)--1.

X-

???切線方程為y+6=-1(x-1),即lx+y+4=2.

(1)函數(shù)f(x)=ax1-(a+6)x+31nx的定義域?yàn)?2,+°°),

當(dāng)a>2時(shí)，/(x)=2ax-(a+6)+g=2a/一(a+6)x+3=(2x-l)(ax-3),

13

令f'(x)=2得％=—或％=—，

2a

3

①當(dāng)OV—<1,即a23時(shí)，f(x)在［L3e］上遞增，

a

???f(x)在［L3e］上的最小值為f(1)=-6,符合題意；

3133

②當(dāng)IV—V3e,即—<oV3時(shí)，f(x)在L-上遞減，在一，3e上遞增,

aeaa

.,.f(x)在［1,3e］上的最小值為(1)=—6,不合題意；

31

③當(dāng)一23e,即0＜。＜—時(shí)，f(x)在［1,3e］上遞減，

ae

Af(x)在［1,3e］上的最小值為f(3e)＜f(1)=-6,不合題意.

綜上，a的取值范圍是［3,+8).

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題.

中山市重點(diǎn)名校2018-2019學(xué)年高二下學(xué)期期末監(jiān)測數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共12小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知/（力=/+%-。（一IWXWI）且|。歸1,則|/（到的最大值為（）

53°

A.—B.—C.3D.1

44

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)絕對值三角不等式可知?dú)w|a||x2-l|+|x|；根據(jù)同W1可得|/（x）歸k2-1|+|%|,根據(jù)x的范圍

可得V（x）歸-1國-+1,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果.

【詳解】

由題意得：=,（必—1）+工|三問卜2—1+國力2—1+國

—1<%<1+國=1—/+國=一,「+國+]=一（國―^]+：

二當(dāng)|x|=L即x=±工時(shí)，（lx2-1|+|A:|）=—

1122V11'/max4

即：即|/（尤）|的最大值為：!

本題正確選項(xiàng)：A

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)最值的求解，難點(diǎn)在于對于絕對值的處理，關(guān)鍵是能夠?qū)⒑瘮?shù)放縮為關(guān)于忖的二次函數(shù)的

形式，從而根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求解得到最值.

2.對四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是（）

⑶(4)

A.rz<r4<0<r3<riB.r4<rz<0<ri<r3

C.r4<rz<0<r3<riD.rz<r4<0<ri<r3

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)正相關(guān)和負(fù)相關(guān)以及相關(guān)系數(shù)的知識，選出正確選項(xiàng).

【詳解】

由散點(diǎn)圖可知圖⑴與圖⑶是正相關(guān)，故ri>0,n>0,圖⑵與圖(4)是負(fù)相關(guān)，故*0,且圖⑴與圖(2)

的樣本點(diǎn)集中在一條直線附近，因此r2<r4<0<r3<r1.

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查散點(diǎn)圖，考查相關(guān)系數(shù)、正相關(guān)和負(fù)相關(guān)的理解，屬于基礎(chǔ)題.

3.某研究機(jī)構(gòu)在對具有線性相關(guān)的兩個(gè)變量x和y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，得到如表數(shù)據(jù).由表中數(shù)據(jù)求得y關(guān)

于X的回歸方程為￡=0.65x+4,則在這些樣本點(diǎn)中任取一點(diǎn)，該點(diǎn)落在回歸直線下方的概率為()

X4681012

y12356

【答案】A

【解析】

分析:求出樣本點(diǎn)的中心，求出a的值，得到回歸方程得到5個(gè)點(diǎn)中落在回歸直線下方的有(6,2),(8,3),

共2個(gè)，求出概率即可.

詳解：元=8,歹=3.4，

故3.4=0.65x8+4,解得：＜5=-1.8,

則y=0.65x-1.8

故5個(gè)點(diǎn)中落在回歸直線下方的有6,2),(8,3),共2個(gè)，

2

故所求概率是p=g,

故選A.

點(diǎn)睛：本題考查了回歸方程問題，考查概率的計(jì)算以及樣本點(diǎn)的中心，是一道基礎(chǔ)題.

4.在0、1、2、3、4、5這6個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)中，能被2整除的數(shù)的個(gè)數(shù)為()

A.216B.288C.312D.360

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)能被2整除，可知為偶數(shù).最高位不能為0,可分類討論末位數(shù)字，即可得總個(gè)數(shù).

【詳解】

由能夠被2整除，可知該六位數(shù)為偶數(shù)，根據(jù)末位情況，分兩種情況討論：

當(dāng)末位數(shù)字為0時(shí)，其余五個(gè)數(shù)為任意全排列，即有國種;

當(dāng)末位數(shù)字為2或4時(shí)，最高位從剩余四個(gè)非零數(shù)字安排，其余四個(gè)數(shù)位全排列，則有心以絲,

綜上可知，共有若+4反對=5x4x3x2x1+2x4x4x3x2x1=120+192=312個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了排列組合的簡單應(yīng)用，分類分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.復(fù)數(shù)二一(，是虛數(shù)單位)的虛部是()

l+2z

11.11.

A.—B.—iC.——D.——i

3355

【答案】C

【解析】

-j(l-2z)-2-i211

試題分析：---------i,虛部為—°

1+27(l+2z)(l-2z)5555

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算。

6.如圖，陰影部分的面積是（）

1c1

C.ed-----2D.e——

【答案】C

【解析】

11

由定積分的定義可得，陰影部分的面積為J-二）公=（/+二）|；=e+--2.

oe

本題選擇C選項(xiàng).

點(diǎn)睛：利用定積分求曲線圍成圖形的面積的步驟：（1）畫出圖形；（2）確定被積函數(shù)；（3）確定積分的上、下

限，并求出交點(diǎn)坐標(biāo)；（4）運(yùn)用微積分基本定理計(jì)算定積分，求出平面圖形的面積.

求解時(shí)，注意要把定積分與利用定積分計(jì)算的曲線圍成圖形的面積區(qū)別開：定積分是一個(gè)數(shù)值（極限值），

可為正，可為負(fù)，也可為零，而平面圖形的面積在一般意義上總為正.

xr=3x,

7.將曲線y=sin13x—按照伸縮變換＜

,1后得到的曲線方程為（）

A.y=2sin/_：］,1.（，吟

B.y=—sinx——

214）

C.y'=^-sin^9x,

D./=2sin

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)伸縮變換的關(guān)系表示已知函數(shù)的坐標(biāo),代入已知函數(shù)的表示式得解.

【詳解】

x=—x'（-］得R=sin|/-0

由伸縮變換，得｛3,代入_y=sin|3x

y=^y''

即V=gsin［x'—；］.選B

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)圖像的伸縮變換，屬于基礎(chǔ)題.

12

8.利用數(shù)學(xué)歸納法證明"l+a+a2+...+an+i=：^-(a*l,nwN)〃時(shí)，在驗(yàn)證n=l成立時(shí)，左邊應(yīng)該是()

\-a

A.1B.1+aC.1+a+a2D.l+a+a2+a3

【答案】C

【解析】

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法.

l-a"2

分析：首先分析題目已知用數(shù)學(xué)歸納法證明：’'l+a+ai+..?+an+i=-----------(axl)”在驗(yàn)證n=l時(shí)，左端計(jì)算

1-a

所得的項(xiàng).把n=l代入等式左邊即可得到答案

“?2

解：用數(shù)學(xué)歸納法證明："l+a+ai+...+a"i=±X

—(a*l)”

［一a

在驗(yàn)證n=l時(shí)，把當(dāng)n=l代入，左端=l+a+ai.

故選C.

9.下列命題正確的是（）

A.若b>c,則>a2c

B.“無=—1”是“丁—3%一4=o”的必要不充分條件

C.命題“。vq”、，，。Aq"、“r?”中至少有一個(gè)為假命題

D.“若Y+/nO,則“，〃全為0”的逆否命題是“若a,匕全不為0,貝!!4+6/0”

【答案】C

【解析】

分析：根據(jù)命題條件逐一排除求解即可.

詳解：A.若b>c,則儲ZJA/C,當(dāng)a為0時(shí)此時(shí)結(jié)論不成立，故錯(cuò)誤；B."x=—1”是“7―3%—4=0”

的必要不充分條件，當(dāng)x=4時(shí)3%—4=0成立，故正確結(jié)論應(yīng)是充分不必要；D.“若“2+^=0,則

”,6全為0”的逆否命題是“若。，6全不為0,則片+廿/0”

應(yīng)該是若匕不全為0,故錯(cuò)誤，

所以綜合可得選C

點(diǎn)睛：考查對命題的真假判定,此類題型逐一對答案進(jìn)行排除即可,但注意思考的全面性不可以掉以輕心,

屬于易錯(cuò)題.

10.有8件產(chǎn)品，其中4件是次品，從中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次數(shù)，則

P（X<2）=（）

31347

A.-B.—C.-D.一

81458

【答案】D

【解析】

【分析】

首先把取一次取得次品的概率算出來，再根據(jù)離散型隨機(jī)變量的概率即可算出.

【詳解】

因?yàn)槭怯蟹呕氐厝‘a(chǎn)品，所以每次取產(chǎn)品取到次品的概率為?4=1從中取3次，X為取得次品的次數(shù),

o2

則x5l3,1

P(X<2)=P(X=2)+P(X=l)+P(X=0)=C；選擇D答案.

【點(diǎn)睛】

本題考查離散型隨機(jī)變量的概率，解題時(shí)要注意二項(xiàng)分布公式的靈活運(yùn)用.屬于基礎(chǔ)題.

11.若函數(shù)/（x）=Ain（2x+。）+cos（2x+，）為奇函數(shù),且在《⑼上為減函數(shù)，則0的一個(gè)值為（）

【答案】D

【解析】

由題意得/(x)=6sin(2x+e)+cos(2x+e)=2sin(2x+e+￡),

:函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，

TTTT

/.0-\—=ki,kGZ,故。=---Fki,keZ.

66

JTjr

當(dāng)。=——時(shí)，/(x)=2sin2x,在-7,0上為增函數(shù)，不合題意.

6L4_

當(dāng)，=g時(shí)，/(x)=-2sin2x,在-jo上為減函數(shù)，符合題意.選D.

12.若集合用=1|/)4},N={x[l<x<3},則Nc@M)=()

A.{x|-2<x<l}B.{x\-2<x<2]

C.{x|1<x<2}D.{x\x<2}

【答案】A

【解析】

分析：求出M及CRM,即可得到NC(C”/).

詳解：M={Nx2>4}={x|x〈—2,或x”},則CRM={X[—2<x<2},

NC(CR")={X|1<X<3}C{X|-2Wx<2}={x[1<XW2}.

故選c.

點(diǎn)睛：本題考查集合的綜合運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題

13.已知拋物線V=4x,過焦點(diǎn)R作直線與拋物線交于點(diǎn)A,3兩點(diǎn)，若IA戶|=4,則點(diǎn)3的坐標(biāo)為

【答案】4，半)或((-挈)

【解析】

【分析】

如圖所示，求得尸(L0),由IA戶1=4,可得5+1=4,解得/，可得直線的方程，與拋物線方程

聯(lián)立，即可求解.

【詳解】

如圖所示，可得尸(1,0),

由|A戶|=4,由拋物線的定義，可得5+1=4,解得5=3,

代入拋物線的方程可得力=26或%=-273，

2

當(dāng)A(3,26)時(shí)，kAB=^~°=43.

3—1

則直線的方程為y—0=6(x—1),即>=氐—6,

代入y2=4x,解得5(g

同理當(dāng)A(3,-2石)時(shí)，解得5(5—￥),

故答案為叫半)或叫-半).

本題主要考查了拋物線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，以及直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，著重考查了推

理能力與計(jì)算能力，屬于中檔試題.

14.定義“規(guī)范01數(shù)列”｛g｝如下：｛4｝共有2777項(xiàng)，其中加項(xiàng)為0,加項(xiàng)為1,且對任意左W2

%,外,，%中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).若機(jī)=4,則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有一個(gè).

【答案】14

【解析】

由題意，得必有4=0,q=l,則具體的排法列表如下：