陜西省西安某中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

陜西省西安三中2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試

題

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B

鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

恰有一項(xiàng)是符合題目要求的

1.已知a>P>0,則（）

A.sinQL>sin^B.cosQk<cosPc.lOga>log^D,2?<2P

2.若不等式am-6+1<0的解集為空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（)

A.0<a<4B.0<<2<4C.0<a<4D.0<a<4

3.如圖，在長方體ABC?！狝RCR中，A4I=1,AB=AD=2,E,歹分別是5C,

。。的中點(diǎn)則異面直線AR與所所成角的余弦值為（）

4

5

_兀

4.已知向量&=（2,tan。），b=（1,-1）,且。//萬，貝9）=（）

C1

A.2B,-3C.-1D,--

5.已知函數(shù)/（x）=sin[2x+/os[2x+^],則函數(shù)/G）的最小正周期為（）

C兀

A.4兀B,271C.兀D,—

2

6.已知”,beR,若關(guān)于x的不等式心+依+620的解集為R/M）

A.a2-b>0B.a2-b<0C.tz2-4b>QD.(?2-4b<0

7.

7.已知向量。是單位向量，b=（3,4）,且石在。方向上的投影為一"刖2”nrl=

A.36B.21C.9D.6

8.《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二

人所得與下三人等.問各得幾何.”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、

乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列.問

五人各得多少錢？”（“錢”是古代的一種重量單位）.這個(gè)問題中，甲所得為（）

5435

A.w錢B.w錢C.]■錢D.可錢

9.已知函數(shù)/G+2）是連續(xù)的偶函數(shù)，且x>2時(shí)，/G）是單調(diào)函數(shù)，則滿足

/Q）=/1--二的所有為之積為（）

Ix+4）

A.4B,-4C.-39D.39

10.《五曹算經(jīng)》是我國南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家甄鸞為各級(jí)政府的行政人員編撰的一部實(shí)用

算術(shù)書.其第四卷第九題如下：“今有平地聚粟，下周三丈高四尺，問粟幾何？”其意思

為“場院內(nèi)有圓錐形稻谷堆，底面周長3丈，高4尺，那么這堆稻谷有多少斛？”已知1

丈等于10尺，1斜稻谷的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3,估算出堆放的稻谷約

有（）

A.57.08斜B.171.24斛C.61.73斛D.185.19斛

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

11.某銀行一年期定期儲(chǔ)蓄年利率為2.25%,如果存款到期不取出繼續(xù)留存于銀行，銀

行自

動(dòng)將本金及80%的利息（利息須交納20%利息稅，由銀行代交）自動(dòng)轉(zhuǎn)存一年期定期

儲(chǔ)蓄，

某人以一年期定期儲(chǔ)蓄存入銀行20萬元，則5年后，這筆錢款交納利息稅后的本利和

為

元.（精確到1元）

12.在AABC中，sinA:sinB:sinC=2:3:3,貝"cos3=

x-y+l<0

13.已知實(shí)數(shù)龍，丁滿足lx+2y—8V0,則二的最大值為_____.

rx+3

^>1

-兀___兀a_

14.若向量。+6與。的夾角為彳，5與5的夾角為了，則—.

34b

15.函數(shù)/(xbj^sinBx+cosBx的最小正周期為.

16.如圖，為測量出高aW,選擇4和另一座山的山頂。為測量觀測點(diǎn)，從A點(diǎn)測得

M點(diǎn)的仰角/阪4N=60。，。點(diǎn)的仰角NC4B=45。以及NM4c=75。；從。點(diǎn)測

得/MC4=60。.已知山高BC=100根，則山高M(jìn)N=加.

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

驟。

17.設(shè)遞增等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S"，已知%=1，%是%和%的等比中項(xiàng)，

(1)求數(shù)列｛與｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛”“｝的前n項(xiàng)和Sn.

18.已知S,T分別是數(shù)列｛a｝,｛。｝的前幾項(xiàng)和，S=2"+1,泌=2T(〃eN*)且

nnnnnn+in

b=2.

2

(1)求數(shù)列｛a｝與毋｝的通項(xiàng)公式；

nn

(2)求數(shù)列｛。。｝的前〃項(xiàng)和尺.

nnn

19.已知函數(shù)/(x)=sin(3x+(p)(O<(p<7T),其圖象的一個(gè)對稱中心是[go],

將/(X)的圖象向左平臂個(gè)單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象.

(1)求函數(shù)g(x)的解析式；

(2)若對任意xe[0j],當(dāng)x<無時(shí)，都有/G)—/G)<gG)—g(x),求

12121212

實(shí)數(shù)f的最大值；

「兀11

(3)若對任意實(shí)數(shù)a,y=g?x)(①>0)在a,a+~上與直線y=”的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不少

于6個(gè)且不多于10個(gè)，求實(shí)數(shù)3的取值范圍.

20.設(shè)數(shù)列M｝的前項(xiàng)和為S,若S=2a-a,且a,a+l,a成等差數(shù)列.

nnnn\123

(1)求數(shù)列｛。｝的通項(xiàng)公式；

n

111164

(2)若一+—+—+…+—?的，求”的最大值

aaaa65

123n

21,設(shè)向量a=(LT),5=(3,2),C-(3,5).

(1)若(a+活)//c,求實(shí)數(shù)/的值；

(2)求2在Z方向上的投影.

參考答案

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

恰有一項(xiàng)是符合題目要求的

1、C

【解題分析】

根據(jù)特殊值排除A,B選項(xiàng)，根據(jù)單調(diào)性選出C,D選項(xiàng)中的正確選項(xiàng).

【題目詳解】

當(dāng)a=4兀,p=2兀時(shí)，sina=sinp=0,cosa=cosp=1,故A,B兩個(gè)選項(xiàng)錯(cuò)誤.由

于2>1,故loga>logp,2?>2P,所以C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故本小題選C.

22

【題目點(diǎn)撥】

本小題主要考查三角函數(shù)值，考查對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

2、D

【解題分析】

對。分。=0,。/0兩種情況討論分析得解.

【題目詳解】

當(dāng)。=0時(shí)，不等式為1W0,所以滿足題意；

a>0

當(dāng)a/0時(shí)，〈-.0<a<4,

A=。2—4〃<0

綜合得0?。<4.

故選:D

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查不等式的恒成立問題，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基

礎(chǔ)題.

3、A

【解題分析】

連結(jié)由［R//跖，可知異面直線AR與EF所成角是/Aqq,分別求

出然后利用余弦定理可求出答案.

【題目詳解】

連結(jié)因?yàn)锽pj/EF,所以異面直線A%與ER所成角是/ADR,在

AADBi中，嗎=^AA2+AD2=75,A5=QBB2+AB2=75,

DB=」CB2+CD2=2.J2,所以cosAADB=__」吧.

iivii111120205

故選A.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了異面直線的夾角，考查了利用余弦定理求角，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.

4、B

【解題分析】

根據(jù)向量平行得到tan。=-2,再利用和差公式計(jì)算得到答案.

【題目詳解】

向量”=(2,tan。)，5=(1,-1),且。//石，則tanO=—2.

兀八

tan--tanU

tan(--0)=-----------------=-3.

4r兀八

1+tan--tanO

4

故選：B.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了向量平行求參數(shù)，和差公式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.

5、D

【解題分析】

根據(jù)二倍角公式先化簡/G),再根據(jù)7=尊即可。

【題目詳解】

由題意得/(x)=sin(2x+,cos(2x+3]=；sin(4x+g],所以周期為

2兀

=5.所以選擇D

T

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查了二倍角公式;?？嫉亩督枪接姓?、余弦、正切。屬于基礎(chǔ)題。

6、D

【解題分析】

由不等式+辦+520的解集為R,得y=%2+。％+6的圖象要開口向上，且判別式

A<0,即可得到本題答案.

【題目詳解】

由不等式心+6+620的解集為R,得函數(shù)y^x^+ax+b的圖象要滿足開口向上,

且與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn)，即判別式A=a2—45V0.

故選：D

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查一元二次不等式恒成立問題.

7、D

【解題分析】

根據(jù)公式網(wǎng)=后把模轉(zhuǎn)化為數(shù)量積，展開后再根據(jù)層=,『和已知條件計(jì)算.

【題目詳解】

一一7

因?yàn)閎在。方向上的投影為一彳，

所以同cos<a,b>=--,

|2a-5|=jQz一石)=^4a2-4H5+P

cos<a,b>+

4-4xlx(-Z)+25=6.

故選D.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查向量模有關(guān)的計(jì)算，常用公式有忖=后，

8、B

【解題分析】

設(shè)甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為〃-2d,4—d,Q,〃+d,Q+2d,則

a—2d+〃—d=〃+〃+d+Q+2d，解得。=-6d，又

4

a—2d+〃-d+Q+Q+d+〃+2d=5,,a=—

3'

故選B.

9、D

【解題分析】

由y=f(x+2)為偶函數(shù)分析可得f(x)關(guān)于直線x=2對稱，進(jìn)而分析可得函數(shù)f(x)

1

在(2,+oo)和(-oo,2)上都是單調(diào)函數(shù)，據(jù)此可得若f(x)=f(1-------),則有

x+4

11

x=l——或4-乂=1--變形為二次方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系分析可得滿足

x+47x+4

1

f(x)=f(1——-)的所有X之積，即可得答案.

x+4

【題目詳解】

根據(jù)題意，函數(shù)y=f(x+2)為偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=2對稱,

又由當(dāng)x>2時(shí)，函數(shù)y=f(x)是單調(diào)函數(shù)，則其在(-8,2)上也是單調(diào)函數(shù),

111

若f(x)=f(I-),則有x=l-或4-x=l-,

x+4x+4x+4

1

當(dāng)x=l-----y時(shí)，變形可得X2+3X-3=0,有2個(gè)根，且兩根之積為-3,

x+4

1

當(dāng)4-x=l------y時(shí)，變形可得x2+x-13=0,有2個(gè)根，且兩根之積為-13,

x+4

1

則滿足f⑺=f(1—E)的所有X之積為<-3)X(-13)=39;

故選：D.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，涉及函數(shù)的對稱性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，屬于綜合題.

10、C

【解題分析】

根據(jù)圓錐的周長求出底面半徑，再計(jì)算圓錐的體積，從而估算堆放的稻谷數(shù).

【題目詳解】

設(shè)圓錐形稻谷堆的底面半徑為廠尺，

則底面周長為/=2仃=30尺，解得”尺，

71

又高為人=4尺，

所以圓錐的體積為卜=1兀廠2/7=1?兀.（竺）2.4=空。100（立方尺）；

33兀3兀

1QQ

又三。61.73（斛），

1.62

所以估算堆放的稻谷約有61.73（斛）.

故選：C.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了椎體的體積計(jì)算問題，也考查了實(shí)際應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

11、218660

【解題分析】

20萬存款滿一年到期后利息有zoo。。。x2.25%x（1-20%）'本息和共

,再過一年本息和

,經(jīng)過5年共有本息元，計(jì)算即

可求出結(jié)果.

【題目詳解】

20萬存款滿一年到期后利息有,本息和共

,再過一年本息和

,經(jīng)過5年共有本息元，

元.

故填218660.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查了銀行存款的復(fù)利問題，由固定公式可用，本息和=本金利率

X（「利息稅”"，利率是一年年利率，是存款年數(shù)，代入公式計(jì)算即可求出本息和，

屬于中檔題.

1

12'3

【解題分析】

先由正弦定理得到a：b：c=2:3:3,再由余弦定理求得cosB的值.

【題目詳解】

由sinA:sinB:sinC=2:3:3,結(jié)合正弦定理可得a:b:c=2:3:3,

故設(shè)a=2k,b=c=3k,（左>0）,由余弦定理可得

c+C2-Z?24k2+9左2-9左21

cose=--------------=-------------------=-,

lac12k23

故cosB=1.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.

7

I，、8

【解題分析】

根據(jù)約束條件，畫出可行域，目標(biāo)函數(shù)可以看成是可行域內(nèi)的點(diǎn)G,y）和（一3。）的連

線的斜率，從而找到最大值時(shí)的最優(yōu)解，得到最大值.

【題目詳解】

x-y+l<0

根據(jù)約束條件<x+2y—8<0可以畫出可行域，

x>l

如下圖陰影部分所示，

目標(biāo)函數(shù)」可以看成是可行域內(nèi)的點(diǎn)（x,y）和（一3,。）的連線的斜率,

因此可得，當(dāng)在點(diǎn)A時(shí)，斜率最大

X=1

x+2y-8=0

聯(lián)立1,得<7

x=l

即“n

——0rj

所以此時(shí)斜率為27

1-(-3)8

【題目點(diǎn)撥】

本題考查簡單線性規(guī)劃問題，求目標(biāo)函數(shù)為分式的形式，關(guān)鍵是要對分式形式的轉(zhuǎn)化,

屬于中檔題.

巴亞

3

【解題分析】

根據(jù)向量平行四邊形法則作出圖形，然后在三角形中利用正弦定理分析.

【題目詳解】

兀71

如圖所示，R|=OC,IBI=AO=BC,NBDC=3，NCBD=NADB=4,所以在

BC⑷=㈤\a\J6

DC

“BDC中有:--,?,貝U.兀.K,故

sinZCBDsinNBnrD>Csin—sin—\b\3

43

【題目點(diǎn)撥】

本題考查向量的平行四邊形法則的運(yùn)用，難度一般.在運(yùn)用平行四邊形法則時(shí)候，可以

適當(dāng)將其拆分為三角形，利用解三角形中的一些方法去解決問題.

【解題分析】

用輔助角公式把函數(shù)解析式化成正弦型函數(shù)解析式的形式，最后利用正弦型函數(shù)的最小

正周期的公式求出最小正周期.

【題目詳解】

f(x)=sin3x+cos3x=2sin(3x+T=—T=1■兀，

函數(shù)/G)=&sin3x+cos3x的最小正周期為？.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了輔助角公式，考查了正弦型函數(shù)最小正周期公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

16、1

【解題分析】

試題分析：在△ABC中，

?_-ABAC=45°,ZABC=90°,BC=100,AC=-100=100^/2,在△中，

sin45°

ZMAC=75°,ZMC4=60°,z.ZAMC=45°,由正弦定理可得

AMAC_A"一=100"解a〉=Nog在RtAMN中,

----------,即

sinZACMsinZAMCsin60°sin45°

MN=AM-sin/MAN=100>/3xsin60°

=150(m).

故答案為L

考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用.

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

驟。

17、(1)a=2n-1；(2)S=n2-4n.

nn

【解題分析】

(i)用首項(xiàng)％和公差Q表示出已知關(guān)系，求出q,d,可得通項(xiàng)公式；

(2)由等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式得結(jié)論.

【題目詳解】

(I)在遞增等差數(shù)列｛%,｝中，設(shè)公差為

a2=axa

,,<437

a=1

i3

G+3d>=1xQ+6d)

/.511

a+2d=1

ii

a=-3

解得，2?

??.a〃=-3+(〃-1)x2=2n-1.

n(-3+2〃-5)

（2）由（1）知，S-------------=Z12-4w.

n2

【題目點(diǎn)撥】

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式，解題方法是基本量法.

3,n=l

18、（1）a=J…b=n,⑵R=（"一1）2，，+3

?\2n-l,n>2?n

【解題分析】

（1）分別求出〃=1和"22時(shí)的a,b,再檢驗(yàn)即可.

nn

（2）利用錯(cuò)位相減法即可求出數(shù)列｛ab｝的前幾項(xiàng)和R

nnn

【題目詳解】

(1)當(dāng)〃=1時(shí)，a=S=21+1=3,

11

當(dāng)時(shí)，ci—S—S—2〃+1—(2?-i+1)-2n—2?-i—2”-i.

nnn-1

檢驗(yàn)：當(dāng)〃=1時(shí)，?=20=1*3,

3,n=1

所以a=1

n2?-i,n>2,

因?yàn)槊?2T,所以T=b.

n+1n〃2〃+l

當(dāng)〃=1時(shí)，T=—b=1,即b=1,

i221

riH—1

當(dāng)時(shí)，b=T-T=-b-b

nnn—\2〃+l2n

bb

整理得到：f=0.

n+1n

.b、

所以數(shù)列｛f｝是以首項(xiàng)為1,公差為0的等差數(shù)列.

n

b1,

所以f=1,即b=n.

nn

⑵R=3+2x21+3x2?+....+〃x2〃-i

n

R—2=1x2。+2x2i+3義22+...+〃x2〃T①,

n

2(R—2)—1x2i+2x22+3x23+...+〃x2n②，

n

①—②得：—(R—2)=2。+2i+22+...+2〃T—〃x2〃,

n

1一2〃

—(R-2)=-nx2?,

n1—2

R二(〃-1)2鹿+3.

n

【題目點(diǎn)撥】

本題第一問考查由數(shù)列前九項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式，第二問考查數(shù)列求和中的錯(cuò)位相減

法，屬于難題.

2兀n40

19、(1)g(x)=sin(3x+—)；(2)；(3)8<co<.

363

【解題分析】

(1)根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性，可得函數(shù)/(無)的解析式，再由函數(shù)圖象的平移變換法則,

可得函數(shù)ga)的解析式；

(2)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到函數(shù)/(x)-g(x)在［0,“上為增函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)

性進(jìn)行求解即可；

(3)求出y=g(??x)的解析式，結(jié)合交點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為周期關(guān)系進(jìn)行求解即可.

【題目詳解】

(1)因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=sin(3x+(p)(O<(p<7i),其圖象的一個(gè)對稱中心是［一^刀］,

所以有

71717171

/(--)=sin［3(-—)+(p］=0^>(p-y=kn(keZ)y(0<(p<7t):.(p=—,

的圖象向左平移不個(gè)單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象.所以

9

⑵^fG)-f(x2)<gG)-gG2)^fG)-gG)<fG2)-gG),構(gòu)造新

函數(shù)為Mx)=/(%)—g(x)=sin3x,由題意可知：任意,當(dāng)\<卜時(shí)，

都有f(\)—/(己)<g(\)—g(3)，說明函數(shù)，(%)=sin3x在xe[0,t]上是單調(diào)遞

增函數(shù)，而/i(x)=sin3x的單調(diào)遞增區(qū)間為：

兀兀兀2左兀712人兀

——+2左兀V3x<_+2左兀(左wZ)n——+------<x<-+-----(keZ),而

226363

xe[0,t],

717?

所以單調(diào)遞增區(qū)間為：因此實(shí)數(shù)/的最大值為：2；

66

2兀2TI

(3)y—g(①x)—sin(3cox+——),其最小正周期T———,

33CD

K~|7C

而區(qū)間a,a+-的長度為彳，

1-7171

直線y=-；的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不少于6個(gè)且不多于10個(gè)，則3TW下，且5T〉丁，

244

,40

解得：o8<?><—.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了正弦型函數(shù)的對稱性和圖象變換，考查了正弦型函數(shù)的單調(diào)性，考查了已知

兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)問題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

20、(1)a=In.(2)6.

n

【解題分析】

(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合。=S-S,得到a=2a(〃〉1),再由已知條件求得

nnn—1nn-\

%,即可求得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；

1111,1

(2)根據(jù)(1)中的結(jié)果化簡得到R+7+己+…+丁=1—丁，由此結(jié)合已知條件，

24OZnZn

即可求解.

【題目詳解】

(1)由已知s=2a-a,所以a=S-S=2a—2a(〃〉1),

nn