專題 二次函數(shù)中特殊四邊形存在性90題專練 中考數(shù)學(xué)

專題07二次函數(shù)中特殊四邊形存在性（五大題型）90專練通用的解題思路：題型一：平行四邊形的存在性解題策略：1.直接計(jì)算法根據(jù)平行四邊形對邊平行且相等，按這條線段為邊或?yàn)閷蔷€兩大類，分別計(jì)算

（適用于：已知兩點(diǎn)的連線就在坐標(biāo)軸上或平行于坐標(biāo)軸）2.構(gòu)造全等法過頂點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線，利用對邊所在的兩個(gè)三角形全等，把平行且相等的對邊轉(zhuǎn)化為水平或者垂直方向的兩條對應(yīng)邊相等

（適用于：已知兩點(diǎn)的連線，不與坐標(biāo)軸平行，容易畫出草圖）3.平移坐標(biāo)法

利用平移的意義，根據(jù)已知兩點(diǎn)間橫、縱坐標(biāo)的距離關(guān)系，得待定兩點(diǎn)也有同樣的數(shù)量關(guān)系。

（適用于：直接寫出答案的題）題型二：菱形存在性由于菱形是一組鄰邊相等的平行四邊形，因此解決菱形存在性問題需要綜合運(yùn)用平行四邊形和等腰三角形存在性問題的方法。題型三：矩形存在性由于矩形是含90度角的平行四邊形，因此解決矩形存在性問題需要綜合運(yùn)用平行四邊形和直角三角形存在性問題的方法。題型四：正方形存在性由于正方形即是矩形又是菱形，因此解決正方形存在性問題需要靈活選用所有存在性問題的方法。題型五：梯形存在性解梯形的存在性問題一般分三步：第一步分類，第二步畫圖，第三步計(jì)算．一般是已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，在某個(gè)圖象上求第四個(gè)點(diǎn)，使得四個(gè)點(diǎn)圍成梯形．過三角形的每個(gè)頂點(diǎn)畫對邊的平行線，這條直線與圖象的交點(diǎn)就是要探尋的梯形的頂點(diǎn)．因?yàn)樘菪斡幸唤M對邊平行，因此根據(jù)同位角或內(nèi)錯(cuò)角，一定可以構(gòu)造一組相等的角，然后根據(jù)相似比列方程，可以使得解題簡便．題型一：平行四邊形的存在性1．（2024·甘肅武威·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且．(1)求此拋物線的表達(dá)式；(2)已知拋物線的對稱軸上存在一點(diǎn)，使得的周長最小，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)連接，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)，求當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．2．（2024·江蘇宿遷·一模）材料一；《見微知著》談到：從一個(gè)簡單的經(jīng)典問題出發(fā)，從特殊到一般，由簡單到復(fù)雜，從部分到整體，由低維到高維，知識與方法上的類比是探索題發(fā)展的重要途徑，是思想閥門發(fā)現(xiàn)新問題、新結(jié)論的重要方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中，我們經(jīng)常會用到類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，請利用上述有關(guān)思想，解答下列問題．材料二：分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種解題策略，在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用相當(dāng)多，它能使許多看似非常復(fù)雜的問題簡單化．因此在用分類討論解決數(shù)學(xué)問題時(shí)要遵循一定的規(guī)則，注意合理的分類，對全體對象的分類必須做到不重復(fù)、不遺漏，每次分類必須保持在同一標(biāo)準(zhǔn)．請閱讀上述材料，完成題目：如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．動點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動，過點(diǎn)作軸，垂足為，交直線于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，的面積是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由；(3)點(diǎn)是拋物線對稱軸與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)是軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)在運(yùn)動過程中，若以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．3．（2024·廣東珠?！ひ荒＃┮阎獟佄锞€與軸交于點(diǎn)和，與軸交于點(diǎn)C(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，連接，當(dāng)四邊形恰好是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，在（2）的條件下，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，且，在直線上是否存在點(diǎn)，使得與相似？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．4．（2024·貴州·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且與二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)．(1)求一次函數(shù)與二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)設(shè)是直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)，若以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．5．（2024·陜西渭南·二模）如圖，已知拋物線交軸于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若直線與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，是否存在以為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．6．（2024·甘肅武威·一模）如圖．拋物線交軸于點(diǎn)和點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限的拋物線上．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，求的面積；(3)過點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得四邊形是平行四邊形？如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．7．（2024·陜西寶雞·二模）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，．(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)將拋物線沿軸的正方向平移個(gè)單位長度得到新拋物線，是新拋物線與軸的交點(diǎn)靠近軸，是原拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，在新拋物線上存在一點(diǎn)，使得以為邊，且以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．8．（2024·四川南充·模擬預(yù)測）如圖1，拋物線與x軸交于，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，．

(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在x軸上，是否存在以A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；(3)如圖2，若點(diǎn)D是第四象限拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)E，連接，設(shè)的面積為，的面積為，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)．9．（2024·山西大同·二模）綜合與探究如圖，拋物線與軸交于，，與軸交于點(diǎn)．作直線，是拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式并直接寫出直線的函數(shù)表達(dá)式．(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線下方時(shí)，連接，，．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)，使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．10．（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測）如圖，拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，并交x軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，直線與y軸交于點(diǎn)D．(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn)，問在對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以D，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．11．（2024·上海虹口·二模）新定義：已知拋物線（其中），我們把拋物線稱為的“輪換拋物線”．例如：拋物線的“輪換拋物線”為．已知拋物線：的“輪換拋物線”為，拋物線、與軸分別交于點(diǎn)、，點(diǎn)在點(diǎn)的上方，拋物線的頂點(diǎn)為．(1)如果點(diǎn)的坐標(biāo)為，求拋物線的表達(dá)式；(2)設(shè)拋物線的對稱軸與直線相交于點(diǎn)，如果四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，求的值．12．（2023·四川自貢·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線解析式及，兩點(diǎn)坐標(biāo)；(2)以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)坐標(biāo)；(3)該拋物線對稱軸上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．13．（2023·四川巴中·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和，其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

(1)求拋物線的表達(dá)式．(2)若直線與軸交于點(diǎn)，在第一象限內(nèi)與拋物線交于點(diǎn)，當(dāng)取何值時(shí)，使得有最大值，并求出最大值．(3)若點(diǎn)為拋物線的對稱軸上一動點(diǎn)，將拋物線向左平移個(gè)單位長度后，為平移后拋物線上一動點(diǎn)．在（）的條件下求得的點(diǎn)，是否能與、、構(gòu)成平行四邊形？若能構(gòu)成，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不能構(gòu)成，請說明理由．14．（2023·山東棗莊·中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，并交x軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，直線AM與軸交于點(diǎn)D．

(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)H是x軸上一動點(diǎn)，分別連接MH，DH，求的最小值；(3)若點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn)，問在對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以D，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．15．（2024·山西晉城·一模）綜合與探究如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，P是直線上方拋物線上一動點(diǎn)．(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫出直線的函數(shù)表達(dá)式．(2)連接，，求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)在（2）的條件下，若F是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以B，F(xiàn)，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．16．（2023·山東聊城·中考真題）如圖①，拋物線與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC.點(diǎn)P是x軸上任意一點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)Q在拋物線上，若以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)，AC為一邊的四邊形為平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)如圖②，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A，B不重合），自點(diǎn)P分別作，交AC于點(diǎn)E，作，垂足為點(diǎn)D．當(dāng)m為何值時(shí)，面積最大，并求出最大值．17．（2024·山西晉城·一模）綜合與探究：如圖1，已知拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸相交于點(diǎn)，直線與軸相交于點(diǎn)，交線段于點(diǎn)，且.(1)求，，三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求直線的函數(shù)表達(dá)式；(3)如圖2，若拋物線的對稱軸與直線交于點(diǎn)，試探究，在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形.若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.18．（2024·山西呂梁·一模）綜合與探究如圖1，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)是直線上方拋物線上的一動點(diǎn)．

(1)求拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的解析式；(2)如圖，連接交于點(diǎn)，若，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，過頂點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)．若點(diǎn)是拋物線上一動點(diǎn)，試探究在直線上是否存在一點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．19．（2024·山東泰安·一模）綜合與實(shí)踐如圖，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的一動點(diǎn)．

(1)求，，三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在第四象限時(shí)，連接和，得到，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)在軸上運(yùn)動，以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請借助圖1探究，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．20．（2024·江蘇宿遷·模擬預(yù)測）若直線與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，點(diǎn)B，且與x軸交于點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)若點(diǎn)P為直線下方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線的垂線，垂足為E，作軸交直線于點(diǎn)F，求線段最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)將拋物線沿x軸的正方向平移2個(gè)單位長度得到新拋物線，Q是新拋物線與x軸的交點(diǎn)（靠近y軸），N是原拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，在新拋物線上存在一點(diǎn)M，使得以M、N、B、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請直接寫出符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．21．（2024·山東聊城·一模）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于（為坐標(biāo)原點(diǎn)）、兩點(diǎn)，且二次函數(shù)的最小值為，點(diǎn)是其對稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)二次函數(shù)在第四象限的圖象上有一點(diǎn)，連接，，求面積的最大值；(3)在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．22．（2023·山東·中考真題）如圖，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，對稱軸為的拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，交軸負(fù)半軸于點(diǎn)．為拋物線上一動點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)，作軸的垂線，垂足為，直線交軸于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)若，當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是平行四邊形？(3)若，設(shè)直線交直線于點(diǎn)，是否存在這樣的值，使？若存在，求出此時(shí)的值；若不存在，請說明理由．23．（2024·江蘇連云港·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，它的對稱軸直線交拋物線于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)C，連接，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為．(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)動點(diǎn)P，Q在此拋物線上，其橫坐標(biāo)分別為，其中．①若，請求此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；②在線段上是否存在一點(diǎn)D，使得以C，P，D，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出此時(shí)m的值；若不存在，說明理由．24．（2024·海南省直轄縣級單位·模擬預(yù)測）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)、點(diǎn)，M是拋物線上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線軸于點(diǎn)N.(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)當(dāng)直線是拋物線的對稱軸時(shí)，求四邊形的面積(3)求的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；(4)在（3）的條件下，若P是拋物線的對稱軸上的一動點(diǎn)，Q是拋物線上的一動點(diǎn)，是否存點(diǎn)點(diǎn)P、Q，使以點(diǎn)A、M、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.25．（2024·四川宜賓·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)點(diǎn)P為直線AB上方拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，交AB于點(diǎn)M，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，點(diǎn)與點(diǎn)P關(guān)于拋物線的對稱軸l對稱．點(diǎn)C在拋物線上，點(diǎn)D在對稱軸l上，直接寫出所有使得以點(diǎn)A、、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)D的坐標(biāo)．26．（2024·甘肅天水·一模）拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，與軸交于另一點(diǎn)．(1)求拋物線、直線的函數(shù)解析式；(2)在直線上方拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得的面積達(dá)到最大，若存在則求這個(gè)最大值及點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在則說明理由．(3)點(diǎn)為拋物線上一動點(diǎn)，點(diǎn)為軸上一動點(diǎn)，當(dāng)以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．27．（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．

(1)求該二次函數(shù)的解析式；(2)如圖1，在軸下方作軸的平行線，交二次函數(shù)圖象于兩點(diǎn)，過兩點(diǎn)分別作軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)、點(diǎn)．當(dāng)矩形為正方形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，在（2）的條件下，作直線，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線以每秒1個(gè)單位長度勻速運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)以相同的速度從點(diǎn)出發(fā)沿線段勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)時(shí)立即原速返回，當(dāng)動點(diǎn)返回到點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為秒．過點(diǎn)向軸作垂線，交拋物線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，當(dāng)以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求的值．28．（2023·廣東廣州·中考真題）已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上．(1)若，求n的值；(2)拋物線與x軸交于兩點(diǎn)M，N（M在N的左邊），與y軸交于點(diǎn)G，記拋物線的頂點(diǎn)為E．①m為何值時(shí)，點(diǎn)E到達(dá)最高處；②設(shè)的外接圓圓心為C，與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為F，當(dāng)時(shí)，是否存在四邊形為平行四邊形？若存在，求此時(shí)頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．29．（2024·山西陽泉·二模）綜合與探究如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的對稱軸交軸于點(diǎn)．過點(diǎn)作直線軸，連接，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，作直線．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式并直接寫出直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖，點(diǎn)為拋物線上第二象限內(nèi)的點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，連接與交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，求；(3)若點(diǎn)為軸上一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上一動點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．30．（2024·甘肅平?jīng)觥つM預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，已知，，連接，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)N是對稱軸上的一個(gè)動點(diǎn)．

備用圖(1)求該拋物線的函數(shù)解析式．(2)在線段的下方是否存在點(diǎn)P，使得的面積最大？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及面積最大值．(3)在對稱軸上是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)B，C，P，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．31．（2024·廣東惠州·一模）綜合探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點(diǎn)在第一象限拋物線上一點(diǎn)，連接、，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，拋物線上是否存在點(diǎn)，使得，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．32．（2024·甘肅隴南·一模）如圖，拋物線與x軸交于A，兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)．

(1)求該拋物線的解析式；(2)若D為拋物線的頂點(diǎn)，求的面積；(3)若P是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．33．（2024·山東淄博·一模）已知拋物線與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖，若直線下方的拋物線上有一動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸平行線交于，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，求周長的最大值；(3)若點(diǎn)在拋物線的對稱軸上，點(diǎn)在軸上，是否存在以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；(4)將拋物線向左平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位，得到一個(gè)新的拋物線，問在軸正半軸上是否存在一點(diǎn)，使得當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)的任意一條直線與新拋物線交于，兩點(diǎn)時(shí)，總有為定值？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)及定值，若不存在，請說明理由．34．（2024·山西朔州·二模）綜合與探究如圖，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱，直線交拋物線于另一點(diǎn)E．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并直接寫出直線的函數(shù)表達(dá)式．(2)點(diǎn)P是直線下方拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線的垂線，垂足為F．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，試探究當(dāng)m為何值時(shí)，線段最大？請求出的最大值．(3)在（2）的條件下，當(dāng)取最大值時(shí)，若點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在拋物線的對稱軸上，是否存在以點(diǎn)B，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．35．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）已知拋物線與x軸交于、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為P，與y軸交于C點(diǎn)，且的面積為6．(1)求拋物線的對稱軸和解析式；(2)平移這條拋物線，平移后的拋物線交y軸于E，頂點(diǎn)Q在原拋物線上，當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，求平移后拋物線的表達(dá)式；(3)若過定點(diǎn)K的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)（N在M點(diǎn)右側(cè)），過N點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)G，求證：直線必過定點(diǎn)．36．（2015·山東臨沂·一模）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和．(1)求拋物線的解析式；(2)若拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)F是位于x軸上方對稱軸上一點(diǎn)，軸，與對稱軸右側(cè)的拋物線交于點(diǎn)C，且四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．37．（2023·山東淄博·中考真題）如圖，一條拋物線經(jīng)過的三個(gè)頂點(diǎn)，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，對稱軸是直線，且的面積為18

(1)求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)設(shè)為線段的中點(diǎn)，為直線上的一個(gè)動點(diǎn)，連接，，將沿翻折，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為．問是否存在點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．38．（2023·四川南充·中考真題）如圖1，拋物線（）與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在x軸上，以B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，拋物線頂點(diǎn)為D，對稱軸與x軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)的直線（直線除外）與拋物線交于G，H兩點(diǎn)，直線，分別交x軸于點(diǎn)M，N．試探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由．39．（2024·四川廣元·二模）如圖，已知直線：交x軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，拋物線的圖象過點(diǎn)B，C，且與x軸交于另一點(diǎn)A（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．在直線下方的拋物線上有一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作軸，垂足為F，交于點(diǎn)M，連接，，，交于點(diǎn)E．(1)求拋物線的解析式．(2)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)連接，，已知點(diǎn)D是拋物線對稱軸上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，在該拋物線上是否存在動點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)A，M，Q，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．40．（2024·江蘇徐州·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為交軸于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，拋物線的對稱軸交軸于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)已知拋物線上點(diǎn)，以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)構(gòu)造，使點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，為的中點(diǎn)，求的最小值；(3)為平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．題型二：菱形存在性1．（2024·陜西渭南·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（為常數(shù)，且）與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)連接，點(diǎn)是拋物線的對稱軸上的動點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)的點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．2．（2024·江蘇徐州·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象交x軸于兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P在線段上，過點(diǎn)P作軸，交拋物線于點(diǎn)D，交直線于點(diǎn)E．(1)，；(2)在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，若是直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在y軸上是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)C、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．3．（2024·青海西寧·一模）如圖，拋物線與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)B是拋物線的頂點(diǎn)，直線是拋物線的對稱軸，且與x軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)點(diǎn)D是對稱軸左側(cè)拋物線上一點(diǎn)，連接，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．(3)在(2)的條件下，若點(diǎn)M是x軸上方拋物線對稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P在坐標(biāo)平面內(nèi)，且以點(diǎn)A，D，M，P為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的菱形，請求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)4．（2023·湖南·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，且與直線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），點(diǎn)為直線上的一動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

(1)求拋物線的解析式．(2)過點(diǎn)作軸的垂線，與拋物線交于點(diǎn)．若，求面積的最大值．(3)拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系上一點(diǎn)，若以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．5．（23-24九年級上·廣東中山·期中）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)點(diǎn)在圖形的內(nèi)部，或在圖形上，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等時(shí)，則稱點(diǎn)為圖形的“夢之點(diǎn)”．(1)如圖①，矩形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，，在點(diǎn)，，中，是矩形ABCD“夢之點(diǎn)”的是______；(2)如圖②，已知點(diǎn)A，B是拋物線上的“夢之點(diǎn)”，點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn)．連接，判斷的形狀并說明理由．(3)在（2）的條件下，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q為平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P、Q，使得以為對角線，以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．6．（23-24九年級上·重慶南岸·期末）如圖，已知拋物線與x軸交于和兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)若直線與拋物線交于點(diǎn)D，與直線交于點(diǎn)F，交x軸交于點(diǎn)E．當(dāng)取得最大值時(shí)，求m的值和的最大值；(3)若拋物線的頂點(diǎn)為P，Q是該拋物線對稱軸上一點(diǎn)，在平面內(nèi)確定一點(diǎn)R，使得以點(diǎn)C，R，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，求點(diǎn)R的坐標(biāo)．7．（2023·四川廣安·一模）如圖，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)P是拋物線上位于直線上方一動點(diǎn)，且在拋物線的對稱軸右側(cè)，過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作x軸的平行線與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)F，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在（2）中取得最大值的條件下，將該拋物線沿x軸向右平移6個(gè)單位長度，平移后的拋物線與平移前的拋物線交于點(diǎn)H，M為平移前拋物線對稱軸上一點(diǎn)．在平面直角坐標(biāo)系中確定一點(diǎn)N，使得以點(diǎn)H，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，求出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．8．（2023·山東濟(jì)寧·二模）如圖，已知直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，對稱軸為直線(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)D是第二象限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，求四邊形面積S的最大值及此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)P在拋物線對稱軸上，是否存在點(diǎn)P，Q，使以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以為對角線的菱形？若存在，請求出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．9．（2024·山東濟(jì)南·一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于點(diǎn)，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)是直線上方拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)作．于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交直線于點(diǎn)，求周長的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，在（2）問的條件下，將該拋物線沿射線的方向平移個(gè)單位后得到新拋物線．點(diǎn)為平移后的新拋物線的對稱軸上一點(diǎn)．在平面內(nèi)確定一點(diǎn)．使得四邊形是菱形，請求出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．10．（2024·湖南·一模）如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與x軸交于，頂點(diǎn)為A．(1)如圖1，求直線的函數(shù)解析式；(2)如圖1，將直線繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到直線并交拋物線于點(diǎn)N，若Q為x軸上一點(diǎn)，求的最小值；(3)如圖2，將拋物線平移得到，頂點(diǎn)由A平移到，若點(diǎn)B在直線上，點(diǎn)D和E分別在拋物線和上，那么四邊形是否可以為菱形？若可以，求出D點(diǎn)坐標(biāo)，若不可以，說明理由．11．（2023·四川德陽·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交點(diǎn)C，拋物線過A，C兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B．(1)求拋物線的解析式；(2)在直線上方的拋物線上有一動點(diǎn)E，連接，與直線相交于點(diǎn)F，當(dāng)時(shí)，求E點(diǎn)坐標(biāo)．(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)E位于對稱軸左側(cè)，點(diǎn)M是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N是平面上一點(diǎn)，當(dāng)以M，N，E，B為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．12．（2024·四川瀘州·一模）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為．(1)求拋物線的解析式；(2)若在線段上存在一點(diǎn)，使得，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)是軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)是在對稱軸上一動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，請說明理由．13．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，拋物線與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．(1)求拋物線的解析式；(2)無論a取何值，拋物線一定經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），點(diǎn)H是線段上一點(diǎn)，連接，當(dāng)為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)H的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，點(diǎn)P是線段上一點(diǎn)，則在平面直角坐標(biāo)系中是否存在一點(diǎn)Q（），使得以為頂點(diǎn)且以為邊的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．14．（2024·山東棗莊·一模）如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于點(diǎn)A，B，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，對稱軸是直線，點(diǎn)P是x軸上一動點(diǎn)，軸，交直線于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)若點(diǎn)P在線段上運(yùn)動（點(diǎn)P與點(diǎn)A、點(diǎn)O不重合），求四邊形面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)若點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動，則在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使以M、N、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．15．（2024·甘肅天水·二模）如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，對稱軸是直線，點(diǎn)是軸上一動點(diǎn)，軸，交直線于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)若點(diǎn)在線段上運(yùn)動（點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)不重合），求四邊形面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)在軸上運(yùn)動，則在軸上是否存在點(diǎn)，使以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．16．（2023·西藏·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖甲，在y軸上找一點(diǎn)D，使為等腰三角形，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)如圖乙，點(diǎn)P為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，是否存在P、Q兩點(diǎn)使以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．17．（2023·四川廣安·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，對稱軸是直線，點(diǎn)是軸上一動點(diǎn)，軸，交直線于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．(2)若點(diǎn)在線段上運(yùn)動（點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)不重合），求四邊形面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)若點(diǎn)在軸上運(yùn)動，則在軸上是否存在點(diǎn)，使以、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．18．（2024九年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與軸交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線下方的拋物線上一動點(diǎn)．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．(2)連接、，并把沿翻折，得到四邊形，那么是否存在點(diǎn)，使四邊形為菱形？若存在，請求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．(3)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到什么位置時(shí)，四邊形的面積最大？求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形的最大面積．19．（2023·遼寧錦州·中考真題）如圖，拋物線交軸于點(diǎn)和，交軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)在第一象限內(nèi)對稱右側(cè)的拋物線上，四邊形的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)是對稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)，使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，且，如果存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．20．（2024·山東淄博·一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．(1)求該拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)如圖2，已知經(jīng)過點(diǎn)A的直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)F，連接．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)如圖3，在（2）的條件下，將直線與y軸的交點(diǎn)F向下平移個(gè)單位長度得到點(diǎn)P．①連接，求的度數(shù)；②將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，直線與x軸交于點(diǎn)M．設(shè)點(diǎn)N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一點(diǎn)，問在旋轉(zhuǎn)過程中是否存在某個(gè)位置，使得四邊形為菱形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．題型三：矩形存在性1．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的交點(diǎn)分別為和（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上方拋物線上一動點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，過點(diǎn)作軸平行線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸平行線交軸于點(diǎn)，求的最大值及點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，設(shè)點(diǎn)為拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)運(yùn)動時(shí)，在坐標(biāo)軸上確定點(diǎn)，使四邊形為矩形，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．2．（22-23九年級上·重慶開州·期末）如圖1，拋物線與x軸交于，，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，點(diǎn)P、Q為直線下方拋物線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)比點(diǎn)P的橫坐標(biāo)大1，過點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)M，過點(diǎn)Q作軸交于點(diǎn)N，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)如圖3，將拋物線先向右平移1個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度得到新的拋物線，在的對稱軸上有一點(diǎn)D，坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)E，使得以點(diǎn)B、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，且為矩形一邊，求出此時(shí)所有滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)．3．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）【生活情境】為美化校園環(huán)境，某學(xué)校根據(jù)地形情況，要對景觀帶中一個(gè)長，寬的長方形水池進(jìn)行加長改造（如圖①，改造后的水池仍為長方形，以下簡稱水池．同時(shí)，再建造一個(gè)周長為的矩形水池（如圖②，以下簡稱水池．【建立模型】如果設(shè)水池的邊加長長度為，加長后水池1的總面積為，則關(guān)于的函數(shù)解析式為：；設(shè)水池2的邊的長為，面積為，則關(guān)于的函數(shù)解析式為：，上述兩個(gè)函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖③．【問題解決】（1）求水池2面積的最大值；（2）當(dāng)水池1的面積大于水池2的面積時(shí)，求的取值范圍；【數(shù)學(xué)抽象】（3）在圖③的圖象中，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線對稱軸上一點(diǎn)（點(diǎn)不與頂點(diǎn)重合），點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)，當(dāng)四邊形是矩形且，請求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)．4．（23-24九年級下·湖北咸寧·階段練習(xí)）已知：如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，頂點(diǎn)為．

(1)求此拋物線的解析式：(2)在直線下方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)，使四邊形的面積最大？最大面積是多少？(3)點(diǎn)在軸上的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)平面上的一個(gè)動點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)和點(diǎn)，使點(diǎn)構(gòu)成矩形，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．5．（2023·遼寧大連·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上有兩點(diǎn)、，其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，拋物線過點(diǎn)、．過作軸交拋物線另一點(diǎn)為點(diǎn)．以、長為邊向上構(gòu)造矩形．

(1)求拋物線的解析式；(2)將矩形向左平移個(gè)單位，向下平移個(gè)單位得到矩形，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在拋物線上．①求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量的取值范圍；②直線交拋物線于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，求的值；③拋物線與邊、分別相交于點(diǎn)、，點(diǎn)、在拋物線的對稱軸同側(cè)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上有兩點(diǎn)，其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，拋物線過點(diǎn)．過作軸交拋物線另一點(diǎn)為點(diǎn)．以長為邊向上構(gòu)造矩形．6．（2024·吉林四平·模擬預(yù)測）如圖，拋物線與x軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)是拋物線上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，拋物線上點(diǎn)與點(diǎn)之間的部分（包含端點(diǎn)）記為圖像．(1)求出拋物線的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，圖像的最大值與最小值的差為，求出與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；(3)過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)為軸上的一點(diǎn)，縱坐標(biāo)為，以、為鄰邊構(gòu)造矩形，當(dāng)拋物線在矩形內(nèi)的部分所對應(yīng)的函數(shù)值隨的增大而減小時(shí)，直接寫出的取值范圍．7．（2023·遼寧丹東·中考真題）拋物線與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖，點(diǎn)D是拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是，過點(diǎn)D作直線軸，垂足為點(diǎn)E，交直線于點(diǎn)F．當(dāng)D，E，F(xiàn)三點(diǎn)中一個(gè)點(diǎn)平分另外兩點(diǎn)組成的線段時(shí)，求線段的長；(3)若點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)（點(diǎn)P不與頂點(diǎn)重合），點(diǎn)M是拋物線對稱軸上的一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)N在坐標(biāo)平面內(nèi)，當(dāng)四邊形是矩形鄰邊之比為時(shí)，請直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．8．（20-21九年級上·重慶沙坪壩·期中）如圖1，拋物線與x軸交于和兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)P是拋物線上位于直線上方的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸交于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作軸于點(diǎn)F，求出的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，將原拋物線向左平移2個(gè)單位長度得到拋物線，與原拋物線相交于點(diǎn)M，點(diǎn)N為原拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)H，使以點(diǎn)A，M，N，H為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．9．（2024·山西呂梁·一模）綜合與探究如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，連接，拋物線的對稱軸與軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)為拋物線上第四象限的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的長；(3)在（）的條件下，若點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，則平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使以為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．10．（2024·山西晉城·二模）綜合與探究如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，連接．(1)求，，三點(diǎn)的坐標(biāo)并直接寫出直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)是第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交拋物線于點(diǎn)，當(dāng)平分時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)．(3)若點(diǎn)是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形為矩形時(shí)，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．題型四：正方形存在性1．（2024·陜西·一模）如圖，拋物線的對稱軸l與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．(1)求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；(2)C為該拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)D為點(diǎn)C關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)C的左側(cè)），點(diǎn)M在坐標(biāo)平面內(nèi)，請問是否存在這樣的點(diǎn)C，使得四邊形是正方形？若存在，請求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．2．（2024·河南洛陽·一模）如圖，拋物線過點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)作矩形，使邊在軸上（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），點(diǎn)在拋物線上，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，當(dāng)時(shí)，．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形是正方形？3．（2024·山西太原·一模）綜合與探究如圖1，已知拋物線與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸正半軸上，連接交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫出線段所在直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖2，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)為線段上方拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交線段于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．①求線段的長（用含的代數(shù)式表示）；②已知點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．4．（2024·陜西榆林·二模）如圖，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于，兩點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)是第二象限拋物線上的動點(diǎn)，軸，交直線于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在點(diǎn)，使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．題型五：梯形存在性1．（2022·上海楊浦·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)、、三點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)．(1)求該拋物線的表達(dá)式，并寫出該拋物線的對稱軸：(2)分別聯(lián)結(jié)、、，直線與線段交于點(diǎn)，當(dāng)此直線將四邊形的面積平分時(shí)，求的值；(3)設(shè)點(diǎn)為該拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是梯形時(shí)，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．2．（22-23九年級上·甘肅慶陽·期中）如圖，已知拋物線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)、(點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè))，與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)．(1)直接寫出、、三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)，使得的值最小，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)設(shè)點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為梯形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．3．（2022·上海青浦·一模）在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），已知拋物線，其頂點(diǎn)為．(1)寫出這條拋物線的開口方向、頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)我們把一條拋物線上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)叫做這條拋物線的“不動點(diǎn)”．①試求拋物線的“不動點(diǎn)”的坐標(biāo)；②向左或向右平移拋物線，使所得新拋物線的頂點(diǎn)是該拋物線的“不動點(diǎn)”，其對稱軸與軸交于點(diǎn)，且四邊形是梯形，求新拋物線的表達(dá)式．4．（23-24九年級上·云南昭通·階段練習(xí)）如圖，拋物線過點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的對稱軸交軸于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)是直線上的點(diǎn)，若的面積與的面積相等，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)在第四象限，且為拋物線上的點(diǎn)，若四邊形是梯形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．5．（2024·廣東肇慶·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與直線交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上），與軸交于點(diǎn)，且．(1)求拋物線的解析式；(2)若為直線下方拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．①求線段的最大值；②是否存在點(diǎn)，使得四邊形為等腰梯形？若存在，請求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．專題07二次函數(shù)中特殊四邊形存在性（五大題型）90專練通用的解題思路：題型一：平行四邊形的存在性解題策略：1.直接計(jì)算法根據(jù)平行四邊形對邊平行且相等，按這條線段為邊或?yàn)閷蔷€兩大類，分別計(jì)算

（適用于：已知兩點(diǎn)的連線就在坐標(biāo)軸上或平行于坐標(biāo)軸）2.構(gòu)造全等法過頂點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線，利用對邊所在的兩個(gè)三角形全等，把平行且相等的對邊轉(zhuǎn)化為水平或者垂直方向的兩條對應(yīng)邊相等

（適用于：已知兩點(diǎn)的連線，不與坐標(biāo)軸平行，容易畫出草圖）3.平移坐標(biāo)法

利用平移的意義，根據(jù)已知兩點(diǎn)間橫、縱坐標(biāo)的距離關(guān)系，得待定兩點(diǎn)也有同樣的數(shù)量關(guān)系。

（適用于：直接寫出答案的題）題型二：菱形存在性由于菱形是一組鄰邊相等的平行四邊形，因此解決菱形存在性問題需要綜合運(yùn)用平行四邊形和等腰三角形存在性問題的方法。題型三：矩形存在性由于矩形是含90度角的平行四邊形，因此解決矩形存在性問題需要綜合運(yùn)用平行四邊形和直角三角形存在性問題的方法。題型四：正方形存在性由于正方形即是矩形又是菱形，因此解決正方形存在性問題需要靈活選用所有存在性問題的方法。題型五：梯形存在性解梯形的存在性問題一般分三步：第一步分類，第二步畫圖，第三步計(jì)算．一般是已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，在某個(gè)圖象上求第四個(gè)點(diǎn)，使得四個(gè)點(diǎn)圍成梯形．過三角形的每個(gè)頂點(diǎn)畫對邊的平行線，這條直線與圖象的交點(diǎn)就是要探尋的梯形的頂點(diǎn)．因?yàn)樘菪斡幸唤M對邊平行，因此根據(jù)同位角或內(nèi)錯(cuò)角，一定可以構(gòu)造一組相等的角，然后根據(jù)相似比列方程，可以使得解題簡便．題型一：平行四邊形的存在性1．（2024·甘肅武威·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且．(1)求此拋物線的表達(dá)式；(2)已知拋物線的對稱軸上存在一點(diǎn)，使得的周長最小，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)連接，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)，求當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)則點(diǎn)P的坐標(biāo)為：）或【分析】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，軸對稱最短路徑的計(jì)算方法，平行四邊形的判定和性質(zhì)的綜合，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)二次函數(shù)解析式可求出，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用交點(diǎn)式即可求解二次函數(shù)解析式；（2）根據(jù)拋物線的解析式可得點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，結(jié)合軸對稱最短路徑可得的周長為最小，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可求出直線的解析式是，由拋物線的對稱軸為，代入直線的解析式即可求解；（3）根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)可得，設(shè)點(diǎn)，則，由此列式求解即可．【詳解】（1）解：由拋物線的表達(dá)式可知，，∴，∴，∴，，，設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，∴，∴，故拋物線的表達(dá)式為：；（2）解：由（1）可知，拋物線的表達(dá)式為：，∴對稱軸為，∴點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸得對稱點(diǎn)為點(diǎn)，∴交拋物線的對稱軸于點(diǎn)即為所求點(diǎn)的位置，即的周長為最小，已知，，設(shè)直線的解析式為：，∴，解得，，∴直線的解析式為：，∵拋物線的對稱軸為直線，∴當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)；（3）解：由（1）和（2）可知，拋物線的解析式為，直線的解析式為，∴如圖所示，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，則，∴，∴，∴解得：，，∴當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即∴點(diǎn)的坐標(biāo)為：）或．2．（2024·江蘇宿遷·一模）材料一；《見微知著》談到：從一個(gè)簡單的經(jīng)典問題出發(fā)，從特殊到一般，由簡單到復(fù)雜，從部分到整體，由低維到高維，知識與方法上的類比是探索題發(fā)展的重要途徑，是思想閥門發(fā)現(xiàn)新問題、新結(jié)論的重要方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中，我們經(jīng)常會用到類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，請利用上述有關(guān)思想，解答下列問題．材料二：分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種解題策略，在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用相當(dāng)多，它能使許多看似非常復(fù)雜的問題簡單化．因此在用分類討論解決數(shù)學(xué)問題時(shí)要遵循一定的規(guī)則，注意合理的分類，對全體對象的分類必須做到不重復(fù)、不遺漏，每次分類必須保持在同一標(biāo)準(zhǔn)．請閱讀上述材料，完成題目：如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．動點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動，過點(diǎn)作軸，垂足為，交直線于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，的面積是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由；(3)點(diǎn)是拋物線對稱軸與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)是軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)在運(yùn)動過程中，若以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)存在．的最大值為；(3)點(diǎn)坐標(biāo)為或或，．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；（2）設(shè)，則，則，根據(jù)三角形面積公式得到，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題；（3）先求出拋物線的對稱軸為直線得到，討論：當(dāng)時(shí)，則，利用平行四邊形的性質(zhì)得，從而得到此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)時(shí)，由于點(diǎn)向右平移1個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位得到點(diǎn)，所以點(diǎn)向右平移1個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位得到點(diǎn)，設(shè)，則，然后把代入得，則解方程求出得到此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）解：拋物線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，，解得，拋物線的解析式為；（2）解：存在．當(dāng)，，解得，則，設(shè)，則，，，，當(dāng)時(shí)，有最大值為；（3）解：拋物線的對稱軸為直線，，當(dāng)時(shí)，則，以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，，點(diǎn)坐標(biāo)為或；當(dāng)時(shí)，以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，，點(diǎn)向右平移1個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位得到點(diǎn)，點(diǎn)向右平移1個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位得到點(diǎn)，設(shè)，則，把代入得，解得，，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為，，綜上所述，點(diǎn)坐標(biāo)為或或，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)；待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題是解題的關(guān)鍵．3．（2024·廣東珠?！ひ荒＃┮阎獟佄锞€與軸交于點(diǎn)和，與軸交于點(diǎn)C(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，連接，當(dāng)四邊形恰好是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，在（2）的條件下，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，且，在直線上是否存在點(diǎn)，使得與相似？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，的坐標(biāo)為或．【分析】（1）用待定系數(shù)法可得；（2）由，可得直線解析式為，設(shè)，由，有，即可解得；（3）可得直線的表達(dá)式為，知在直線上，，，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過作軸于，根據(jù)，可得直線和直線關(guān)于直線對稱，有，，，從而可得直線的表達(dá)式為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，即得，，故，與相似，點(diǎn)與點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，有，解得；當(dāng)時(shí)，，解得．【詳解】（1）解：把，代入得：，解得：，；（2）解：由，可得直線解析式為，設(shè)，則，，，要使四邊形恰好是平行四邊形，只需，，解得，；（3）解：在直線上存在點(diǎn)，使得與相似，理由如下：是的中點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，由（2）知，直線的表達(dá)式為，，在直線上，，，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過作軸于，如圖：，故，，，直線和直線關(guān)于直線對稱，，，，由點(diǎn)，可得直線的表達(dá)式為，聯(lián)立，解得或，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，，，，，，即，與相似，點(diǎn)與點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，當(dāng)時(shí)，有，，解得或（在右側(cè)，舍去），；當(dāng)時(shí)，，，解得（舍去）或，，綜上所述，的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，平行四邊形，相似三角形等知識，難度較大，綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是證明，從而得到與相似，點(diǎn)與點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)．4．（2024·貴州·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且與二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)．(1)求一次函數(shù)與二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)設(shè)是直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)，若以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)點(diǎn)坐標(biāo)為，，，【分析】（1）由待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式即可得到答案；（2）求出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)，設(shè)，，由列方程求解即可得到答案．【詳解】（1）解：∵過點(diǎn)，∴，解得，∴一次函數(shù)表達(dá)式為：；∵點(diǎn)在上，∴，即，∵點(diǎn)在上，∴，解得，∴二次函數(shù)表達(dá)式為：；（2）解：∵點(diǎn)在軸上，且在上，∴，即，如圖所示：∵以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，∴，設(shè)，，則有，或，解得或，是直線上的點(diǎn)，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，，，．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合，涉及待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式、直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)、拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)、平行四邊形性質(zhì)、二次函數(shù)與平行四邊形綜合等知識，熟記二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)綜合題型解法是解決問題的關(guān)鍵．5．（2024·陜西渭南·二模）如圖，已知拋物線交軸于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若直線與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，是否存在以為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在；點(diǎn)的坐標(biāo)為：，或，或．【分析】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，平行四邊形的性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等；（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）當(dāng)為對角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式列出方程組，即可求解；當(dāng)為對角線時(shí)，同理可解．【詳解】（1）解：（1）的坐標(biāo)為，，則點(diǎn)，，則點(diǎn)，設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，則，∵，∴，∴，則；（2）存在，理由：由拋物線的表達(dá)式知，其對稱軸為直線，由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，設(shè)直線的表達(dá)式為，∴解得：∴直線的表達(dá)式為：，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)為對角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：，解得：，則點(diǎn)，或，；當(dāng)為對角線時(shí)，同理可得：，解得：（舍去）或2，則點(diǎn)，綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為：，或，或．6．（2024·甘肅武威·一模）如圖．拋物線交軸于點(diǎn)和點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限的拋物線上．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，求的面積；(3)過點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得四邊形是平行四邊形？如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為【分析】（1）把和代入拋物線，求出和的值即可解決問題；（2）連接,把代入得到點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)即可求出結(jié)果；（3）求出直線的表達(dá)式，作軸,交于點(diǎn),設(shè)，得到的表達(dá)式，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列出方程即可求出點(diǎn)的坐標(biāo);【詳解】（1）解：∵拋物線交軸于點(diǎn)和點(diǎn),交軸于點(diǎn),，解得，∴拋物線的函數(shù)解析式為；（2）連接,由拋物線的解析式為，代入，得，解得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為,，，，得，，得；（3）設(shè)直線的表達(dá)式為，代入，，解得，，作軸,交于點(diǎn),設(shè)∴，∵四邊形是平行四邊形，，，解得，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，割補(bǔ)法求三角形面積，平行四邊形的存在性問題，本題的關(guān)鍵是理解平行四邊形的性質(zhì).7．（2024·陜西寶雞·二模）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，．(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)將拋物線沿軸的正方向平移個(gè)單位長度得到新拋物線，是新拋物線與軸的交點(diǎn)靠近軸，是原拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，在新拋物線上存在一點(diǎn)，使得以為邊，且以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的平移，平行四邊形的性質(zhì)；（1）將點(diǎn)，代入拋物線表達(dá)式，待定系數(shù)法求解析式，即可求解；（2）根據(jù)二次函數(shù)平移的規(guī)律得出，進(jìn)而求得點(diǎn)，設(shè)，，根據(jù)題意得出，即可求解．【詳解】（1）解：將點(diǎn)，代入拋物線表達(dá)式，得解得該拋物線的表達(dá)式為．（2），拋物線的對稱軸為直線，平移后的拋物線表達(dá)式為，把代入：得，解得，．是原拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)在新拋物線上，設(shè)，．當(dāng)為平行四邊形的一邊時(shí)，且．由題可知．．即，解得或．點(diǎn)的坐標(biāo)為或．綜上所述，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或．8．（2024·四川南充·模擬預(yù)測）如圖1，拋物線與x軸交于，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，．(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在x軸上，是否存在以A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；(3)如圖2，若點(diǎn)D是第四象限拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)E，連接，設(shè)的面積為，的面積為，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)存在以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，Q的坐標(biāo)為或或或．(3)最大值，D的坐標(biāo)為【分析】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到三角形相似、平行四邊形的性質(zhì)等知識點(diǎn)；（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）當(dāng)為對角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式列出方程組，即可求解；當(dāng)或?yàn)閷蔷€時(shí)，同理可解；（3）過點(diǎn)D作軸交于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作軸交于點(diǎn)N，證明，得到，即，即可求解．【詳解】（1）∵∴∴∴把，代入拋物線解析式得：，解得：，∴該拋物線解析式為；（2）存在以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，設(shè)，，分三種情況考慮：①當(dāng)與為對角線時(shí)，由，，得：，解得：（舍去），∴；②當(dāng)與為對角線時(shí)，得：，解得：（舍去），∴；③當(dāng)與為對角線時(shí)，得：，解得：，，∴或；綜上，存在以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，Q的坐標(biāo)為或或或．（3）∵拋物線對稱軸為直線，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴，過點(diǎn)D作軸交于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作軸交于點(diǎn)N，∵，∴，∴，∵，∴，設(shè)，則，∴，∴，∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為．9．（2024·山西大同·二模）綜合與探究如圖，拋物線與軸交于，，與軸交于點(diǎn)．作直線，是拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式并直接寫出直線的函數(shù)表達(dá)式．(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線下方時(shí)，連接，，．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)，使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；直線的函數(shù)表達(dá)式為，(2)(3)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為()，()，【分析】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用；待定系數(shù)法求解析式，面積問題，平行四邊形問題；（1）待定系數(shù)法求得拋物線解析式，進(jìn)而得出的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求直線的解析式，即可求解；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形為矩形，根據(jù)得出，進(jìn)而表示出，解方程，即可求解．（3）先求得拋物線對稱軸，設(shè))，當(dāng)為對角線時(shí)，當(dāng)為對角線時(shí),當(dāng)為對角線時(shí),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求解．【詳解】（1）解：把，分別代入得解得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為當(dāng)時(shí)，，則設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入，得，解得：，直線的函數(shù)表達(dá)式為，（2）如圖過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形為矩形設(shè)則，解得(舍棄)，（3）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為()或()或()由題知，拋物線拋物線的對稱軸，把代入，的)設(shè))分以下三種情況討論：當(dāng)為對角線時(shí)，，，解得)當(dāng)為對角線時(shí)，，，解得)當(dāng)為對角線時(shí)，，，解得綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為()，()，．10．（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測）如圖，拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，并交x軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，直線與y軸交于點(diǎn)D．(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn)，問在對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以D，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)對稱軸上存在點(diǎn)Q，使得以D，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或或．【分析】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了求二次函數(shù)解析式，勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，運(yùn)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得拋物線的表達(dá)式；（2）利用待定系數(shù)法可得直線的解析式為，進(jìn)而可得，分三種情況：當(dāng)為對角線時(shí)，當(dāng)為對角線時(shí)，當(dāng)為對角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分即對角線的中點(diǎn)重合，分別列方程組求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，解得：，∴該拋物線的表達(dá)式為；（2）對稱軸上存在點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．理由如下：∴頂點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，則：解得：，∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，∴，∵點(diǎn)是拋物線上一動點(diǎn)，∴設(shè)，∵拋物線的對稱軸為直線，∴設(shè)，當(dāng)為對角線時(shí)，的中點(diǎn)重合，解得：，當(dāng)為對角線時(shí)，的中點(diǎn)重合，解得：，當(dāng)為對角線時(shí)，的中點(diǎn)重合，解得：，∴；綜上所述，對稱軸上存在點(diǎn)，使得以，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．11．（2024·上海虹口·二模）新定義：已知拋物線（其中），我們把拋物線稱為的“輪換拋物線”．例如：拋物線的“輪換拋物線”為．已知拋物線：的“輪換拋物線”為，拋物線、與軸分別交于點(diǎn)、，點(diǎn)在點(diǎn)的上方，拋物線的頂點(diǎn)為．(1)如果點(diǎn)的坐標(biāo)為，求拋物線的表達(dá)式；(2)設(shè)拋物線的對稱軸與直線相交于點(diǎn)，如果四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】本題考查的是二次函數(shù)綜合題，重點(diǎn)考查二次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形性質(zhì)及相似三角形性質(zhì)，（1）將點(diǎn)代入表達(dá)式，求出m的值，根據(jù)“輪換拋物線”定義寫出即可；（2）根據(jù)輪換拋物線定義得出拋物線表達(dá)式及點(diǎn)E、F坐標(biāo)，并求出P、Q坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出列方程并解出m值，進(jìn)而解決問題；（3）先求，結(jié)合求出的點(diǎn)P、E、F坐標(biāo)得出及，根據(jù)相似三角形性質(zhì)得出關(guān)于m的方程，解方程即可解決．【詳解】（1）解：拋物線：與軸交于點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)，代入，得，，拋物線表達(dá)式為，拋物線的“輪換拋物線”為表達(dá)式為；（2）解：拋物線：，當(dāng)時(shí)，，即與y軸交點(diǎn)為，拋物線：的“輪換拋物線”為，拋物線表達(dá)式為，同理拋物線與y軸交點(diǎn)為，拋物線對稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，拋物線的對稱軸與直線交點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的上方，，解得：，，四邊形為平行四邊形，，即，解得：，；（3）解：點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)時(shí)，，即，點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，，，，，，，解得：．12．（2023·四川自貢·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線解析式及，兩點(diǎn)坐標(biāo)；(2)以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)坐標(biāo)；(3)該拋物線對稱軸上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線解析式為，，(2)或或(3)【分析】（1）將點(diǎn)代入拋物線解析式，待定系數(shù)法求解析式，進(jìn)而分別令，即可求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）分三種情況討論，當(dāng)，為對角線時(shí)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)即可求解；（3）根據(jù)題意，作出圖形，作交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，則在上，根據(jù)等弧所對的圓周角相等，得出在上，進(jìn)而勾股定理，根據(jù)建立方程，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出的解析式，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于，∴解得：，∴拋物線解析式為，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，解得：，∴（2）∵，，，設(shè)，∵以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形當(dāng)為對角線時(shí)，解得：，∴；當(dāng)為對角線時(shí)，解得：∴當(dāng)為對角線時(shí)，解得：∴綜上所述，以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，或或（3）解：如圖所示，作交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，∵∴是等腰直角三角形，∴在上，∵，，∴，，∵，∴在上，設(shè)，則解得：（舍去）∴點(diǎn)設(shè)直線的解析式為∴解得：.∴直線的解析式∵，，∴拋物線對稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，待定系數(shù)法求解析式，平行四邊形的性質(zhì)，圓周角角定理，勾股定理，求一次函數(shù)解析式，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．13．（2023·四川巴中·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和，其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．(1)求拋物線的表達(dá)式．(2)若直線與軸交于點(diǎn)，在第一象限內(nèi)與拋物線交于點(diǎn)，當(dāng)取何值時(shí)，使得有最大值，并求出最大值．(3)若點(diǎn)為拋物線的對稱軸上一動點(diǎn)，將拋物線向左平移個(gè)單位長度后，為平移后拋物線上一動點(diǎn)．在（）的條件下求得的點(diǎn)，是否能與、、構(gòu)成平行四邊形？若能構(gòu)成，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不能構(gòu)成，請說明理由．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，有最大值為(3)能，【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）設(shè)，進(jìn)而分別表示出，得出關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，，即可求得最大值；（3）由（1）知，向左平移后的拋物線為，由（2）知，設(shè)，假設(shè)存在以、、、為頂點(diǎn)的平行四邊形．根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，分類討論即可求解，①當(dāng)以為對角線時(shí)，②當(dāng)以為對角線時(shí)，③當(dāng)以為對角線時(shí)．【詳解】（1）解：拋物線的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為對稱軸為與x軸另一交點(diǎn)為∴設(shè)拋物線為∴拋物線的表達(dá)式為（2）在拋物線上∴設(shè)在第一象限∴當(dāng)時(shí)，有最大值為（3）由（1）知，向左平移后的拋物線為由（2）知設(shè)，假設(shè)存在以、、、為頂點(diǎn)的平行四邊形．①當(dāng)以為對角線時(shí)，平行四邊形對角線互相平分，即在拋物線上的坐標(biāo)為②當(dāng)以為對角線時(shí)同理可得，即則的坐標(biāo)為③當(dāng)以為對角線時(shí)，即則的坐標(biāo)為綜上所述：存在以、、、為頂點(diǎn)的平行四邊形．的坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，二次函數(shù)的平移，待定系數(shù)法求解析式，線段最值問題，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2023·山東棗莊·中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，并交x軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，直線AM與軸交于點(diǎn)D．(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)H是x軸上一動點(diǎn)，分別連接MH，DH，求的最小值；(3)若點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn)，問在對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以D，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，或或【分析】（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接，與軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)，進(jìn)而得到的最小值為的長，利用兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解即可；（3）分，，分別為對角線，三種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，∴，解得：，∴；（2）∵，∴，設(shè)直線，則：，解得：，∴，當(dāng)時(shí)，，∴；作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接，則：，，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值為的長，∵，，∴，即：的最小值為：；（3）解：存在；∵，∴對稱軸為直線，設(shè)，，當(dāng)以D，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)：①為對角線時(shí)：，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∴；②當(dāng)為對角線時(shí)：，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∴；③當(dāng)為對角線時(shí)：，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∴；綜上：當(dāng)以D，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，或或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，是中考常見的壓軸題．正確的求出函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．15．（2024·山西晉城·一模）綜合與探究如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，P是直線上方拋物線上一動點(diǎn)．(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫出直線的函數(shù)表達(dá)式．(2)連接，，求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)在（2）的條件下，若F是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以B，F(xiàn)，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，，(2)的面積最大值為9，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3)或或【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)解析式分別求出自變量和函數(shù)值為0時(shí)自變量或函數(shù)值即可求出A、B、C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線的函數(shù)表達(dá)式即可；（2）過點(diǎn)P作軸交于D，設(shè)，則，則，根據(jù)，可得，則當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值為9，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3）設(shè)，，再分當(dāng)為對角線時(shí)，當(dāng)為對角線時(shí)，當(dāng)為對角線時(shí)，由平行四邊形對角線中點(diǎn)坐標(biāo)相同建立方程求解即可?！驹斀狻浚?）解：在中，當(dāng)時(shí)，，∴；在中，當(dāng)時(shí)，解得或，∴；設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為；（2）解：如圖所示，過點(diǎn)P作軸交于D，設(shè)，則，∴，∵∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值為9，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3）解：∵，∴拋物線對稱軸為直線，設(shè)，，當(dāng)為對角線時(shí)，由平行四邊形對角線中點(diǎn)坐標(biāo)相同可得：，解得，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；當(dāng)為對角線時(shí)，由平行四邊形對角線中點(diǎn)坐標(biāo)相同可得：，解得，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；當(dāng)為對角線時(shí)，由平行四邊形對角線中點(diǎn)坐標(biāo)相同可得：，解得，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或或．16．（2023·山東聊城·中考真題）如圖①，拋物線與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC.點(diǎn)P是x軸上任意一點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)Q在拋物線上，若以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)，AC為一邊的四邊形為平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)如圖②，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A，B不重合），自點(diǎn)P分別作，交AC于點(diǎn)E，作，垂足為點(diǎn)D．當(dāng)m為何值時(shí)，面積最大，并求出最大值．【答案】(1)(2)點(diǎn)Q坐標(biāo)，或或；(3)時(shí)，有最大值，最大值為．【分析】（1）將，代入，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；（2）由二次函數(shù)，求得點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，分類討論：當(dāng)為邊，為對角線時(shí)，當(dāng)為邊，為對角線時(shí)，運(yùn)用平行四邊形對角線互相平分性質(zhì)，構(gòu)建方程求解；（3）如圖，過點(diǎn)D作，過點(diǎn)E作，垂足為G，F(xiàn)，可證，；運(yùn)用待定系數(shù)法求直線解析式，直線解析式；設(shè)點(diǎn)，，則，，，，運(yùn)用解直角三角形，中，，，中，，可得，，；中，，可得，，，，于是，從而確定時(shí)，最大值為．【詳解】（1）將，代入，得，解得∴拋物線解析式為：（2）二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，∴點(diǎn)設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)為邊，為對角線時(shí)，∵四邊形為平行四邊形，∴，互相平分∴解得，（舍去）或點(diǎn)Q坐標(biāo)；當(dāng)為邊，為對角線時(shí)，同理得，解得，或，∴∴點(diǎn)Q坐標(biāo)或綜上，點(diǎn)Q坐標(biāo)，或或；（3）如圖，過點(diǎn)D作，過點(diǎn)E作，垂足為G，F(xiàn)，∵，∴∴∵∴，同理可得設(shè)直線的解析式為：則，解得∴直線：同理由點(diǎn)，，可求得直線：設(shè)點(diǎn)，，則，，，中，，∴，中，∴，解得，∴∵∴；中，∴，解得，∴∵∴∴，即．∵∴時(shí)，，有最大值，最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)，一元二次方程求解，解直角三角形，結(jié)合動點(diǎn)運(yùn)動情況，分類討論是解題的關(guān)鍵．17．（2024·山西晉城·一模）綜合與探究：如圖1，已知拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸相交于點(diǎn)，直線與軸相交于點(diǎn)，交線段于點(diǎn)，且.(1)求，，三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求直線的函數(shù)表達(dá)式；(3)如圖2