遼寧省部分高中2023-2024學(xué)年高三年級下冊第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題

遼寧省部分高中2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期第三次模擬考試數(shù)

學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.若全集U=R,A=｛x\x<2｝,S=｛y|y=e\xeR）,則下列關(guān)系正確的是（）

A.A=BB.B=AC.B=0VAD.縱4三B

2.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點為（加,1）,若匕>一2,則實數(shù)加的值為（）

A.0B.-1C.1D.1或-1

3.已知正實數(shù)a,b,貝『2+2642”是“/+4從42”的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

4.已知平面非零向量Z,b，滿足|句=向,H（2a-^S）±S,則&,初=（）

兀兀一兀C

A.—B.—C.—D.0

643

5.在調(diào)查對某大型活動滿意度比例為0.9的人員中抽取10人，設(shè)當(dāng)中持有滿意態(tài)度的人數(shù)

為x,隨機(jī)變量y=2x+3,則y的方差￡>（y）的值為（）

A.21B.6.6C.3.6D.4.8

6.已知對數(shù)函數(shù)〃x）=log.x,函數(shù)/（x）的圖象上所有點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原

來的3倍，得到函數(shù)g（x）的圖象，再將g（x）的圖象向上平移2個單位長度，所得圖象恰好

與函數(shù)〃x）的圖象重合，則。的值是（）

A.-B.|C.—D.V3

233

22

7.設(shè)點片，工分別為橢圓C：￡+9=1的左、左焦點，點尸是橢圓C上任意一點，若使得

o4

西?成=加成立的點P恰好有4個，則實數(shù)用的值可以是（）

A.0B.2C.4D.6

8.已知數(shù)列｛%｝中各項均為正數(shù)，且確=?！保ā?1,2,3「一），給出下列四個結(jié)論：

①對任意的〃eN*,都有。">1

②數(shù)列｛%｝可能為常數(shù)列

試卷第1頁，共4頁

③若。<生<2,則當(dāng)〃22時，％<%<2

④若％>2,則數(shù)列{%,}為遞減數(shù)列.

其中正確結(jié)論有（）

A.1B.2C.3D.4

二、多選題

9.關(guān)于二項式（3x-l）5的展開式，下列說法正確的是（）

A.第三項系數(shù)為270B./的系數(shù)為90

C.二項式系數(shù)和為25D.系數(shù)和為2$

10.已知max{尤］,無2,…,西,}表示西,工2,…,天這〃個數(shù)中最大的數(shù).能說明命題“Va,6,c,deR,

max{a,6}+max{c,d}2max{a,6,c，4”是假命題的對應(yīng)的一組整數(shù)°,b,c,d值的選項有

（）

A.1,2,3,4B.-3,-1,7,5

C.8,-1,-2,-3D.5,3,0,-1

11.已知雙曲線及直線/：y=丘-1,若/與C交于4,2兩點，。是坐標(biāo)原點，

且“03的面積為血，則實數(shù)上的值可能為（）

A.0B.-C.—D.—

222

三、填空題

12.某同學(xué)將全班某次數(shù)學(xué)考試的成績整理成頻率分布直方圖后，將每個小矩形上方線段的

中點連接起來，并將小矩形擦去，得到頻率分布折線圖（如圖所示）.已知該同學(xué)繪制頻率

分布直方圖時確定的極差為60,組距為10,據(jù)此估計此次考試成績的平均數(shù)是.

上頻率

八組距

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

O2成績/分

試卷第2頁，共4頁

13.若函數(shù)/(》)=5山卜+］卜55的圖象關(guān)于x=a(a*O)成軸對稱，則。的值可以

為.(寫出一個正確的值即可)

14.已知正四面體48CD棱長為2,點耳月分別是。3C,AABD,A/CD內(nèi)切圓上的

動點，現(xiàn)有下列四個命題：

①對于任意點6，都存在點A,使月月?赤=0；

②存在用巴，使直線＜心，平面N3C；

③當(dāng)|耳冏+厘有|+R用最小時，三棱錐4-65A的體積為中

④當(dāng)儂H豆冏+R用最大時，頂點A到平面松月的距離的最大值為日.

其中正確的有.(填選正確的序號即可)

四、解答題

1T

15.如圖所示，在梯形"BCD中，ABHCD,NADC=—,AB=2AD=2CD=4,NP工平

2

面/8CD,CQ//AP,AP=2,CQ=3,"為43中點.

⑴證明：〃平面/DP；

(2)證明：QMLCD.

⑶求平面BPQ與平面DPQ夾角的余弦值.

2兀

16.ABC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為Q,b,c,已知3/-a?一°2=2Q°,2C+B=—.

(1)求角3；

(2)若a=2,設(shè)尸，。分別是邊AS、8C上的動點(含端點)，M?當(dāng)1尸。1取

得最小值時，求點B到直線P。的距離.

17.已知函數(shù)“x)=x(l-y),其在x=l處的切線斜率為1-2e.

試卷第3頁，共4頁

(1)求a的值；

(2)若點(m,〃)在函數(shù)/(x)的圖象上，求/(加)-/(〃)的取值范圍.

18.為進(jìn)一步培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，提高創(chuàng)造性思維和解決實際問題的能力，某省

舉辦高中生數(shù)學(xué)建模競賽現(xiàn)某市從N兩個學(xué)校選拔學(xué)生組隊參賽，M,N兩個學(xué)校學(xué)生

總數(shù)分別為1989人、3012人.兩校分別初選出4人、6人用于組隊參賽，其中兩校選拔的

人中各有兩人有比賽經(jīng)驗，按照分層抽樣從N兩個學(xué)校初選人中共選擇5名學(xué)生組隊參

賽，設(shè)該隊5人中有參賽經(jīng)驗的人數(shù)為X.

(1)求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望￡(X)；

(2)各市確定5人組隊參賽，此次比賽規(guī)則是：小組內(nèi)自行指定一名同學(xué)起稿建立模型，之

后每輪進(jìn)行兩人單獨交流.假設(shè)某隊決定由/起稿建立模型，/從其他四名成員中選擇一人

3進(jìn)行交流，結(jié)束后把成果交由瓦然后3再從其他包括/在內(nèi)的四個成員中選擇一人進(jìn)行

交流……每一個環(huán)節(jié)只能是兩名成員單獨交流，每個小組有20次交流機(jī)會，最后再進(jìn)入評

委打分環(huán)節(jié)，現(xiàn)該市選定甲、乙、丙、丁、戊五人參賽，其中甲、乙兩人有參賽經(jīng)驗.在每

次交流中，甲、乙被同伴選為交流對象的概率均為;，丙、丁、戊被同伴選為交流對象的概

率相等，比賽由甲同學(xué)起稿建立模型.

①求該組第三次交流中甲被選擇的概率；

②求第〃次交流中甲被選擇的概率(”420,〃eN+).

19.設(shè)拋物線C的方程為必=4x,M為直線=上任意一點；過點V作拋物線

C的兩條切線MB,切點分別為4B(N點在第一象限).

⑴當(dāng)"的坐標(biāo)為，1,時，求過A,2三點的圓的方程；

(2)求證：直線48恒過定點；

(3)當(dāng)加變化時，試探究直線/上是否存在點使為直角三角形，若存在，有幾個

這樣的點，說明理由；若不存在，也請說明理由.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.D

【分析】求出集合3中函數(shù)的值域，得到集合3,判斷兩個集合的包含關(guān)系.

【詳解】全集。=R,A={x\x<2},則令/=何無22},

8={y|y=e',xeR}={y|y>0},所以務(wù)NqB.

故選：D

2.A

【分析】由條件結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，得到z=〃?+i,根據(jù)匕>-2可得匕為實數(shù)，列方程可

求加的值.

【詳解】因為復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點為(私1),

所以z="7+i,

因為iz>-2,

因為12=可加+。=-1+7疝為實數(shù)，

得7〃=0.

故選：A.

3.B

【分析】由充分條件和必要條件的定義結(jié)合基本不等式求解即可.

31Q19137

【詳角華】取。=—,6=—，滿足。+2b?2,11a+4/?2=—+4x一=—+—=一>2,

2846441616

故“。+2642”推不出“°2+4從42'',

因為萬+4產(chǎn)22」a-4bz=2-2ab=4ab，當(dāng)且僅當(dāng)“a=2b”時取等，

2222

當(dāng)/+46?42時，a+4Z7+4aZ><2+4^<2+a+4/7<4,

所以/+4〃+4"W4,BP(o+2Z))2<4,因為a+2b>0,

所以0<a+26W2,所以/+4b2V2能推出。+2b42.

故“a+26V2”是“a2+4b2<2"的必要不充分條件.

故選：B.

4.A

【分析】由向量數(shù)量積表示垂直，再結(jié)合數(shù)量積的定義計算即可.

答案第1頁，共17頁

【詳解】因為非零向量Z,b,滿足向=|5],且②-用）點,

所以（2a-B=2。?B-y/ib2二28COS〈Q,B〉一6,卜0,

即cos〈〃,B〉=~~~，

—*—*TT

所以〈（7,6〉=：,

6

故選：A.

5.C

【分析】由二項分布的方程公式求出。（X）,再根據(jù)。&）=。（2萬+3）=4。（丫）求出結(jié)果即

可.

【詳解】由題意可知，隨便變量X服從二項分布，即丫~8（10,0.9）,

則。（X）="0（1-0=10x0.9x0.1=0.9,

又Y=2X+3,

則D（Y）=D（2X+3）=4D（X）=4x0.9=3.6,

故選：C.

6.D

【分析】根據(jù)函數(shù)圖像變換法則求出函數(shù)的解析式，由條件列方程，解方程求解即可

【詳解】因為將函數(shù)/（&）的圖象上所有點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的3倍，得到函

數(shù)g（x）的圖象,

X

所以g（x）=log“§,gpg（x）=logax-loga3,

將g（x）的圖象向上平移2個單位長度，所得圖象的函數(shù)解析式y(tǒng)=log"XTog,3+2,

因為所得圖象恰好與函數(shù)/（x）的圖象重合，

所以-log03+2=0,

所以/=3,又0>0且awl,

解得a=百，

故選：D

7.B

答案第2頁，共17頁

22

【分析】設(shè)一(4,九)，表示向量西，至，由條件可得焉+/=加+4,江+區(qū)=1,結(jié)

84

合對稱性列不等式，求加的范圍，由此可得結(jié)論..

22

【詳解】因為點號月分別為橢圓1■+?=1的左、右焦點；

所以耳(—2,0),名(2,0),

設(shè)尸(演，九),

由PF】?PF2=加可得=加+4,

22

又因為尸在橢圓上，即巫+區(qū)=1,

84

所以片=2m,

由對稱性可得，要使得麗?西=冽成立的點恰好是4個，則0<2冽<8

解得0<m<4,

所以加的值可以是2.

故選：B.

8.C

【分析】結(jié)合數(shù)列遞推式研究數(shù)列的單調(diào)性，逐項判斷即可.

【詳解】解：對于①，在數(shù)列｛%｝中，^+l-an+l=an,則%(%-1)=%,

又對于任意的“eN*都有%>0,則%-1>0,即%+i>l,

即對于任意的“22,都有%>1,

所以為的值不確定大小，故①項錯誤；

對于②，不妨設(shè)數(shù)列｛與｝可能為常數(shù)列，則％=4用，

又41一。“+1=%，則則4=2,

即為=2時，數(shù)列｛。“｝為常數(shù)列，故②項正確；

對于③，0<%<2,則0<城-出<2,因為數(shù)列｛與｝中各項均為正數(shù)，

即0<%<2,同理，當(dāng)〃22,都有0<%<2,

又a…“=2an+l-a^=??+1(2-??+1)>0,即數(shù)列｛。J為遞增數(shù)列，

答案第3頁，共17頁

即當(dāng)〃22時，ax<an<2,故③項正確.

對于④，%+i-=2%+i-a*=an+1(2一“I)

又％〉2,貝［j0<a；—出<2,即1</v2,

同理，當(dāng)〃22,都有靖一名〉2,即出〉2,

同理，當(dāng)“22,都有%>2,

即氏+1-%=2%-=%(2-%)<0,

即。用>%，即數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列，故④項正確；

故選：C.

【點睛】關(guān)鍵點睛：數(shù)列與不等式以及數(shù)列與單調(diào)性等問題，常利用作差法，需要熟練應(yīng)用

不等式知識解決數(shù)列中的相關(guān)問題.

9.ACD

【分析】求出二項式(3x-l)5展開式的通項公式，第三項的系數(shù)判斷A,求含-的項的系

數(shù)判斷B,根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)判斷C,求系數(shù)和判斷D.

【詳解】二項式(3x-1)，展開式的通項公式為

=C?(3x廣(一1丫=C；35T㈠丫產(chǎn),『V5,reN,

對于A,展開式中第3項的系數(shù)為C；X33X(-1)2=270,,A正確；

對于B,令5r=2,可得廠=3,故展開式中含尤2的項為第四項，該項的系數(shù)為

C^X32X(-1)3=-90,B錯誤；

對于C,(3%-1)5的展開式的二項式系數(shù)和為C+C+C；+C：+C+C=25,c正確,

對于D,二項式(3x-l)5的展開式的系數(shù)和為(3x1-1)5=25,D正確；

故選：ACD.

10.BC

【分析】根據(jù)max｛x”z，…，斗｝的含義說明AD不符合題意，舉出具體情況說明BC,符合

題意即可.

【詳解】對于A,D,從其中任取兩個數(shù)作為一組，剩下的兩數(shù)作為另一組，

答案第4頁，共17頁

由于這兩組數(shù)中的最大的數(shù)都不是負(fù)數(shù)，其中一組中的最大數(shù)即為這四個數(shù)中的最大值，

故都能使得命題“Da也GR,max{a/}+max{c,d}>max{a,b,c,4”成立;

對于B,當(dāng)max{a,6}=max{-3,-1}=一l,max{7,5}=7時,而11^{一3,-1,7,5}=7,

止匕時一1+7<7,即命題,6?GR,max{〃,"+max{c,d}2max{〃力,。，4”是假命題；

對于C當(dāng)max{a,6}=max{8,-1}=8,max{-2,-3}=-2時，而max{8,-l,-2,-3}=8,

此時一2+8<8,即命題也c,d^R,max{a/}+max{c,d}2max{a,6,c，4”是假命題；

故選：BC

11.AD

【分析】聯(lián)立方程組，利用設(shè)而不求法，三角形面積公式表示“08的面積，列方程求上的

值.

fx2_2=|

【詳解】聯(lián)立；1,消去〉整理得：（l-k2）x2+2kx-2=0,

[y=kx-l

I一rw0

由已知，…，2、八，所以0V42<1或1<42<2,

A=4后2+8（1-產(chǎn)）>0

設(shè)/（尤Qi）,BO?,%），

皿2k2

貝」再+馬=產(chǎn)二7，再泡=記口.

由題意，直線/恒過點。（o,-i）.

①若占馬<0,則邑加=5"￡?+$?9=；巧卜|-1+；?2卜1=1_*1_；'；2|=百，

②若中2>0,則S”O(jiān)B=|SJO0—S,嬴=短一1|=f4一聞=e,

答案第5頁，共17頁

所以（西一工2）2=（再+/）2-4再入2=8,

解得左=0或4=±如，

2

經(jīng)檢驗，左=0或4=±逅均滿足題意，

2

故左=0或4=±如，

2

故選：AD.

12.112.5

【分析】利用頻率分布折線圖中的數(shù)據(jù)，結(jié)合求平均數(shù)的公式求解即可.

【詳解】因為該同學(xué)繪制頻率分布直方圖時確定的極差為60,組距為10,

結(jié)合頻率分布折線圖可得各組的中點數(shù)據(jù)分別為85,95,105,115,125,135,

所以此次考試成績的平均數(shù)大約為

（0.010x85+0.015x95+0.015x105+0.025x115+0.020x125+0.015x135）x10=112.5

故答案為：112.5.

13.27r（答案不唯一）

【分析】根據(jù)題意化簡/（X）,根據(jù)誘導(dǎo)公式分別計算/'（X+27T）與/'（^+2無），得

/（X+271）=/（-%+271）,即可確定函數(shù)/0）=5由卜+]>053的圖象關(guān)于工=2兀成軸對稱.

【詳解】因為〃=+.吟，即/?（、）…XC咤

（Y27r）

所以/（%+2兀）=cos（%+2兀>cosI---I

化簡得：f（x+2兀）=COSXCOS^+71^=-cosXcos鼻,

又/（—x+2兀）=cos（一x+2兀）cos['+2"],

答案第6頁，共17頁

化簡得：f（-X+2兀）=-cos（-x）cos—=-cosxcos—,

所以有/（X+2兀）=/（-X+2兀），

所以函數(shù)/。）=$吊［+］卜。5金的圖象關(guān)于》=2兀成軸對稱.

故答案為：2兀（答案不唯一）

14.①②④

【分析】使用空間向量設(shè)出各點的坐標(biāo)，再對逐個選項分別求解.

【詳解】

設(shè)ABCD4ABeQABDQACD的重心分別是7,5,62,63.

以7為原點，而，濟(jì)，方為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.

f1V32761百(2V32V6

且7(0,0,0),5?0,-q-

3'9'9J(3'99

79J

三個內(nèi)切圓的半徑均為"，且可設(shè):

3

——?百>1——,」,o]+sin〃15/32后

GXPX=——cosw-5C+—sinw-GXA=cosw

62~62)5

、

-----V3—?1——?fV3,--1,0+sinvf--V325

G2Pz=——cosv-5D+—sinv-G24=cosv

6226226Ti,-9-,

7

V3—?1——?g，。，。+sinw[o,烏亞

G3P3=——cosw?CD+—sinw?GM=cosw

623I91*9J

1V31,V31V3,2V62A/6.

所以有4cosuH—sinu,cosusinu.1sinu

36------------692----------18-----------9-------9

答案第7頁，共17頁

Jig1,V31百.276276.

H—H-----cosv——sinv,---------cosv-------sinv,--------1-------sinv

21366921899

Km26如.2a2巫.、

R——cosw,---------1-----sinw,-------1-------sinw.

339999

對于①，當(dāng)鳥確定后，取A為鳥關(guān)于平面/7P的對稱點，則鳥鳥垂直于平面所以利

垂直于4。，①正確;

TT71r_L1V34指、

對于②，當(dāng)v=7'時,有百,，--I?’6，3J

667F9J

故屬=，，-等，-g],次Jo,與sc=(-i,-^,o).

L7\7

直接計算可知根?存=根?瑟=0,所以此時6線滿足條件，②正確;

7?

對于③，此時匕鳥位于最上方，即〃=V=W=Q.

這時山叫=I4片I=E囿=：忸。=g,點A到平面P\P『3的距離為半.

所以此時/_"第.半=言，③錯誤；

對于④，此時〃=-v=w,根據(jù)對稱性有出毛|=|耳閭=火圖,故

g(由川+山川+R囿)2=山囿2

r1VI1.丫1「Y

=-----------cosw+—smu+---------cos〃-------smu

〔326J〔326

8.4.13

=—sin2u—sinuH—

999

=_g(sin〃+j+|<|,故此時|耳￡|+山肉+R用在sin“=-：處取到最大.

此時邛,￡的縱坐標(biāo)都是逅，故點A到平面邛￡4的距離為偵一"=④正確.

6362

故答案為：①②④

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于對空間向量的計算與求解.

15.(1)證明見解析

(2)證明見解析

答案第8頁，共17頁

(3)f

【分析】(1)只需通過證明兩次線面平行得到平面。MC〃平面尸/￡),再結(jié)合面面平行的性

質(zhì)即可得證；

(2)只需證明CD,平面QCM,再結(jié)合線面垂直的性質(zhì)即可得證；

(3)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出兩個平面的法向量，根據(jù)向量的夾角公式即可得解.

【詳解】(1)

Q

QABHCD,AB=2CD=4,M是N2中點，

4W//CD且=,

四邊形AMCD是平行四邊形，CM7/4D.

而CA/U平面尸40/Ou平面尸4D,所以CM7/平面P4D,

又因為QC〃尸”，QCU平面尸尸Nu平面P/。，所以0C//平面尸

又CM//平面尸4D,QCnMC=C,QCu平面。MC,MCu平面QMC,

???平面QMC〃平面尸NO.

又QMu平面QMC,QM〃平面PAD.

(2)

Q

答案第9頁，共17頁

7T

又?.?乙4DC、,四邊形/MCZ)是平行四邊形,

2

平行四邊形ZMCD為正方形，

又?.?0C，CZ),WCcQC=C,MCu平面QCM,QCu平面。CM,

\CD~平面。CM,

,.?QMu平面QCM,CD1QM.

APABCD,/Du平面/BCD,/Mu平面43CD,

因為四邊形4WCD是正方形，所以尸兩兩垂直.

建立直角坐標(biāo)系，以A為原點，48為x軸，40為V軸，4P為z軸

3(4,0,0),0(2,2,3),尸(0,0,2),。(0,2,0).

設(shè)平面尸。3的法向量萬=(xQi，zJ,RP=(-4,0,2),BQ=(-2,2,3),

—4X]+2Z]=0即卜一：，當(dāng)國=1時，法向量1=(1,-2,2),

—2再+2必+3Z]=0［必=-2x,

設(shè)平面尸。。的法向量成=(%2，%/2)，尸。=(0,2,—2),尸。=(2,2,1),

12y-2z=0~2

則、2G2八，即3,當(dāng)4=2時，法向量云=(—3,2,2),

Z

[2X2+2%+Z2=0x2=~~2

所以平面BPQ與平面DPQ夾角的余弦值為：

I--1n-m一3-4+4V17

COS",7"=懺百

Jl+4+4-J9+4+4—17

71

16.(1)5=-

⑵乎

答案第10頁，共17頁

【分析】（I）由正弦定理邊化角把已知等式化簡后，再經(jīng)過拆角C=g-?和/=夸-

然后由兩角和的正弦展開式化簡，最后由特殊角的三角函數(shù)值求出角即可；

（2）由（1）可知"3C是直角三角形，再由三角形的面積公式得到

g?wsin60°=gx[g加，|=f,然后由余弦定理和均值不等式得到|尸。的最小值，最后

求出距離即可.

【詳解】（1）因為3/—/一,所以VJb=a+c,

由正弦定理得，百sin3=sin4+sinC.

因為2C+B=g,所以C=；_g,同時/=n_(C+8)=兀-Ijj+5

則由sin5=sinl2n_B_71B

T-7+sm3F

BB_

cos——

22

VJsinB=6cos—,

2

..BBB

n即n2sm—cos—=cos—.

222

又因為BE(0,兀)，所以cos—wO,所以sin—=—,故8=彳，

2223

(2)由(1)可知，C=^-f=/=§一占=1,所以“BC是直角三角形,

326362

又〃=2,所以。=1,b=5/3,

設(shè)|8尸|=加‘逐。|=",又S&BPQ=；S—BC，

11（拒）C

所以一加〃sin6（T=—x——mn=—,所以加〃=1.

2212）4

在V5尸。中，由余弦定理和均值不等式可知，

|PQ『=m2+〃2-2mncosy=m2+n2-1>2mn-\=1.

當(dāng)且僅當(dāng)初=〃=1時，等號成立，|尸。|取得最小值1.

此時，V5尸。是邊長為1的等邊三角形，點8到直線加的距離為1Xsin60。="

2

答案第11頁，共17頁

B

Q

p/

A'-------------------

17.(1)1

⑵」,0

e

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式求解，即可得答案.

(2)結(jié)合(1)求出函數(shù)〃x)=x(l-e")的值域，由題設(shè)可得/(加)-/(〃)的表達(dá)式，由此

構(gòu)造函數(shù)f(x)=xe"xe(-?,0],利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，即可求得答案.

【詳解】(1)r(x)=1-(1+0X)6^,

由題意，/,(l)=l-(l+a)efl=l-2e,整理得(l+a)e"=2e,

令g(x)=(1+x)e，，所以g'(無)=(2+x)e*'，

所以當(dāng)x<-2時，g'(x)<0,g(x)在(-8,-2)上單調(diào)遞減，且g(x)<0,

當(dāng)x>-2時，g'(x)>0,g(x)在(-2,+⑹上單調(diào)遞增，

Xg(-2)=-e-2<0,g(-l)=o,g(l)=2e,

所以關(guān)于。的方程(l+〃)e"=2e只有一個根，即a=1.

(2)由(1)問可知〃尤)=x(l-e)所以/■'(x)=l-(l+尤)e*,

令k(x)=1-(1+x)er=1-g(x)

進(jìn)而可知Mx)在區(qū)間(-甩-2)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(-2,+8)上單調(diào)遞減，

且〃(一2)=l+e<>0,x<—2時，h(x)>0,A(0)=0,

所以x<0時，/,(x)>0,函數(shù)〃x)在(一叫0)上單調(diào)遞增，

x>0時，r(x)<0,函數(shù)/(x)在(0,+網(wǎng)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x=0時,"X)取得最大值〃0)=0,

所以/(X)的值域為(-8,0].

又由題意知點(加,〃)在函數(shù)/(x)的圖象上，故"=/(M,

答案第12頁，共17頁

所以/(冽)一/(〃)=〃-/(〃)=〃一九(l-e〃)=z?e",nG(-CO,0].

令z(x)=xex,xG(-00,0],

所以r(x)=(l+x)e",當(dāng)x=-l時,f(-1)=0,

當(dāng)xE(-oo,-l)時，t\x)<0,(%)在區(qū)間(-叫-1)單調(diào)遞減，

當(dāng)X￡(—1,O]時，/(x)〉o,《%)區(qū)間(一1,0]單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=-l時，*x)取得最小值」，

e

當(dāng)xw(—8,—1)時，Z(x)<0,當(dāng)％f-8時，^(x)—>0,且(0)=0,

所以?)的值域為1二,o],

e

所以/(")-/(")的取值范圍是1-上0.

_e_

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題，難點在于(2)中求解/(M-/5)

的范圍，解答時要首先利用導(dǎo)數(shù)求出/(刈的值域為(-叫0],進(jìn)而求出/(加)-〃")的表達(dá)式,

構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求解范圍.

18.⑴分布列見解析，E(X)=2

(2)①|(zhì)；②J+不

【分析】(1)列出隨機(jī)變量X的可能取值，并根據(jù)超幾何分布計算每個可能取值的概率,

并計算分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)①根據(jù)第三次交流中甲被選擇，第二次交流中甲未參與，計算概率即可；

②根據(jù)第〃次被選擇的概率，第n-l次未被選擇的概率,得出數(shù)列遞推公式勺=(l-^_1)x1,

再通過數(shù)列計算通項即可.

【詳解】(1)由題隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3,4.

r~i0r~i3

55、/_1

尸(x=0)=

30

「1「1-0-3「0-2「1「2

P(X=1)=92x24+22X24=7

\)0203,2'3

ee

46c4c630

答案第13頁，共17頁

7

尸(x=2)=------o-X1-

c2C31T

「2「。r2rl7

代-5)--5-x—5—+--5—X—5-

c4M5y30

「2rop2pi

尸(x=4)=舍x*￡=1

C4M30

所以X的分布列為

X01234

17771

P

3030153030

17771

所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0x^+lx茹+2x值+3x獷4義/2.

(2)①甲、乙兩同學(xué)被同伴選擇的概率均為:.

其他三名同學(xué)被選擇的概率相等.

比賽由甲同學(xué)起稿建立模型,

第三次交流中甲被選擇，

所以第二次交流中甲未參與.

設(shè)/="第三次交流中甲被選擇”，

則尸(N)=_x_x_+_x_x-+_X-X—=-=—.

333333333279

②第〃次(〃22,〃eN*)交流中甲被選擇，

則第"-1次交流中甲未被選擇.

設(shè)第n次交流中甲被選擇的概率為￡.

則￡=(T-)x/卜+g

所以匕一:且《=0?

n-1

所以月=;1-

答案第14頁，共17頁

,,17

19.(l)x*+y'--x-3y-3=0

(2)證明見解析

(3)存在，答案見解析

【分析】(1)設(shè)切線方程，與拋物線聯(lián)立方程組，由A=0求出切線斜率，得力,8兩點的

坐標(biāo)，可求/,8三點的圓的方程;

(2)設(shè)切點坐標(biāo)和切線方程，與拋物線聯(lián)立方程組，由A=0求出切線斜率，把M點代入

切線方程，可得直線的方程，由方程確定所過定點;

(3)利用向量數(shù)量積和直線的斜率，結(jié)合韋達(dá)定理，確定為直角三角形所需條件.

【詳解】(1)當(dāng)M的坐標(biāo)為，1,|1時，設(shè)過M點的切線方程為y-g=?x+l),

與j?=4x聯(lián)立，^y--=k[^+\\,整理得：/_了+左+；=o,

2I4J42

令A(yù)=l_4。(左+g[=0,解得人=一2或A=1,

分別代入方程得y=T和y=4,故得/(4,4),

同時可求得直線M4的方程為y=；x+2,直線的方程為y=-2尤-;，

進(jìn)而可知％?L?=T,即直線M4與直線MB互相垂直，

則過A