2024年黑龍江省哈爾濱市松北區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷（含解析）

2024年黑龍江省哈爾濱市松北區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.一4的相反數(shù)是（）

AiB.C.4D.-4

44

2.下列運算一定正確的是（）

A.3a2+4a2=7a4B.(a+1)2=a2+b2

C.(a3)4=a7D.a-a3=a4

3.下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱軸圖形的是（）

D.--------

5.如圖，△力8c內(nèi)接于。。，CD是O。的切線，連接4。經(jīng)過點。，若/月。。=42。，則

N48C的度數(shù)為（）

A.42°B.66°C.84°D.48°

6.拋物線y=2(%—1)2+5與y軸交點的坐標(biāo)是()

A.(0,5)B.(0,1)C.(0,7)D.(1,5)

7.我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（sad）.如圖，在AABC中，A

根據(jù)上述角的正對定義，則。/\

AB=AC,頂角人的正對記作sacM,這時5（1（^4=黑,sad60

AD

的值為（）----\

A號

B當(dāng)

JC-2

D.1

8.在一個不透明的袋中裝有4個小球，其中3個黑球、1個白球，這些小球除顏色外無其他差別，隨機(jī)從袋

中摸出兩個小球，則兩球恰好是一個黑球和一個白球的概率是（）

A.eB.C.7D.2

2346

9.如圖，在中，點。、E、F分別在BC、AB,ZC上，DE//AC,DF//AB,則下A

0

列結(jié)論不一定正確的是（）

人BEBD

A?版=比

FCCD

nrj--------

AFBDBDC

「BE_ED

^'~DF~'FC

-AEAB

1）———

DCBD

10.a,8兩地相距80kni,甲、乙兩人沿同一條路從4地到8地.甲、乙兩人’S/(km)

離開a地的距離s（單位：人機(jī)）與時間t（單位：似之間的關(guān)系如圖所示,下列

說法錯誤的是（）

A.乙比甲提前出發(fā)lh2J

B.甲行駛的速度為40km/hd

11.523t/(h)

C.3無時，甲、乙兩人相距60km

D.0.75%或1.125/1時，乙比甲多行駛10/OTI

二、填空題：本題共10小題，每小題3分，共30分。

11.將數(shù)8200000用科學(xué)記數(shù)法表示為

12.在函數(shù)y=*中，自變量x的取值范圍是—

13.反比例函數(shù)曠=變的圖象經(jīng)過點(2,3),則卜=

14.計算3的結(jié)果是一.

15.把多項式nt/一I6zn分解因式的結(jié)果是

16.不等式組臣彳:3的解集是

17.一個扇形的圓心角為120。，它的弧長為IOTTCZH,則此扇形的半徑是cm.

18.觀察下列圖形:

★★

★★★★

★★★★★★

★★★★★★★★

★★★★★★★★

第1個圖第2個圖第3個圖第4個圖

它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第9個圖形中共有個*.

19.在△力BC中，NB=45。，AC=/5,4D1BC于點D,若2。=2,貝UBC的長為

20.如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在2。上，BC=3ED,連接

BE,DF1AB于點F,交BE于點G,AABE=2^ADF,BG=GD,若

CD=5,則線段BF的長為.

三、解答題：本題共7小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

21.(本小題7分)

先化簡，再求代數(shù)式(招-3)+容的值，其中久=2s譏60。-3tan45°.

22.(本小題7分)

如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1,線段4B的端點均在小正方形的頂點上，請按要求畫出圖形，

使得它們的頂點均在小正方形的頂點上；

(1)畫出一個以4B為一邊的AABE,點E在小正方形的頂點上，且N4BE=45。；

(2)畫出以CD為一腰的等腰△CDF,點F在小正方形的頂點上，且ACDF的面積為竽，連接EF,請直接寫出

線段EF的長.

23.(本小題8分)

某學(xué)校為了豐富學(xué)生課余活動，要開設(shè)四種球類的選學(xué)課程.為了了解學(xué)生最喜歡哪一種球類(每位學(xué)生必

須選一類，而且只能選一類)，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果繪制成了兩幅統(tǒng)計圖.根據(jù)圖中

信息，回答下列問題：

(1)本次調(diào)查共隨機(jī)抽查了多少名學(xué)生?

(2)通過計算將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整;

(3)若該學(xué)校共有1200人，估計該校有多少名學(xué)生最喜歡乒乓球?

24.(本小題8分)

已知：在四邊形ABC。中，AC與BD交于點。，AO=OC,AD//BC,AD1DC.

(1)如圖1,求證：四邊形4BCD為矩形;

(2)如圖2,過點。作EF1B。，交4。于點E,交BC于點F,若4B=4。，在不添加任何輔助線的情況下,

直接寫出圖2中四條線段，使每一條線段的長度都等于線段ED的長度的一半.

圖1圖2

25.(本小題10分)

某商店購進(jìn)力、B兩種品牌的工具，若購進(jìn)4種工具10件，B種工具20件，共需要280元；若購進(jìn)力種工具15

件，8種工具10件，共需要220元.

(1)求該商店購進(jìn)4B兩種品牌的工具每件各需要多少元？

(2)若該商店準(zhǔn)備購進(jìn)4、8兩種品牌的工具共60件，且總預(yù)算費用不超過550元，那么該商店最多可購進(jìn)B

種品牌的工具多少件？

26.(本小題10分)

在。。中，4B是。。的直徑，弦CD與4B交于點E,MCF=DE,點F是弧4D的中點，連接AC、CF,CF與

4E交于點

(1)如圖1,求證：/.CAB+2.A.DCF=90°；

(2)如圖2,連接FO,過點。作。G，。尸交。。于點G,連接CG,交4B于點N,求證：AC=AN；

(3)如圖3,在(2)的條件下，若4MB=34C,SAONC=18,求FM的長.

27.(本小題10分)

在平面直角坐標(biāo)系中，點。為坐標(biāo)原點，拋物線丫=。/+/^+5與久軸交于2、B,與y軸交于點C,點2的

坐標(biāo)為(一2,0),點8的坐標(biāo)為(5,0).

圖1圖2

(1)求a、6的值；

(2)如圖1,點P為第一象限拋物線上一點，連接2P,交y軸于點。，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t,CD的長為d,求d

與t的函數(shù)關(guān)系式；(不要求寫出自變量t的取值范圍)

(3)如圖2,在(2)的條件下，連接BC,BC與4P交于點E,延長BC至點F,連接OF,過點。作。G1FO,連

接BG,ACBG=90°,CE+BG=EB,連接。E并延長交CG于點兒若霖=未求點P的坐標(biāo).

nu/

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解:-4的相反數(shù)是4.

故選：C.

根據(jù)相反數(shù)的定義作答即可.

本題考查了相反數(shù)的知識，只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù).

2.【答案】D

【解析】解：4、3a2+4a2=7a2,故此選項不符合題意；

B、(a+b~)2=a2+2ab+b2,故此選項不符合題意；

C(a3)4=a12,故此選項不符合題意;

D、a-a3-a4,故此選項符合題意；

故選：D.

根據(jù)合并同類項法則、完全平方公式、幕的乘方、同底數(shù)幕的乘法法則分別計算判斷即可.

本題考查了合并同類項法則、完全平方公式、累的乘方、同底數(shù)暴的乘法，熟練掌握這些運算法則是解題

的關(guān)鍵.

3.【答案】C

【解析】解：4、是軸對稱圖形，但不是中心對稱軸圖形，故本選項不符合題意；

8、是中心對稱軸圖形，但不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；

C、既是軸對稱圖形，又是中心對稱軸圖形，故本選項符合題意；

D,是軸對稱圖形，但不是中心對稱軸圖形，故本選項不符合題意；

故選：C.

根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進(jìn)行判斷即可.

本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義，熟練掌握如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完

全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形；在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能

與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形是解題的關(guān)鍵.

4.【答案】A

【解析】解：觀察圖形可知，該幾何體的俯視圖如下：||||.

故選：力.

找到從上面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在俯視圖中.

本題考查了簡單組合體的三視圖的知識，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖.

5.【答案】B

【解析】解：連接0C,

???CD是。。的切線,

半徑。C1CD,

ZOCD=90°,

???ZD=42°,

ZXOC=Z-OCD+ND=900+42°=132°,

???^ABC=^AOC=66°,.

故選:B.

連接OC,由切線的性質(zhì)定理得到NOCD=90。，由三角形外角的性質(zhì)求出乙4。。=NOCD+功=132。，由

圓周角定理得到乙48c=|ZT1OC=66°.

本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，關(guān)鍵是由切線的性質(zhì)定理得到NOCD=90。，由圓周角定理得到

1

/.ABC=^Z.AOC.

6.【答案】C

【解析】解：當(dāng)％=。時，y=2(x—1)2+5=2x(0—I/+5=7.

???拋物線y=2(x-1產(chǎn)+5圖象與y軸交點的坐標(biāo)是(0,7).

故選：C.

代入x=。求出y值，進(jìn)而即可得出二次函數(shù)圖象與y軸的交點坐標(biāo).

本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，代入x=。求出y值是解題的關(guān)鍵.

7.【答案】D

【解析】解：4B=4C,頂角4的正對記作sacM,這時5<2%4=器，且N4=60。，

AD

AB=BC=AC,

sad60°=空=1,

故選：D.

根據(jù)題意可知三角形是等邊三角形，依據(jù)正對定義進(jìn)行解答即可.

本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是理解正對(sad)的含義.

8.【答案】A

【解析】解：列表如下:

黑黑黑白

黑（,赤里，市里）、（黑，白）

黑（1里八、、，里八、、J）（1里八、、，里八、、/）（黑，白）

里里、

黑1赤，市）r（黑，白）

白（白，黑）（白，黑）（白，黑）

共有12種等可能的結(jié)果，其中兩球恰好是一個黑球和一個白球的結(jié)果有6種，

???兩球恰好是一個黑球和一個白球的概率為盤=

故選：A.

列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及兩球恰好是一個黑球和一個白球的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答

案.

本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵.

9.【答案】D

【解析】解：vDE//AC,

.BE_BD

??詬一比‘

故A不符合題意；

??.DF//AB,

tFC__CD_

而=麗’

故3不符合題意；

???Z-B=乙CDF,Z-BDE=乙C,

BDEs^DCF,

tBE__ED_

'DF='FC9

故C不符合題意；

???DE//AF,DF//AE,

???四邊形/EOF是平行四邊形，

??.AE=DF,

??.DF//AB,

FDC^AABC,

tDF__DC_

??誦一前‘

tDF__AB_

''~DC~~BC'

.竺_竺田也

''~DC~~BC^麗’

故。符合題意，

故選：D.

由DE〃ac,得器=器，可判斷4不符合題意；由DF〃48,得票=黑，可判斷8不符合題意；由4

BDES^DCF,得瞿=獸，可判斷C不符合題意；因為四邊形4EDF是平行四邊形，所以4E=DF,再證

DFFC

明FDCSBC得喘=阻推導(dǎo)出差=需可判斷。符合題意，于是得到問題的答案.

△^,ABDCUCDC

此題重點考查平行線分線段成比例定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，證

明△FDCSANBC是解題的關(guān)鍵.

10.【答案】C

【解析】解：由圖象可得，乙車比甲車早出發(fā)1小時，

故A正確；

甲的速度是(80-20)+(3-1.5)=40(fcm/h),

故B正確；

乙的速度是f|=與由n/h,

3h甲車行走的路程為40x(3-1)=80(fcm),

3h乙車行走的路程為與X3=40(fcm),

??.3%后甲、乙相距80-40=40(k?n),

故C錯誤；

0.75h乙車走了0.75x與=10(fcm),

甲車還在a地沒出發(fā)，此時乙比甲多行駛10km,

1.125h乙走了1.125x手=15km,

此時甲行走的路程為(1.125-1)X40=5(km),

乙車比甲車多走了15—5=10(/cm),

故。正確.

故選：C.

由圖象可以直接判斷A正確；根據(jù)圖象可以求出甲車速度，可以判斷8正確；求出乙車速度再求乙車3%走

的路程和甲車2/1走的路程即可判斷C；分兩種情況求出甲、乙走的路程即可判斷D.

本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答是解答本題的關(guān)鍵.

11.【答案】8.2x106

【解析】解:8200000=8.2x106.

故答案為：8.2X106.

用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時，■般形式為ax10",其中1<|a|<10,n為整數(shù)，據(jù)此判斷即可.

此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為ax10%其中iw|a|<io,確定a與ri的值是解

題的關(guān)鍵.

12.【答案】無力一4

【解析】解：根據(jù)題意得，%+4大0,

解得x豐-4.

故答案為萬豐-4.

根據(jù)分母不等于0列式計算即可得解.

本題考查了函數(shù)自變量的范圍一般從三個方面考慮：

(1)當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；

(2)當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時，考慮分式的分母不能為0；

(3)當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時，被開方數(shù)非負(fù).

13.【答案】5

【解析】解：???反比例函數(shù)丫=號的圖象經(jīng)過點(2,3),

0々+1

???3=—,

解得々=5.

故答案為：5.

接把點P(2,3)代入反比例函數(shù)y=9，求出k的值即可.

本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，熟知反比例函數(shù)圖象上各點的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析

式是解答此題的關(guān)鍵.

14.【答案】竽

【解析】解：原式=早

L2AA6

_/6

一~3~，

故答案為：苧

根據(jù)二次根式的加減法運算法則計算即可.

本題考查的是二次根式的加減法，熟練掌握其運算法則是解題的關(guān)鍵.

15.【答案】m(x+4)(%-4)

【解析】解：mx2-16m=m(x2—16)=m(x+4)(%—4).

故答案為：m[x+4)(x-4).

先提取公因式小，然后發(fā)現(xiàn)還能利用平方差公式繼續(xù)分解，即可得到結(jié)果.

本題考查因式分解，熟練掌握提公因式法及公式法是解題的關(guān)鍵，注意要分解徹底.

16.【答案】x>0.5

【解析】解：由2x21得：%>0.5,

由2—久<3彳導(dǎo)：x>—1,

則不等式組的解集為x20.5,

故答案為:x>0.5.

分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定

不等式組的解集.

本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大

小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

17.【答案】15

【解析】解：設(shè)扇形的半徑是rczn,

120nr

則=107T,

180

解得，r=15,

:此扇形的半徑是15cm.

故答案為：15.

根據(jù)弧長公式即可求出扇形半徑.

本題考查扇形的弧長公式，解題的關(guān)鍵是熟記弧長公式.

18.【答案】20

【解析】解：由圖片可知：規(guī)律為五角星的總個數(shù)=4+2(九-1)=271+2.

幾=9時，五角星的總個數(shù)=2幾+2=20.

故答案為：20.

觀察圖形可知后面一個圖形比前面一個圖形多2個五角星，所以可得規(guī)律為：第九個圖形中共有4+2(n-

1)個五角星.

此題考查了規(guī)律型：圖形的變化，是找規(guī)律題，目的是培養(yǎng)同學(xué)們觀察、分析問題的能力.注意由特殊到

一般的分析方法，此題的規(guī)律為：第九個圖形中共有2n+2個五角星.

19.【答案】3或1

【解析】解：如圖，???4D1BC,4

.-./.ADC=90°,X/\

CD=AC2-AD2=I(<5)2-22=1'BDC

???NB=45°,

是等腰直角三角形，

.?.BD=AD=2,

分兩種情況：

①AABC是銳角三角形時，BC=BD+CD=2+1=3-,

①△ABC是鈍角三角形時，BC=BD-CD=2-1=1-,

綜上所述，BC的長為3或1,

故答案為：3或1.

由勾股定理得=1,再證明△48。是等腰直角三角形，得BD=4D=2,然后分兩種情況，①△4BC是

銳角三角形時，BC=BD+CD=3；①△ABC是鈍角三角形時，BC=BD-CD=1；即可得出結(jié)論.

本題考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及分類討論等知識，熟練掌握勾股定理，進(jìn)行分類

討論是解題的關(guān)鍵.

20.【答案】2

【解析】詳解：過點。作?！?BE交BE于點H,如圖,

???BG=GD,(GFB=Z.GHD=90°,Z.FGB=乙HGD,

???△FGBg2k”GD(ZAS),

??.Z.GBF=乙GDH,

^Z-ADF=a,

???乙ABE=2Z.ADF,

Z.ABE=2a,

Z-ABE=Z-GBF=Z-GDH—2a,

???Z.HDE=a,

在中：AHED=90°-CI,

???Z-AEB=90°-a,

在Rt△ADF中：Z-A=90°-a,

???Z-AEB=Z-A,

.?.AB=BE=CD=5,

???乙HDE=/.ADF=a,乙DHE=^AFD=90°,

ADF^LEDH,

???BC=3DE,

AD=3DE,

設(shè)BF=%,則=AF=5-x,

..AP_DF_AF

?麗―麗一麗’

11

/.DF=3DH=3x,EH=171F=j(5-x),

令DG=y,貝IJFG=3x-y,

在RtZkFBG中：BG2=FG2+BF2,即y?=(3%一y)2+久2,

解得y=I%，

554

???BG=-x,FG=3x--x=-x,

???BH=BG+HG=BG+FG=3%,

/.BE=-EH=3%-1(5-%)=y%-I，

???BE=5,

105_

??丁一=5，

解得：x=2,

二線段BF的長為2,

故答案為：2.

過點。作DH1BE交BE于點H,證明△FGB名AHGD(44S)得至IJNHEB=乙4即可得48=BE=CD=S,然

后證明△ADFSAED”,設(shè)BF=X,根據(jù)相似的性質(zhì)和勾股定理可用含％的式子表示BE的長度，計算即可

求解.

本題考查了三角形全等的性質(zhì)及判定，相似三角形的性質(zhì)及判定，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識，

解題關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，屬于中考常見題型.

21.【答案】解：(言一擊)一箸

-k%+3)(%-3)-(x+3)(x-3)J?2%+3

_3x—x+3%—3

(x+3)(x—3)2x4-3

_2x4-3x—3

(x+3)(x—3)2x4-3

=x+39

當(dāng)x=2s出60°-3tan45°=2x亨—3x1=0—3時，

【解析】先根據(jù)分式混合運算的法則把原式進(jìn)行化簡，再求出x的值代入進(jìn)行計算即可.

本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運算的法則是解題的關(guān)鍵.

22.【答案】解：⑴如圖，△4BE即為所求.

(2)由勾股定理得，CD=(42+32=5，.

如圖，等腰△CDF即為所求.

由勾股定理得，EF=VI2+22=

【解析】(1)以48為直角邊，點4為直角頂點，作等腰直角三角形即可.

(2)由勾股定理可得CD=5,取。尸=5,使等腰ACDF是底邊為5,高為3的三角形即可；利用勾股定理計

算EF的長即可.

本題考查作圖一應(yīng)用與設(shè)計作圖、等腰三角形的判定、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌

握等腰三角形的判定、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

23.【答案】解：(1)40+20%=200(名)，

答：本次調(diào)查共隨機(jī)抽查了200名學(xué)生；

(2)喜歡籃球的人數(shù)為：200-40-60-60=40(人),

答：估計該校有360名學(xué)生最喜歡乒乓球.

【解析】(1)將選足球的人數(shù)除以其所占百分比即可求出本次調(diào)查共隨機(jī)抽查了多少名學(xué)生；

(2)將本次調(diào)查隨機(jī)抽查的總?cè)藬?shù)減去已知的三個種類的人數(shù)求出喜歡籃球的人數(shù)，將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完

整即可；

(3)將喜歡乒乓球所占比乘以1200即可估計該校有多少名學(xué)生最喜歡乒乓球.

本題考查條形統(tǒng)計圖，扇形統(tǒng)計圖，用樣本估計總體，能從統(tǒng)計圖中獲取有用信息是解題的關(guān)鍵.

24.【答案】⑴證明：「皿/BC,

Z.OAD=Z.OCB,

在△4。0和4COB中，

^LOAD=^OCB

AO=CO,

Z.AOD=(COB

???△/。。也4。。8(452)，

??.AD=BC,

???四邊形ZBCO是平行四邊形，

XvAD1DC,

??.AADC=90°,

???平行四邊形ZBCD是矩形；

(2)解：AE=OE=CF=OF=-ED,理由如下：

由(1)可知，四邊形48CD是矩形，

11

AD=BCfZ.BAC=90°,AO=COBO=aBD,AC=BD,

4。=BO=CO,

Z.OBC=Z.OCB,

AB=AO,

AB—AO=BO,

：.△ABC是等邊三角形，

Z-AOB—(ABO=60°,

vZ.OBC+Z-OCB=Z.AOB,

1

???(OBC=Z.OCB=*08=30°,

EF1BD,

???Z.BOF=90°,

1

...OF=^BF,乙BFO=90°-30°=60°,

???乙BFO=乙OCB+(FOC=60°,

???^FOC=30°=Z.OCB,

???CF=OF=^BF,

同理：AE=OE=^ED,

在△4?！?和4COF中，

AOAE=(OCF

AO=CO,

^AOE=ACOF

?,△AOE"XCOF(ASA),

??.AE=CF,

??.AD-AE=BC-CF,

即ED=BF,

1

...AE=OE=CF=OF=aED.

【解析】(1)證明△A。。之△C08Q4S/),得再證明四邊形ABC。是平行四邊形，進(jìn)而證明

^ADC=90°,然后由矩形的判定即可得出結(jié)論；

11

(2)證明△4BC是等邊三角形，得乙4OB=乙45。=60。，再證明OF=5BF,CF=OF=~BF,同理AE=

1

OE=瀏,然后證明AAOEgACOF(ASN),得4E=CF,貝!|ED=BF,即可得出結(jié)論.

本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定

與性質(zhì)以及等腰三角形的判定等知識，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

25.【答案】解：(1)設(shè)該商店購進(jìn)每件4種品牌的工具需要x元，每件B種品牌的工具需要y元，

根據(jù)題意得:｛圖:歌二霽,

解得：｛y：W-

答：該商店購進(jìn)每件4種品牌的工具需要8元，每件B種品牌的工具需要10元；

(2)設(shè)該商店購進(jìn)B種品牌的工具皿件，則購進(jìn)A種品牌的工具(60-機(jī))件，

根據(jù)題意得：8(60-m)+10m<550,

解得：m<35,

小的最大值為35.

答：該商店最多可購進(jìn)2種品牌的工具35件.

【解析】(1)設(shè)該商店購進(jìn)每件4種品牌的工具需要x元，每件8種品牌的工具需要y元，根據(jù)“購進(jìn)4種工

具10件，B種工具20件，共需要280元；購進(jìn)4種工具15件，B種工具10件，共需要220元”，可列出關(guān)于

x,y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)該商店購進(jìn)B種品牌的工具皿件，則購進(jìn)4種品牌的工具(60-爪)件，利用總價=單價x數(shù)量，結(jié)合總

價不超過550元，可列出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出結(jié)論.

本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用以及二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確

列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式.

26.【答案】（1）證明：???點F是蕊的中點，

-.AF=FD>

???Z-ACF=Z.DCF,

??,CE=DE,AB是。。的直徑，

AB1CD,

Z.CEA=90°,

Z.CAE+乙ACD=90°,

??.Z.CAE+Z.ACF+乙DCF=90°,Z.CAE+乙DCF+乙DCF=90°,

??.Z,CAB+2乙DCF=90°；

（2）證明：??,OG1OF,

???乙FOG=90°,

???Z.FCG乙FOG=45°,

設(shè)=貝IJNCZN=90。-2a,AACN=^ACF+Z.FCG=tr+45°,

???乙ANC=180°一乙CAN-乙ACN=a+45°,

???（ANC=乙ACN,

??.AC=AN；

（3）解：如圖，連接BC,

???4B是。0的直徑,

???乙ACB=90°,

???乙MCB=Z.ACB-^ACF=90°-a,乙CMB=^CAM+/_ACM=90°-a,

???乙MCB=乙CMB,

??.BM=BC,

???4MB=3AC,

???4BC=3/C,

在Rt/XABC中，tanNG4B=%=],

設(shè)BC=3血，則AC=4?n,AB2=AC2+BC2,AB=5m,OG=OB=^m,

1

???匕ACF=*。尸,

??.Z.AOF=2a,

???乙BOG=180°-AAOF-乙FOG=90°-2a,

???乙GOB=乙CAB,

過點G作GT1ZB于點T,連接BG,

??.Z,OTG=90°,

??.Z.OTG=Z-ACB,

??.△OTGs^ABC,

.OT_T￡_O￡_1

"AC~~BC~AB~2"

31

???TO=2m,TG=-m,TB=BO—OT=-m,

v^ABG=^.ACG,乙BNC=^ANC,乙ACN=幺ANC,

Z-BNG=乙NBG,

???NG=BG,

又???TG148,

1

NT=TB=-m,

3I133

??.ON=AT-NT=|m,Sh0NG=加。-TG=x|mx|m=18,

m1=4,m2=-4（舍），

過點F作FK1ZB于點K,

???乙FKO=90°=乙OTG,

???乙KFO+乙KOF=90°,

???乙KFO=乙TOG,

又???FO=GO,

???△KFOaTG。，

KF=OT=8,

KO=TG=6,KB=KO+OB=6+10=16,BC=MB=12,

KM=KB-MB=4,在RtAKFM中，"KM=90。，F(xiàn)M2=KF2+KM2,

FM2=82+42=80,

解得：FM=4/5.

【解析】(1)利用圓周角定理，垂徑定理得出NCEA=90。，從而得出NC4E+乙4CD=90。，利用等量代換

即可證明；

(2)根據(jù)。G1OF,得出NFOG=90。，AW^FCG=jzFOG=45°,設(shè)NACF=a,貝I|NC4N=90。-2a,

算出乙4CN=a+45。，N4VC=a+45。，即可得結(jié)論；

(3)連接BC,根據(jù)4B是O。的直徑，得出乙4c8=90。，通過等量代換得出4MCB=NCMB,從而=

BC,再根據(jù)4M8=32C,得出tan/CAB=段=弓，設(shè)BC=3m,貝必。=4小，利用勾股定理求出AB=

AC4

ro

5m,OG=OB=^m,過點G作GT148于點7,證明出△OTGs△力BC,從而得出7。=2m,TG=jm,

11-io0

TB=：m,利用SAONG=圳。-7G汾=18,求出爪=4,過點F作FK148于點K,證明出

△KFO名ATGO,在RtAKFM中,利用勾股定理建立等式求解即可解得FM=4".

本題考查了圓周角定理，相似三角形、全等三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理、直徑對應(yīng)的圓周角等于直

角、解直角三角形，解題的關(guān)鍵是作出相應(yīng)的輔助線構(gòu)建相似三角形和全等三角形進(jìn)行求解.

27.【答案】(1)解：拋物線37=取2+出+5經(jīng)過4(一2,0),5(5,0),

把4(一2,0),B(5,0H6y=a/+bx+5,

.10=4a—2b+5

/，lO=25a+5Z)+5，

(1

a=—

解得Io2；

17

(2)把a(bǔ)=-b=2代入y=ax2+b%+5,

拋物線的解析式為y--1x2+|x+5,

當(dāng)久=0時,y=5,

???C(0,5),

OC=5,

設(shè)P(G-權(quán)2+5t+5),

過點P作PT1X軸于點7,

1o

.-.T(t,0),/.PTA=90°,AT=t+2,PT=—產(chǎn)+1+5,

在Rt△APT中,tanzPXT=賓=左上4=+

在RMAD。中，NA。。=90。，tanzDXO=

空15

---t+-

22

***DO=-t+5,1

d=CO-DO=5—(—t+5)=t.

⑶???8(5,0),

???OC=BO=5,

???Z-OCB=Z-OBC,

???乙COB=90°,

???乙OCB=Z.CBO=45°,

???OGIFO,

???(FOG=90°,

又匕1=Z-OFB4-乙FOG=乙CBG+乙OGB,

???90°+Z.OFB=90°+(OGB,

???Z-OFB=Z.OGB,

???(COB=90°,

???乙COG+乙GOB=90°,Z.FOC+乙COG=90°,

???乙GOB=Z.FOC,

又???CO=BO,

??.△FCOaG8OQ4S/),

??.FC=BG,FO=GO,

CE+BG=EB,

CE+FC=EB,

??.EF=EB,

過點尸作FLly軸于點3交0”的延長線于點K,

???(FLO=乙KLO=90°,

???乙LOB=90°,

???乙FLO=Z-LOB,

??.FK//OB,

AK=Z.KOB,^KFE=Z.OBE,

??.△FKE也△08E(44S),

??.FK=OB,FK=OC,

???(FLO=90°,Z,LFO+乙LOF=90°,圖2

???Z.FOG=90°,

???^LOF+Z.COG=90°,

???Z-LFO=Z-COG,

??.△FK。之△0CG(44S),

Z-K=Z-OCG,

???(KLO=90°,

???乙K+乙KOL=90°,

???乙OCG+乙KOL=90°,

過點H作“Qly軸于點Q,

???乙CHO=90°,

???乙CHQ+乙QHO=90°,

??.Z.QHO+乙COH=90°

???乙CHQ=(