高等數(shù)學(xué)(上冊) 第四章教案

第四章：微分方程教學(xué)目標(biāo)：理解并掌握微分方程的定義，掌握可分離變量微分方程的解法——分離變量法。教學(xué)重點：可分離變量微分方程的解法——分離變量法。教學(xué)難點：可分離變量微分方程的解法——分離變量法。所需學(xué)時：8學(xué)時（包括：6學(xué)時講授與2學(xué)時習(xí)題）第一節(jié)：微分方程的概念1、微分方程的引例引例某曲線過點(1,4)，且在曲線上任一點(x,y)處的切線斜率為2x，試建立滿足上述條件的函數(shù)關(guān)系式。解：設(shè)曲線方程為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知滿足又由題意知，當(dāng)時即，則有稱為一階常微分方程。2、微分方程的基本概念微分方程——含有自變量、未知函數(shù)及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程。微分方程的階——微分方程中未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。常微分方程——未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程。常微分方程的一般形式為：，其中為自變量，是未知函數(shù)，上式中必須出現(xiàn)，其余變量可以不出現(xiàn)。例如階微分方程。例1判斷下列微分方程的階數(shù)。（1）（2）（3）解：（1）三階，（2）一階，（3）一階微分方程的解——使得微分方程等式成立的函數(shù)。通解——方程的解中所含任意常數(shù)的個數(shù)與方程的階數(shù)相同的解。特解——不含任意常數(shù)的方程的解。初始條件——用來確定方程通解的任意常數(shù)的附加條件。如：前例中帶有初始條件的微分方程為微分方程的初值問題。微分方程的解的圖形是一條曲線或一族曲線，稱為微分方程的積分曲線。例2驗證函數(shù)（為任意常數(shù)）是方程的通解，并求滿足初始條件的特解。解：對求導(dǎo)，得將和代入方程的左端。得是題設(shè)方程的通解，將初始條件代入中得，即方程的特解為：課后作業(yè)及小結(jié)：1、學(xué)習(xí)了微分方程的基本概念2、掌握計算微分方程特解的方法。第二節(jié)：一階微分方程1、可分離變量的微分方程設(shè)一階微分方程為，若稱其為可分離變量的微分方程，方程可寫為（或）等式兩邊積分，得（或）例1求微分方程的通解。解：方程分離變量為：兩邊積分解得即記，則題設(shè)方程的通解為：例2求微分方程的通解。解：合并含和的各項，得設(shè)，，分離變量得兩邊積分得則有記，則得題設(shè)方程的通解為注：微分方程的通解可以是隱函數(shù)的形式。例3求微分方程，的特解。解：方程分離變量為兩邊積分解得將代入上式得，所以題設(shè)方程的特解為例4求解下列微分方程（學(xué)生先做）（1）（2）解：（1）方程變?yōu)閮蛇叿e分解得（2）方程變?yōu)閮蛇叿e分解得即記，則有2、齊次方程形如的一階微分方程稱為齊次微分方程，簡稱齊次方程。令，其中是新的未知函數(shù)，則有代入得，分離變量得，兩邊積分求出積分后，再將回代，便得原方程的解。例5解方程解：方程變?yōu)椋?，則有由積分得將代入上式，并化簡得例6求方程滿足初始條件的特解。解：原方程變?yōu)?，令，有由積分，得即，將代入上式得再將初始條件代入上式得，原方程特解為例7求下列齊次方程的通解。（學(xué)生先做）（1）；（2）解：（1）令，則有，由，積分解得，將代入上式得取對數(shù)得即（2）方程變?yōu)?，令，則有由積分得將代入上式得則，即3、一階線性微分方程形如稱為一階線性微分方程（和均為一次），若，則方程稱為一階齊次線性方程，相應(yīng)地①稱為一階非齊次線性方程。方程②是可分離變量的方程，分離變量得兩邊積分得，解得變形為兩邊積分得（為的函數(shù)），若記，則。即現(xiàn)求出，因為是方程①的解，則有將上兩式代入方程，得即，即兩邊積分得代入得非齊次線性方程的通解上式可寫為上式右端第一項是對應(yīng)的齊次線性方程②的通解，第二項是非齊次線性方程①的一個特解（⑤式取即可），因此，一階非齊次線性方程的通解是對應(yīng)的齊次線性方程的通解與其本身的一個特解之和。例8求方程的通解。解：方程變?yōu)槭且浑A非齊次線性方程，例9求滿足初始條件的特解。解：將代入上式，得，所求方程特解為例10求的通解。解：若將看作是的函數(shù)，則方程變?yōu)榉匠滩皇且浑A線性微分方程，其解不易求。若將看成的函數(shù)，則方程變?yōu)榧磩t課后作業(yè)及小結(jié)：1、掌握一階微分方程的求解方法2、靈活運用可分離變量法。作業(yè)：P239.3（偶數(shù)）,4第三節(jié)：二階微分方程1、可降階的二階微分方程（1）y’’=f(x)型形如的微分方程，是最簡單的二階微分方程．這種方程通解的求法，可將方程通過兩次積分求得．例1求微分方程的通解．解對所給方程兩邊連續(xù)積分兩次,得,這就是所給方程的通解．（2）y’’=f(x,y’)型形如這類微分方程的特點是右端不顯含未知函數(shù)，解這類微分方程的方法是通過變量代換降階。設(shè)，則，于是原方程化為，即原方程降為以p為未知函數(shù)，x為自變量的一階微分方程，按一階微分方程的解法如果可求得，而，再兩邊積分即可得到原方程的通解為．例2求微分方程的通解.解則代入原方程,這是關(guān)于一階線性非齊次方程，則由一階線性微分方程的通解公式可解得,即,再兩邊積分得.（3）y’’=f(y,y’)型形如這類微分方程的特點是右端函數(shù)不含自變量，是與的函數(shù)，故可以認(rèn)為也是的函數(shù)，于是設(shè)，則，代入方程得，這是以p為未知函數(shù)，y為自變量的一階微分方程，于是可求得,把代回又是一個一階微分方程，分離變量可求得.例3求方程的通解.解設(shè)代入原方程得因為原方程通解為例4解一認(rèn)定為：型,代入原方程