河南省開封市2024屆高三第三次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題試題及答案

開封市2024屆高三年級(jí)第三次質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的考生號(hào)、姓名、考點(diǎn)學(xué)校、考場(chǎng)號(hào)及座位號(hào)填寫在答題卡

上.

2.回答選擇題時(shí).選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需

要改動(dòng).用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，

寫在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后.將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(zT)i=T,則忖=()

A.1B.V2C.6D.2

【答案】B

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的加減乘除四則運(yùn)算求出z,再求其模即得.

【詳解】由(z—l)i=-1可得z=l—：=l+i,貝"z|=&.

故選：B.

2.已知向量)=(2,1),a+b=(l,tn),若?！ㄘ?，則加=()

A.-3B.3C.--D.:

22

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量共線的坐標(biāo)關(guān)系即可求解.

【詳解】由a=(2,l),a+Z;=(1,可得b=(a+Z?)-a=(—1,根一1),

由a〃〃可得一］=,解得機(jī)=；,

故選：D

3.設(shè)U=R,己知集合4=｛劃》21｝,5=｛刈%＞。｝,且(令4)。6=H，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

A.(l,+oo)B.C,[1,+oojD.(-8,1)

【答案】D

【解析】

【分析】由題設(shè)可得令A(yù)={x|x<l},根據(jù)已知集合的并集結(jié)果即可求。的取值范圍.

【詳解】由題設(shè),^A={x|x<l},又&A)u5=R,B=[x\x>a],

?.a<1'

故選：D

4.在5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中隨機(jī)抽出1道題，抽出的題不再放回，則在第1次

抽到幾何題的條件下，第2次抽到代數(shù)題的概率是()

3336

A-B.——C.—D.—

4102525

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由條件概率的計(jì)算公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】設(shè)事件A="第1次抽到幾何題"，事件3="第2次抽到代數(shù)題”，

2233

所以尸(A)=Z，P(A5)=W*：=/，

55410

3

3

則。(例4)=號(hào)黑=

120一--

14

P(A)5

故選：A.

5.已知。1(用94=1,貝!|2一"=()

111

A.-B.-C.一

983

【答案】C

【解析】

【分析】運(yùn)用對(duì)數(shù)與指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化即可求得.

【詳解】由。1。894=1可得4"=9，即(2〃)2=9,2〃=3,故

故選：C.

6.在某項(xiàng)測(cè)驗(yàn)中，假設(shè)測(cè)驗(yàn)數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布N（78,16）.如果按照16%,34%,34%,16%的比例將測(cè)

驗(yàn)數(shù)據(jù)從大到小分為A,B,C,。四個(gè)等級(jí)，則等級(jí)為A的測(cè)驗(yàn)數(shù)據(jù)的最小值可能是（附：若

X,則P（|X-卜0.6827,P（|X_/<2o?b0.9545）（）

A.94B.86C.82D.78

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性，即可求解.

【詳解】測(cè)驗(yàn)數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布X~N（78/6）,

則〃—78,（7==4，

故尸（X〉〃+b）=——?2——'-0.16，

故A等級(jí)的分?jǐn)?shù)線應(yīng)該是〃+。=78+4=82.

故選：C

7.已知點(diǎn)尸是拋物線/=4x的焦點(diǎn)，M,N是該拋物線上兩點(diǎn)，|耐|+|八下|=6,則MN中點(diǎn)的橫坐

標(biāo)為（）

35

A.—B.2C.—D.3

22

【答案】B

【解析】

【分析】利用拋物線的定義和中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解.

【詳解】設(shè)點(diǎn)監(jiān)N坐標(biāo)分別為區(qū),％）,（%,為），拋物線V=4x的準(zhǔn)線方程為x=—1,

由拋物線定義有，|加耳=石+1,|八，巴=%+1,

所以％1+1+%2+1=6,為+4=4,故%=2,選項(xiàng)B正確.

故選：B.

8.記5.為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，T”為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)積，若％=1,則滿足7；>1000的

n的最小值是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)4+1=5"可得｛S,,｝為公比為2的等比數(shù)列，即可求解S“=2"T,進(jìn)而可得〃N2,4=2"-2,

根據(jù),的表示即可求解.

【詳解】由4+1=S,可得S“+i—S“=Sn=>Sn+l=2Sn,Sj=1*0,

故｛S'｝為公比為2的等比數(shù)列，故S“=2"T,

所以4+i=S“=2"T,故〃N2,a'=2"-2,

2〃-2,〃”

因止匕=<

1,〃二1

(〃-1)(〃-2)

故7；=64%.an=1X2°X21X2Z,-2=22

要使7；〉1000,則

當(dāng)〃=6時(shí)，2i°>1000，〃=5時(shí)，26<1000,且在“25時(shí),隨著正整數(shù)九的增大而增

2

大，故”的最小值為6,

故選：B

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

22

9.橢圓。：^—+當(dāng)=1（機(jī)〉0）的焦點(diǎn)為后，工，上頂點(diǎn)為A，直線入￡與C的另一個(gè)交點(diǎn)為8,若

m+1m

TT

/《公耳=§，則（）

A.C的焦距為2B.C的短軸長(zhǎng)為26

C.C的離心率為組D.△ABE,的周長(zhǎng)為8

2一

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)ZFtAF2=-以及橢圓的對(duì)稱性可得《=（3]=-^―，進(jìn)而可求解a=2,b=y/3,c=l,

3a2m+1

即可根據(jù)選項(xiàng)逐一求解.

7171

【詳解】由于/耳人6=—，所以/片49=/。4鳥=一,

36

故COSN《AO=C=*=^^=2=E,

6|A用產(chǎn)了a2

b2一m2

因止匕二二，故m2=3，

am2+1

所以橢圓C:土+)—=1,a=2,b=C,c=\

43

對(duì)于A,焦距為2c=2,故A正確，

對(duì)于B,短軸長(zhǎng)為2/7=26，B正確，

c1

對(duì)于C,禺心率為6=—=—,C錯(cuò)誤，

a2

對(duì)于D,△AB&的周長(zhǎng)為4a=8,D正確,

10.己知函數(shù)〃x)=cos2尤-Sil?%,將函數(shù)/(%)的圖象向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖

6

象，貝I()

A.函數(shù)g(x)的周期為兀

B.函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線尤=g對(duì)稱

C.函數(shù)g(x)在區(qū)間0,^上單調(diào)遞減

JT1

D.函數(shù)g(x)在區(qū)間0,-上的最小值為-一

22

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)二倍角公式化簡(jiǎn)/(x)=cos2x,即可利用平移求解g(x)=cos2%-三，結(jié)合選項(xiàng)即可逐

一求解.

【詳解】/(x)=cos2x-sin2x=cos2x,

2九

故數(shù)g(x)的周期為萬(wàn)=兀，A正確,

對(duì)于B.函數(shù)g三二cosgw±l,故g(x)不關(guān)于直線％=對(duì)稱，B錯(cuò)誤,

對(duì)C.當(dāng)XC0,方，則2廠夫-j.y<z[0,7r],故函數(shù)g(x)在區(qū)間0,-|不是單調(diào)遞減，C錯(cuò)誤,

對(duì)于D.xe，則2x-*,故當(dāng)2尤時(shí)，g(X)取最小值cos,=—1■故D正確，

故選：AD

11.已知函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镽,且/(%+y)+/(%-y)=/(%)/(丁)，/。)=1，則()

A./(O)=2B.f(3-x)=f(3+x)

C.〃九)是周期函數(shù)D.7(尤)的解析式可能為/(x)=2sinBx

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用賦值法求/(。)=2判斷A；賦值法可得函數(shù)奇偶性即可判斷D；利用賦值法求得

f(x+l)^f(x)-f(x-l),化簡(jiǎn)得/5)=-/(尤-3)=/(》一6),即可判斷C,由周期性和奇偶性即可求解B.

【詳解】由吊(x+y)+C(x—y)=Q(x)/(y),

令1=1,y=0,有/⑴+/⑴=”1)/(0),可得"0)=2,故A正確；

令％=0,則/(y)+/(—y)=/(0)/(y)=2/(y),則/(y)=/(-y),

函數(shù)Ax)是偶函數(shù)，而y(x)=2sinBx為奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤，

/。)=1，令y=L

則f(x+1)+f{x-1)=/(X)/⑴="X),

所以/(x+l)=/(x)—/(x—l),

則=2),

于(x+1)=[/(x-1)-f(x-2)]-于(x-1)=-f｛x-2),

所以/(X)=-/(X—3)=/(X-6),則周期為6,C正確.

由于Ax)為偶函數(shù)且周期為6,故"3—x)=/(x—3)=/(3+力，B正確，

故選：ABC

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知｛4｝為等差數(shù)列，S,,為其前幾項(xiàng)和，若q=8,。4+%>=0，則$8=

【答案】8

【解析】

【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程求解公差，進(jìn)而可以求出工

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為=8,%+4=0，

...2x8+84=0,解得d=-2.

e8x7

貝ijS=8X8-2X----=8.

82

故答案為8.

13.已知函數(shù)y(x)=x—工的值域?yàn)椤?8),則/⑺的定義域可以是

X

【答案】[—1,。)工+8)(答案不唯一)

【解析】

【分析】解分式不等式得到X范圍，寫出符合題意的定義域即可.

【詳解】令x—工》0,解得—lWx<0或121,

則/(X)的定義域可以是[-1,0)[1,+8),

故答案為：[-1,。)一口,+8)(答案不唯一).

14.在矩形ABCD中，AB=2,AD=2』，沿對(duì)角線AC將矩形折成一個(gè)大小為。的二面角

B-AC-D,當(dāng)點(diǎn)2與點(diǎn)。之間的距離為3時(shí)cos，=.

【答案】I

6

【解析】

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得3。=6￡+斯+尸。，利用模長(zhǎng)公式，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算即可求解.

詳解】分別作BE,AC，DF1AC,垂足為E,F,則0=〈仍,如〉.

由AB=2，AD=26可得4。=4,所以仍=FD=^^=G,AE=b=l,￡F=2.

因?yàn)锽D=BE+EF+FD，貝I

2,2-2-2

\BD^=BD=(BE+EF+FD)2=BE~+EF+FD+2BEFD

9=3+4+3+2A/3-^/3COS(TI-61),

故cos9=工，

6

故答案為：—.

6

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.某學(xué)校有A,B兩家餐廳，A餐廳有2種套餐選擇，8餐廳有4種套餐選擇，且這6種套餐各不相

同.A餐廳距離教學(xué)樓相比于8餐廳要近很多，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，100名不同性別的學(xué)生選擇餐廳用餐的情況

如下：

男女

在A餐廳用餐4020

在2餐廳用餐1525

(1)求某天甲、乙兩名同學(xué)選擇同一套餐用餐的概率；

(2)依據(jù)￡=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別與選擇餐廳之間有關(guān)聯(lián)?

n^ad-bc^

附：/=,

a0.050.010.0050.001

%3.8416.6357.87910.828

【答案】（1）—

50

（2）依據(jù)a=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為性別與選擇餐廳之間有關(guān)聯(lián)

【解析】

【分析】⑴分別求解p（A）=（）,p（4）=1|）,P（4|4）=g,P（4|4）=：,利用全概率公式可求得

所求事件的概率；

（2）完善二聯(lián)表，即可計(jì)算卡方，與臨界值比較作答.

【小問(wèn)1詳解】

由表中數(shù)據(jù)可得，選擇A餐廳的概率為%=3,選擇B餐廳的概率為a=2,

10051005

設(shè)事件A：甲乙去A餐廳用餐，事件用：甲乙去B餐廳用餐，事件4：甲乙選擇同一種套餐,

事件A:甲、乙兩名同學(xué)選擇同一套餐用餐，

則P（A）=P（A）P（4|A）+P（4）P（4|4）=電義：吟;

故甲乙兩人選擇同一家餐廳的概率為口

50

【小問(wèn)2詳解】

根據(jù)數(shù)據(jù)可得方案一的列聯(lián)表:

合

男女

計(jì)

在A餐廳

402060

用餐

8餐廳

152540

用餐

合計(jì)5545100

零假設(shè)為“0：認(rèn)為性別與選擇餐廳之間無(wú)關(guān),

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到KJ—(20x15-25x40)2

~8.249>7.879=x,

55x45x40x600005

依據(jù)小概率值a=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推斷“°不成立，即性別與選擇餐廳之間有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤

的概率不大于0.005.

16.已知函數(shù)/(x)=%3—31nx,/'(x)為/(尤)的導(dǎo)函數(shù).

(1)求曲線y=/(%)在點(diǎn)(1,7(1))處的切線方程；

9

(2)求函數(shù)g(x)=/(x)-/'(X)—-的單調(diào)區(qū)間和極值.

X

【答案】(1)y=l

(2)見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求出=/'。)=0，，代入直線的點(diǎn)斜式方程即可求出切線方程;

(2)求出導(dǎo)函數(shù)，用列表法求出極值即可.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?⑴=%3_311K的定義域?yàn)?0,+8),r⑴=3d--,

所以r(i)=o,

所以曲線y=/(尤)在點(diǎn)(L/(1))處的切線方程為y=1.

【小問(wèn)2詳解】

32

依題意g(x)=二x-31nx-3x--則

JCX

3(X3-1)(X-2)

,36/、3(2—x)

g(%)=3%7--6x----\--=3x(x-2)+——j——

xx尤

令g<x)=0,解得X=1或x=2.

當(dāng)x變化時(shí)，g'a),g(x)的變化情況如表所示:

X(0,1)1(L2)2(2,+8)

g'(x)+0—0+

g(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

.??函數(shù)g(x)單調(diào)遞減區(qū)間為(1,2),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),(2,+CO).

故g(x)的極小值為g(2)=—7—31n2,g(x)的極大值為g(1)=-8.

17.已知A(-1,O),B(1,O),對(duì)于平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)尸(x,y)(xw±l),PMLx軸于點(diǎn)M,MIAMI，

PM，忸叫成等比數(shù)列.

(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；

(2)已知過(guò)點(diǎn)A的直線/與C交于V,N兩點(diǎn),若AM.AN=8，求直線/的方程.

【答案】(1)/=卜2-1(%*±1)

J?

(2)y=±《-(x+l)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)點(diǎn)距離，結(jié)合等比中項(xiàng)即可化簡(jiǎn)求解,

"k2+l2k、'-F+l2k、

(2)聯(lián)立直線與曲線的方程，根據(jù)韋達(dá)定理可得M,即可利用向量數(shù)

J一左2，1_42,、1+左2'1+左2,

量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解.

【小問(wèn)1詳解】

由題意可得"(x,o),則|AM|=|x+l|'1PM=僅|,忸M

由于|可田，歸閭，忸收成等比數(shù)列，所以1PM2TAM?忸M,

即M=|%+i||x-i|^/=|%2-i|,

故點(diǎn)尸的軌跡C的方程為y2=|x2-l|(xw±l)

【小問(wèn)2詳解】

由(1)知點(diǎn)尸的軌跡C的方程為：當(dāng)尤>1或》<一1,一一/=1,

當(dāng)-L<x<l時(shí)，x2+y2=1,如圖；

由題意可知直線/有斜率，設(shè)/方程為y=^(x+l),

聯(lián)立卜2=左'+?、=（1一左2）%2_242》_/_1=0,

x-y'7

222

nil-V-l|k+l.._,（k+l^_2kA/I（k+12左）

人」=-1,..%==，故％—左卜_產(chǎn)）_1_k2，一用［1_k2，1_k2,，

聯(lián)立（1="：+?、=（1+左2）k+2左一+獷―1=0,

%2+/=1（-1<%<1,）I）

則XX—人工「工」公+1故yT仁H-旦

人JX/N-京，XA--1,..XN-^-^,故為一41+左2廠1+左2，-'1+左2，1+m

（k2+lN-k2+l02k2k

AM-AN二8,

k1+kJ1—k1+左

解得k2=—=^>k=±——，

22

故直線方程為y=±等(x+1)

18.已知四棱錐P—ABCD的底面ABC。是正方形，給出下列三個(gè)論斷：①PC=PD；②ACLPD；③

3￡)工平面PAC.

(1)以其中的兩個(gè)論斷作為條件，另一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題，并證明;

(2)在(1)的條件下，若八4=1,求四棱錐P—ABCD體積的最大值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵迪

27

【解析】

【分析】（1）①②n③，根據(jù)AC，平面PBD以及三角形全等可證明平面ABCD,即可由線面垂直

的判定求解，③②n①，根據(jù)線面垂直可得四棱錐ABCD是正四棱錐，即可求證，①③n②，根據(jù)線面垂

直，結(jié)合三角形全等，可證明四棱錐ABCD是正四棱錐，即可根據(jù)線面垂直得線線垂直，

（2）根據(jù)正四棱錐性質(zhì)，由體積公式得體積表達(dá)式，即可利用不等式求解最值.

【小問(wèn)1詳解】

①②n③，

連接AC,5。相交于。，連接0P,

由于底面ABCD是正方形，所以AC13。，

又AC_LPD,PDBD=D,PD,BDu平面PBD,

故ACJ_平面P8D,

由于OP=OP,OD=OC,PD=PC,故.POD=POC,

因此0cop,OCO￡>=O,OC,O￡）u平面ABC。，

故P01平面ABC。，（可得四棱錐ABCD是正四棱錐）

BDu平面ABCD,故POLBD,

又AC，ACc尸。=O,AC,POu平面P4C,故1平面R4c.

②③n①，

連接AC,5。相交于。，連接。P,

由于底面A6CD是正方形，所以AC13。，

又AC_LPD,PDBD=D,PD,BDu平面PBD,

故ACJ_平面尸3D,OPu平面PBD,故AC_LOP,

又/平面24C,QPu平面PAC,故

ACcBD=O,AC,5Du平面ABCD，故OP，平面ABCD,

結(jié)合底面ABC。是正方形，。是正方形的中心，

所以四棱錐ABCD是正四棱錐，故PC=PD,

①③n②，

連接AC,5。相交于。，連接。P,

3￡)/平面PAC,OPu平面P4C,故

由于OP=OP,OD=OB,故POD‘POB,

又OP=OP,OD=OC,PD=PC,故_POD三尸OC,

TT

故APOD=ZPOC=ZPOB=

2

因此尸OCc03=0,00,05u平面ABC。，故OP,平面ABC。,

故四棱錐ABC。是正四棱錐,

由于AC1BD,又ACLOP,OPcBD=DQP,BDu平面PBD,

故AC_L平面PSD,。。匚平面用￡),故4。，尸￡),

【小問(wèn)2詳解】

無(wú)論選擇哪兩個(gè)條件，都可以推出四棱錐ABCD是正四棱錐,

設(shè)四棱錐的底邊邊長(zhǎng)為。，則四AO=Y2q,

2

所以P0=《PA2_A°2=}_曰a=/-#，

故匕…

由于工/-

BPa2=-

43

時(shí)取等號(hào),

故四棱棱錐P-ABCD體積的最大值為生8.

27

19.點(diǎn)S是直線P。外一點(diǎn)，點(diǎn)、M,N在直線尸。上(點(diǎn)M,N與點(diǎn)P,。任一點(diǎn)不重合).若點(diǎn)M在線段

SPsinZPSM/、\SPsinZPSM

尸。上，記(P,Q;M)=。。;若點(diǎn)〃在線段「。外,記儼?町=一.記

si\SQ■sinZMSQ

(PQ.N)=(Pe絲)

(以'J(P,Q;N).記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知6=2,A=60°,

點(diǎn)。是射線5C上一點(diǎn)，且(3,C；D)=；.

(1)若AD=G+1，求/ADC；

(2)射線上的點(diǎn)Mo，Mi>加2,.??滿足(5,。；此,。)=_1+『，〃eN,

(i)當(dāng)〃=0時(shí)，求|4%|+8]AT)|的最小值；

(ii)當(dāng)〃。0時(shí)，過(guò)點(diǎn)。作。匕，AM“于匕，記。“=子，求證：數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和S“<2+JL

【答案】(1)ZCDA=-,笆叵

43

(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)定義可得sinN54O=sinNG4。，即可根據(jù)余弦定理求解，

(2)(i)根據(jù)等面積法可得1^+目=因，即可利用不等式乘“1”法即可求解,

匹|\AD\2

22

(ii)由修二人^^口0=/2，"〃二一I2、結(jié)合放縮法即可求解?

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?民是線段上一點(diǎn)，6=2,

csin/BADcsinABADc

所以(5,。;。)=故sinABAD=sinZ.CAD,

bsinNCAD2sinZCAD2

所以AD為4c的角平分線，又A，所以NB4D=NC4Z)=3(y,

若|AD|=B+1,在ACD中，由余弦定理可得

|CD|2=|AC|2+|A￡>|2-2|AC|-|AD|COSZC4D=4+(A/3+1)2-4X(V3+1)COS-^=2,

故|CD|=VL

CDAC-2_2B

由正弦定理可得/,故.兀sinZCDA,解得sin/Cm=：-

sinZC4DsinZCDAsin—2