正余弦定理習題加答案詳解超級詳細

正余弦定理高中數(shù)學組卷一．選擇題〔共9小題〕1．〔2016?太原校級二模〕在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，假設，a=2，，那么b的值為〔〕A． B． C． D．2．〔2016?濰坊模擬〕在△ABC中，sinA=sinB是△ABC為等腰三角形的〔〕A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．〔2016?岳陽校級模擬〕在△ABC中，A：B：C=1：2：3，那么a：b：c等于〔〕A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：14．〔2016?大連一?！吃凇鰽BC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且滿足acosA=bcosB，那么△ABC的形狀一定是〔〕A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形5．〔2016?河西區(qū)一?！场鰽BC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，那么∠B=〔〕A． B． C． D．6．〔2016?寶雞一?！吃凇鰽BC，a=，b=，B=，那么A等于〔〕A． B． C． D．或7．〔2016?岳陽二?！场鰽BC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a，那么=〔〕A．2 B．2 C． D．8．〔2016?新余二?！吃凇鰽BC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且〔2a+c〕cosB+bcosC=0．角B的值為〔〕A． B． C． D．9．〔2016?江西模擬〕在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且A=2B，那么等于〔〕A． B． C． D．二．填空題〔共7小題〕10．〔2016?上海二?！场鰽BC中，，BC=3，，那么∠C=．11．〔2016?豐臺區(qū)一?！吃阡J角△ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，假設b=2asinB，那么角A等于．12．〔2016?焦作一?！吃凇鰽BC中，a=8，∠B=60°，∠C=75°，那么b等于．13．〔2016?濰坊一?！场鰽BC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且a?cosB+b?cosA=3c?cosC，那么cosC=．14．〔2016?撫順一?！场鰽BC的周長為+1，且sinA+sinB=sinC，那么邊AB的長為．15．〔2016?長沙一?！场鰽BC的周長等于2〔sinA+sinB+sinC〕，那么其外接圓半徑等于．16．〔2016?湖南校級模擬〕設△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．假設，，那么b=．三．解答題〔共4小題〕17．〔2016?白山一?！吃凇鰽BC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，=〔1〕求角C的大小，〔2〕假設c=2，求使△ABC面積最大時a，b的值．18．〔2016?安徽校級一?！吃凇鰽BC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．〔1〕求角A的值；〔2〕假設∠B=，BC邊上中線AM=，求△ABC的面積．19．〔2016?平果縣模擬〕在銳角△ABC中，a，b，c為角A，B，C所對的邊，且〔b﹣2c〕cosA=a﹣2acos2．〔1〕求角A的值；〔2〕假設a=，那么求b+c的取值范圍．20．〔2016?鷹潭一?！砤，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，2bcosc=2a﹣c〔Ⅰ〕求B；〔Ⅱ〕假設△ABC的面積為，求b的取值范圍．正余弦定理高中數(shù)學組卷參考答案與試題解析一．選擇題〔共9小題〕1．〔2016?太原校級二模〕在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，假設，a=2，，那么b的值為〔〕A． B． C． D．【解答】解：∵在銳角△ABC中，sinA=，S△ABC=，∴bcsinA=bc=，∴bc=3，①又a=2，A是銳角，∴cosA==，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即〔b+c〕2=a2+2bc〔1+cosA〕=4+6〔1+〕=12，∴b+c=2②由①②得：，解得b=c=．應選A．2．〔2016?濰坊模擬〕在△ABC中，sinA=sinB是△ABC為等腰三角形的〔〕A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解答】解：當sinA=sinB時，那么有A=B，那么△ABC為等腰三角形，故sinA=sinB是△ABC為等腰三角形的充分條件，反之，當△ABC為等腰三角形時，不一定是A=B，假設是A=C≠60時，那么sinA≠sinB，故sinA=sinB是△ABC為等腰三角形的不必要條件．應選A．3．〔2016?岳陽校級模擬〕在△ABC中，A：B：C=1：2：3，那么a：b：c等于〔〕A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：1【解答】解：在△ABC中，假設∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=π所以∠A=，∠B=，∠C=．由正弦定理可知：a：b：c=sin∠A：sin∠B：sin∠C=sin：sin：sin=1：：2．應選：C．4．〔2016?大連一?！吃凇鰽BC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且滿足acosA=bcosB，那么△ABC的形狀一定是〔〕A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形【解答】解：根據(jù)正弦定理可知∵bcosB=acosA，∴sinBcosB=sinAcosA∴sin2A=sin2B∴A=B，或2A+2B=180°即A+B=90°，即有△ABC為等腰或直角三角形．應選C．5．〔2016?河西區(qū)一模〕△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，那么∠B=〔〕A． B． C． D．【解答】解：等式利用正弦定理化簡得：=，即c2﹣b2=ac﹣a2，∴a2+c2﹣b2=ac，∴cosB==，∵B為三角形的內(nèi)角，∴B=．應選：C．6．〔2016?寶雞一?！吃凇鰽BC，a=，b=，B=，那么A等于〔〕A． B． C． D．或【解答】解：由正弦定理可得：sinA===∵a=＜b=∴∴∠A=，應選：B．7．〔2016?岳陽二?！场鰽BC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a，那么=〔〕A．2 B．2 C． D．【解答】解：∵△ABC中，asinAsinB+bcos2A=a，∴根據(jù)正弦定理，得sin2AsinB+sinBcos2A=sinA，可得sinB〔sin2A+cos2A〕=sinA，∵sin2A+cos2A=1，∴sinB=sinA，得b=，可得=．應選：C．8．〔2016?新余二?！吃凇鰽BC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且〔2a+c〕cosB+bcosC=0．角B的值為〔〕A． B． C． D．【解答】解：由條件及正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=﹣2sinAcosB．即sin〔B+C〕=﹣2sinAcosB．∵A+B+C=π，A＞0∴sin〔B+C〕=sinA，又sinA≠0，∴cosB=﹣，而B∈〔0，π〕，∴B=．應選：C．9．〔2016?江西模擬〕在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且A=2B，那么等于〔〕A． B． C． D．【解答】解：∵A+B+C=π，A=2B，∴===．再結合正弦定理得：．應選：D．二．填空題〔共7小題〕10．〔2016?上海二?！场鰽BC中，，BC=3，，那么∠C=．【解答】解：由，a=BC=3，c=，根據(jù)正弦定理=得：sinC==，又C為三角形的內(nèi)角，且c＜a，∴0＜∠C＜，那么∠C=．故答案為：11．〔2016?豐臺區(qū)一模〕在銳角△ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，假設b=2asinB，那么角A等于30°．【解答】解：利用正弦定理化簡b=2asinB得：sinB=2sinAsinB，∵sinB≠0，∴sinA=，∵A為銳角，∴A=30°．故答案為：30°12．〔2016?焦作一?！吃凇鰽BC中，a=8，∠B=60°，∠C=75°，那么b等于4．【解答】解：∵a=8，B=60°，C=75°，即A=45°，∴由正弦定理，得：b===4．故答案為：413．〔2016?濰坊一?！场鰽BC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且a?cosB+b?cosA=3c?cosC，那么cosC=．【解答】解：∵a?cosB+b?cosA=3c?cosC，∴利用余弦定理可得：a×+b×=3c×，整理可得：a2+b2﹣c2=，∴由余弦定理可得：cosC===．故答案為：．14．〔2016?撫順一?！场鰽BC的周長為+1，且sinA+sinB=sinC，那么邊AB的長為1．【解答】解：由題意及正弦定理，得：AB+BC+AC=+1．BC+AC=AB，兩式相減，可得AB=1．故答案為：1．15．〔2016?長沙一?！场鰽BC的周長等于2〔sinA+sinB+sinC〕，那么其外接圓半徑等于1．【解答】解：設△ABC的三邊分別為a，b，c，外接圓半徑為R，由正弦定理得，∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵a+b+c=2〔sinA+sinB+sinC〕，∴2RsinA+2RsinB+2RsinC=2〔sinA+sinB+sinnC〕，∴R=1．故答案為：1．16．〔2016?湖南校級模擬〕設△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．假設，，那么b=2．【解答】解：B=π﹣A﹣C=，△ABC中，由正弦定理可得，∴b=2，故答案為：2．三．解答題〔共4小題〕17．〔2016?白山一?！吃凇鰽BC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，=〔1〕求角C的大小，〔2〕假設c=2，求使△ABC面積最大時a，b的值．【解答】解：〔1〕∵A+C=π﹣B，即cos〔A+C〕=﹣cosB，∴由正弦定理化簡等式得：=，整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin〔B+C〕=sinA，∵sinA≠0，∴cosC=﹣，∵C為三角形內(nèi)角，∴C=；〔Ⅱ〕∵c=2，cosC=﹣，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，∴ab≤，〔當且僅當a=b時成立〕，∵S=absinC=ab≤，∴當a=b時，△ABC面積最大為，此時a=b=，那么當a=b=時，△ABC的面積最大為．18．〔2016?安徽校級一?！吃凇鰽BC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．〔1〕求角A的值；〔2〕假設∠B=，BC邊上中線AM=，求△ABC的面積．【解答】解：〔1〕∵．∴由正弦定理，得，化簡得cosA=，∴A=；〔2〕∵∠B=，∴C=π﹣A﹣B=，可知△ABC為等腰三角形，在△AMC中，由余弦定理，得AM2=AC2+MC2﹣2AC?MCcos120°，即7=，解得b=2，∴△ABC的面積S=b2sinC==．19．〔2016?平果縣模擬〕在銳角△ABC中，a，b，c為角A，B，C所對的邊，且〔b﹣2c〕cosA=a﹣2acos2．〔1〕求角A的值；〔2〕假設a=，那么求b+c的取值范圍．【解答】解：〔1〕在銳角△ABC中，根據(jù)〔b﹣2c〕cosA=a﹣2acos2=a﹣2a?，利用正弦定理可得〔sinB﹣2sinC〕cosA=sinA〔﹣cosB〕，即sinBcosA+cosBsinA=2sinCcosA，即sin〔B+A〕=2sinCcosA，即sinC=2sinCcosA，∴cosA=，∴A=．〔2〕假設a=，那么由正弦定理可得==2，∴b+c=2〔sinB+sinC〕=2[sinB+sin〔﹣B〕]=3sinB+cosB=2sin〔B+〕．由于，求得＜B＜，∴＜B+＜．∴sin〔B+〕∈〔，1]，∴b+c∈〔3，2]．20．〔2016?鷹潭一?！砤，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，2bcosc=2a﹣c〔Ⅰ〕求B；〔Ⅱ〕假設△ABC的面積為，求b的取值范圍．【解答】解：〔1〕由正弦定理，得2sinBcosC=2sinA﹣sinC，﹣﹣﹣﹣〔2分〕在△ABC中，sinA=