河北省邯鄲市2024屆高三第三次調(diào)研考試考試數(shù)學試題（含答案解析）

河北省邯鄲市2024屆高三第三次調(diào)研考試考試數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合M=卜|正<2},N={x]-2<x<3},則McN=()

A.{x|0<x<4}B.{x|-2<x<4^

C.{x|0<x<3}D.{x|0<x<4}

2.若復數(shù)為純虛數(shù),則實數(shù)。=()

2+1

1-1

A.—2B.—C.一D.2

33

3.已知向量2=(取2)與3=(-2,-4)共線，則3H()

A.(1,10)B.(5,10)C.(5,2)D.(1,2)

/一；的展開式中，視的系數(shù)為()

4.在11

A.-192B.-6C.6D.192

5.已知等比數(shù)列｛?！埃母黜椈ゲ幌嗟?，且4%,3%成等差數(shù)列，貝！I2021_.3=

2。2020—。2022

()

A.1B.2C.3D.4

6.已知拋物線/=8x的焦點為RP(xj)為拋物線上一動點，點46,3),則△取尸周

長的最小值為()

A.13B.14C.15D.16

7.已知/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，/(x+2)=/(x),且“X)在［-1,0］上單調(diào)遞減，若

?=/(log345),^=/(-log58),c=則()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.b<c<a

TT

8.已知在四面體48c。中，AB=BC=CD=DA=BD,二面角N-BD-C的大小為§,

且點4B,C,。都在球。的球面上，W為棱/C上一點，N為棱BZ)的中點.若

Md=ACN>則幾=()

試卷第1頁，共4頁

二、多選題

22

9.已知雙曲線C:」.....-=1,則（）

2+63-2

A.X的取值范圍是（-6,3）B.C的焦點可在x軸上也可在了軸上

C.C的焦距為6D.C的離心率e的取值范圍為（1,3）

三、單選題

10.“阿基米德多面體”又稱“半正多面體”，與正多面體類似，它們也都是凸多面體，每

個面都是正多邊形，并且所有棱長也都相等，但不同之處在于阿基米德多面體的每個面

的形狀不全相同.有幾種阿基米德多面體可由正多面體進行“截角”得到如圖，正八面體

-尸的棱長為3,取各條棱的三等分點，截去六個角后得到一種阿基米德多面

體，則該阿基米德多面體（）

A.共有18個頂點B.共有36條棱

C.表面積為6+8。D.體積為8夜

四、多選題

11.已知。3c的三個內(nèi)角4,B,C的對邊分別是a,b,c,面積為一/卜

則下列說法正確的是（）

A.cos/cosC的取值范圍是

B.若。為邊/C的中點，且2。=1,則AASC的面積的最大值為由

3

C.若“BC是銳角三角形，則2的取值范圍是

D.若角3的平分線BE與邊/C相交于點E,且BE=6,貝Ua+4c的最小值為10

五、填空題

試卷第2頁，共4頁

12.寫出一個。(。＞0),使得函數(shù)"刈="3x+gj的圖象關于點(1,0)對稱，則。可

以為.

13.從分別寫有數(shù)字1,2,3,5,9的5張卡片中任取2張，設這2張卡片上的數(shù)字之和為X,

則E(X)=.

14.記min｛尤,y,z｝表示x,y,z中最小的數(shù).設。＞0,b＞0,貝!]min,a」」+361的最

tbaJ

大值為.

六、解答題

15.設數(shù)列｛七｝的前”項和為S"，已知邑=17,]§31是公差為3的等差數(shù)列.

(1)求｛%｝的通項公式；

(2)設。=」一,求數(shù)列出｝的前〃項和夕.

anan+l

16.某民營學校為增強實力與影響力，大力招攬名師、建設校園硬件設施，近5年該校

招生人數(shù)的數(shù)據(jù)如下表：

年份序號X12345

招生人數(shù)M千人0.811.31.72.2

(1)由表中數(shù)據(jù)可看出，可用線性回歸模型擬合了與x的關系，請用相關系數(shù)加以證明;

(2)求y關于X的回歸直線方程，并預測當年份序號為7時該校的招生人數(shù).

55_____

參考數(shù)據(jù)：￡%％=24.5,^(y,.-y)-=1.26,Vll6?3.55.

i=\z=l

參考公式：相關系數(shù)，=IJ,，回歸方程9=樂+。中斜率和截距的

VZ=1Z=1

最小二乘估計公式分別為5=J-----------,a=y-bx.

ta一可2

Z=1

17.在四棱錐P—/8C。中，平面尸CD_L平面48cD,AB//CD,ABIBC,

AB=2BC=2CD=4,PC=5,E為棱45的中點，且CE_LPE.

試卷第3頁，共4頁

p

A"EB

⑴求四棱錐尸-/BCD的高；

(2)求二面角8-尸的正弦值.

18.已知橢圓E:[+J=l(a>0,6>0)經(jīng)過尸-亞，-坐j,。11,|[兩點.

(1)求E的方程；

(2)若圓/+/=1的兩條相互垂直的切線4工均不與坐標軸垂直，且直線4,4分別與E

相交于點/,。和8,D,求四邊形48CD面積的最小值.

19.已知函數(shù)〃x)=x(e*-of),aeR.

(1)求曲線V=/(%)在點(0,7(0))處的切線方程.

(2)已知關于%的方程恰有4個不同的實數(shù)根石,%2,%3，X4，其中石>0,%2

(i)求。的取值范圍；

(ii)求證：再+%2>4.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.c

【分析】

化簡集合M結合交集的概念即可得解.

【詳解】

M=\X\4X<2^={x|O<x<4},N={x]-2<x<3},所以McN=國04x<3}.

故選：C.

2.C

【分析】

利用復數(shù)的四則運算化簡z,再利用復數(shù)的分類即可得解.

【詳解】

a+(u—l)i[Q+(Q——1)3cl—1a—2.

2+i(2+i)(2-i)55

[3?！?=01

又z為純虛數(shù)，所以c,解得。=不

[a-2^0A3

故選：C.

3.B

【分析】

根據(jù)向量共線的坐標公式建立方程，解得參數(shù)，結合向量的坐標運算，可得答案.

【詳解】

因為工/區(qū),所以(-4)xm=2x(-2),解得加=1,

所以3￡-3=3(1,2)-(-2,-4)=(5,10).

故選：B.

4.A

【分析】

利用二項展開式的通項公式求解即可.

【詳解】卜-￡|6的展開式的通項為乙=葭(-2)、3(64-，=(_2)屋38』，

令18-4r=-2,得r=5,

答案第1頁，共13頁

所以r的系數(shù)為-32x6=792.

X

故選：A.

5.D

【分析】

設等比數(shù)列｛%｝的公比為式qW±D，根據(jù)等差中項的性質(zhì)及等比數(shù)列通項公式得到方程求

出即可得解.

【詳解】

設等比數(shù)列｛g｝的公比為q(qN±1),

因為4%,；%，3a2成等差數(shù)列，所以4%+3a2=%，即4%+3%q=，

所以q2-3q—4=0,解得0=4或g=T(舍去)，

匚匕1、1“2021—“2023。2020P—。2022'QA

所以——=------z------=q=4.

“2020—。202242020-“2022

故選：D

6.A

【分析】

過戶及A作準線的垂線，利用拋物線定義把周長問題轉(zhuǎn)化為|尸。|+|尸國+以刊的最小值問題,

利用三點共線時距離和最小求解即可.

【詳解】由題知尸(2,0),準線方程為無=-2.如圖，過戶作準線的垂線，垂足為。，

過A作準線的垂線，垂足為3,

所以△尸/尸的周長=|產(chǎn)可+|"|+|">|PQ\+\PA\+\AF\>\AB\+\AF\=^+5=\3,

當尸為與拋物線的交點P時等號成立，即△取尸周長的最小值為13.

故選：A

答案第2頁，共13頁

7.B

【分析】首先得〃x)在工2］上單調(diào)遞減，進一步通過偶函數(shù)性質(zhì)以及/(x+2)=/(x)將自變

量都轉(zhuǎn)換到區(qū)間口,2］內(nèi)，然后比較分數(shù)指數(shù)幕以及對數(shù)的大小，結合函數(shù)單調(diào)性即可得解.

【詳解】因為是偶函數(shù)，/(x+2)=/(x),/(x)在［-1,0］上單調(diào)遞減，

所以/(x)在［1,2］上單調(diào)遞減.a=/(log345)=/(2+log35)=/(log35),

Z>=/(-log58)=/(log58),

44

因為53=125>34=81,83=512<54=625,所以5>3*8<51,

4

所以1<log58<-<log35<2,

所以/(log58)>/［￡|>/(log35),故“<c<b.

故選：B.

8.C

【分析】

根據(jù)題意和幾何關系，并在△/CN所在平面內(nèi)建立平面直角坐標系，確定點。,亂的位置和

坐標，即可求解.

［詳解】由題意知△48。與/XBCD均為等邊三角形,連接AN,CN,則ANLBD,CN1BD,

ZANC是二面角A-BD-C的平面角，

C

JT

所以N/NC=§,又易知AN=CN,所以△/金是等邊三角形.

設尸為△8CD的外心，。為CN的中點，連接則點O,P,。都在平面/CN內(nèi),

建立平面直角坐標系如圖.

設AN=NC=AC=2,則赤=2,20NP」,所以逋.

369

22

又AQ=退,所以。2=§/。，因為MO〃CN,易知CNn.C/,

答案第3頁，共13頁

10OM5

-從而"°=互，"二萬7=3

【點睛】

關鍵點點睛：本題的關鍵是結合幾何關系，建立如圖所示的平面直角坐標系，轉(zhuǎn)化為平面幾

何問題.

9.AC

【分析】

根據(jù)雙曲線方程的特征，易于求得-6<2<3,判斷方程中分母的符號即可判斷A,B項，計

算易得C項，先算出離心率的表達式，再根據(jù)2的范圍，即可確定e的范圍.

【詳解】

22

對于A,v—------二=1表示雙曲線，.?.(2+6)(3—彳)〉0,解得—6<%<3,故A正確;

4+63—4

對于B,由A項可得一6<X<3,故2+6>0,3-4>0,r.C的焦點只能在x軸上，故B錯誤;

對于C設C的半焦距為c(c>0),則/=2+6+3-；1=9,；.c=3,即焦距為設=的故C

正確;

3y____

對于D,離心率-6<2<3,「.0vJL+6<3,的取值范圍是(L+8),故D

錯誤.

故選：AC.

10.BD

【分析】

根據(jù)正八面體的幾何性質(zhì)，結合題意，利用正方形與正六邊形的面積公式以及正四棱錐的體

積公式，可得答案.

【詳解】

由圖可知該多面體有24個頂點，36條棱，故A錯誤，B正確;

答案第4頁，共13頁

該多面體的棱長為1,且表面由6個正方形和8個正六邊形組成，

故該多面體的表面積為6xl+8x6x；xlxlxsin60°=6+12j",故C錯誤;

正八面體E-/8CD-尸可分為兩個全等的正四面體，其棱長為3,

過E作EO_L平面/BCD于O,連接/O,如下圖：

因為￡O_L平面48CD,且CUu平面48cD,所以OE_LO/,

正方形/BCD中，由邊長為3,則對角線長為3?，則。4=逑，

2

在RtZX/OE中，￡0=J/工一干。2=封1,則￡/=20￡=3旨，

2

正八面體E-ABCD-F的體積為］X32X3A/2=9A/2,

3

切割掉6個棱長均為1的正四棱錐，減少的體積為6X,XFXY1=VL

32

所以該阿基米德多面體的體積為9底-亞=8直，故D正確.

故選：BD.

11.ABC

【分析】

7T

借助面積公式與余弦定理由題意可得2=§,對A：借助三角恒等變換公式可將其化為正弦

型函數(shù)，借助正弦型函數(shù)的單調(diào)性即可得；對B：借助向量數(shù)量積公式與基本不等式即可得;

對C：借助正弦定理可將其化為與角有關的函數(shù)，結合角度范圍即可得解；對D：借助等面

積法及基本不等式計算即可得.

【詳解】由題意知S=Lacsin5=@（a2+c2-〃），整理得a2+c?-/=sinB,

24I,V3

由余弦定理知一/=2accos8,，tan8=百，-.15e（0,7t）,:.B=g

對A,cos4cosc=cos4cos（里-^sinAcosA-Los2A

I3J22

答案第5頁，共13頁

1+cos24_1.

=—sin2y4-—sin2A-

44—26J4

?.外吟717兀,sin[2^4-11

,「.24—G1

6JT■?P

.?.cos/cosC的取值范圍為,故A正確;

對B,?.?。為邊ZC的中點，；.2麗=比+的,

貝U4=/+/+2BA?BC=片+/+23ac，

4

A?c<-,當且僅當〃=。時，等號成立,

是銳角三角形，*<c若，

tanCe*，+0°，,故C正確;

對于D,由題思得SAARE+S/\RCE=SMBC'

即一cxBExsin—+—6zxBExsin—=—cx(2xsin—,

262623

整理得a+c=ac,gpl+l=l,

ac

a+4c=(a+4c)f-+-1=5+駕->5+2-=9,

[ac)acVac

當且僅當a=2c時，等號成立，故D錯誤.

故選：ABC.

【點睛】

關鍵點點睛：本題考查三角形中的最值與范圍問題，主要思考方向有兩個，一個是借助余弦

定理得到邊之間的關系，從而通過基本不等式求解，一個是借助正弦定理將邊化為角，通過

三角形中角的關系將多個變量角化為單變量，借助函數(shù)性質(zhì)得到范圍或最值.

12.y（答案不唯一）

【分析】

利用正弦函數(shù)的對稱性與周期性得到關于。的方程，解之即可得解.

答案第6頁，共13頁

[詳解】因為/(x)=sin+蔓的圖象關于點(1,0)對稱,

所以sin(2G+K]=0,則2。+工=左兀(左EZ),^C(v=---(keZ),

\3y326

T7八山I、I715兀4兀

又G>0,所以G=—,---,...................

363

故答案為：J(答案不唯一).

13.8

【分析】

由題意分析離散型隨機變量X的所有取值，求出概率分布列計算期望即可.

【詳解】從分別寫有數(shù)字1,2,3,5,9的5張卡片中任取2張卡片的所有10種結果中，

(1,2),(1,3),(1,5),(1,9),(2,3),(2,5),(2,9),(3,5),(3,9),(5,9),

2張卡片上的數(shù)字之和分別為：3,4,5,6,7,8,10,11,12,14,

P(X=3)=P(X=4)=尸(X=5)=P(X=6)=P(X=7)=P(X=8)

=P(X=10)=P(X=11)=P(X=12)=尸(X=14)=[

所以E(X)=—(3+4+5+6+7+8+10+11+12+14)=8.

故答案為：8

14.2

【分析】分。是否大于《進行討論，由此即可簡化表達式，若則可以得到

bb

min|<7,-+3/)|<2,并且存在a=2,b=~,使得min[a_+3b]=2,,同理°>工時，我們

[aJ2[aJb

可以證明minH/+3b]<2,由此即可得解.

[baJ

【詳解】若則"VI,此時min，a,；」+3z4=min，a」+3z4,

b[baJ[aJ

因為?！补?36]=l+3仍W4,所以。和,+36中至少有一個小于等于2,

)a

所以min<|a,—H3Z)><2,又當〃=2,b=—時，a=—=—卜3b=2,

[aj2ba

所以min[a，]，1+3H的最大值為2.

[baj

若Q>」，貝！止匕時min|a，」+3/4=min|!」+3/4，

b[baJ[baJ

因為2(，+3或=4+3<4,所以《和4+3b中至少有一個小于2,

b\a)abba

答案第7頁，共13頁

所以min[a,，L+361<2.

[baJ

綜上，min[a,：」+36]的最大值為2.

[baJ

故答案為：2.

【點睛】關鍵點點睛：關鍵是分。是否大于《進行討論，結合不等式的性質(zhì)即可順利得解.

b

15.⑴?！?5〃+1

n

6(5〃+6)

【分析】（1）由題意首先得結合[/工]是公差為;的等差數(shù)列可求得

5x2+715〃+7j2

S“=W（5〃+7）,根據(jù)%,S"之間的關系即可進一步求解；

（2）首先得由裂項相消法即可求解.

515〃+15?+6）

【詳解】（1）因為$2=17,所以「三=1,

5x2+7

V1Myi

所以L^=l+5—2）X7=7,即S〃=7（5〃+7）.

5〃+7222

11w—1

當〃22時，〃〃=S及—S“_]=e（5〃+7）（5〃+2）="+l,

又q=H=；（5+7）=6適合上式，

所以%=5〃+l.

n(5〃+1)(5〃+6)515〃+15n+6,

…1cliiii

"5(61111165?+l5M+6

Ip1>n

5165/z+6J6(5w+6)

16.(1)證明見解析

(2)，=0.35x+0.35,2.8千人.

【分析】

（1）求出月，，代入求出相關系數(shù)即可；

（2）根據(jù)公式求出g,再求出&,則得到回歸直線方程，再代入數(shù)據(jù)預測即可.

答案第8頁，共13頁

11

【詳解】(1)由題意知亍=《(1+2+3+4+5)=3,7=-(0.8+1+1.3+1.7+2.2)=1.4,

5

-可=4+1+0+1+4=10,

Z=1

5___

￡x*-5xy

，=124.5-5x3x1.43.53.5

所以廠=0.986

VlOxl.26

￡(占一可2￡(乂一回)22.63.55

Z=1Z=1

因為，,與1非常接近，故可用線性回歸模型擬合了與X的關系.

5___

3.5八

(2)b=i=l---=0.35,a=y-bx=lA-0.35x3=0.35,

￡5(毛-亍).10

Z=1

所以V關于x的回歸直線方程為》=0.35x+0.35.

當尤=7時，^=0.35x7+0.35=2.8,

由此預測當年份序號為7時該校的招生人數(shù)為2.8千人.

17.(1)3

“、3扃

34

【分析】

(1)過A作BC的平行線，與CD的延長線交于點。，連接尸。，EO,通過證明3CL尸O,

來證明尸。為四棱錐尸-4BCZ)的高，從而求解；

(2)建立空間直角坐標系求解即可.

【詳解】(1)如圖，過A作3C的平行線，與CD的延長線交于點。，連接尸O,EO.

ABHCD,AB1BC,:.BCLCD,

???平面PCD_L平面/BCD,平面PCOPI平面=8Cu平面/BCD,

3c工平面PCD,

POc平面PCD,：.BCLPO,

???AB/1CD,AABIICO,■■AOIIBC,ABIBC,

，四邊形/BCD為矩形，，CO=48=4,

,??￡為棱48的中點，：.CE=OE=25，從而CE_LO￡,

又因為CE_LPE,PECOE=E,O￡u平面尸EO,PEu平面尸EO,

C￡_L平面尸???POu平面尸EO,CELPO,

答案第9頁，共13頁

BCS\CE=C,8Cu平面43C￡>,C￡u平面/BCD,

POl^-^ABCD.

；?P。為四棱錐尸-4BCD的高，即尸。=JPC2-CC)2=3,

由(1)知，OA,OC,0尸兩兩垂直，

，以。為坐標原點，。/,oc,。尸所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間

直角坐標系，

則尸(0,0,3),8(2,4,0),C(0,4,0),￡(2,2,0),

所以。=(2,0,0),PC=(0,4,-3),CE=(2,-2,0),

設加二(%,歹/)是平面尸3。的法向量,

m?PC=4y-3z=0,一

則_可取冽=(0,3,4),

應@=2x=0,

設〃=(p,q,r)是平面PCE的法向量,

n-PC=4a-3r=0,_

則_可取〃=(3,3,4),

n-CE^2p-2q=0,

—'一m?ri5734

所以cos(m,n)=———

\m\\n\34

所以二面角3-尸。-￡的正弦值為上叵

34

22

18.⑴土+匕=1.

43

240

(z2)-----.

-49

【分析】(1)依據(jù)橢圓經(jīng)過兩點，將點的坐標代入橢圓方程，待定系數(shù)法解方程即可;

答案第10頁，共13頁

(2)設其中一條的斜截式方程，首先由直線與圓相切，得出直線的斜率與截距關系；再設

而不求，用韋達定理表示出兩條直線與橢圓相交的弦長，再利用條件知兩弦垂直，故四邊形

/BCD的面積S=班利用弦長將面積表示成其中一條直線斜率的函數(shù)，利用函

數(shù)求最值.

【詳解】⑴因為E過點尸［-在-平，

?3

所以；2：，解得仁：

22

故E的方程為三+匕=1.

43

(2)由題知乙，的斜率存在且不為0.

設4:y=kx+m（kw0）.

因為4與圓/+/=1相切，所以‘2=1,得加2=1+左2.

聯(lián)立4與E的方程，可得(3+4/)x2+Skmx+4m2-12=0,

—8km4m2-12

設4（再,必）,C（%,%）9則$+&=

彳記’X1%2=774^,

所以2

\AC\=J1+42\xt-x2|=yjl+k

將/=i+左2代入，可得Mq=

3+4后2

用替換左，可得忸

3左2+4

i24（1+F）J（3F+2）（3+2F）

四邊形ABCD的面積S=-\AC\-\BD\=',心,、,，八、——

211113+4巴3r+4

令』+「則”劃，可得5=噌管24v6+r?

-i~~r-

12+——-

tt

c24w24、24240

I，可得=-

再令〃=,Ze（l,+oo）,貝（JME^T676~5249，

u25

答案第11頁，共13頁

即四邊形/BCD面積的最小值為丁.

49

19.⑴尸x

(2)(i)5，+"；(五)證明見解析

【分析】

(1)求出導數(shù)，繼而可得切線斜率為在x=0的導數(shù)值，由"0)=0,結合直線的點斜式，

可求出切線方程；

⑵⑴將問題轉(zhuǎn)化為k。與g(x)=均有三個不同交點的問題，利用導數(shù)可求得g(x)=4

XX

的單調(diào)性和最值，從而得到g(x)=[的圖象，采用數(shù)形結合的方式可確定的范圍；

X

再一/

(ii)設2>外>0，根據(jù)：物=0無；，e*=°尤；，采用取對數(shù)、兩式作差整理的方式可得出五一

通過分析法可知只需證1!1&<2(為一天)=工_2即可，令/=生,止(0,1),構造函數(shù)

工2再+々^-+14

x2

恤)=lnf利用導數(shù)可求得〃?)單調(diào)性，從而得至肥。)〈〃⑴=0,由此可證得結論.

【詳解】(1)/'(X)=e"+x(e"—2ax)=(x