2024年上海市黃浦區(qū)高三年級下冊高考二模數(shù)學試卷含詳解

上海市黃浦區(qū)2024屆高三二模數(shù)學試卷2024年4月

（完成試卷時間：120分鐘總分：150分）

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分.其中第1~6題每題滿分4分，第7~12題每題滿分5

分）考生應在答題紙相應編號的空格內(nèi)直接填寫結果.

1,若集合可,§=.,5],則AD3=.

2.拋物線的焦點到準線的距離是.

3若a=(3cos0,sin0),6=(cos。,3sin。)，其中6eR,則=

4.若一個圓柱的底面半徑為2,母線長為3,則此圓柱的側(cè)面積為

cosA=—

6.在.ABC中，5,AB=1,AC=5,則6C=

7,隨機變量X服從正態(tài)分布N（2,/）,若P（2<XW2.5）=0.36,則尸（|X-2|>0.5）=

8,若實系數(shù)一元二次方程f+以+人=°有一個虛數(shù)根的模為4,貝!的取值范圍是.

9,某校高三年級舉行演講比賽，共有5名選手參加.若這5名選手甲、乙、丙、丁、戊通過抽簽來決定上場順序,

則甲、乙兩位選手上場順序不相鄰的概率為.

10,已知數(shù)列MJ是給定的等差數(shù)列，其前〃項和為若。必0<。,且當祖=%與〃=〃。時，瓦-S」

山山|x<30,xeN*｝）取得最大值,則廂-端的值為

11.如圖是某公園局部的平面示意圖，圖中的實線部分（它由線段。￡，,歹與分別以℃°。為直徑的半圓弧組

成）表示一條步道.其中的點是線段上的動點，點O為線段AB，。。的中點，點E/在以AB為直徑的

半圓弧上，且N℃E，NO°b均為直角.若A3=l百米，則此步道的最大長度為百米.

UUUUULUUUU1UULUUU

12.在四面體B46c中，2PD=PA+PB,5PE=2PB+3PC,2PF=-PC+3PA；設四面體243c與四面體

匕

PDEF體積分別為匕、匕,則匕的值為.

二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分.其中第13、14題每題滿分4分，第15、16題每題滿分5

分)每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對

得滿分，否則一律得零分.

13.某學校為了解學生參加體育運動的情況，用分層抽樣的方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取40

名學生，已知該校初中部和高中部分別有500和300名學生，則不同的抽樣結果的種數(shù)為()

R「25「15

A.CE+C藐D.^500,^300

「20-20

D.J00?C300

14.函數(shù)y=1—2cos?[x—()

A.最小正周期為乃的奇函數(shù)B.最小正周期為乃的偶函數(shù)

7171

C.最小正周期為一奇函數(shù)D.最小正周期為一的偶函數(shù)

22

__%2_|_〃尤_|_20_4<x<0

15.設函數(shù)〃x)=,5，若/(幻>0恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是()

'7OX2-2X+3,0<X<4

A.(1,+co)B.

16.設數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，若對任意的〃eN*，S“都是數(shù)列｛4｝中的項，則稱數(shù)列｛4｝為“T數(shù)列”.對于

命題：①存在"數(shù)列”｛4｝,使得數(shù)列｛SJ為公比不為1的等比數(shù)列；②對于任意的實數(shù)為,都存在實數(shù)d,使

得以為為首項、d為公差的等差數(shù)列｛4｝為"數(shù)列”.下列判斷正確的是()

A.①和②均為真命題B.①和②均為假命題

C.①是真命題，②是假命題D.①是假命題，②是真命題

三、解答題(本大題共有5題，滿分78分)解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出

必要的步驟.

17.設aeR,函數(shù)/(%)=：=.

2'-1

(1)求。的值，使得>=/(x)為奇函數(shù)；

(2)若/(2)=a,求滿足/(x)>a的實數(shù)x的取值范圍.

18.如圖，在四棱錐P—A5CD中，底面A3CD為矩形，點E是棱上的一點，P3//平面AEC.

(1)求證：點E是棱尸。的中點；

(2)若平面ABC。，AP=2,AD=2。PC與平面A8CD所成角的正切值為g,求二面角

O—AE—C的大小.

19.某社區(qū)隨機抽取200個成年市民進行安全知識測試，將這200人的得分數(shù)據(jù)進行匯總，得到如下表所示的統(tǒng)計

結果，并規(guī)定得分60分及以上為合格.

組別[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]

頻數(shù)926655347

(1)該社區(qū)為參加此次測試的成年市民制定了如下獎勵方案：①合格的發(fā)放2個隨機紅包，不合格的發(fā)放1個隨

(2050、

機紅包；②每個隨機紅包金額(單位：元)的分布為八。八」.若從這200個成年市民中隨機選取1人，記X(單

、1).01).2]

位：元)為此人獲得的隨機紅包總金額，求X的分布及數(shù)學期望；

(2)已知上述抽測中60歲以下人員合格率約為56%,該社區(qū)所有成年市民中60歲以下人員占比為70%.假如對

該社區(qū)全體成年市民進行上述測試，請估計其中60歲及以上人員的合格率以及成績合格的成年市民中60歲以下

人數(shù)與60歲及以上人數(shù)之比.

20.如圖，已知：T|是中心在坐標原點、焦點在x軸上的橢圓，匕是以：T1的焦點耳，耳為頂點的等軸雙曲線，點

5才4是:T|與上的一個交點，動點尸在匕的右支上且異于頂點.

(1)求與匕的方程;

(2)若直線「工的傾斜角是直線尸耳的傾斜角的2倍，求點尸的坐標;

(3)設直線「耳「工的斜率分別為匕,左2,直線尸耳與一相交于點A3,直線尸工與:Ti相交于點C,D,

IAFX|?|BFX|=m,|CF2\-\DF2|=n,求證：左4=1且存在常數(shù)5使得〃?+"=s加".

21.若函數(shù)y=/(x)的圖象上的兩個不同點處的切線互相重合，則稱該切線為函數(shù)y=/(x)的圖象的“自公切

線”，稱這兩點為函數(shù)y=/(x)的圖象的一對“同切點

(1)分別判斷函數(shù)力(x)=sinx與力(x)=lnx的圖象是否存在“自公切線”，并說明理由；

(2)若aeR,求證：函數(shù)g(x)=tanx-x+a(xe(-2苫))有唯一零點且該函數(shù)的圖象不存在“自公切線”；

22

jrjrJTJT

(3)設〃wN*，/z(x)=tanx-x+H7i(xe(——,一))的零點為居，te(—,—),求證：“存在se(2&+co),使得點

2222

(5,sin5)與(r,sin。是函數(shù)y=sinx的圖象的一對，同切點，”的充要條件是“才是數(shù)列｛%?｝中的項”.

上海市黃浦區(qū)2024屆高三二模數(shù)學試卷2024年4月

(完成試卷時間：120分鐘總分：150分)

一、填空題(本大題共有12題，滿分54分.其中第1~6題每題滿分4分，第7~12題每題滿分5

分)考生應在答題紙相應編號的空格內(nèi)直接填寫結果.

1.若集合人=[1'4],5=[2,5],則=

【答案】[1,5]

【分析】由交集的定義求解即可.

【詳解】因為集合4=[1,4],5=[2,5],則AD5=[L5].

故答案為：

2.拋物線/=4x的焦點到準線的距離是.

【答案】2

【詳解】焦點戶(1,0),準線方程“，...焦點到準線的距離是2.

3.若a=(3cose,sin。)，b=(cos0,3sin,其中OeR,貝！|。力=.

【答案】3

【分析】利用平面向量數(shù)量積的坐標表示公式，結合同角的三角函數(shù)關系式進行求解即可.

【詳解】a-Z?=3cos2^+3sin2^=3>

故答案為：3

4.若一個圓柱的底面半徑為2,母線長為3,則此圓柱的側(cè)面積為.

【答案】1271

【分析】將圓柱的側(cè)面展開，得到矩形的兩邊長，求出面積即可.

【詳解】將圓柱的側(cè)面展開為矩形，其中矩形的一邊為3,另一邊為2兀義2=4兀，

故側(cè)面積為3*4兀=12兀.

故答案為：1271

5.若(潑+工尸的展開式中的系數(shù)是_80,則實數(shù)。=.

X

【答案】-2

【分析】根據(jù)通項公式得到10—3r=4,求出廠=2,從而得到方程，求出。=-2.

【詳解】通項公式為=C/5fx=c/5-%m3「，

令10—3廠=4,解得r=2,

故C〉3=_80,解得a=-2.

故答案為：-2

3

6.在中，cosA=-j,AB=l,AC=5,則BC=.

【答案】4&

【分析】根據(jù)余弦定理建立方程，可得答案.

【詳解】在ABC中，根據(jù)余弦定理可得：cosA=,

2ABAC

設8c=x(x>0),則二=1+257,整理可得/=32,解得％=40，

'752x1x5

故8c=4萬

故答案為：4夜.

7.隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,CT2),若P(2<X42.5)=0.36,則尸(|X-2|>0.5)=.

7

【答案】0.28##—

25

【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)計算可得.

【詳解】因為XN(2,b?)且P(2<X42.5)=0.36,

所以P(1.54X<2)=尸(2<X42.5)=0.36,

貝I」P(|X-21>0,5)=1-2P(2<XV2.5)=1-2x0.36=0.28.

故答案為：0.28

8.若實系數(shù)一元二次方程/+依+匕=0有一個虛數(shù)根的模為4,貝山的取值范圍是.

【答案】(-8,8)

【分析】因為實系數(shù)的一元二次方程若有虛數(shù)根，則兩根共軌，可設兩根分別為根+疝和〃i,貝ibr+〃2=i6,

又叫=+H2=16,再由A<0可求。的取值范圍.

【詳解】設實系數(shù)一元二次方程x2+ax+b^0的兩個虛數(shù)根為m+m和m-ni,

則加2+/2=16.

所以,=(m+tn\(m—rn\=m2+n2=16.

由AvOn4—4xl6<0=>—8<a<8.

故答案為：(-8,8)

9.某校高三年級舉行演講比賽，共有5名選手參加.若這5名選手甲、乙、丙、丁、戊通過抽簽來決定上場順序,

則甲、乙兩位選手上場順序不相鄰的概率為.

3

【答案】-##0.6

【分析】求出甲、乙兩位選手上場順序不相鄰的場數(shù)和抽簽總共的可能場數(shù)，即可得出甲、乙兩位選手上場順序不

相鄰的概率.

【詳解】由題意，

若甲第一個上場，乙則可以第3,4,5個上場，有C；A；=3x3x2x1=18種，

若甲第二個上場，乙則可以第4,5個上場，有C；A；=2x3x2x1=12種,

若甲第三個上場，乙則可以第1,5個上場，有C；A；=2x3x2x1=12種，

若甲第四個上場，乙則可以第1,2個上場，有C；A；=2x3x2x1=12種，

若甲第五個上場，乙則可以第1,2,3個上場，有C；A；=3x3x2x1=18種,

共有18+12+12+12+18=72種,

而所有的上場順序有g=5x4x3x2x1=120種，

723

???甲、乙兩位選手上場順序不相鄰的概率：P=——=—,

1205

3

故答案為：—.

10.已知數(shù)列｛4｝是給定的等差數(shù)列，其前九項和為s“，若。洶0<0,且當機=/與"=%時，

(m,〃e{xIxW30,xeN*})取得最大值，則%|的值為.

【答案】21

m30

【分析】不妨設數(shù)列｛%｝的公差大于零，不妨取相>〃，則S,“-S“=Zq，設左=日30-=再分

i=〃+lM0

">9,m=30和“<9,m=30兩種情況討論，可得出人的值，再討論加<30,即可求出加。，即可得解.

【詳解】不妨設數(shù)列｛4｝的公差大于零，

由于得。9<°，60〉0，

且時，??<0,時，??>0,

不妨取m>n,則鼠一S,=Z%,

i=n+l

30

設左=$30—59]=24，

/=10

30

若〃>9,加=30,則國―S/W、4<左，此時式子取不了最大值；

，=徇+1

9

若〃<9,m=30,1i)|S30-S?|<工％+k,

i-n^+\

又，W9時，q<0,

9

因為|S3o—S“歸a1+k<k,此時式子取不了最大值；

因此這就說明〃=%=9必成立.

若加<30,則|s機一s/4Zq<上，

1=10

這也就說明/<30不成立，因此％=30,

所以甌-端=21.

故答案為：21.

11.如圖是某公園局部的平面示意圖，圖中的實線部分(它由線段CE,?？谂c分別以OC為直徑的半圓弧組

成)表示一條步道.其中的點是線段A3上的動點，點。為線段A3,CD的中點，點E,尸在以A3為直徑的

半圓弧上，且NOCE,均為直角.若A3=1百米，則此步道的最大長度為百米.

【答案H

【分析】設半圓步道直徑為無百米，連接借助相似三角形性質(zhì)用x表示CE,結合對稱性求出步道長度關

于x的函數(shù)關系，利用導數(shù)求出最大值即得.

【詳解】設半圓步道直徑為x百米，連接AE,5E,顯然NAEB=90，

由點。為線段A3,CD的中點，得兩個半圓步道及直道CE,DF都關于過點。垂直于AB的直線對稱，

則4。=工—X,3C=L+X,又CELAB,則RtACE-RtVECB,有CE?=ACBC，

22

即有DP=CE=J；—/,因此步道長/(x)=2J；——+心=Ji—4/+心,o<x<1,

4x兀

求導得r（x）=-+兀由八%)=0,得％=

Vl-4x22,兀2+4

兀兀]

當0<X<時,f（X）>0,函數(shù)"X）遞增，當/<x<7時,了'（尤）<0,函數(shù)/（X）遞減,

2^71+42，兀-+42

兀L.,71、2兀J兀2+4

因此當-得二時’/（x）-

1—4(—(—-)H---[

2包+42,兀2+42

所以步道的最大長度為42+4百米.

2

故答案為：鳥亙

12.在四面體B4BC中，2PD=PA+PB，5PE=2PB+3PC>2PF-PC+3PA）設四面體K43C與四面體

。0￡萬的體積分別為匕、匕，則去的值為-

7

【答案】一##0.35

20

【分析】根據(jù)空間向量的加法與數(shù)乘運算，可得點的位置并作圖，利用三角形的等積變換可得底面的面積比，可得

答案.

【詳解】由2防=片+斯，2PD=PA+PB—PA+PA，2（^PD-PA^=PB-PA,則2A￡>=AB；

由5PE=2PB+3PC，5PE=2PB+3PC—3PB+3PB，5（PE-PBj=3\PC-PBj,則55^=33。；

由2PF=-PC+3PA，2PF=-PC+3PA-3PC+3PC-2（PF-PC）=3（PA-PC）,則2CF=3G4；

顯然四面體B鉆。與四面體防共頂點且底面共面，則其高相同可設為h,

結合題意可作圖如下：

在底面連接EB，作圖如下:

,口,AC2SABCAC2SFAB1

由2cB=3CA，即-T-則q=4=3,易知q=3；

FCJ°FBCrcDQFBC°

BD1SDBFBD1SDBF1

由2AD=AB，即=r則q=.=2'易知q6；

BA23ABF"A2?FBCo

EC2SFCFEC2

由5BE=3BC，即

nC5SBCFBC5'

BD1BE3q133q321

由——,,則-二一x一二-_,易知c=——X—二

BA2BC53ABC2510srFDRlr-1033

￡_￡_J7_q7Q

FDE=1—°DBFECF0^DBE

SS30'20,

FBC°FBCBCF°FBCSABc302

Cu.DEF

7

故答案為：——.

20

二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分.其中第13、14題每題滿分4分，第15、16題每題滿分5

分）每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對

得滿分，否則一律得零分.

13.某學校為了解學生參加體育運動的情況，用分層抽樣的方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取40

名學生，已知該校初中部和高中部分別有500和300名學生，則不同的抽樣結果的種數(shù)為（）

「25-15

A.得+/,Joo?Joo

【答案】B

【分析】由分層抽樣先求出初中部和高中部應抽取的學生，再由組合數(shù)公式和分步計數(shù)原理即可得出答案.

【詳解】該校初中部和高中部分別有500和300名學生,

所以初中部應抽取40義迎=40x-=25名學生,

8008

高中部應抽取40x320?0=40x39=15名學生，

8008

所以不同的抽樣結果的種數(shù)為

故選：B.

14.函數(shù)y=1—2cos21x—是()

A.最小正周期為》的奇函數(shù)B.最小正周期為》的偶函數(shù)

71TC

C.最小正周期為一的奇函數(shù)D.最小正周期為一的偶函數(shù)

22

【答案】A

【分析】先利用二倍角公式和誘導公式化簡函數(shù)，再利用三角函數(shù)的周期公式以及奇偶函數(shù)的定義即可求解.

因為/(一%)=—sin(—2x)=sin2x=—/(%),所以為奇函數(shù)，

27r

周期T=一丁二萬，

2

所以此函數(shù)最小正周期為"的奇函數(shù)，

故選：A.

15.設函數(shù)f(x)=,，若/(x)>0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()

ax-2x+3,0<%<4

A.(1,+co)

【答案】D

【分析】分TVxWO和0<%W4兩種情況下恒成立，參變分離轉(zhuǎn)化為最值求解即可.

【詳解】當TVxWO時，一必+?+20>0恒成立，即成:>￡—20恒成立，

當x=0時，上式成立;

2020

當-4W尤<0,a<x----,明顯函數(shù)y=x----在［-4,0)上單調(diào)遞增,

XJC

所以Xnin=—4-言=1，所以a<1；

-4

23

當0<xW4時，依2一2%+3>0恒成立，即。>-----恒成立，

XX

令/!，+"］,則。>2/-3/在!，+oo］上恒成立，

x4J4)

又y=2/-3〃開口向下，對稱軸為t=

-314

所以y=2/—3/的最大值為2xg—3x[g]=；,

所以a>—,

3

綜上：實數(shù)a的取值范圍是

故選：D.

16.設數(shù)列｛4｝的前〃項和為"，若對任意的“eN*，S“都是數(shù)列｛4｝中的項，則稱數(shù)列｛%｝為“T數(shù)列”.對于

命題：①存在“T數(shù)列”｛4｝,使得數(shù)列｛S.｝為公比不為1的等比數(shù)列；②對于任意的實數(shù)為,都存在實數(shù)d,使

得以為為首項、d為公差的等差數(shù)列｛4｝為“T數(shù)列”.下列判斷正確的是（）

A.①和②均為真命題B.①和②均為假命題

C.①真命題，②是假命題D.①是假命題，②是真命題

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，結合“T數(shù)列”的定義，舉出實例說明①②，即可得出答案.

【詳解】對于命題①，對于數(shù)列｛4｝,

[l,n=l[l,n=1

令g[2、"則"12T心2'

數(shù)列｛S,｝為公比不為1的等比數(shù)列，

當〃=1時，1=1是數(shù)列｛4｝中的項,

當九》2時，S"=2"T是數(shù)列｛%｝中的項,

所以對任意的“eN*，S“都是數(shù)列｛4｝中的項,

故命題①正確;

對于命題②，等差數(shù)列｛。“｝,令%=_d,則%=q+（八-l）d=（〃-2）d,

則S,」d，

222

因〃一22—1且〃一2cZ,

”(“-3)1\9?n(n-3)

|-1>-1,且“eN*,2eZ,

2~-2、

所以對任意的“eN*，S“都是數(shù)列｛4｝中的項，

所以對于任意的實數(shù)里,都存在實數(shù)d，使得以%為首項、d為公差的等差數(shù)列｛%,｝為“T數(shù)列”，

故命題②正確；

故選：A.

三、解答題(本大題共有5題，滿分78分)解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出

必要的步驟.

2X+a

17.設aeR,函數(shù)/(%)=上之，

J2X-1

(1)求。的值，使得了=/(x)為奇函數(shù)；

(2)若/(2)=a,求滿足/(x)>a的實數(shù)x的取值范圍.

【答案】(1)a=l

(2)(0,2)

【分析】(1)由奇函數(shù)的性質(zhì)可得/(-1)=一/(1),代入解方程即可得出答案；

(2)由/(2)=a,可得4=2,則31>2,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可得出答案.

2X-1

小問1詳解】

由/⑴為奇函數(shù)，可知/(—為=—/⑴,

即一(1+2〃)=—(2+a),解得a=l,

21+12一*+11+2”

當a=1時，f(x)=",/(—4)=上產(chǎn)=f=—/(1)對一切非零實數(shù)元恒成立，

2*—121-11-2”

故。=1時，y=/(尤)為奇函數(shù).

【小問2詳解】

4+4

由/(2)=a,可得飛一=a,解得a=2,

2r+22X-4

所以7(x)〉a=-------〉20--------<0ol<2*<4

2V-12X-1

解得：0<x<2,所以滿足/(x)>a的實數(shù)x的取值范圍是(0,2).

18.如圖，在四棱錐P—A6CD中，底面ABCD為矩形，點E是棱上的一點，P3//平面AEC.

（1）求證：點E是棱尸。的中點；

（2）若上4,平面ABC。，AP=2,AD=2。PC與平面A8CD所成角的正切值為g,求二面角

O—AE—C的大小.

【答案】（1）證明見解析

（2）arctan2^/2

【分析】（1）作出輔助線，由線面平行得到線線平行，結合點尸是2。的中點，得到證明；

（2）方法一：作出輔助線，得到NPC4就是PC與平面ABC。所成角，從而根據(jù)正切值得到AB=2?，證明出

線面垂直，得到NCGD是二面角O-AE-C的平面角，求出各邊長，從而得到NCG￡>=arctan2行；

方法二：作出輔助線，得到NPC4就是PC與平面A8CQ所成角，建立空間直角坐標系，得到平面的法向量，利

用法向量夾角余弦值得到二面角的大小.

【小問1詳解】

連接8D它與AC交于點尸，連接所，

四邊形ABC。為矩形，

二尸為3。的中點，

PB//平面AEC,平面尸8。經(jīng)過P8且與平面AEC交于石廠,

：.PB//EF,

又點尸是8。的中點，

點E是棱的中點.

【小問2詳解】

方法一：平面ABC。，AC,AD,CDu平面ABC。,

PA±AC,PA，A￡>,CD且NPC4就是PC與平面ABCD所成的角,

PA21

故taiC4=就/2可解得由2M

四邊形ABC。為矩形，

：.AD±CD,又E4，CD,B4與AD是平面B4D內(nèi)的兩相交直線,

\C7)A平面PAD.

在平面外。內(nèi)作。GLAE,垂足為G,連接GR則CG1_AE,

.?.NCGD是二面角D—AE—C的平面角.

在直角三角形B4O中，?「P4=2,AD=2G，點E是尸。的中點，

ZEAD=ZADE=-,且。G=APsinC=6，

66

CD±平面PAD,DGu平面PAD,

CD_LDGi故tan4CGD=----=——2\/2,所以NCGD-arctan2-\/2,

DG6

故二面角￡>—AE—C的大小為arctan2^/2?

方法二：???BAL平面ABC。，AC,AD,CDu平面ABC。，

PA±AC,，A￡),，CD且NPCA就是PC與平面ABCD所成的角，

又四邊形ABC。矩形，.：ABIAD，

分別以AB,AD,AP為x,y,z軸，建立空間直角坐標系O-型,

設AB=/,6=(%,y,l)是平面AEC的一個法向量，二面角D—AE—C的大小為8,

尸A21

由tan/PCA=：^=Er="可得"2#,

則AC=Q瓜2區(qū)0),AE=(0,V3,l),

Y\?AE=(x,y,1)?(0,6,1)=6y+1=0

解得X=邁且y=-l,所以

631163J

又%=(1,0,0)是平面A即的一個法向量，且。為銳角，

4，-卓巾1,0,0)]

故“總口S______)______-1,可得6"arccos—.

111.33

nmJ—I---H1

\63

所以二面角?！狝E—C的大小為arccos；.

19.某社區(qū)隨機抽取200個成年市民進行安全知識測試，將這200人的得分數(shù)據(jù)進行匯總，得到如下表所示的統(tǒng)計

結果，并規(guī)定得分60分及以上為合格.

組別[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]

頻數(shù)926655347

(1)該社區(qū)為參加此次測試的成年市民制定了如下獎勵方案：①合格的發(fā)放2個隨機紅包，不合格的發(fā)放1個隨

2050

機紅包；②每個隨機紅包金額(單位：元)的分布為.若從這200個成年市民中隨機選取1人，記X(單

0.80.2

位：元)為此人獲得的隨機紅包總金額，求X的分布及數(shù)學期望；

(2)已知上述抽測中60歲以下人員的合格率約為56%,該社區(qū)所有成年市民中60歲以下人員占比為70%.假如對

該社區(qū)全體成年市民進行上述測試，請估計其中60歲及以上人員的合格率以及成績合格的成年市民中60歲以下

人數(shù)與60歲及以上人數(shù)之比.

【答案】(1)分布列見解析，39

(2)36%,98:27

【分析】(1)依題意，X的所有可能取值為20,50,40,70,100,利用獨立事件的概率乘法公式求解相應的概率，進

而得到X的分布，再結合期望公式求解即可；

(2)利用全概率公式和條件概率公式求解.

【小問1詳解】

隨機抽取的200個成年市民的成績合格率為空當=50%,

200

1、

P(X=100)=-x0.22=0.02,

P(X=70)=gxC；x0.2x0.8=0.16,

p(X=50)=；x0.2=0.1,

1,

P(X=40)=-X0.8-=0.32,

p(X=20)=gx0.8=0.4,

所以X的分布為

X20405070100

p0.40.320.10.160.02

E(X)=100x0.02+70x0.16+50x0.1+40x0.32+20x0.4=39,

即X的數(shù)學期望為39；

【小問2詳解】

設“從該社區(qū)成年市區(qū)隨機抽取1人，此人年齡在60歲以下”為事件A,“從該社區(qū)成年市民隨機抽取1人，此人安

全知識合格”為事件8,

則P(A)=70%,P(A)=30%,P(B\A)?56%,P(B)?50%,

由P(B)=尸(A)?P(B|A)+P(A)-P(5|A),

可得50%x70%-56%+30%-P(B\A),所以P(B\A)?36%,

u-=P(.8)P(A)-P(B|A)P(B)70%-56%98

所求比值=——=-----------------=------x--------------=—.

P(A|B)P(B)P(A)-P(B|A)30%-36%27

估計60歲及以上人員的合格率約為36%,成績合格的成年市民中60歲以下人數(shù)與60歲及以上人數(shù)之比約為

98:27.

20.如圖，已知:T1是中心在坐標原點、焦點在x軸上的橢圓，匕是以：Ti的焦點耳，耳為頂點的等軸雙曲線，點

(2)若直線PF2的傾斜角是直線PF1的傾斜角的2倍，求點P的坐標；

(3)設直線的斜率分別為勺次2,直線「可與「1相交于點A3,直線「心與:T］相交于點C,。，

\AFl\-\BFl\=m,\CF2\-\DF2|=n,求證：左4=1且存在常數(shù)5使得相+〃=§加”?

22

【答案】(1)土+匕=1與V—y2=i

54

⑵(2,6)

(3)證明見解析

22

【分析】(1)設「2的方程分別為工+==1(。〉6〉0)與尤2一/=。2(。＞0),將點加的坐標代入匕的方

ab"

程可求出c,利用橢圓的定義可求出。的值，從而可得力，進而可得「1、匕的方程；

(2)分點P在第四象限和第一象限時兩種情況討論求出點P的坐標；

(3)利用兩點的斜率公式及點尸在:T,上即可證明左2=；,設P耳的方程為丁=左(％+1),與橢圓方程聯(lián)立，可

一41

得根與系數(shù)的關系，從而可表示私〃，化簡工+工為常數(shù)，即可得出答案.

mn

【小問1詳解】

22

設「1、12的方程分別為=+二=1(。〉6〉0)與V—丁=。2(。＞0),

ab

由閆—(g)=c2,得c=l,故耳，鳥坐標分別為(—1,0),(1,0),

所以2a=附用+眼閭=g石+|6=26故“=?,3=97=2,

22

故「1與「，的方程分別為土+乙=1與￡—>2=1.

54'

【小問2詳解】

當點尸在第四象限時，直線「耳,「鳥的傾斜角都為鈍角，不適合題意;

當尸在第一象限時，由直線PF］的傾斜角是直線PF1的傾斜角的2倍，

可知方尸=//尸耳,故|尸閶=|耳閶=2,

設尸點坐標為(x,y)，可知(1-1)2+y2=4Mx2-y2=1(%>0,y>0),

解得x=2,y=g,故點尸的坐標為(2,、行)，

【小問3詳解】

設直線尸片，P8的斜率分別為勺/2,點尸，42的坐標分別為(飛，為),(七,%),(9,%)，

22_1

則/2一靖=1,快=/.+="="=l,

x0+1XQ-1x0-1x0-1

尸耳的方程為丁=左(％+1),

22

代入土+匕=1可得（4+5左2）；/—&份_16左2=0,

54

-16k2

故為%

4+542

16（6+1

所以租=|然「忸耳|=’1+\1.|訃,1+".昆|（1、

1+

77卜%|4+5左；

I7

同理可得〃=16(")，又左2=；，故丸=

4+5月K4婷+5

114+5婷,%+5_9傳+1）=9

故一+一=

mn16（6+1）16（川+1）-16（-+1）一元

9

即加+〃=一mn,所以存在s,使得根+〃=szm.

16

【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種:

(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關.

(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

21.若函數(shù)y=/(x)的圖象上的兩個不同點處的切線互相重合，則稱該切線為函數(shù)y=/(x)的圖象的“自公切

線”，稱這兩點為函數(shù)y=/(x)的圖象的一對“同切點

(1)分別判斷函數(shù)力(動=sin無與力(x)=lnx的圖象是否存在“自公切線”,并說明理由；

(2)若aeR,求證：函數(shù)g(x)=tanx-x+a(xe(-2苫))有唯一零點且該函數(shù)的圖象不存在“自公切線”；

22

jrjrTT兀

(3)設〃wN*，/z(x)=tanx-x+H7i(%G(-一,一))的零點為居，rG(--,—),求證：“存在sw(2&+co),使得點

2222

(s,sins)與”,sin。是函數(shù)y=sinx的圖象的一對，同切點”，的充要條件是“才是數(shù)列｛居｝中的項”.

【答案】(1)函數(shù)力(X)的圖象存在“自公切線”；函數(shù)力(X)的圖象不存在“自公切線”，理由見解析；

(2)證明見解析；(3)證明見解析.

JT5兀

【分析】(1)由直線丁=1切、=5：111%的圖象于點(5，1),(耳/)判斷力(n=5由％,由導數(shù)確定意見性判斷

力(x)=lnx.

(2)利用導數(shù)探討單調(diào)性結合零點存在性定理推理即得唯一零點，再假定存在“自公切線”，利用導數(shù)的幾何意義求

JT

出切線方程，證明2七=sin2xi在(OR上無解即得.

(3)求出在點(s,sins)與Q,sinf)處的切線方程，利用(2)的結論，結合誘導公式，及充要條件的證明方法推理即

得.

【小問1詳解】