安徽省黃山市2023屆高三第三次質量檢測（三模）數(shù)學試題

2023年安徽省黃山市高中畢業(yè)班第三次質量檢測（三模）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知復數(shù)Z滿足z（l—2i）=i（其中i為虛數(shù)單位），則同=（）

A.lB.-C."D.立

225

2.已知集合4={4盤＞0},8=卜|k＜/},且（\A）iB=B,則實數(shù)0的取值范圍為（）

A.[0,l]B,[0,l）C,（O,l）D,（-oo,0]

3.“。＜1”是“函數(shù)”光）=1082[（1-。）九一1]在區(qū)間（1,+8）上單調遞增”的（）

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

4.黃山市歙縣三陽鎮(zhèn)葉村歷史民俗“疊羅漢”已被列入省級非物質文化遺產(chǎn)保護項目，至今已有500多年的

歷史，表演時由二人以上的人層層疊成各種樣式，魅力四射，光彩奪目，好看又壯觀.小明同學在研究數(shù)列

{4,}時，發(fā)現(xiàn)其遞推公式%+2=%M+%,（"GN*）就可以利用“疊羅漢”的思想來處理，即

=+。2

2%+%,如果該數(shù)列{q,}的前兩項分別為4=1,4=2,其前“n項和記為%

。5=。4+。3=。1+。2+。3+。2

LL

右。2023=m，則52021=（）

-2m—1--

A.2mB.---------C.m+2D.m—2

2

5.為紀念我國偉大數(shù)學家祖沖之在圓周率上的貢獻，國際上把3.1415926稱為“祖率”，某教師為了增加學

生對“祖率”的印象，以“祖率”為背景設計如下練習：讓同學們把小數(shù)點后的7位數(shù)字1,4,1,5,9,2,6進行隨

機排列，整數(shù)部分不變，那么可以得到小于3.14的不同數(shù)有（）個

A.480B.120C.240D.720

6.如圖，球。的表面積為60兀，四面體尸-ABC內接于球O,一ABC是邊長為6的正三角形，平面

平面ABC,則該四面體體積的最大值為（)

A.18B.27C.32D.81

7.已知定義域為R的函數(shù)無），其導函數(shù)為''（九），且滿足r（x）-2〃x）＜0,/（0）=1,則（）

A.^7(-1)<1B./(1)>E2

I<eD.f(^>efI

8.已知|A|=向=。力=2向量c滿足（"）則C在a方向上的投影向量的模長的最大值為

)

A."-??B.2C.14+2萬8+百

77

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列命題中，正確的是（）

A.在回歸分析中，可用決定系數(shù)R2的值判斷模型的擬合效果，R2越大，模型的擬合效果越好

B.對分類變量X與y的統(tǒng)計量/2來說，力2值越小，判斷“X與y有關系，，的把握程度越大

C.在回歸模型中，殘差是觀測值y與預測值y的差，殘差點所在的帶狀區(qū)域寬度越窄，說明模型擬合精度

越高

D.一組數(shù)據(jù)88,90,90,91,92,93,95,96,98的第75百分位數(shù)為95

10.將函數(shù)/（x）=sin2x+6的圖象向左平移四個單位后，得到函數(shù)g（x）的圖象，則（）

6

A.函數(shù)g（X）存在一個極值點x=今■

B.函數(shù)g（x）的圖象關于點go）對稱

（5兀7C）

C.函數(shù)g（x）在區(qū)間一石X上單調遞增

/jrSTT）

D.函數(shù)g（x）在區(qū)間［歷,可|上有兩個零點

11.在棱長為2的正四面體ABC。中，過點。且與8。平行的平面1分別與棱ABA￡>交于點￡,F,點、

。為線段CD上的動點，則下列結論正確的是（）

A.AC±EF

B.當瓦。分別為線段ABCD中點時，b與EQ所成角的余弦值為巫

6

C.線段EQ的最小值為也

D.空間四邊形BCFE的周長的最小值為4+6

12.已知R為拋物線C:9=4x的焦點，過F的直線/與拋物線交于A8兩點（點A在第一象限），過

線段A3的中點〃作y軸的垂線，交拋物線于點P,交拋物線的準線于點N,。為坐標原點，則下列說

法正確的是（）

A.當|AE|=2忸同時，直線/的斜率為2a

B.|PM|>|PN|

C.VR4B的面積不小于AQ4B的面積

D.|PA|2+|PB|2=101PM2

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.將（1-2x）（1+3x）4展開后按x的升累排列，則第3項為.

14.定義在R上的奇函數(shù)/⑺，滿足對X/a,Z?e［0,+8）且出b,都有（a—與［/（。）—/3）］<0成立，則

當不等式/（I+尤）+/（-3%）>0成立時，9、+三3的最小值為.

15.設直線x+by-百=0與兩坐標軸的交點分別為48,點C為線段AB的中點，若圓

0：%2+,2=，&>0）上有且只有一個點尸，使得直線平分NApg，貝什=.

16.已知〃x）=ln（3x—2）+依，若/'（x）W0恒成立，則實數(shù)。的值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分10分）

已知數(shù)列｛4｝的前幾項和為S",q=4,S.=；a〃+i+〃—2（〃eN*）.

（1）求證：數(shù)列｛%-1｝為等比數(shù)列，并求出數(shù)列｛%｝的通項公式;

（2）若,求數(shù)列他,｝的前“項和7；.

從①么=（%-l）log3（a9?+1-l）和②勿=--1D+?”+5）這兩個條件中任意選擇一個填入上

l°g3（a“+i-l）log3（4+2—1）

面橫線上，并完成解答.注：若選擇多個條件作答，則按第一個解答計分.

18.（本小題滿分12分）

記「ABC的內角AB,C的對邊分別為仇c,已知°=百，&（1+cosC）=^csinB.

（1）求角C的大小和邊6的取值范圍;

（2）如圖，若。是A3C的外心，求0。.48+14-。8的最大值.

19.（本小題滿分12分）

英國數(shù)學家貝葉斯（1701-1763）在概率論研究方面成就顯著，創(chuàng)立了貝葉斯統(tǒng)計理論，對于統(tǒng)計決策函數(shù)

、統(tǒng)計推斷等做出了重要貢獻.貝葉斯公式就是他的重大發(fā)現(xiàn)，它用來描述兩個條件概率之間的關系.該公式

為：設A，A“是一組兩兩互斥的事件，。4=。，且P（4）＞0,i=L2,,n,

PPBA)P(A)P(B|A)

P(B)>0,有P(ZA」.B).=M—(\

則對任意的事件3=0,￡P(4)P?4)

k=l

i=l,2,現(xiàn)有三臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%,每加工一個零件耗時35分

鐘，第2,3臺加工的次品率均為5%,每加工一個零件分別耗時32分鐘和30分鐘，加工出來的零件混

放在一起.已知第1，2,3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%,30%,45%.

（1）任取一個零件，計算它是次品的概率；

（2）如果取到的零件是次品，計算加工這個零件耗時X（分鐘）的分布列和數(shù)學期望.

20.（本小題滿分12分）

如圖，在直角梯形A3CD中，AD//BC,AD±CD,四邊形CD所為平行四邊形，對角線CE和。尸

相交于點H,平面平面ABC。，BC=2AD,/DCF=60°，G是線段班上一動點（不含

端點）.

FE

（1）當點G為線段BE的中點時，證明：AG〃平面CDEF；

（2）若A￡>=1,CD=DE=2,且直線DG與平面CD歷成45角，求二面角E—DG—尸的正弦值.

21.（本小題滿分12分）

如圖，動雙曲線的一個焦點為尸（0,-右），另一個焦點為P,若該動雙曲線的兩支分別經(jīng)過點

（1）求動點P的軌跡方程；

（2）斜率存在且不為零的直線/過點”（1,0）,交（1）中P點的軌跡于A8兩點，直線x=f?>2）與x

軸交于點。，。是直線1=/上異于。的一點，且滿足AQLDQ.試探究是否存在確定的/值，使得直線

恒過線段。Af的中點，若存在，求出/值，若不存在，請說明理由.

22.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)/（%）=In%+sin%,g（x）=aVnx+^x1-a（x-l）

（1）試判斷函數(shù)"x）=/（》）+6在xe（0,兀］上是否存在極值.若存在，說出是極大值還是極小值；若不存

在，說明理由.

⑵設G(x)=g(x)-〃x)+sinx(a>2),若G(m)=G(l)(mwl),證明：不等式在

上恒成立.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查復數(shù)的除法運算，復數(shù)的模，屬于基礎題.

根據(jù)復數(shù)的四則運算化簡可得復數(shù)z,再根據(jù)模長公式可得解.

【解答】

/、ii(l+2i)21.

解：由z(l—2i)=i,得2=----=7-----rv----7=---1--1,

卜)l-2i(l-2i)(l+2i)55

所以目—/[+.：邛,

故選。.

2.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查集合的運算，屬于基礎題.

利用即可求解.

【解答】

解：由=得3口(44),

又={x[%,a},

則解得筮/1.

故選A.

3.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了對數(shù)函數(shù)的單調性、充要條件，屬于基礎題.

利用對數(shù)函數(shù)的單調性、充要條件即可判斷.

【解答】

解：由于函數(shù)八%)=log2[(l—a)xT]在區(qū)間(L+")上單調遞增，

貝U(1—a)x—1>0在(1,+。)上恒成立，且1—a>0,

即1—a—L.0且a<l,即2，0,

由于{ala<1}叁[a\a,,0},

故“a<1”是“函數(shù)/(%)=log2%—1]在區(qū)間(1,+。)上單調遞增”的必要不充分條件.

故選c.

4.【答案】D

【解析】【分析】

本題主要考查數(shù)列的遞推關系，數(shù)列的求和，屬于中檔題.

由題意為=為+2-%,+1，可得

/+%+/+=(4—%)+(。4一/)++(見+2一%+1)=4什2—%，代入“2023=機，°2=2即可.

a9

【解答】解：由題意可得：an=“〃+2—n+\

CLyCL3d?,

a

n=4+2-%+i，

累加得：

則。］+?2+。3+=(g-%)+(。4—。3)++(%+2-。"+1)=4+2-。2，

所以^2021=^2023—。2="T-2.

5.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查排列問題，屬于基礎題.

確定小數(shù)點后的前兩位為11,12,由排列數(shù)即可求解

【解答】

解：由題意，只有小數(shù)點后的前兩位為11,12時，排列后得到的數(shù)字小于3.14,

故小于3.14的不同情況有2￡=240個.

6.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查錐體體積計算，球的表面積，屬于較難題.

由于平面QBC_L平面A3C,所以點P在平面A3C上的射影“落在3C上，根據(jù)球體的對稱性可知，當

產(chǎn)在“最高點”，也就是說“為3c中點時，PH最大,棱錐尸-ABC的體積最大，求出此時的高產(chǎn)〃，

即可得解.

【解答】

解：由題意畫出幾何體的圖形如圖：

由于平面QBC_L平面A3C,所以點P在平面A3C上的射影“落在3C上，

根據(jù)球體的對稱性可知，當尸在“最高點”，也就是說〃為3C中點時，PH最大,棱錐P-A3C的體積

最大.

?球。的表面積為60兀，設球的半徑為R,

；.4兀尺2=6。兀，故7?=厲，

ABC是邊長為6的正三角形，

.-.AH=6x^=3&ABC的外接圓半徑為r=^-AH=2^3,

23

球心0到平面PBC的距離為d=-AH=y[3,

3

又球心0到平面ABC的距離為找_尸,

則PH=1片—普MR2-戶=J15-3+J15-12=36，

???三棱錐P-ABC的體積最大值為V=ls/7=-x—X62X3A/3=27.

334

故答案為：B.

7.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查利用導數(shù)比較大小，屬于中檔題.

構造g(x)=上單—1,求出g(0)=0,利用導數(shù)求出單調性，由單調性逐個判斷即可.

【解答】

解：令g(x)=’(：)—1,則g(0)=0,

e

因為r(x)—2/(x)<0,

所以/(力=1⑺之"(x)J⑺『(x)<0,

故g(x)在尺上單調遞減，

故g(—l)>g(o)，即e2/(—BP故選項A錯誤;

g(l)<g(O),即少一1<0,即/(l)<e2,故選項8錯誤；

e

gD<g(O),即D_]<0，即/[卜e,故選項C正確;

g［］〉g⑴,即fbL］〉"Li，

即/⑴(的'，故選項。錯誤.

故答案為：C.

8.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查投影向量，向量的數(shù)量積與向量的垂直關系，屬于中檔題.

根據(jù)條件設a=(2,0),》=(l,J^),c=(x,y),由(c—a)_L(2Z?—c),可得

(x—2)(2—x)+y(2j^—y)=0,即(x—2尸+(y—6產(chǎn)=3,故2—遂融2+6,再根據(jù)投影向量

的計算公式求解即可.

【解答】

解:根據(jù)條件cos卜力

.,.設a=(2,0),/?=(1,退)c=(x,y),

則c—a=(x—2,y),2Z?—c=(2-x,2百一y)；

由(c-a)可得(x-2)(2-x)+y(2Q-y)=0,

即(x—2y+(y—月/=3,所以2—岳女2+73.

,,/、??d-cd'C1八

c在a方向上的投影向量的模長為：|c|cos〈a-e〉=|c|

\a\\c\\a\2

所以。在。方向上的投影向量的模長的最大值為：2+布.

故選D.

9.【答案】ACD

【解析】【分析】

本題考查決定系數(shù)，獨立性檢驗、回歸分析和百分位數(shù)，屬于基礎題.

對各個選項進行判斷即可.

【解答】

解:用決定系數(shù)4的值判斷模型的擬合效果，尺2越大，模型的擬合效果越好，故A正確；

對分類量X與y的統(tǒng)計量來說，越大，判斷X與y有關系的把握程度越大，故6錯誤;

在回歸模型中，殘差是觀測值y與預測值亍的差，殘差點所在的帶狀區(qū)域寬度越窄，說明模型擬合精度越

高，故C正確；

因為9x75%=6.75,則第75百分位數(shù)為第7個數(shù)字，即95,故。正確.

故選ACD

10.【答案】AC

【解析】【分析】

本題考查函數(shù)y=Asin(azx+0)的圖象和性質，屬于中檔題.

求出g(x)的解析式，再逐項分析即可求解.

【解答】

x+

解：由題意，得g(x)=sin2(~+A/3=sin(2%+^-)+^/3,

令g'(x)=2cos|2x+—TT7T

對于Ag'(x)=2cos2x+|=0,則2x+—=E+—,左eZ,所以

32

ku71

x=---1--,keZ

212

所以=且當冗￡「亍三J時’g"(x)0t,g'(x)<0

則是函數(shù)g(x)的一個極值點，故A正確；

對于民=sin^2x—++G=y/3w0,故B錯誤；

I5兀JT\71I71]I57c711

對于c,當％*一不7廠7時，2%+工￡—J,。，可知g(x)在區(qū)間一石，一公上單調遞增，故C正

確;

對于￡),當xe［正,不］時，2x+—ef-,2?rj,所以一1”sin12x+~j］<1,

—1+A/3?sinf2x+—j+^/3<1+A/3,所以g(x)>0,可知g(x)在區(qū)間［五,不)上沒有零點，故￡)錯

誤

11.【答案】ABD

【解析】【分析】

本題考查了簡單多面體及其結構特征，線面平行的性質，線面垂直的判定，線面垂直的性質，異面直線所

成角和余弦定理，屬于中檔題.

根據(jù)空間中線面位置關系及題干條件，結合各選項所需知識點逐個分析.

【解答】

解：對于A.如圖：

因為平面々，平面&c平面AB￡>=E￡B￡>u平面AB￡>,所以BD〃EF.

取3。的中點。，連接A。,。。.

因為四面體A3CD是正四面體，所以8。，49,8。，。。，而4。門。。=。,4。,。。<=平面4。。,

因此應），平面AOC，所以由所得石尸，平面AOC,

因此由ACu平面AOC,得ERLAC,故A正確；

對于8.如圖：

由選項A知：BD//EF，因此當E是的中點時，b是AD的中點.

在平面ACD內，過。作Q"〃。/，交AD于“，連接EH,

因此ZEQH為CF與EQ所成角.

因為。是CD的中點，所以“是線段ED的中點，而正四面體A3CD的棱長為2,

因此#=y/AE2+AH2-2AE-A/7cos60,90,31幣

Id-----2xlx—x—=.

4222

連接A。,BQ,在AB。中，AQ=BQ=6,AE=EB=1,因此EQ=0,

37

QH2+EQ2-EH24+2-4_布

所以在-EQH中，c°s/EQH=vsJs—

2x可抗6

2

因此CE與EQ所成角的余弦值為亞，故8正確;

6

對于C.由選項6知：當瓦。分別為線段AB,CD中點時，EQ=y/2,故C錯誤;

對于D.如圖:

設AE=/AB，e(O,l)),則BE=2—2/,=AE=2九

因為在fACF中，CF=VAC2+AF2-2AC-AFcos60=四4+4?—4f，

所以空間四邊形BCFE的周長為3石+瓦+<*+3。=4+一4f+4，

1L

因此當/=5時，空間四邊形3CFE的周長取得最小值，最小值為4+6,故。正確.

故選ABD.

12.【答案】ACD

【解析】【分析】

本題考查直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題.

根據(jù)直線與拋物線的位置關系，拋物線的定義等知識對四個選項逐一判斷即可.

【解答】

解：對于A：拋物線的焦點為尸（L0）,準線方程為x=—1,

由|Ab|=2忸同知，此時直線斜率存在，

設直線AB的方程為V=左（兀一1）,k>0,A（%,%）,3（%2,%），

<"得上"―(2/+4卜+左2=0,

聯(lián)立

4

則玉+々=2+,Xj%2=1-

由|AE|=2|EB|,可得玉+1=2（9+1），解得左=20（負舍），故A選項正確;

對于8：當直線的斜率不存在時，|加|=|尸

人22141

9

當直線AB的斜率存在時，由選項A可知，=l+—,yM~~j^所以“尸=W?后~=必"'

,2V-1,|U122]

所以尸+F,lJ,

pM=i+g=g+l=1PN1,

故8選項不正確;

對于C：當直線的斜率不存在時，尸與。重合，5PAB=SOAB

當直線AB的斜率存在時，設P到直線AB的距離為4，。到直線AB的距離為d2,

OAB=~d-\AB\,

SPAB=~dc\AB\,S2

由選項AB可知，,_'班一1―'_卜+'|_lk2+l,

「"i一后

.F+l1C(尸242+1

22

Fk+rF(^+l)-F(^+l)

故4>d2,SPAB>SOAB,

綜上所述，SpgSOAB，故。選項正確；

對于。：當直線AB的斜率不存在時，易得歸A|2，PB|2=10|PM|2；

當直線AB的斜率存在時，

44

由選項ABC可知玉+Z=2+■，玉%2=1，%+%=一，％%=一4，

=x；+x；++y；一豆（%+%）-E（X+丁2）+記+[

=（玉+%『一2■+（X+%丫—2%%

10

=10+=10|PMp,故。選項正確.

F

故選ACD

13.【答案】30x2

【解析】【分析】

本題考查二項展開式的通項，以及利用通項研究特定項的問題，屬于基礎題.

易知，展開式中有常數(shù)項、一次項，二次項，….，故按X的升累排列，第三項為含產(chǎn)項，結合展開式的通

項可求解.

【解答】

解：易知，展開式中有常數(shù)項、一次項、二次項等，故所求的項為/項.

(1+3x)4的展開式的通項為(+]=G(3/G=0,1,2,3,4),

(l-2x)(l+3x)4=(]+3幻4_2Ml+3x)4

故所求項為1x盤(3x)2-2%?C；(3x)=30x2.

故答案為30f.

14.【答案】4

【解析】【分析】

本題考查函數(shù)的奇偶性和單調性，考查最值問題，屬于一般題.

判斷出了(X)在[0,+")單調遞減結合奇函數(shù)的性質得乂,換元，利用函數(shù)的單調性即可求解.

【解答】

解：因為函數(shù)y（x）,滿足對\/。力€［0,+。）且40匕，都有（。一勾［/（。）一/（。）］<。成立，

則“X）在［0,+"）單調遞減，

又函數(shù)〃尤）為奇函數(shù)，

故“X）在尺上單調遞減，

貝|］/（l+x）+/（-3x）?）=f（l+x）/（3x）=1+x京巾x=>x

令力=9",/.3,

333

令y=/+，y'=l—j,y'>0在［3,+⑹上恒成立，故丁=/+‘在［3,+“）上單調遞增，

3

故當r=3時，y=/+：取最小值，最小值為4,

3

即9,十三的最小值為4

9

故答案為4.

15.【答案】-

2

【解析】【分析】

本題考查直線與圓的位置關系，化歸轉化思想，屬中檔題.

根據(jù)直線PC平分ZAP6,得|”|=怛0|,可得P在的垂直平分線上，且垂直平分線與圓相切可求

解.

【解答】

解：根據(jù)題意不妨令A（、瓦0）,3（0,1）,

?點C為線段的中點，直線PC平分NAP6，

.?.|AP|=|BP|,

.?.P在A8的垂直平分線上，

又上AB=-**

AB的垂直平分線的斜率為下,

又AB的中點為

由點斜式方程得y—萬x-

化簡得y=石x—1,

又尸在圓0:/+丁2=戶上，滿足條件的尸有且僅有一個,

直線y=^x-1與圓相切,

11

r=V3TT=2

故答案為：一

2

3

16.【答案】

2

【解析】【分析】

本題考查利用導數(shù)研究恒成立與存在性問題，屬于較難題.

根據(jù)題意可得ln(3x-2)”a恒成立，設g(x)=ln(3尤-2),/z(x)=ax,分析單調性及

g(l)=O,/z(l)=O,可得a<0,且尤=1時有8'(九)="(尤)，代入即可得解.

【解答】

解：若/(%)”里恒成立,則ln(3x—2)+方，巴恒成立,

JCJC

恒成立,

即ln(3x-2),,a----x1

設g(x)=ln(3x-2),〃(x)=a

21-X在［：,+力)上單調遞減,

易知g(x)在§,+“|上單調遞增，y=—

X

Xg(l)=O,/z(l)=O,故a<0,

且在x=l附近時有：當工<1時，g'(九)>〃(x)；當x>l時，g'(x)<〃(x).(利用幕函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

的增長速度可判斷成立）

故x=l時有，g'(x)="(x).

、⑴=3,

丸'(x)=a—y—1=—2a,

3

故3=—2a,即a=—

2

3

故答案為—.

2

17.【答案】解：（1）依題意可得：2Sn=a?+1+2?-4,2S?_1=an+2n-6（n..2）,

兩式相減并化簡得：an+i=3an-2^>an+l-l=3(?n-l)(n..2)

又％=4,2S[=g+2-4,解得出=10.

,72

an—l=(tz2—1)3=3"=4>an=3"+1(〃..2)

又q=4=3*+1

an=3"+l

(2)選①:bn=(aH-l)log3(02,1+1-1)=(2H+1)x3",數(shù)列也｝的前〃項和T,.

23

:.Tn=3x^+5x3+7x3++(277+1)x3"

37；,=3X32+5X33+，+(2/I-1)X3,,+(2n+l)x3n+1

9(3"T—1)

=9+2x-----L-(2H+1)X3n+l=-Inx3n+1

3-1

7；=〃x3"+i

(—1)"(2]+6“+5)+1)2+5+2)2]

選。n[log3(/+i-1)了口臉(?！?2-1)丁(〃+1)25+2)2

（i）當〃為偶數(shù)時,

i_ii+r]+11_]_J_

Z?一("+1)21+[(“+1)2+(〃+2)2J—("+2)2—4

（ii）當〃為奇數(shù)時,

11____1_______1-11

("+3)2_W_5+2)2—5+3)25+2)24

力=01」

一"5+2）24-

【解析】本題主要考查等比數(shù)列的定義及基本量的計算、錯位相減法、分組求和法及裂項相消法在數(shù)列求和

中的應用，屬于中檔題.

⑴先由題設推導出：a?+1-l=3（tz?-l）（zz..2）,利用等比數(shù)列的通項公式可求得見,.

（2）若選①：先由（1）求得勿，再利用錯位相減法求得其前〃項和.

若選②：先由（1）求得勿，再利用裂項相消法及分類討論求得其前〃項和.

18.【答案】解：（1）在ABC中，由Z>（l+cosC）=6csin5結合正弦定理可得：

siriB（l+cosC）=^sinCsinB,

化簡得gsinC-cosC=1，即k[=5，

LLr,—,7C7C,、.八7C5兀._c兀/八人t\

所以?！?—或C—=—,解得C=一（。=兀舍去），

66663

又由正弦定理可得一J=—2—即@—=—也，化簡得3=2sinB,

sinCsinBsin60sinB

2jr

因為0<B<——，所以0<sin3,,l,所以0<七,2；

3

(2)解法1：由正弦定理得|QA|=|O3|=|OC|=R=1,且NAOB=2x60=120，

OCAB+CACB=OC\OB-OA^+(OA-OC^(OB-OC^

2

=OCOB-OCOA+OAOB-OAOC-OCOB+OC

2

=-2OCOA+OAOB+OC

1,1

=-IcosZAOC——+12=——2cos/AOC,

22

當點。不在ABC外部時(如圖)ZAOC=2B.

----"11/o\93O3

OCAB+CACB=——2cos28=——2(1-2sin2B)=4sin2B--=b2--,

22'>22

當點。在，ABC外部時（如圖），/AOC=2（兀一5）=2兀一23.

113

OCAB+CACB^——2cos(2?！?8)=——2cos28^b2--,

2v722

3(35-

由(1)知0<Z?,,2,所以OC,AB+CA,CB=b1—G—,—

2I22—

即OCA5+C4-CB的最大值為g.

2

兀1

(2)解法2：由題可知：CA-CB=a-bcos—=—ab,

32

如圖，分別取線段BC,AC的中點。,E.

ED

A\/B

由于。是ABC的外心，則。

OCAB=-CO（CB-CA^=-COCB+COCA,

272

=-CDCB+CECA=--+—,

22

所以。CA3+C4C3="+"—"一,

2

由余弦定理得c?=a2+b2-2abcosC^>ab-a2=b2-3>

所以OC?A3+C4?C3=b'ab-a2=吩'吩-3=萬2一。，

222

3<35"

由（1）知0<七,2,所以OC-AB+CACB=b~——e~,

即OC-AB+C4?Cfi的最大值為|.

【解析】本題考查正余弦定理解三角形及平面向量的數(shù)量積運算，屬于中檔題.

（1）利用正弦定理及已知條件進行求解即可；

（2）解法一：利用正弦定理及平面向量的數(shù)量積運算求解即可；

解法二：利用余弦定理及平面向量的數(shù)量積運算求解即可.

19.【答案】解：設8="任取一個零件為次品"，4="零件為第，臺車床加工”。=1,2,3）,則

=且4,4,4兩兩互斥?根據(jù)題意得

p（A）=0.25,尸（4）=0.3,P（A）=0.45,

P（B\4）=0.06,P（B|A）=P（B|4）=0.05

（1）由全概率公式，得

尸（為=尸⑷尸（HA）+P（4）P（H4）+P（A）P（HA）

=0.25x0.06+0.3x0.05+0.45x0.05=0.0525;

(2)由題意可知X=35,32,30,則

類似地，可得

9Q

P（X=32）=P（4lB）=-,P（X=30）=P（4lB）=-,

所以加工這個零件耗時X的分布列為:

X353230

223

rP

777

223

E(X)=35x-+32x-+30x-=32.

'/777

【解析】本題考查全概率公式，離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望，屬于中檔題.

(1)利用互斥事件的概率公式及全概率公式求解即可；

(2)求出隨機變量對應的概率，列出分布列，求出數(shù)學期望即可.

20.【答案】解:(1)證明：因為四邊形CD跖為平行四邊形，所以“是CE中點,

連接GH,又G點為線段的的中點，則GH〃3C,且GH='BC,

2

又A￡)〃3C且A￡>=』BC,所以GH〃A￡)且G〃=AO,

2

所以四邊形ADHG是平行四邊形，

所以又AG<z平面CDEROHu平面COER,

所以AG〃平面

(2)以C為原點，CB,CD所在直線為光,V軸，在平面CD跖內過C作CD的垂線為z軸建立空間直角

坐標系,

則有。（0,2,0）,3（2,0,0）,E（0,3,若），尸（0,1,君），

設3G=43E=32,,0<2<1,貝!]

DG=BG-BD=（-22,32,岳）一（一2,2,0）=（2-22,3D-2,,

因為e=（1,0,0）為平面CDEF的法向量,

所以cos（DG,e）==也

~^2

解得2（其中2=0舍去）.

2

所以G〔1,—,

設平面EDG的法向量為m=a，x，zj,則有m?￡>￡=（%[,%,4=%+布Z[=0,

機,DG=（Xi，x，zJ-I,一%,岑=七一心M+孝4=0,

故可取m=Q6,—區(qū),.

設平面FDG的法向量為〃=（%2，y2,22），則有“-。/=（9，乂，Z?），（0,-1,指）=_%+Cz?=0,

1

x2--y2+-z2=o,

故可取”=（0,如,1b

l…/——\m，n-2不

所以cos（m,ri）=?-n~~（■=

'HITV7X27

V42

所以二面角E—OG—尸的正弦值為

7

【解析】本題考查線面平行的判定定理，利用空間向量求直線與平面所成角、二面角，屬于中檔題.

(1)由題知四邊形ADHG是平行四邊形，則AG即可得證；

(2)以C為原點，建立空間直角坐標系，e=(1,0,0)為平面CD即的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求

出點G坐標，再求出平面EDG的法向量〃/,平面EDG的法向量”，利用空間向量的數(shù)量積即可得解.

21.【答案】解：(1)由題意以及雙曲線定義可得：|其同=|八手］一|八阿，

:.\MP\+\NP\=|NF|+\MF\=4>\MN\=2,

由橢圓的定義可知，點P的軌跡是以為焦點，a=2,c=l的橢圓(不含短軸端點)，

22

其方程為工+L=l(xwO)；

43v7

(2)設直線/的方程為：y=k(x-l)(左wO),A(玉(玉片42)，

則由A。，。。，知Q?，x),

所以—%=%-y(i),