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2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.把函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變,再將圖象向右平移個(gè)單位,那么所得圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為()A. B. C. D.2.函數(shù)的圖象如圖所示,則它的解析式可能是()A. B.C. D.3.已知函數(shù),要得到函數(shù)的圖象,只需將的圖象()A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度4.相傳黃帝時(shí)代,在制定樂(lè)律時(shí),用“三分損益”的方法得到不同的竹管,吹出不同的音調(diào).如圖的程序是與“三分損益”結(jié)合的計(jì)算過(guò)程,若輸入的的值為1,輸出的的值為()A. B. C. D.5.已知集合,則()A. B.C. D.6.二項(xiàng)式的展開式中,常數(shù)項(xiàng)為()A. B.80 C. D.1607.已知定義在R上的偶函數(shù)滿足,當(dāng)時(shí),,函數(shù)(),則函數(shù)與函數(shù)的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為()A.2 B.4 C.5 D.68.已知集合,,則中元素的個(gè)數(shù)為()A.3 B.2 C.1 D.09.已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,且成等比數(shù)列,則()A.4 B.3 C.2 D.110.已知函數(shù)(,是常數(shù),其中且)的大致圖象如圖所示,下列關(guān)于,的表述正確的是()A., B.,C., D.,11.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,,則的最小值為()A. B. C. D.12.已知是過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦,是原點(diǎn),則()A.-2 B.-4 C.3 D.-3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.正方形的邊長(zhǎng)為2,圓內(nèi)切于正方形,為圓的一條動(dòng)直徑,點(diǎn)為正方形邊界上任一點(diǎn),則的取值范圍是______.14.設(shè)實(shí)數(shù),若函數(shù)的最大值為,則實(shí)數(shù)的最大值為______.15.若x,y均為正數(shù),且,則的最小值為________.16.設(shè),若函數(shù)有大于零的極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,且,求的值.18.(12分)已知函數(shù),直線是曲線在處的切線.(1)求證:無(wú)論實(shí)數(shù)取何值,直線恒過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);(2)若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),試判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并證明.19.(12分)已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列,且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.20.(12分)已知是拋物線:的焦點(diǎn),點(diǎn)在上,到軸的距離比小1.(1)求的方程;(2)設(shè)直線與交于另一點(diǎn),為的中點(diǎn),點(diǎn)在軸上,.若,求直線的斜率.21.(12分)在四棱錐中,底面為直角梯形,,,,,,,分別為,的中點(diǎn).(1)求證:.(2)若,求二面角的余弦值.22.(10分)追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國(guó)特色社會(huì)主義生態(tài)文明的價(jià)值取向.為了改善空氣質(zhì)量,某城市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)的檢測(cè)數(shù)據(jù),結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表:AQI空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良輕度污染中度污染重度污染重度污染天數(shù)61418272510(1)從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于[0,50],(50,100]的天數(shù)中任取3天,求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率;(2)已知某企業(yè)每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失y(單位:元)與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關(guān)系式為,假設(shè)該企業(yè)所在地7月與8月每天空氣質(zhì)量為優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴(yán)重污染的概率分別為.9月每天的空氣質(zhì)量對(duì)應(yīng)的概率以表中100天的空氣質(zhì)量的頻率代替.(i)記該企業(yè)9月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失為X元,求X的分布列;(ii)試問(wèn)該企業(yè)7月、8月、9月這三個(gè)月因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望是否會(huì)超過(guò)2.88萬(wàn)元?說(shuō)明你的理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
試題分析:把函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變),可得的圖象;再將圖象向右平移個(gè)單位,可得的圖象,那么所得圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為,故選D.考點(diǎn):三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).2、B【解析】
根據(jù)定義域排除,求出的值,可以排除,考慮排除.【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象得定義域?yàn)椋圆缓项}意;選項(xiàng),計(jì)算,不符合函數(shù)圖象;對(duì)于選項(xiàng),與函數(shù)圖象不一致;選項(xiàng)符合函數(shù)圖象特征.故選:B【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇合適的解析式,主要利用函數(shù)性質(zhì)分析,常見(jiàn)方法為排除法.3、A【解析】
根據(jù)函數(shù)圖像平移原則,即可容易求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,故要得到,只需將向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖像平移前后解析式的變化,屬基礎(chǔ)題.4、B【解析】
根據(jù)循環(huán)語(yǔ)句,輸入,執(zhí)行循環(huán)語(yǔ)句即可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】輸入,由題意執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖,可得:第次循環(huán):,,不滿足判斷條件;第次循環(huán):,,不滿足判斷條件;第次循環(huán):,,滿足判斷條件;輸出結(jié)果.故選:【點(diǎn)睛】本題考查了循環(huán)語(yǔ)句的程序框圖,求輸出的結(jié)果,解答此類題目時(shí)結(jié)合循環(huán)的條件進(jìn)行計(jì)算,需要注意跳出循環(huán)的判定語(yǔ)句,本題較為基礎(chǔ).5、B【解析】
先由得或,再計(jì)算即可.【詳解】由得或,,,又,.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交集,補(bǔ)集的運(yùn)算,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.6、A【解析】
求出二項(xiàng)式的展開式的通式,再令的次數(shù)為零,可得結(jié)果.【詳解】解:二項(xiàng)式展開式的通式為,令,解得,則常數(shù)項(xiàng)為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理指定項(xiàng)的求解,關(guān)鍵是熟練應(yīng)用二項(xiàng)展開式的通式,是基礎(chǔ)題.7、B【解析】
由函數(shù)的性質(zhì)可得:的圖像關(guān)于直線對(duì)稱且關(guān)于軸對(duì)稱,函數(shù)()的圖像也關(guān)于對(duì)稱,由函數(shù)圖像的作法可知兩個(gè)圖像有四個(gè)交點(diǎn),且兩兩關(guān)于直線對(duì)稱,則與的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4得解.【詳解】由偶函數(shù)滿足,可得的圖像關(guān)于直線對(duì)稱且關(guān)于軸對(duì)稱,函數(shù)()的圖像也關(guān)于對(duì)稱,函數(shù)的圖像與函數(shù)()的圖像的位置關(guān)系如圖所示,可知兩個(gè)圖像有四個(gè)交點(diǎn),且兩兩關(guān)于直線對(duì)稱,則與的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì),考查了數(shù)形結(jié)合的思想,掌握函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.8、C【解析】
集合表示半圓上的點(diǎn),集合表示直線上的點(diǎn),聯(lián)立方程組求得方程組解的個(gè)數(shù),即為交集中元素的個(gè)數(shù).【詳解】由題可知:集合表示半圓上的點(diǎn),集合表示直線上的點(diǎn),聯(lián)立與,可得,整理得,即,當(dāng)時(shí),,不滿足題意;故方程組有唯一的解.故.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查集合交集的求解,涉及圓和直線的位置關(guān)系的判斷,屬基礎(chǔ)題.9、A【解析】
根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列公式直接計(jì)算得到答案.【詳解】由成等比數(shù)列得,即,已知,解得.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列,等比數(shù)列的基本量的計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.10、D【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和特征以及圖象的平移可得正確的選項(xiàng).【詳解】從題設(shè)中提供的圖像可以看出,故得,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查圖象的平移以及指數(shù)函數(shù)的圖象和特征,本題屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,判斷出最小時(shí)的值,由此求得的最小值.【詳解】依題意,解得,所以.由解得,所以前項(xiàng)和中,前項(xiàng)的和最小,且.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式的基本量計(jì)算,考查等差數(shù)列前項(xiàng)和最值的求法,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】
設(shè),,設(shè):,聯(lián)立方程得到,計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè),,故.易知直線斜率不為,設(shè):,聯(lián)立方程,得到,故,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線中的向量的數(shù)量積,設(shè)直線為可以簡(jiǎn)化運(yùn)算,是解題的關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)向量關(guān)系表示,只需求出的取值范圍即可得解.【詳解】由題可得:,故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查求平面向量數(shù)量積的取值范圍,涉及基本運(yùn)算,關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)貙?duì)向量進(jìn)行轉(zhuǎn)換,便于計(jì)算解題.14、【解析】
根據(jù),則當(dāng)時(shí),,即.當(dāng)時(shí),顯然成立;當(dāng)時(shí),由,轉(zhuǎn)化為,令,用導(dǎo)數(shù)法求其最大值即可.【詳解】因?yàn)椋之?dāng)時(shí),,即.當(dāng)時(shí),顯然成立;當(dāng)時(shí),由等價(jià)于,令,,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,,則,又,得,因此的最大值為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.15、4【解析】
由基本不等式可得,則,即可解得.【詳解】方法一:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.方法二:因?yàn)椋?,所以,?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式在求最小值中的應(yīng)用,考查學(xué)生對(duì)基本不等式的靈活使用,難度較易.16、【解析】
先求導(dǎo)數(shù),求解導(dǎo)數(shù)為零的根,結(jié)合根的分布求解.【詳解】因?yàn)?,所以,令得,因?yàn)楹瘮?shù)有大于0的極值點(diǎn),所以,即.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)問(wèn)題,極值點(diǎn)為導(dǎo)數(shù)的變號(hào)零點(diǎn),側(cè)重考查轉(zhuǎn)化化歸思想.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)直接代入再由誘導(dǎo)公式計(jì)算可得;(Ⅱ)先得到,再根據(jù)利用兩角差的余弦公式計(jì)算可得.【詳解】解:(Ⅰ);(Ⅱ)因?yàn)樗?,由得,又因?yàn)?,故,所以,所?【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,屬于中檔題.18、(1)見(jiàn)解析,(2)函數(shù)存在唯一零點(diǎn).【解析】
(1)首先求出導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出處的切線斜率,利用點(diǎn)斜式即可求出切線方程,根據(jù)方程即可求出定點(diǎn).(2)由(1)求出函數(shù),令方程可轉(zhuǎn)化為記,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增,根據(jù),由零點(diǎn)存在性定理即可求出零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】所以直線方程為即,恒過(guò)點(diǎn)將代入直線方程,得考慮方程即,等價(jià)于記,則于是函數(shù)在上單調(diào)遞增,又所以函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn),即函數(shù)存在唯一零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線過(guò)定點(diǎn)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)存在性定理,屬于難題.19、(1)(2)【解析】
(1)先利用等比數(shù)列的性質(zhì),可分別求出的值,從而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)利用錯(cuò)位相減求和法可求出數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】解:(1)由是遞增等比數(shù)列,,聯(lián)立,解得或,因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列,所以只有符合題意,則,結(jié)合可得,∴數(shù)列的通項(xiàng)公式:;(2)由,∴;∴;那么,①則,②將②﹣①得:.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì),考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查了利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和.20、(1)(2)【解析】
(1)由拋物線定義可知,解得,故拋物線的方程為;(2)設(shè)直線:,聯(lián)立,利用韋達(dá)定理算出的中點(diǎn),又,所以直線的方程為,求出,利用求解即可.【詳解】(1)設(shè)的準(zhǔn)線為,過(guò)作于,則由拋物線定義,得,因?yàn)榈降木嚯x比到軸的距離大1,所以,解得,所以的方程為(2)由題意,設(shè)直線方程為,由消去,得,設(shè),,則,所以,又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線的方程為,令,得,點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以,解得,所以直線的斜率為.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義,直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.涉及拋物線的弦的中點(diǎn),斜率問(wèn)題時(shí),可采用韋達(dá)定理或“點(diǎn)差法”求解.21、(1)見(jiàn)解析(2)【解析】
(1)由已知可證明平面,從而得證面面垂直,再由,得線面垂直,從而得,由直角三角形得結(jié)論;(2)以為軸建立空間直角坐標(biāo)系,用空間向量法示二面角.【詳解】(1)證明:連接,,.,,平面.平面,平面平面.,為的中點(diǎn),.平面平面,平面.平面,.為斜邊的中點(diǎn),,(2),由(1)可知,為等腰直角三角形,則.以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,則,記平面的法向量為由得到,取,可得,則.易知平面的法向量為.記二面角的平面角為,且由圖可知為銳角,則,所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直,從而得線線垂直,考查用空間向量法求二面角.在立體幾何中求異面直線成的角、直線與平面所成的角、二面角等空間角時(shí),可以建立空間直角坐標(biāo)系,用空間向量法求解空間角,可避免空間角的作證過(guò)程,通過(guò)計(jì)算求解.22、(1);(2)(i)詳見(jiàn)解析;(ii)會(huì)超過(guò);詳見(jiàn)解析【解析】
(1)利用組合進(jìn)行計(jì)算以及概率表示,可得結(jié)果.(2)(i)寫出X所有可能取值,并計(jì)算相對(duì)應(yīng)的概率,列出表格可得結(jié)果.(ii)由(i)的條件結(jié)合7月與8月空氣質(zhì)量所對(duì)應(yīng)的概率,可得7月與8月經(jīng)濟(jì)損失的期望和,最后7月、8月、9月經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望與2.88萬(wàn)元比較,可得結(jié)果.【詳解】(1)設(shè)ξ為選取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù),則P(ξ=2),P(ξ=3),則這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率為;(2)(i),,,X的分
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