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2025屆北京西城14中數(shù)學(xué)高一下期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.在等差數(shù)列an中,若a3+A.6 B.7 C.8 D.92.把正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起,當(dāng)以A,B,C,D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí),二面角的大小為()A.30° B.45° C.60° D.90°3.設(shè)向量,,若三點(diǎn)共線,則()A. B. C. D.24.在正四棱柱中,,則點(diǎn)到平面的距離是()A. B. C. D.5.如圖所示,4個(gè)散點(diǎn)圖中,不適合用線性回歸模型擬合其中兩個(gè)變量的是()A. B.C. D.6.已知向量,,若,則()A. B. C. D.7.某正弦型函數(shù)的圖像如圖,則該函數(shù)的解析式可以為().A. B.C. D.8.實(shí)數(shù)滿足,則的取值范圍為()A. B. C. D.9.已知實(shí)數(shù),滿足,,且,,成等比數(shù)列,則有()A.最大值 B.最大值 C.最小值 D.最小值10.()A. B. C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.若是等差數(shù)列,首項(xiàng),,,則使前項(xiàng)和最大的自然數(shù)是________.12.如圖,正方形中,分別為邊上點(diǎn),且,,則________.13.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),則______.14.已知,,與的夾角為鈍角,則的取值范圍是_____;15.已知向量,,若向量與垂直,則__________.16.67是等差數(shù)列-5,1,7,13,……中第項(xiàng),則___________________.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.已知的三個(gè)內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為,,,且滿足.(1)求角的大??;(2)若,,,求的長(zhǎng)18.已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊長(zhǎng),且(1)求角的大??;(2)若,求面積的最大值.19.如圖,某污水處理廠要在一個(gè)矩形污水處理池的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道(三條邊,是直角頂點(diǎn))來(lái)處理污水,管道越長(zhǎng),污水凈化效果越好.要求管道的接口是的中點(diǎn),分別落在線段上,已知米,米,記.(1)試將污水凈化管道的總長(zhǎng)度(即的周長(zhǎng))表示為的函數(shù),并求出定義域;(2)問(wèn)取何值時(shí),污水凈化效果最好?并求出此時(shí)管道的總長(zhǎng)度.20.?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.21.甲、乙兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)加工直徑為10cm的零件,為了檢驗(yàn)零件的質(zhì)量,從零件中各隨機(jī)抽取6件測(cè)量,測(cè)得數(shù)據(jù)如下(單位:mm):甲:99,100,98,100,100,103;乙:99,100,102,99,100,100.(1)分別計(jì)算上述兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果,說(shuō)明哪一臺(tái)機(jī)床加工的零件更符合要求.

參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

通過(guò)等差數(shù)列的性質(zhì)可得答案.【詳解】因?yàn)閍3+a9=17【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì),難度不大.2、D【解析】

當(dāng)平面ACD垂直于平面BCD時(shí)體積最大,得到答案.【詳解】取中點(diǎn),連接當(dāng)平面ACD垂直于平面BCD時(shí)等號(hào)成立.此時(shí)二面角為90°故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐體積的最大值,確定高的值是解題的關(guān)鍵.3、A【解析】

利用向量共線的坐標(biāo)表示可得,解方程即可.【詳解】三點(diǎn)共線,,又,,,解得.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了向量共線的坐標(biāo)表示,需掌握向量共線,坐標(biāo)滿足:,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

計(jì)算的面積,根據(jù)可得點(diǎn)到平面的距離.【詳解】中,,,∴的邊上的高為,∴,設(shè)到平面的距離為,則,又,∴,解得.故選A.【點(diǎn)睛】本題涉及點(diǎn)面距離的求法,點(diǎn)面距可以通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系來(lái)求得點(diǎn)面距離,或者尋找面面垂直,再直接過(guò)點(diǎn)做交線的垂線即可;當(dāng)點(diǎn)面距離不好求時(shí),也可以根據(jù)等積法把點(diǎn)到平面的距離歸結(jié)為一個(gè)容易求得的幾何體的體積.5、A【解析】

根據(jù)線性回歸模型建立方法,分析選項(xiàng),找出散點(diǎn)比較分散且無(wú)任何規(guī)律的選項(xiàng)可得答案.【詳解】根據(jù)題意,適合用線性回歸擬合其中兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖必須散點(diǎn)分布比較集中,且大體接近某一條直線,分析選項(xiàng)可得A選項(xiàng)的散點(diǎn)圖雜亂無(wú)章,最不符合條件.故選A【點(diǎn)睛】本題考查了統(tǒng)計(jì)案例散點(diǎn)圖,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

∵,∴.∴,即,∴,,故選B.【考點(diǎn)定位】向量的坐標(biāo)運(yùn)算7、C【解析】試題分析:由圖象可得最大值為2,則A=2,周期,∴∴,又,是五點(diǎn)法中的第一個(gè)點(diǎn),∴,∴把A,B排除,對(duì)于C:,故選C考點(diǎn):本題考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)點(diǎn)評(píng):解決本題的關(guān)鍵是確定的值8、A【解析】

畫出可行域,平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界的位置,由此求得目標(biāo)函數(shù)的取值范圍.【詳解】畫出可行域如下圖所示,平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界的位置,由圖可知目標(biāo)函數(shù)分別在出取的最小值和最大值,最小值為,最大值為,故的取值范圍是,故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線性規(guī)劃求最大值和最小值,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】試題分析:因?yàn)?,,成等比?shù)列,所以可得,有最小值,故選C.考點(diǎn):1、等比數(shù)列的性質(zhì);2、對(duì)數(shù)的運(yùn)算及基本不等式求最值.10、A【解析】

將根據(jù)誘導(dǎo)公式化為后,利用兩角和的正弦公式可得.【詳解】.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了誘導(dǎo)公式,考查了兩角和的正弦公式,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】

由已知條件推導(dǎo)出,,由此能求出使前項(xiàng)和成立的最大自然數(shù)的值.【詳解】解:等差數(shù)列,首項(xiàng),,,,.如若不然,,則,而,得,矛盾,故不可能.使前項(xiàng)和成立的最大自然數(shù)為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和取最大值時(shí)的值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的合理運(yùn)用.12、(或)【解析】

先設(shè),根據(jù)題意得到,再由兩角和的正切公式求出,得到,進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】設(shè),則所以,所以,因此.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換的應(yīng)用,熟記公式即可,屬于常考題型.13、【解析】由題意,則.14、【解析】

與的夾角為鈍角,即數(shù)量積小于0.【詳解】因?yàn)榕c的夾角為鈍角,所以與的數(shù)量積小于0且不平行.且所以【點(diǎn)睛】本題考查兩向量的夾角為鈍角的坐標(biāo)表示,一定注意數(shù)量積小于0包括平角.15、【解析】,所以,解得.16、13【解析】

根據(jù)數(shù)列寫出等差數(shù)列通項(xiàng)公式,再令算出即可.【詳解】由題意,首項(xiàng)為-5,公差為,則等差數(shù)列通項(xiàng)公式,令,則故答案為:13.【點(diǎn)睛】等差數(shù)列首項(xiàng)為公差為,則通項(xiàng)公式三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】

(1)利用正弦定理化簡(jiǎn)已知可得:,結(jié)合兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式可得:,問(wèn)題得解.(2)利用可得:,兩邊平方并結(jié)合已知及平面向量數(shù)量積的定義即可得解.【詳解】解:(1)因?yàn)?,所以由正弦定理可?即,因?yàn)?所以,,,故.(2)由已知得,所以,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用及兩角和的正弦公式,還考查了利用平面向量的數(shù)量積解決長(zhǎng)度問(wèn)題,考查轉(zhuǎn)化能力及計(jì)算能力,屬于中檔題.18、(1);(2).【解析】

(1)利用正弦定理、三角形內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式,特殊角的三角函數(shù)值,化簡(jiǎn)等式進(jìn)行求解即可(2)根據(jù)余弦定理,結(jié)合三角形面積公式、重要不等式進(jìn)行求解即可【詳解】(1)由正弦定理可知:,,,所以可得:,;(2)由余弦定理可知:,由可知:,所以,所以面積的最大值為【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、余弦定理、三角形面積公式,考查了重要不等式,考查了兩角和的正弦公式,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.19、(1),;(2)或時(shí),L取得最大值為米..【解析】

(1)解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式,再由L=EH+FH+EF得到污水凈化管道的長(zhǎng)度L的函數(shù)解析式,并注明θ的范圍.(2)設(shè)sinθ+cosθ=t,根據(jù)函數(shù)L=在[,]上是單調(diào)減函數(shù),可求得L的最大值.所以當(dāng)時(shí),即

時(shí),L取得最大值為米.【詳解】由題意可得,,,由于

,,所以,,,即,設(shè),則,由于,由于在上是單調(diào)減函數(shù),當(dāng)時(shí),即或時(shí),L取得最大值為米.【點(diǎn)睛】三角函數(shù)值域得不同求法:1.利用和的值域直接求2.把所有的三角函數(shù)式變換成的形式求值域3.通過(guò)換元,轉(zhuǎn)化成其他類型函數(shù)求值域20、(1)(2)【解析】

(1)當(dāng)時(shí),,利用得到通項(xiàng)公式,驗(yàn)證得到答案.(2)根據(jù)的正負(fù)將和分為兩種情況,和,分別計(jì)算得到答案.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.綜上所述.(2)當(dāng)時(shí),,所以,當(dāng)時(shí),,.綜上所述.【點(diǎn)睛】本題考查了利用求通項(xiàng)公式,數(shù)列的絕對(duì)值和,忽略時(shí)的情況是容易犯的錯(cuò)誤.21、(1)見(jiàn)解析;(2)乙機(jī)床加

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