2022屆陜西省渭南市高三教學質(zhì)量檢測(一)數(shù)學(文)試題解析

2022屆陜西省渭南市高三教學質(zhì)量檢測(一)數(shù)學(文)試題

一、單選題

1.已知集合4=何丁=111(1-2h},8={無}=4+2},則A3=()

A.B.C.J。,：〕D.10，!

L2；12」L2；12」

答案：A

分別解不等式1-2x>0和x+220求出集合A,B,再進行交集運算即可求解.

解：由1一2彳>0可得：x<；,所以A=[x]x<g},

由x+220可得：x>-2,所以8={x|x12},

所以AcB=卜卜2Vx<g=_23，

故選：A.

2.若復數(shù)z滿足(l+i)2z=l-i(i是虛數(shù)單位)，貝ljz=()

A1L11.^11.

A.——+—iB.------1C.----1

222222

答案：B

根據(jù)復數(shù)的乘法和除法運算，進行化簡即可.

l-i_(l-i)i_l+i_11.

解：解:已知(l+i)2z=l-i,貝V=五一2i?_互__/_/1，

(1+1)

故選：B.

3.設命題p:Vxe0,：),sinx<cosx,貝l]r>為()

A.G0,—I,sinx0>cosx0B.e0,—l,sinx0<cosx0

-兀).「目.

C.VxG0,—,sinj;>cosxD.Vxe0,—Lsinx>cosx

L4；L4；

答案：A

全稱命題的否定是特稱命題，把任意改為存在，把結(jié)論否定.

解：力為女o￡0,—l,sinx0>cosx0.

故選：A

4.已知向量a，Z?滿足〃=(1,2),a+b=(l+私1),若〃〃b,貝lj加二()

A.2B.—2C.—D.—

22

答案：D

【解析】根據(jù)題意求得b的坐標，再根據(jù)向量平行即可求得參數(shù)值.

解：因為°=(1,2),a+b=(l+m,t),

故可得6=(T).

又aHb>

故可得T=2m,解得祖=-：.

故選：D.

點評：本題考查由向量共線求參數(shù)值，屬簡單題.

5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為

A.64B.32C.16D.5

答案：C

【解析】根據(jù)給定的程序框圖，逐次計算，結(jié)合判斷條件，即可求解.

解：由題意，執(zhí)行程序框圖，可得：

第1次循環(huán)：〃=2,A=2,不滿足判斷條件；

第2次循環(huán)：?=3,A=4,不滿足判斷條件；

第3次循環(huán)：〃=4,A=8,不滿足判斷條件；

第4次循環(huán)：77=5,A=16,滿足判斷條件，

此時終止循環(huán)，輸出結(jié)果16.

故選：c.

點評：本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計算與輸出，其中解答中執(zhí)行程序框圖，逐次計算,

結(jié)合判斷條件求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了計算能力，屬于基礎題.

6.已知函數(shù)/（尤）=可2若），若將的圖象向右平移/單位后，再把所得曲線上所有點

的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數(shù)g（x）的圖象，則（)

A.^(x)=sin|^4x--B.g(x)=sin4x

C.g(x)=sinxD.g(x)=sin

答案：D

根據(jù)圖像的平移和伸縮變換對解析式的影響即可求的g（x）解析式.

解：將函數(shù)〃x）=sin（2x+j的圖象向右平移著，可得函數(shù)尸sin2b-2卜?

圖象；

再把所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）得到函數(shù)g（x）=sin（x-￡|的圖象.

故選：D.

7.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積

為（）

A.36B.24C.12D.6

答案：C

可以在長方體內(nèi)還原出該幾何體的直觀圖，然后用三棱錐的體積計算方法計算即可.

解：如圖中三棱錐P-A8C為該幾何體的直觀圖，

p

則其體積V=Jx(gx6x4]x3=12

故選：C.

21

8.已知。、Z?為正實數(shù)，a+b=l,則丁+77■的最小值是（）

3a4b

11

~6

C.□+也口+一

123123

答案：D

將二2十二1與，+人相乘，展開后利用基本不等式可求得二2十二1的最小值.

21111+也8b+3a區(qū)八11+2.Sb

解：由已知條件可得1+五;=Gi0a+b]=-

3a4b121Qb)12ab12ab

7="?

當且僅當島=2回時，等號成立.

因此,3+4■的最小值是以+逅.

3a4b123

故選：D.

9.《史記》卷六十五《孫子吳起列傳第五》中有這樣一道題：齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬劣于

齊王的上等馬，優(yōu)于齊王的中等馬，田忌的中等馬劣于齊王的中等馬，優(yōu)于齊王的下等馬，田忌的

下等馬劣于齊王的下等馬，現(xiàn)兩人進行賽馬比賽，比賽規(guī)則為：每匹馬只能用一次，每場比賽雙方

各出一匹馬，共比賽三場.每場比賽中勝者得1分，否則得0分.若每場比賽之前彼此都不知道對

方所用之馬，則比賽結(jié)束時，田忌得2分的概率為（）.

A.-B.-C.-D.1

3362

答案：C

根據(jù)題意，設齊王的上，中，下三個等次的馬分別為a,b,c,田忌的上，中，下三個等次的馬分

別為記為A,B,C,用列舉法列舉齊王與田忌賽馬的情況，進而可得田忌勝出的情況數(shù)目，進而由

等可能事件的概率計算可得答案.

解：設齊王的上，中，下三個等次的馬分別為a,b,C,田忌的上，中，下三個等次的馬分別為記

為A,B,C,雙方各出上、中、下等馬各1匹分組分別進行1場比賽，

所有的可能為：

Aa,Bb,Cc,田忌得0分;

Aa,Be,Cb,田忌得1分

Ba,Ab,Cc,田忌得1分

Ba,Ac,Cb,田忌得1分;

Ca,Ab,Be,田忌得2分,

Ca,Ac,Bb,田忌得1分

田忌得2分概率為尸I,

故選：C

10.已知直三棱柱ABC-A4G的頂點都在球。上，且A5=4,AAt=6,ZACB^30°,則此直三

棱柱的外接球。的表面積是（）

A.25兀B.5071C.lOOnD.

3

答案：C

【解析】設點為，ABC外接圓的圓心，根據(jù)NACB=30。，得到△AO3是等邊三角形，求得外接

圓的半徑r,再根據(jù)直三棱柱ABC-44cl的頂點都在球。上，由尺=產(chǎn)+（圖1丫=5求得，直三

棱柱的外接球的半徑即可.

解：如圖所示：

為

設點。'為ABC外接圓的圓心，

因為NACB=30。，

所以ZAO3=60,又ON=O'3=r,

所以△AOB是等邊三角形，

所以廠=O'A=O'B=AB=4,

又直三棱柱ABC-A旦G的頂點都在球。上,

所以外接球的半徑為R==5，

所以直三棱柱的外接球。的表面積是5=4；7我=100萬,

故選：C

11.已知耳，F(xiàn)?是雙曲線。:二-2二“?！?。,/?〉。）的左、右焦點，點A是C的左頂點，過點「2作

a~b~

C的一條漸近線的垂線，垂足為尸，過點P作x軸的垂線，垂足為河，。為坐標原點，且尸。平分

ZAPM,則C的離心率為（）

A.2B.72C.3D.V3

答案：A

根據(jù)已知條件求出P點坐標和直線PA方程，尸。平分ZAPM，則O到PM的距離等于到AP的距

離，列式可求離心率.

解：如圖，雙曲線的漸近線取y=?x,則牡尸斗、=一Jac）,

abb

ab

—A(-a,O),故％

cca

c。一+a

b

PAy=-----(x+〃)，BPbx-^a+c)y+ab=O

,/PO平分ZAPM,O到PM的距離等于O到AP的距離|OM,

化簡整理得/—e—2=0,解得e=2,

故選：A.

12.若aeR,且。＞1,函數(shù)“可=若+bg”￡,則不等式f_2x）＜1的解集是（）

A.（0,2）B.（O,1）U（1,2）

C.（—oo,0）（2,+oo）D.（―8,1—^1+A/2,+coj

答案：B

首先確定函數(shù)定義域，采用分離常數(shù)的方式，結(jié)合指數(shù)和對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可確定y=斗和

y=log“產(chǎn)的單調(diào)性，由此確定了（力單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性和定義域可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.

解：由寧＞0得：即無）定義域為（-1,1）；

1—X

2ax2+1—22

y二=2-

ax+1ax+1優(yōu)+1

當?！?時，y="+l為增函數(shù)，,y=，L在(-1,1)上單調(diào)遞增;

ax+1

1+x2-(l-x)

y=i°g"K=i°g“—n1=i°gT，

7

當a>i時，丁=看-1在(-M)上單調(diào)遞增，y=log。%在(0,+e)上單調(diào)遞增,

1-X

1-I-Y

y=ioga與在(-Li)上單調(diào)遞增，

1-x

???/(X)在(-:U)上單調(diào)遞增,又〃0)=1,

則由/任-2%)<1得：/(x2-2x)</(0),/J,

解得：0<x<l或1<尤<2,即/(x2-2尤)<1的解集為(O,1)U(1,2).

故選：B.

點評：方法點睛：本題考查利用函數(shù)單調(diào)性求解函數(shù)不等式的問題，解決此類問題的基本方法是將

所求不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的兩個函數(shù)值之間的比較，進而根據(jù)單調(diào)性得到自變量的大小關(guān)系；易錯點

是忽略定義域的限制.

二、填空題

13.若函數(shù)/(x)=d-2x+3,則曲線/(x)在點x=l處的切線方程的斜率為.

答案：1

求出函數(shù)的導數(shù)，代入x=l,即可求解切線的斜率，得到答案.

解：由題意，函數(shù)/。)=尤3-2》+3,貝|-00=3/-2,所以尸(1)=1

即曲線Ax)在點x=l處的切線方程的斜率為1.

故答案為：1.

點評：本題主要考查了導數(shù)的幾何意義的應用，其中解答中熟記導數(shù)的幾何意義，準確計算是解答

的關(guān)鍵，著重考查了計算能力，屬于基礎題.

14.已知｛%｝為等差數(shù)列,其公差為2,且％是。3與%的等比中項，S“為｛怎｝前"項和，則品)的

值為.

答案：-110

由等比數(shù)列的中項性質(zhì)和等差數(shù)列的通項公式，解方程可得首項，再由等差數(shù)列的求和公式，計算

可得所求和.

解：解：m“｝為等差數(shù)列，其公差為2,

由的是火與。9的等比中項，可得即(q+12)2=(q+4)(q+16),

解得q=-20,

則Slo=lOx(-2O)+1xlOx9x2=-llO.

故答案為：-110.

點評：本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，以及等比數(shù)列的中項性質(zhì)，考查方程思想

和化簡運算能力，屬于基礎題.

2x+y-2<0,

15.若無，y滿足約束條件/x-y-120,則z=x+7y的最大值為.

y+120,

答案：1

首先畫出可行域，然后結(jié)合目標函數(shù)的幾何意義即可求得其最大值.

解：繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，

目標函數(shù)z=x+7y即：y=_；x+；z,

其中z取得最大值時，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最大,

據(jù)此結(jié)合目標函數(shù)的幾何意義可知目標函數(shù)在點A處取得最大值，

f2x+y—2=0

聯(lián)立直線方程：，C，可得點A的坐標為：A(1,O),

[x—y—l=0

據(jù)此可知目標函數(shù)的最大值為：^=1+7x0=1.

故答案為：1.

點評：求線性目標函數(shù)2=依+力(出*0)的最值，當b>0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時,

Z值最大，在y軸截距最小時，Z值最??；當6＜。時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，Z值

最小，在y軸上截距最小時，z值最大.

16.函數(shù)y=的圖象關(guān)于點M(a,6)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=〃x+a)-b為奇函

數(shù)，給出下列四個結(jié)論：

①〃X)=龍+3-1圖象的對稱中心是(2,1)；

%—2

②/⑺=尤+_=_1圖象的對稱中心是(2,-1)；

③類比可得函數(shù)y=/(%)的圖象關(guān)于直線x=a成軸對稱圖形的充要條件是y=/(%+?)為偶函數(shù)；

④類比可得函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線龍=。成軸對稱圖形的充要條件是y=/(x-。)為偶函數(shù).

其中所有正確結(jié)論的序號是.

答案：①③

根據(jù)y=x+是奇函數(shù)，對稱中心為(0,0),由圖象的平移變換可得〃x)=x+—三-1的對稱中心,

可判斷①②；將y=/(x)的圖象向左平移。個單位可得偶函數(shù)y=/(x+a),可判斷③④，進而可

得正確答案.

解：＞=尤+三是奇函數(shù)，對稱中心為(0,0),將y=x+三圖象向右平移2個單位，再向上平移1個單

XX

位可得〃制=無一2+號+1=彳+--1的圖象，所以〃尤)=尤+=彳-1圖象的對稱中心是(2,1),

故①正確，②不正確；

若函數(shù)＞=/(力的圖象關(guān)于直線x成軸對稱圖形，圖象向左平移。個單位可得y=/(x+a)關(guān)于

x=0即》軸對稱，所以y=/(x+a)為偶函數(shù)，故③正確，④不正確；

所以所有正確結(jié)論的序號是：①③，

故答案為：①③.

三、解答題

17.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知qcosBcosC+6cosAcosC=￡.

2

⑴求角C；

(2)若c=a,a+b=5,求ABC的面積.

答案：(l)y;

⑵巫,

2

(1)結(jié)合正弦定理邊化角和三角函數(shù)的誘導公式即可求解;

(2)結(jié)合余弦定理聯(lián)立方程組即可求解.

(1)

由己知及正弦定理，

cosC(sinAcosB+cosAsinB)=gsinC,即2cosCsin(A+B)=sinC.

1JT

故2coscsinC=sinC,可得cosC=—,*.*CG(0,TI),C=—；

23

(2)

TT

由己知及余弦定理得，?2+b2-2oZ?cosC=7，又a+b=5,C=§,

^a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=25-3ab=7,因止匕，ab=6,

△ABC的面積S=—absinC=.

22

18.2021年10月16日，搭載“神州十三號”的火箭發(fā)射升空，這是一件讓全國人民普遍關(guān)注的大事，

因此每天有很多民眾通過手機、電視等方式觀看有關(guān)新聞.某機構(gòu)將每天關(guān)注這件大事的時間在2

小時以上的人稱為“天文愛好者”，否則稱為“非天文愛好者”，該機構(gòu)通過調(diào)查，并從參與調(diào)查的人

群中隨機抽取了100人進行分析，得到下表(單位：人)

天文愛好者非天文愛好者合計

女2050

男15

合計100

(1)將上表中的數(shù)據(jù)填寫完整，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為“天文愛好者”

或“非天文愛好者”與性別有關(guān)？

(2)現(xiàn)從抽取的女性人群中，按“天文愛好者”和“非天文愛好者”這兩種類型進行分層抽樣抽取5人，

然后再從這5人中隨機選出3人，求其中至少有1人是“天文愛好者”的概率.

n(ad-bc)

附：K2=---~77—-------7，其中〃=a+b+c+d.

(a+b)[c+d)[a+c)[b+d)

2

F(K>k(

0.100.0250.0100.0050.001

k

2.7063.8415.0246.6357.87910.828

答案：(1)表格見解析，能;

(1)根據(jù)總數(shù)補全表格，根據(jù)公式計算昭，與經(jīng)驗表數(shù)據(jù)對比即可判斷；

(2)將選中的5人編號，用枚舉法列出所有的可能，數(shù)出滿足條件的個數(shù)即可求出概率.

(1)

天文愛好者非天文愛好者合計

女203050

男351550

合計5545100

號=______/…_______=100(20X15-30X35)^9()91>7879

(a+b)(c+d)(a+c)(6+d)50x50x55x45

故能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為“天文愛好者”或“非天文愛好者”與性別有關(guān)；

(2)

按分層抽樣抽取的5人中：

2名為“天文愛好者”，編號為。、6；

3名為“非天文愛好者”，編號為1、2、3,

則從這5人中隨機選出3人，所有可能結(jié)果如下：

abl,abl,ab3,a12,al3,a23,612,i>13,623,123,

9

共10種情況，其中至少有1人是“天文愛好者”的有9種，.?.概率為歷.

19.如圖1,正方形ABCD中，DM=-MA=1,CN=-NB=1,將四邊形CDMN沿MN折起到四

22^一

邊形尸QAW的位置，使得/QWA=60(如圖2).

圖I

(1)證明：平面MAP。，平面ABPQ；

⑵若E,尸分別為AM,BN的中點，求三棱錐F-QEB的體積.

答案：(D見解析；

⑵3?

4

(1)證明。A/_LAQ和QM_LQP結(jié)合線面垂直、面面垂直的判定即可得證;

(2)根據(jù)幾何關(guān)系，利用VF-°EB=%.BEF，由錐體體積公式即可得解.

(1)

;在正方形A3C。中，DM^-MA=\,CN=-NB=1,

22

C.QMLQP,QM=1,AM=2,

又?../AMQ=60。，...在AAM。中，由余弦定理得，

AQ?^AM2+QM2-2AM-QM-cos/AMQ=4+l-2xlx2x；=3,

:.AQ2+QM2=AM2,

???AQLQM,

XVAQoQP=Q,A。、QPu平面A8PQ,QM_L平面ABPQ,

又QWu平面MNPQ,：.平面MNPQ1平面ABPQ；

(2)

由(1)知AQLQM,QMLQP,

:在正方形ABC。中，DM=-MA=1,CN=LNB=\,

22

四邊形CDMN為矩形

：.MN±AM,MN±DM,

：.MN±MQ,MN±MA,

MQ,MAu平面AM。，，MN_L平面AM。，

??MNu平面ABNM,：.平面ABNML平面AMQ,

過。作QH_LAM于"，則Q"_L平面即QH_L平面8EF,

QH=QMsin600=],

.v_v_1v1C2八6—山

2H=XX3X1X=

??^F-QEB-^Q-BEF-§'SBEF'3UJTT,

20.已知點"(L-2)在拋物線E：,2=2px(p>o)上.

(1)求拋物線E的方程；

⑵直線4,4都過點(2,0)4,4的斜率之積為-1，且4,分別與拋物線E相交于點A，C和點3D,

設M是AC的中點，N是2。的中點，求證：直線MN恒過定點.

答案：(1)產(chǎn)=4尤

(2)證明見解析

(1)將點坐標代入求解拋物線方程；(2)設出直線方程，表達出M,N的坐標，求出直線MN的斜

率，利用直線斜率之積為-1,求出直線MN恒過的定點，從而證明出結(jié)論.

(1)

V點^(1,-2)在拋物線E:V=2px上，

(-2)2=2°,

???解得:P=2,

.??拋物線E的方程為：>2=4尤.

(2)

由〃4分別與E相交于點4C和點3,D,且由條件知：兩直線的斜率存在且不為零.

.,.設4:x=㈣〉+2,4：x=+2

由《，’二得：丁-4叫、一8=0

x=mly+2

設人(七,%),。(馬,%),則乂+必=4/，六％=2%，又X”=2+2喈,即4(2+2訴,2網(wǎng))

同理可得：N(2+2局,2網(wǎng))

.卜二2g一2ml1

,?MN(2+2相)-(2+2喈)/+色，

/.MN:y-2m=---------(x-2rr^-2)

l叫+叫'7

^MNty=-叫十--叫」」

???/1,4的斜率之積為T,

111

------二一1,gpm,m2=-1,

叫m2

：.MN:y=---------(x-4),

，%+m2

即直線MN過定點(4,0).

21.己知函數(shù)/(x)=lnx.

⑴求函數(shù)>=/(尤)-x的單調(diào)區(qū)間；

⑵求證：函數(shù)g(x)=e*-e2/(x)的圖象在無軸上方.

答案：(1)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(Ly)；

⑵證明見解析.

(1)求V，根據(jù)了正負即可求y的單調(diào)區(qū)間；

⑵求g'(x),根據(jù)g'(x)零點的范圍求出g(x)的最小值，證明其最小值大于零即可.

(1)

y=工_1=^_^(尤>0),

XX

令y'=o則％=1.

當o<x<i時，y'>o,...函數(shù)在(o,i)上單調(diào)遞增；

當l<x時，y'<。，...函數(shù)在(1,+°°)上單調(diào)遞減.

即y=〃尤)-X的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間是(1,y)；

⑵

g(x)=eT-e2Inx(x>0),

2

g'(x)=e，--e-，易知g'(%)單調(diào)遞增,

x

22

f2

又/⑴=e-匕2<0,g(2)=e--=—>0f

：.在(0,+oo)上存在一個%。G(1,2),

使得：g'(xo)=e%—上=0,即：e*=上,且ln%o=—Xo+2,

X。X。

當xw(O,Xo),有g(shù)'(x)<O,g(x)單調(diào)遞減；

gxG(x0,+oo),有g(shù)'(x)>O,g(x)單調(diào)遞增.

222+2

g(x)2g(%o)=e%-elnx0=-+ex0-2e=——e>0,

''%o%

g(x)=e*-e21nx>0,

函數(shù)g(x)=e*-e2/(x)的圖象在x軸上方.

點評：本題考察隱零點,關(guān)鍵是判斷g'(x)單調(diào)，且g'⑴<0,g'(2)>0,由此得出在(1,2)之間g'(x)

存在零點%,據(jù)此求出g(x)的最小值，證明此最小值大于零即可.

22.在直角坐標系xOv中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的參數(shù)

fx=3+2cosce

方程為。為參數(shù)).

[y=2^3+2sina

(1)寫出C的普通方程，求C的極坐標方程；

(2)若過原點的直線/與C相交于A,2兩點，A3中點。的極坐標為求。的直角坐標.

答案：(1)x2+y2-6X-4A/3J+17=0,p2-6pcosO-^^3psinO+=0；(2).

(1)利用s/“+的％=1消去參數(shù)