廣東省東莞市三校2023-2024學(xué)年高二年級下冊4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)（解析版）

廣東省東莞市三校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中聯(lián)考

數(shù)學(xué)試題

考試范圍：第五章，第六章，第七章前三節(jié)；考試時間：120分鐘；

注意事項：

1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息

2.請將答案正確填寫在答題卡上

第I卷(選擇題)

一、單選題(每小題5分，共40分)

L若函數(shù)/3=叱2x+l,則/d

C.15

A.0B.1D.-

22

【答案】A

【解析】

【分析】求導(dǎo),再令x即可得解.

2

【詳解】f'(x)=--2,

X

所以/[￡l=2—2=0.

故選：A.

2.若C，=G，貝股=()

A.2B.3C.2或4D.3或4

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)組合數(shù)公式的性質(zhì)求解即可

【詳解】因為c；=q,

所以〃=2或〃=6—2=4,

故選：C

3.隨機變量X的分布列如表：則。=()

X-101

P0.30.5C

A.0.2B.0.3C.0.5D.0.6

【答案】A

【解析】

【分析】由分布列中的概率和為1可直接求得結(jié)果.

【詳解】由分布列性質(zhì)知：0.3+0.5+c=l,解得:c=0.2.

故選：A.

4.的展開式中，含廣2的項的系數(shù)是()

A.-20B.5C.15D.35

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)二項式定理求解.

【詳解】由二項式定理：!]=C^(-l)rx6-2r，令6—2r=—2,得廠=4,

所以一項的系數(shù)為(_1)4或=15；

故選：C.

5.若函數(shù)/。)=犬—/'⑴爐+3,則/(1)=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】求出函數(shù)"X)的導(dǎo)數(shù)，再賦值計算即得.

【詳解】函數(shù)/(x)=d—/⑴必+3,求導(dǎo)得/'00=3f-2/'(l)x,

當(dāng)X=1時，r⑴=3-2/'⑴，

所以ra)=L

故選：A

6.有六人排成一排，其中甲只能在排頭或排尾，乙、丙兩人必須相鄰，則滿足要求的排法有

A34種B.48種

C.96種D.144種

【答案】C

【解析】

【詳解】試題分析：2A：&=96,故選C.

考點：排列組合.

7.已知某地市場上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70%,乙廠產(chǎn)品占30%,甲廠產(chǎn)品的合格率是90%,乙廠

產(chǎn)品的合格率是80%,則從該地市場上買到一個合格燈泡的概率是()

A.0.63B.0.24C.0.87D.0.21

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)獨立事件和互斥事件概率計算方法計算即可.

【詳解】從某地市場上購買一個燈泡，設(shè)買到的燈泡是甲廠產(chǎn)品為事件A,買到的燈泡是乙廠產(chǎn)品為事件

B,則由題可知P(A)=0.7,PCB)=0.3,

從甲廠產(chǎn)品中購買一個，設(shè)買到的產(chǎn)品是合格品為事件C,

從乙廠產(chǎn)品中購買一個，設(shè)買到的產(chǎn)品是合格品為事件。，

則由題可知P(O=0.9,P(D?=0.8,

由題可知A、B、C、。互相獨立，

故從該地市場上買到一個合格燈泡的概率為：

P(AC)+P(BD)=P(A)P(C)+P(B)P(D)=0.7X0.9+0.3X0.8=0.87.

故選：C.

x2-2x,x<0

8.已知函數(shù)/'(x)=2x，若關(guān)于x的方程4(x)+a—1=0恰有四個不同的實數(shù)

L>°

根，則實數(shù)。的取值范圍是()

合+2]

D.

e

【答案】D

【解析】

【分析】先將原方程變形為/(尤)=1或〃x)=a-1,然后分析“力的單調(diào)性，再對不同的。進(jìn)行分類

討論即可得到結(jié)果.

【詳解】由于(〃力)2—硝力+a—l=(/(x)T(/(x)—a+1),故原方程等價于〃X)=1或

f(x)=a-l.

由于當(dāng)x40時，/(X)=X2-2X=(X-1)2-1,故/(x)在(—8,0］上單調(diào)遞減.

而當(dāng)x>0時，有/(司=￥，故此時/(%)=2(1丁),

ee

從而當(dāng)0<x<l時/'(力>0,當(dāng)工〉1時/'(力<0,所以/(九)在(?！簧蠁握{(diào)遞增，在［1,+8)上單調(diào)遞

減.

從而當(dāng)x>0時，有/(x)</⑴=2<1,而外力在(—8,0］上單調(diào)遞減，/(-V2+l)=l,

所以〃x)=l有唯一解了=—及+1.

若原方程有四個不同的解，則存在四個不同的實數(shù)X滿足/(尤)=1或/(x)=a-1,

而/(%)=1只有一個解，所以方程/(%)=a—1至少有三個解.

2x

假設(shè)々一14。，則當(dāng)xvO時/(1)二12-2x=x(九一2)>02〃-1,當(dāng)％>0時/(%)=—^>02〃一1,

e

所以/(%)=a—1至多有一個解，矛盾，所以a—1>0

22

假設(shè)a—1?—,則當(dāng)x>0,xwl時有/(x)</(l)=—Ka—1,

ee

從而〃x)=a—1在(0,+“)上至多有一個解，由/(%)在(―8,0］上單調(diào)遞減知/(x)=a—1在(―8,0］

上至多有一個解，

2

所以/(x)=a—1至多有兩個解，矛盾，所以。-1<一.

e

22

綜上，有0<〃—1<一,即—；

ee

、22、9f⑴

另一'方面，當(dāng)—即0<〃一1<一時，設(shè)"=--------F1>1,

eea-1

由于一6)=a+26>a>,/(0)=0<〃一1,=—>a-1,

乎⑴=---7~\——/⑴<-VV/(1)<(2-1

9/(1)8/(l)M；*

-----------1-----------

a—1a—1

故/(x)=a-1在卜后,0),(0,1),(1,M)上各有一個解，從而至少有三個解.

_G

而八一應(yīng)+1)=1,lwa—1(因為。一1<—<1),所以/(九)=1或/(%)=。一1有四個解.

綜上，0的取值范圍是+即［1,平］,D正確.

故選：D.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于恰當(dāng)選取不同的情況進(jìn)行分類討論，對于取值范圍問題，需要嚴(yán)格

證明命題成立當(dāng)且僅當(dāng)參數(shù)屬于對應(yīng)范圍，而這往往意味著論證需要包含充分性和必要性兩方面.

二、多選題(每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對

的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)

9.下列函數(shù)求導(dǎo)正確的是()

A.(2/-3—+5)=6/-6x

【答案】ABD

【解析】

【分析】直接根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法計即可判斷.

【詳解】對于A：(2x3-3x2+5)=6x2-6x,故A正確；

對于B：(e'+lnx)=6^+—,故B正確；

對于C：令1/=二，則［cos'］=(COSM)'=-sin"-M=-」sin',故C錯誤；

313)'，33

對于D：f—H———=-2x-2+P-4(x+l)2xl=---------,故D正確.

(xx+ULJ(x+1)

故選：ABD.

10.有3臺車床加工同一型號的零件.第1臺加工的次品率為6%,第2,3臺加工的次品率均為5%,加

工出來的零件混放在一起，已知第1,2,3臺車床的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%,30%,45%,則下列選項

正確的有（）

A.任取一個零件是第1臺生產(chǎn)出來的次品概率為0.015

B.任取一個零件是次品的概率為0.0525

2

C.如果取到的零件是次品，則是第2臺車床加工的概率為不

D.如果取到的零件是次品，則是第3臺車床加工的概率為:

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用乘法公式、互斥事件加法求概率判斷A、B正誤；應(yīng)用條件概率公式求C、D描述中對應(yīng)的

概率，判斷正誤.

【詳解】A：由題意任取一個零件是第1臺生產(chǎn)出來的次品概率為6%x25%=1.5%,正確；

B：由題設(shè)，任取一個零件是次品的概率為6%x25%+5%x30%+5%x45%=5.25%,正確；

C：由條件概率，取到的零件是次品，則是第2臺車床加工的概率為

5%x30%2-

--------------------------------=—,正確；

6%x25%+5%x30%+5%x45%7

D：由條件概率，取到的零件是次品，則是第3臺車床加工的概率為

5%x45%3

--------------------------------=一,車日慶.

6%x25%+5%x30%+5%x45%7

故選：ABC

11.關(guān)于函數(shù)/（x）=2+lnx,下列判斷正確的是（）

X

A.x=2是〃力的極大值點

B.函數(shù)y=/（x）-x有且只有1個零點

C.存在正實數(shù)左，使得〃尤）＞去成立

D.對兩個不相等的正實數(shù)片,須，若/（玉）=/（9），則/（七+巧）＞；+如4.

【答案】BD

【解析】

【分析】①對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)極值的定義進(jìn)行判斷即可；

②求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及零點存在性定理，可判斷出零點個數(shù)；

③利用參數(shù)分離法，構(gòu)造函數(shù)g（x）==+」3,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性和極值進(jìn)行判斷即

XX

可；

④設(shè)0<%<2<々，則4—%>2,構(gòu)造函數(shù)并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可證明

再結(jié)合/(尤)的單調(diào)性，可得到一石<々，即可得到

/(4-XI)-/(A2)=/(4-^)-/(X1)<0,4

X]+x2>4,從而可得證.

91X—2

【詳解】A函數(shù)的定義域為(0,+8),函數(shù)的導(dǎo)數(shù)r(x)=—1+(=丫，.?.在(0,2)上，尸(x)<0,

函數(shù)單調(diào)遞減，(2,+“)上，/^x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，.?.尤=2是“力的極小值點，即A錯誤；

2

291_r?r_O

B.y=/(%)-%=—+lnx-%,/.y'=——7+——1=-------------<0,函數(shù)在(0,+℃)上單調(diào)遞減，且

X%XX

/（l）-l=2+lnl-l=l>0,/（2）—2=l+ln2—2=ln2—1<0,.?.函數(shù)y=/（x）-x有且只有1個零

點，即8正確；

C右/(x)>Ax,可付左〈f""*------，令g(x)=~y+-----，貝Ug(%)=---------3-------，令

XXXX

Mx)=T+x-xlnx,則〃'(x)=-lnx,.?.在xe(O,l)上，函數(shù)人⑺單調(diào)遞增，％e(l,+co)上函數(shù)

o1n丫

入⑺單調(diào)遞減，「?//(%)<//(1)<0,/.g'(%)<0,g(x)=—+----在(0,+■)上函數(shù)單調(diào)遞減，

JCX

函數(shù)無最小值，，不存在正實數(shù)左，使得/(%)>去恒成立，即c不正確；

27

D令，￡（0,2）,則2—，￡（0,2）,2+/>2,令g（，）=/（2+?）—/（2—，）=------i~ln（2+r）----------

2+?2—t

4（/-4）-8/2-t2-t+2+t—4產(chǎn)—164

1/c\4%12+t則g'a）=

]n（2—/）=------FIn------,,2—4）2+2+f（2T/--------------V-------------T

、）產(chǎn)—42-t4-廠

-8產(chǎn)

T<0,g。)在(0,2)上單調(diào)遞減，則g(0<g(O)=O,令“2—t,由/(玉)=/(%2)，

r-4

得X2>2+f,則%>2-f+2+t=4,當(dāng)々24時，石+々〉4顯然成立，，對任意兩個正實數(shù)

A，鼻，且馬〉石，若/(石)=/(%2)，則西+工2〉4,所以/(X+X2)>/(4)=g+ln4.故。正

確.

故選：BD.

【點睛】本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)的單調(diào)性和極值，函數(shù)零點個數(shù)的判斷，以及構(gòu)造法

證明不等式，對于C,解題的關(guān)鍵是利用參變分離進(jìn)行分析，對于D,解題的關(guān)鍵是判斷％+々>4.綜

合性較強，運算量較大，有一定的難度.

第II卷(非選擇題)

三、填空題(每小題5分，共15分)

12.(x+y)(2x-3y)5的展開式中//的系數(shù)是.

【答案】-360

【解析】

【分析】寫出(2x-3y)5的展開式的通項，然后對/?分類求得答案.

【詳解】(2x—3?展開式的通項為ZM=G(2X廣(―30=C>25-3)'產(chǎn)了，r=0,1,2,,5,

①令r=2,則式；?23.(—3『dy2=720_?y3.

②令廠=3,則；cC；?22.(—3)3x2y3=—1080Vy3.

綜上可得：展開式中項的系數(shù)為720—1080=-360.

故答案為：-360.

13.如圖所示，在A,8間有四個焊接點1,2,3,4,若焊接點脫落導(dǎo)致斷路.則電路不通，則因為焊接

點脫落而導(dǎo)致電路不通情況有種.

2

A3B

【答案】13

【解析】

【分析】分類討論，列舉出脫落1個，2個，3個，4個焊接點導(dǎo)致電路不通的情況，求出答案.

【詳解】若脫落1個，則有(1),(4)兩種情況，

若脫落2個，則有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6種情況，

若脫落3個,則有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4)共4種情況.

若脫落4個，則有(1,2,3,4)共1種情況，綜上共有2+6+4+1=13種情況.

故答案為：13.

14.若函數(shù)/(x)=；d—x在(a,10—〃)上有最小值，則實數(shù)。的取值范圍為

【答案】-2<a<l

【解析】

【詳解】F(X)=*—1=(x+1)(X—1),令f(X)>0得xV—l或X>1,

令/(x)V0得一所以函數(shù)/<x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(—8,—1)和(1,+8),減區(qū)間為

(—1,1).

C31C2cl3CY3

依題意得：尸(X=?！辈?P(X=1)=干=7P(X=2)=^=-,

:.X的分布列為:

X012

133

P

10510

【小問2詳解】設(shè)第1次抽到男老師為事件A,第2次抽到男老師為事件5,則第1次和第2次都抽到男

老師為事件AB,

根據(jù)分步計數(shù)原理n(A)=A；A；=12,〃(AB)=A；=6.

所以?y4

2

17.已知函數(shù)/（x）=2m>lnx+3〃3b為實數(shù)）的圖象在點（L/（l））處的切線方程為y=x+L

（1）求實數(shù)。、b的值；

（2）求函數(shù)/（尤）的單調(diào)區(qū)間和極值.

【答案】（1）

（2）減區(qū)間為增區(qū)間為極小值為/（：］=一：+2,無極大值.

【解析】

【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出關(guān)于。、〃的方程組，即可得出實數(shù)。、6的值;

（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)/（力的單調(diào)性，結(jié)合極值的定義可得結(jié)果.

【小問1詳解】

解：因為〃x）=2at1nx+3Z2,該函數(shù)的定義域為（0,+“），/,（x）=2a（l+lnx）,

因為函數(shù)/（x）=2G>lnx+3b（。、6為實數(shù)）的圖象在點（L/。））處的切線方程為y=x+l,

1

(1———

Kf,(Tl}=弘2a一=l解得2

則

3

【小問2詳解】

解：由（1）可得/（x）=xlnx+2,該函數(shù)的定義域為（0,+“），/f（%）=l+ln%,

18.甲乙兩家快遞公司的“快遞小哥”的日工資方案如下：甲公司規(guī)定底薪70元，每單獎勵1元；乙公

司規(guī)定底薪100元，每日前45單無獎勵，超過45單的部分每單獎勵6元.

（1）設(shè)甲、乙兩家快遞公司的“快遞小哥”日工資分別為力,為（單位：元）與送貨單數(shù)〃（單位:

單，〃eN*）的函數(shù)關(guān)系式分別為％=/（"），%=g（"），求％=/（"），％=g（"）的解析式.

（2）假設(shè)同一公司的“快遞小哥”的日送貨單數(shù)相同，現(xiàn)從兩家公司各隨機抽取一名“快遞小哥”，并

若將頻率視為概率，回答下列問題：

①記乙快遞公司的“快遞小哥”日工資為X元，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

②小趙打算到兩家公司中的一家應(yīng)聘“快遞小哥”的工作，如果僅從日工資的角度考慮，請你利用所學(xué)

的統(tǒng)計知識為他進(jìn)行選擇，并說明理由.

“100,zz<45,neN

【答案】(1)如=70+〃，“eN*;%=<*；(2)①分布列見解析；期望為112；

-6n-170,n>45,neN

②推薦小趙去甲快遞公司應(yīng)聘；理由見解析.

【解析】

【分析】(1)由已知可求得甲快遞公司的“快遞小哥”的日工資%和乙快遞公司的“快遞小哥”的日工

資為?與送貨單數(shù)九的函數(shù)關(guān)系式.

⑵①由條形圖得X的取值范圍為{100,106/18,130},分別求得P(X=100),P(X=106),

P(X=118),P(X=130),由此可得X的分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式可得答案.

②求得甲快遞公司的“快遞小哥”日平均工資，由①知，乙快遞公司的“快遞小哥”日平均工資，比較

可得結(jié)論.

【詳解】解：(1)甲快遞公司的“快遞小哥”的日工資當(dāng)中與送貨單數(shù)"的函數(shù)關(guān)系式為

%?=/(〃)=70+〃，neN*.

乙快遞公司的“快遞小哥”的日工資為?與送貨單數(shù)〃的函數(shù)關(guān)系式為

,、［100,〃《45,〃￡N*

y=g(〃)=〈.

?6〃-170,〃〉45,〃wN*

(2)①由條形圖得x的取值范圍為{100,106/18,130},

P(X=100)=10+10=0.2,P(X=106)=—=0.3,

100100

P(X=118)=——=0.4,尸(X=130)=——=0.1,

100100

所以X的分布列為

X100106118130

P0.20.30.40.1

故X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=100x。.2+106x0.3+118x0.4+130x0.1=112.

②甲快遞公司的“快遞小哥”日平均送貨單數(shù)為42x0.2+44x0.4+46x0.2+48x0.1+50x0.1=45,

所以甲快遞公司的“快遞小哥”日平均工資為70+45=115(元)，

由①知，乙快遞公司的“快遞小哥”日平均工資為112元.

故推薦小趙去甲快遞公司應(yīng)聘.

19-設(shè)函數(shù)〃x)=(x+i)：(x+i)("°)-

(1)求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求"X)的取值范圍;

1

(3)已知不等式2新〉(x+i)"，對任意xe(-1,0)恒成立，求實數(shù)加的取值范圍.

【答案】⑴單調(diào)遞增區(qū)間是11,(—”,單調(diào)遞減區(qū)間是[—1,0)0,+8)；

(2)(-co,-e]u(0,+<?)；

(3)；w>-eln2.

【解析】

【分析】(1)解決不含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性問題，先求原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，接著分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可得解;

(2)由已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，先分析函數(shù)的極值，進(jìn)而求出它一定屬于的范圍，再用零點存在定理驗證能

取遍整個范圍即可

(3)在不等式兩邊取自然對