2022-2023學(xué)年廣東省華附、省實、廣雅、深中四校聯(lián)考高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2022-2023學(xué)年廣東省華附、省實、廣雅、深中四校聯(lián)考高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）已知i為虛數(shù)單位，z＝1+i，則z2﹣|z|2＝（）A．0 B．2﹣2i C．2i﹣2 D．2i+22．（5分）已知集合M＝{x|0＜ln（x+1）＜3}，N＝{y|y＝sinx，x∈M}，則M∩N＝（）A．[﹣1，1] B．（﹣1，1] C．（0，1] D．[0，1]3．（5分）已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝3，且S8＝a8，則a19＝（）A．﹣15 B．﹣18 C．﹣21 D．﹣224．（5分）已知向量a→，b→滿足a→?b→=-2，且b→=(1A．4 B．3 C．2 D．15．（5分）小明將一顆質(zhì)地均勻的骰子拋擲三次，觀察向上一面的點數(shù)，已知三次點數(shù)都不相同，則三次點數(shù)之和不大于8的概率為（）A．1920 B．120 C．45 6．（5分）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標(biāo)原點，過F1作C的一條漸近線的垂線，垂足為D，且|DF2|A．2 B．2 C．5 D．37．（5分）已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x﹣1）關(guān)于（1，0）中心對稱，f（x+1）是偶函數(shù)，且f(A．f（x）為偶函數(shù) B．f（x）周期為2 C．f(92)=1 D．f（8．（5分）已知實數(shù)x，y滿足ex＝y(tǒng)lnx+ylny，則滿足條件的y的最小值為（）A．1 B．e C．2e D．e2二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。（多選）9．（5分）已知x＞y＞0，且x+y＞1，則（）A．x2＞y2 B．x2﹣x＜y2﹣y C．2x＞2y D．lnx+lny＞0（多選）10．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P（1，0）繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α后到達點Q（x0，y0），若cosα-3sinα=-A．126 B．7326 C．-15（多選）11．（5分）已知點P是圓C：x2+y2＝8上的動點，直線x+y＝4與x軸和y軸分別交于A，B兩點，若△PAB為直角三角形，則點P的坐標(biāo)可以是（）A．（﹣2，﹣2） B．（﹣2，2） C．(1+3，1-3（多選）12．（5分）如圖，已知圓柱母線長為4，底面圓半徑為23，梯形ABCD內(nèi)接于下底面圓，CD是直徑，AB∥CD，AB＝6，過點A，B，C，D向上底面作垂線，垂足分別為A1，B1，C1，D1，點M，N分別是線段CC1，AA1上的動點，點QA．若平面DMN交線段BB1于點R，則NR∥DM B．若平面DMN過點B1，則直線MN過定點 C．△ABQ的周長為定值 D．當(dāng)點Q在上底面圓周上運動時，記直線QA，QB與下底面所成角分別為α，β，則1tan三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的條件．14．（5分）已知某學(xué)校高二年級有男生500人、女生450人，調(diào)查該年級全部男、女學(xué)生是否喜歡徒步運動的等高堆積條形圖如圖，現(xiàn)從所有喜歡徒步的學(xué)生中按分層抽樣的方法抽取24人，則抽取的女生人數(shù)為．15．（5分）在三棱錐D﹣ABC中，已知平面BCD⊥平面ABC，∠CBD＝90°，∠BCA＝45°，AB=22，BD＝2，則三棱錐D﹣ABC的外接球的表面積為16．（5分）若數(shù)集S的子集滿足：至少含有2個元素，且任意兩個元素之差的絕對值大于1，則稱該子集為數(shù)集S的超子集．已知集合An={1，2，3，?，n}(n∈N四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，平面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AB＝4，∠BAD＝60°，E為CD的中點，F(xiàn)為AD的中點．（1）證明：BD⊥平面PEF；（2）求三棱錐B﹣PCE的體積．18．（12分）已知函數(shù)f(（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝2，f(A)=19．（12分）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）解關(guān)于n的不等式：a120．（12分）某籃球聯(lián)賽分為初賽和復(fù)賽兩個階段，組委會根據(jù)初賽成績進行第一階段排名（假設(shè)排名不重復(fù)），前六名的球隊直接進入復(fù)賽，第七、八名的球隊進行第一場復(fù)活賽，勝者進入復(fù)賽；第九、十名的球隊進行一場比賽，勝者與第一場復(fù)活賽的敗者進行第二場復(fù)活賽，本場的勝者成為進入復(fù)賽的最后一支球隊．假設(shè)各場比賽結(jié)果互不影響，且每場比賽必須分出勝負．（1）若初賽后，甲、乙、丙、丁四隊分別排在第七、八、九、十名，丁隊與甲、乙、丙隊比賽獲勝的概率分別是0.4，0.5，0.6，甲隊與乙隊比賽獲勝的概率是0.6，則丁隊進入復(fù)賽的概率是多少？（2）若甲，乙兩隊進入復(fù)賽，在復(fù)賽中，甲隊與乙隊需進行一場五局三勝制的比賽，只要其中一方獲勝三局，比賽結(jié)束、假設(shè)各局比賽結(jié)果互不影響．若乙隊每局比賽獲勝的概率為13，設(shè)比賽結(jié)束時乙隊獲勝的局數(shù)為X，求X21．（12分）設(shè)點F為拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點，過點F且斜率為5的直線與C交于A，B兩點S△AOB=2（1）求拋物線C的方程；（2）過點E（0，2）作兩條斜率分別為k1，k2的直線l1，l2，它們分別與拋物線C交于點P，Q和R，S．已知|EP|?|EQ|＝|ER|?|ES|，問：是否存在實數(shù)λ，使得k1+λk2為定值？若存在，求λ的值，若不存在，請說明理由．22．（12分）已知函數(shù)f（x）＝sinπx﹣3（x﹣1）ln（x+1）﹣m．（1）當(dāng)m＝0時，求曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；（2）若f（x）在[0，1]上存在兩個零點x1，x2，證明：|x

2022-2023學(xué)年廣東省華附、省實、廣雅、深中四校聯(lián)考高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）已知i為虛數(shù)單位，z＝1+i，則z2﹣|z|2＝（）A．0 B．2﹣2i C．2i﹣2 D．2i+2【解答】解：z＝1+i，則z2＝（1+i）2＝2i，|z故z2﹣|z|2＝2i﹣2＝﹣2+2i．故選：C．2．（5分）已知集合M＝{x|0＜ln（x+1）＜3}，N＝{y|y＝sinx，x∈M}，則M∩N＝（）A．[﹣1，1] B．（﹣1，1] C．（0，1] D．[0，1]【解答】解：0＜ln（x+1）＜3，則ln1＜ln（x+1）＜lne3，故1＜x+1＜e3，解得0＜x＜e3﹣1，所以N＝{y|y＝sinx，x∈M}＝（y|﹣1≤y≤1}，故M∩N＝（0，1]．故選：C．3．（5分）已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝3，且S8＝a8，則a19＝（）A．﹣15 B．﹣18 C．﹣21 D．﹣22【解答】解：等差數(shù)列{an}中，a1＝3，且S8＝a8，所以8×3+28d＝3+7d，所以d＝﹣1，則a19＝a1+18d＝3﹣18＝﹣15．故選：A．4．（5分）已知向量a→，b→滿足a→?b→=-2，且b→=(1A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：a→在b|a→|cos＜a→，=a→?即c→=（-12，則|b→-c→故選：B．5．（5分）小明將一顆質(zhì)地均勻的骰子拋擲三次，觀察向上一面的點數(shù)，已知三次點數(shù)都不相同，則三次點數(shù)之和不大于8的概率為（）A．1920 B．120 C．45 【解答】解：基本事件共C61三次點數(shù)之和不大于8包括{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，4}共4A33故P=24故選：D．6．（5分）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標(biāo)原點，過F1作C的一條漸近線的垂線，垂足為D，且|DF2|A．2 B．2 C．5 D．3【解答】解：由雙曲線的性質(zhì)可知，雙曲線的一條漸近線方程為y=-bax，焦點F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c由F1作該漸近線的垂線，則根據(jù)點到直線的距離公式可得：|DF1|＝b，|OD|=c2∴|DF2|＝22a，由cos∠F1OD＝﹣cos∠DOF2可得：a2+可得c2＝5a2，則離心率e=5故選：C．7．（5分）已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x﹣1）關(guān)于（1，0）中心對稱，f（x+1）是偶函數(shù)，且f(A．f（x）為偶函數(shù) B．f（x）周期為2 C．f(92)=1 D．f（【解答】解：由f（x﹣1）關(guān)于（1，0）中心對稱，可得f（x﹣1）+f（2﹣x﹣1）＝0，即為f（x﹣1）+f（1﹣x）＝0，即有f（﹣x）＝﹣f（x），即f（x）為奇函數(shù)，故A錯誤；由f（x+1）是偶函數(shù)，可得f（﹣x+1）＝f（x+1），即為f（﹣x）＝f（x+2），所以f（x+2）＝﹣f（x），則f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），所以f（x）的周期為4，故B錯誤；由f（92）＝f（92-4）＝f（12）＝f（32）＝﹣f（-由f（x﹣2）＝f（x+2）＝﹣f（﹣x﹣2），可得f（x﹣2）為奇函數(shù)，故D正確．故選：D．8．（5分）已知實數(shù)x，y滿足ex＝y(tǒng)lnx+ylny，則滿足條件的y的最小值為（）A．1 B．e C．2e D．e2【解答】解：由實數(shù)x，y滿足ex＝y(tǒng)lnx+ylny，可化為ex＝y(tǒng)ln（xy）（x＞0，y＞0，xy＞1），即xex＝xyln（xy）＝ln（xy）?eln（xy），構(gòu)造函數(shù)g（x）＝xex，（x＞0），g′（x）＝（x+1）ex，當(dāng)x∈（0，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，即g（x）＝g（ln（xy）），可以得到x＝ln（xy），從而y=exh'(x)=ex(x-1)x2當(dāng)x∈（0，1）時，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（1，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，從而當(dāng)x＝1時，h（x）取最小值h（1）＝e，即y有最小值e．故選：B．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。（多選）9．（5分）已知x＞y＞0，且x+y＞1，則（）A．x2＞y2 B．x2﹣x＜y2﹣y C．2x＞2y D．lnx+lny＞0【解答】解：對于A，因為x＞y＞0，所以x2＞y2，即選項A正確；對于B，不妨取x＝2，y＝1，則x2﹣x＝4﹣2＝2，y2﹣y＝1﹣1＝0，此時x2﹣x＞y2﹣y，即選項B錯誤；對于C，因為函數(shù)y＝2x單調(diào)遞增，所以2x＞2y，即選項C正確；對于D，不妨取x＝2，y=12，則lnx+lny＝ln（xy）＝ln（2×12）＝ln1＝故選：AC．（多選）10．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P（1，0）繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α后到達點Q（x0，y0），若cosα-3sinα=-A．126 B．7326 C．-15【解答】解：因為cosα-3sinα=-2213，所以2cos（α+π3）=當(dāng)α+π3是第二象限角時，sin（α+π所以cosα＝cos[（α+π3）-π3]＝cos（α+π3）cosπ3+所以x0＝cosα=1當(dāng)α+π3是第三象限角時，sin（α+π所以cosα＝cos[（α+π3）-π3]＝cos（α+π3）cosπ3+sin（α+所以x0＝cosα=-綜上，x0的可能取值為126或-故選：AD．（多選）11．（5分）已知點P是圓C：x2+y2＝8上的動點，直線x+y＝4與x軸和y軸分別交于A，B兩點，若△PAB為直角三角形，則點P的坐標(biāo)可以是（）A．（﹣2，﹣2） B．（﹣2，2） C．(1+3，1-3【解答】解：由題可得A（4，0），B（0，4），設(shè)P（x，y），當(dāng)∠PAB為直角時，AP→=(x∴AP→即（x﹣4）×（﹣4）+4y＝0，即x﹣y﹣4＝0，又x2+y2＝8，∴x=2y=-2，∴此時P（2當(dāng)∠ABP為直角時，BP→=(x∴BP→?即（﹣4）x+4（y﹣4）＝0，即x﹣y+4＝0，又x2+y2＝8，∴x=-2y=2，∴此時P當(dāng)∠APB為直角時，AP→=(x∵AP→即x（x﹣4）+y（y﹣4）＝0，即x2﹣4x+y2﹣4y＝0，又x2+y2＝8，∴x=1-3y=1+3或x=1+3y=1-3，∴此時P（故選：BCD．（多選）12．（5分）如圖，已知圓柱母線長為4，底面圓半徑為23，梯形ABCD內(nèi)接于下底面圓，CD是直徑，AB∥CD，AB＝6，過點A，B，C，D向上底面作垂線，垂足分別為A1，B1，C1，D1，點M，N分別是線段CC1，AA1上的動點，點QA．若平面DMN交線段BB1于點R，則NR∥DM B．若平面DMN過點B1，則直線MN過定點 C．△ABQ的周長為定值 D．當(dāng)點Q在上底面圓周上運動時，記直線QA，QB與下底面所成角分別為α，β，則1tan【解答】解：A：由題可得DC∥AB，AB?面ABB1A1，DC?面ABB1A1，故DC∥面ABB1A1；又CC1∥BB1，BB1?面ABB1A1，CC1?面ABB1A1，故CC1∥面ABB1A1；DC∩CC1＝C，DC，CC1?面DCC1D1，故面DCC1D1∥面ABB1A1；又DM?面DCC1D1，故DM∥面ABB1A1；又DM?面DMN，面DMN∩面ABB1A1＝NR，故可得DM∥NR，故A正確；B：根據(jù)題意，DB1，MN共面，又M、N分別為CC1，AA1上的動點，故直線MN?面ACC1A1；不妨設(shè)直線DB1與平面ACC1A1的交點為P，若要滿足DB1與MN共面，則直線MN必過點P，又P為定點，故B正確；C：設(shè)△ABQ的周長為l，當(dāng)點Q與B1重合時，l=當(dāng)點Q與A1B1中點重合時，連接BQ，AQ：此時l＝AB+BQ+AQ＝AB+2BQ＝6+2(12AB)2顯然△ABO周長不為定值，故C錯誤；D：過O作底面垂線，垂足為E，且在下底面圓周上，即QE⊥面ABCD，連接BE，AE，則∠QBE，∠QAE分別是直線QA，QB與下底面所成的角，∴sinα=QEAQ，cosα=AEAQ，sinβ=QE則cosαsinα=AE則cos∵QE＝4，AB＝6，底面圓半徑為23，若E在AB對應(yīng)優(yōu)弧上時，∠AEB=π3，則cos∠AEB∴AE2+BE2﹣AE?BE＝36≥AE2+BE22，當(dāng)且僅當(dāng)AE＝BE＝6時，等號成立，此時若E在AB對應(yīng)劣弧上時，∠AEB=2π3，則cos∠∴AE2+BE2+AE?BE＝36≤3(AE2+BE2此時AE2+BE2≥24，綜上24≤AE2+BE2≤72，32故cos2αsin2α+cos故選：ABD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分不必要條件．【解答】解析：x2﹣1＞0?x＞1或x＜﹣1，故x＜﹣1?x2﹣1＞0，但x2﹣1＞0不能得出x＜﹣1，∴“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分不必要條件．故答案為：充分不必要14．（5分）已知某學(xué)校高二年級有男生500人、女生450人，調(diào)查該年級全部男、女學(xué)生是否喜歡徒步運動的等高堆積條形圖如圖，現(xiàn)從所有喜歡徒步的學(xué)生中按分層抽樣的方法抽取24人，則抽取的女生人數(shù)為9．【解答】解：由等高堆積條形圖可得喜歡徒步的男生有500×0.6＝300人，喜歡徒步的女生有450×0.4＝180人．故喜歡徒步的總?cè)藬?shù)為300+180＝480人．按分層抽樣的方法抽取24人，則抽取的女生人數(shù)為180480故答案為：9．15．（5分）在三棱錐D﹣ABC中，已知平面BCD⊥平面ABC，∠CBD＝90°，∠BCA＝45°，AB=22，BD＝2，則三棱錐D﹣ABC的外接球的表面積為20π【解答】解：如圖所示：三棱錐D﹣ABC中，已知平面BCD⊥平面ABC，∠CBD＝90°，所以BD⊥BC，故BD⊥平面ABC，故AB⊥BD，∠BCA＝45°，AB=22，BD＝在△ABC中，有2R=AB所以外接圓的半徑為2，由于平面BCD⊥平面ABC，且其交線為BC，所以BD⊥BC，故BD⊥平面ABC，所以三棱錐D﹣ABC的外接球的半徑為r=(故外接球的表面積S=4故答案為：20π．16．（5分）若數(shù)集S的子集滿足：至少含有2個元素，且任意兩個元素之差的絕對值大于1，則稱該子集為數(shù)集S的超子集．已知集合An={1，2，3，?，n}(n∈N【解答】解：集合{1，2，3，…，k，k+1，k+2}（k∈N*）的超子集可以分為兩類：第一類中不含有k+2，這類子集有ak+1個，第二類子集中含有k+2，這類子集為{1，2，3，．…，k}的超子集與{k+2}的并集，共有ak+k個，∴ak+2＝ak+1+ak+k，∵a3＝1，a4＝3，∴a5＝7，a6＝14，a7＝26，a8＝46，a9＝79．故答案為：79．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，平面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AB＝4，∠BAD＝60°，E為CD的中點，F(xiàn)為AD的中點．（1）證明：BD⊥平面PEF；（2）求三棱錐B﹣PCE的體積．【解答】（1）證明：連接AC，如圖所示，因為底面ABCD為菱形，所以AC⊥BD，又因為E為CD的中點，F(xiàn)為AD的中點，所以EF∥AC，所以BD⊥EF，因為PA＝PD，F(xiàn)為AD的中點．所以PF⊥AD，又因為平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，所以PF⊥平面ABCD，又因為BD?平面ABCD，所以PF⊥BD，且EF∩PF＝F，EF?平面PEF，PF?平面PEF，所以BD⊥平面PEF．（2）解：AB＝BC＝4，CE=12CD＝2，∠BCE＝所以S△BCE=12BC?CE?sin60°=12×4×又因為PA＝PD＝AD＝4，所以PF=32AD＝2所以三棱錐B﹣PCE的體積為：V三棱錐B﹣PCE＝V三棱錐P﹣BCE=13S△BCE?PF=13×218．（12分）已知函數(shù)f(（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝2，f(A)=【解答】解：（1）f(函數(shù)的最小正周期為T=由2kπ-π即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ（2）∵f(∴sin(2因為0＜所以-π所以2A∴A=又a＝2，由余弦定理可得b2+c2﹣a2＝2bccosA＝bc，即（b+c）2﹣2bc﹣4＝bc，則(b+c)∴b+c≤4，∴a+b+c≤6，所以△ABC周長最大值為6．19．（12分）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）解關(guān)于n的不等式：a1【解答】解：（1）由Sn=2an-1(n∈N*)知當(dāng)n≥2，有Sn二式相減得an＝2an﹣2an﹣1，即an＝2an﹣1，又S1＝2a1﹣1＝a1，解得a1＝1，所以數(shù)列{an}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以an＝2n﹣1；（2）結(jié)合（1）知原式＝1×Cn0+2×Cn1+22×Cn2+23由于3n隨著n的增大而增大，且36＝729＜2023，37＝2187＞2023，所以正整數(shù)n最大可取6，即原不等式的解集為{n|n≤6，n∈N*}．20．（12分）某籃球聯(lián)賽分為初賽和復(fù)賽兩個階段，組委會根據(jù)初賽成績進行第一階段排名（假設(shè)排名不重復(fù)），前六名的球隊直接進入復(fù)賽，第七、八名的球隊進行第一場復(fù)活賽，勝者進入復(fù)賽；第九、十名的球隊進行一場比賽，勝者與第一場復(fù)活賽的敗者進行第二場復(fù)活賽，本場的勝者成為進入復(fù)賽的最后一支球隊．假設(shè)各場比賽結(jié)果互不影響，且每場比賽必須分出勝負．（1）若初賽后，甲、乙、丙、丁四隊分別排在第七、八、九、十名，丁隊與甲、乙、丙隊比賽獲勝的概率分別是0.4，0.5，0.6，甲隊與乙隊比賽獲勝的概率是0.6，則丁隊進入復(fù)賽的概率是多少？（2）若甲，乙兩隊進入復(fù)賽，在復(fù)賽中，甲隊與乙隊需進行一場五局三勝制的比賽，只要其中一方獲勝三局，比賽結(jié)束、假設(shè)各局比賽結(jié)果互不影響．若乙隊每局比賽獲勝的概率為13，設(shè)比賽結(jié)束時乙隊獲勝的局數(shù)為X，求X【解答】解：（1）依題意，記丁隊進入復(fù)賽的事件為A，丁隊進入復(fù)賽需參加兩場比賽，第一場戰(zhàn)勝丙隊，記為事件A1，第二場戰(zhàn)勝甲乙比賽中的敗者，記為事件A2，甲隊?wèi)?zhàn)勝乙隊記為事件B，則P（A1）＝0.6，P（B）＝0.6，P（B）＝0.4，P(因此P(A2)=P(B)所以P（A）＝P（A1）P（A2）＝0.6×0.46＝0.276．（2）依題意，X的可能值為0，1，2，3，P(X=0)=P(X=2)=所以X的概率分布列為：X0123P82782716812781數(shù)學(xué)期望為E(21．（12分）設(shè)點F為拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點，過點F且斜率為5的直線與C交于A，B兩點S△AOB=2（1）求拋物線C的方程；（2）過點E（0，2）作兩條斜率分別為k1，k2的直線l1，l2，它們分別與拋物線C交于點P，Q和R，S．已知|EP|?|EQ|＝|ER|?|ES|，問：是否存在實數(shù)λ，使得k1+λk2為定值？若存在，求λ的值，若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點為F（0，p2直線AB的方程y=5x+由y=5x+p2x2=2py，得x2設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1+x2＝25p，x1x2＝﹣p2，所以|x1﹣x2|=(x1+所以S△AOB=12|OF||x1﹣x2|=12×p2×26p所以p＝2，所以拋物線C的方程為x2＝4y．（2）存在λ＝1，使得k1+λk2為定值，由題意可得直線l1的方程y＝k1x+2，直線l2的方程為y＝k2x+2，聯(lián)立y=k1x+2x2=4y，得x2﹣設(shè)P（x3，y3），Q（x4，y4），所以x3+x4＝4k1，x3x4＝﹣8，|EP|=1+k12|x3|，|EQ|=1+所以|EP|?|EQ|＝8（1+k設(shè)R（x5，y5），S（x6，y6），同理可得x5+x6＝4k2，x5x6＝﹣8，所以|ER|?|ES|＝8（1+k由|EP|?|EQ|＝|ER|?|ES|，得8（1+k12）＝8（即k12=k22，而所以k1+k2＝0，所以存在λ＝1，使得k1+λk2為定值0．22．（12分）已知函數(shù)f（x）＝sinπx﹣3（x﹣1）ln（x+1）﹣m．（1）當(dāng)m＝0時，求曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；（2）若f（x）在[0，1]上存在兩個零點x1，x2，證明：|x【解答】解：（1）已知f（x）＝sinπx﹣3（x﹣1）ln（x+1）﹣m，函數(shù)定義域為（﹣1，+∞），當(dāng)m＝0時，f（x）＝sinπx﹣3（x﹣1）ln（x+1），可得f'此時f′（0）＝π+3，又f（0）＝0，所以f（x）在x＝0處的切線方程為y﹣0＝（π+3）（x﹣0），即y＝（π+3）x；（2）證明：不妨設(shè)g（x）＝sinπx﹣3（x﹣1）ln（x+1），函數(shù)定義域為（﹣1，+∞），若f（x）在[0，1]上存在兩個零點x1，x2，此時g（x）＝m在[