安徽省阜陽(yáng)市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)測(cè)數(shù)學(xué)試卷（教師版）

阜陽(yáng)市2022～2023學(xué)年度高一年級(jí)教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)測(cè)數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解指數(shù)不等式化簡(jiǎn)集合B，再利用交集的定義求解作答.【詳解】解不等式，得，則，而，所以.故選：B2.已知，則的共軛復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用共軛復(fù)數(shù)概念直接求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：D3.若，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用角的關(guān)系，再結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，即可求解.【詳解】由得，則，因?yàn)椋?，所?故選：A4.中國(guó)古典數(shù)學(xué)先后經(jīng)歷了三次發(fā)展高潮，即兩漢時(shí)期、魏晉南北朝時(shí)期和宋元時(shí)期，并在宋元時(shí)期達(dá)到頂峰，而南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家秦九韶正是其中的代表人物．作為秦九韶的集大成之作，《數(shù)書九章》一書所承載的數(shù)學(xué)成就非同一般．可以說(shuō)，但凡是實(shí)際生活中需要運(yùn)用到數(shù)學(xué)知識(shí)的地方，《數(shù)書九章》一書皆有所涉及，例如“驗(yàn)米夾谷”問(wèn)題：今有谷3318石，抽樣取谷一把，數(shù)得168粒內(nèi)有秕谷22粒，則糧倉(cāng)內(nèi)的秕谷約為（）A.321石 B.166石 C.434石 D.623石【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的相應(yīng)特征作答.【詳解】設(shè)糧倉(cāng)內(nèi)的秕谷有石，依題意，，解得，所以糧倉(cāng)內(nèi)的秕谷約為434石.故選：C5.在中，角所對(duì)的邊分別為.已知，：是等腰三角形.則是的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理邊角互化思想結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】在中，若，由正弦定理，得，所以，所以，所以為等邊三角形，若命題成立，則是等腰三角形，即命題成立；反之，為等腰三角形，不一定為等邊三角形，如在中，，，則不成立，所以是：是等腰三角形的充分不必要條件.故選：B.6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）A.BC.不等式的解集為D.將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得函數(shù)的圖象在上單調(diào)遞增【答案】C【解析】【分析】由圖象求出的表達(dá)式后逐一驗(yàn)證選項(xiàng)即可.【詳解】由函數(shù)圖象可知，最小正周期為，所以，將點(diǎn)代入，得，又，所以，故，故A錯(cuò)誤；所以，故B錯(cuò)誤；令，則，所以，，解得，，所以不等式的解集為，故C正確；將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象，令，，解得，，令得，因?yàn)?，故D錯(cuò)誤.故選：C.7.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用誘導(dǎo)公式將的角度變小，再借助中間值和來(lái)比較大小即可.詳解】由已知得，，，由此可知且，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，所以，所以，故選：B.8.已知定義在上的函數(shù)，若函數(shù)是偶函數(shù)，且對(duì)任意，都有，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性以及單調(diào)性即可求解.【詳解】∵函數(shù)為偶函數(shù)，∴定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，∵對(duì)任意，都有，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且，∴，即，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分9.下面命題正確的是（）A.任意兩個(gè)單位向量都相等B.方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線C.若，且與的夾角為銳角，則D.若非零向量滿足，則的夾角為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)相等向量和共線向量的概念判斷選項(xiàng)A、B，根據(jù)向量夾角為銳角的坐標(biāo)表示求解參數(shù)范圍判斷C，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律判斷向量垂直即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，任意兩個(gè)單位向量的模相等，其方向未必相同，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，根據(jù)向量共線的概念知，方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線，故B正確；對(duì)于C，，且與的夾角為銳角，則，解得且，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，把兩邊平方整理得，，即，而為非零向量，故有，即的夾角為，故D正確.故選：BD10.已知函數(shù)，則以下結(jié)論正確的是（）A.的最小值為 B.在上單調(diào)遞增C.在上有且僅有1個(gè)零點(diǎn) D.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)絕對(duì)值定義分類討論，利用二倍角正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)，作出函數(shù)的圖象，由圖象觀察函數(shù)性質(zhì)，判斷各選項(xiàng).【詳解】函數(shù)，作出函數(shù)圖象如圖所示：由圖象可知當(dāng)時(shí)，的最小值為，選項(xiàng)A正確；由圖象可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)B正確；由圖象可知在上零點(diǎn)為共3個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由圖象可知的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：AB11.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為棱上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列說(shuō)法正確的是（）A.存在點(diǎn)，使得平面B.對(duì)于任意點(diǎn)，都有平面平面C.異面直線與所成角的余弦值的取值范圍是D.若平面，則平面截該正方體的截面圖形的周長(zhǎng)最大值為【答案】AB【解析】【分析】利用線面平行的判定判斷A；利用面面垂直的判定判斷B；求出異面直線夾角的余弦范圍判斷C；舉例說(shuō)明判斷D作答.【詳解】在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為棱上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），對(duì)于A，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，由，得，有，而平面，平面，因此平面，即平面，A正確；對(duì)于B，由平面，平面，得，又，平面，則平面，而平面，因此平面平面，B正確；對(duì)于C，由平面，平面，得，因?yàn)?，顯然是銳角，則是異面直線與所成的角，而，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，與選項(xiàng)B同理得平面，當(dāng)平面為平面時(shí)，平面截正方體所得截面圖形為矩形，其周長(zhǎng)為，D錯(cuò)誤.故選：AB12.已知函數(shù)（），則（）A.對(duì)任意的，函數(shù)都只有1個(gè)零點(diǎn)B當(dāng)時(shí)，對(duì)，都有成立C.當(dāng)時(shí)，方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根D.當(dāng)時(shí)，方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根【答案】BCD【解析】【分析】作出選項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，作出和的圖象，如圖所示：當(dāng)時(shí)，函數(shù)都有2個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則對(duì)，都有成立，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，令，則，解得，，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)解，當(dāng)時(shí)方程有兩個(gè)解，所以方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，方程的根為的根，令，作出，的函數(shù)圖象，可知函數(shù)，有三個(gè)交點(diǎn)，其中包括，即方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，故D正確，故選：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于求嵌套函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題的基本方法是利用換元，即令，然后不斷分析，層層遞進(jìn)，即可求解.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置13.已知與單位向量的夾角為，且，則_________．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律列式計(jì)算作答.【詳解】由與單位向量的夾角為，得，由，得，則，而，解得，所以.故答案為：314.已知一個(gè)樣本容量為7的樣本的平均數(shù)為5，方差為2，現(xiàn)在樣本中加入一個(gè)新數(shù)據(jù)5，則此時(shí)方差是______.【答案】【解析】【分析】利用平均數(shù)和方差的定義直接求解即可.【詳解】設(shè)這個(gè)樣本容量為7的樣本數(shù)據(jù)分別為則，所以，，所以.當(dāng)加入新數(shù)據(jù)5后，平均數(shù)，方差.故答案為：15.已知四點(diǎn)共圓，且，則外接圓的面積為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，利用余弦定理建立方程求得，利用正弦定理求得外接圓半徑，從而求出圓的面積.【詳解】由題意，四邊形的外接圓與外接圓相同，設(shè)，則，在中，由余弦定理得，中，由余弦定理得，所以，所以，所以，設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理可得，所以，所以外接圓的面積.故答案為：16.四棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，現(xiàn)已知其平面展開圖如圖所示，四邊形是矩形，，且，則球的表面積為_________．【答案】【解析】【分析】分別找出球心在底面和側(cè)面的射影，構(gòu)成矩形，利用幾何關(guān)系求出外接球的半徑，利用球的表面積公式即可求出外接球的表面積.【詳解】由平面展開圖還原成四棱錐，底面為矩形，則,展開圖中，四棱錐中,因?yàn)槠矫?,所以平面，因?yàn)槠矫?所以平面平面，連接交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為,連接,由已知得球心在底面的射影為點(diǎn),因?yàn)椤鳛榈妊切?，則為的中點(diǎn)，由余弦定理可知,則為銳角，且為最長(zhǎng)邊，所以△為銳角三角形，球心在平面的射影在處，所以四邊形為矩形，因?yàn)椋浴魍饨訄A半徑為,所以,連接即為四棱錐外接球半徑，因?yàn)?所以,所以,故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用側(cè)面外接圓圓心，從而確定球心位置，再根據(jù)正弦定理和勾股定理求出半徑長(zhǎng)，最后利用球的表面積公式即可得到答案.四、解答題：本題共6小題，第17題10分，其余每小題12分，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.在中，角所對(duì)的邊分別為，已知_________．①；②；③向量，向量，且．在這三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在橫線中，并解答．（注：若選擇多個(gè)不同條件分別作答，則按照第一個(gè)解答計(jì)分）（1）求角的大??；（2）若的面積為，求的最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）選①，利用正弦定理變形求解作答；選②，利用誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦求解作答；選③，利用向量共線的坐標(biāo)表示，正弦定理邊化角求解作答.（2）利用三角形面積公式、余弦定理，結(jié)合均值不等式求解作答.【小問(wèn)1詳解】選①，在中，由正弦定理得，又，因此，而，所以.選②，在中，由，得，而，，解得，所以.選③，向量，向量，且，則，在中，由正弦定理得，而，即，因此，又，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，則，由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.18.如圖，在四棱錐中，兩兩相互垂直，為的中點(diǎn)，且．（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面垂直的判定、性質(zhì)，面面垂直的判定推理作答.（2）確定四邊形的形狀，求出長(zhǎng)，結(jié)合（1）的信息求出錐體體積作答.【小問(wèn)1詳解】依題意，平面，則平面，而平面，則有，又，平面，因此平面，而平面，所以平面平面.【小問(wèn)2詳解】由，得四邊形為平行四邊形，而，四邊形為矩形，由（1）知，平面，而平面，則，，令，則，，解得，四邊形的面積，所以四棱錐的體積.19.為分析某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)，現(xiàn)從參與本次考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的成績(jī)作為樣本，得到以分組的樣本頻率分布直方圖，如圖所示．（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）試估計(jì)本次數(shù)學(xué)考試成績(jī)的平均數(shù)和第50百分位數(shù)；（3）從樣本分?jǐn)?shù)在，的兩組學(xué)生中，用分層抽樣的方法抽取5名學(xué)生，再?gòu)倪@5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，求選出的2名學(xué)生中恰有1人成績(jī)?cè)谥械母怕剩敬鸢浮浚?）；（2）107.4，105.7；（3）.【解析】【分析】（1）利用頻率分布表中各小矩形面積和為1計(jì)算作答.（2）利用頻率分布表估計(jì)平均數(shù)及第50百分位數(shù)作答.（3）求出給定的兩個(gè)區(qū)間內(nèi)的人數(shù)，再利用列舉法求出概率作答.【小問(wèn)1詳解】由頻率分布表知，成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率依次為，由，解得，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，第50百分位數(shù)，則有，解得，所以本次數(shù)學(xué)考試成績(jī)的平均數(shù)為107.4，第50百分位數(shù)105.7.【小問(wèn)3詳解】分?jǐn)?shù)在，的兩組學(xué)生的人數(shù)比為，因此用分層抽樣的方法抽取的5名學(xué)生中，分?jǐn)?shù)在內(nèi)的學(xué)生有4人，記為，分?jǐn)?shù)在內(nèi)的學(xué)生有1人，記為，從5名學(xué)生中隨機(jī)選取2人的結(jié)果有，共10個(gè)，選出的2名學(xué)生中恰有1人成績(jī)?cè)趦?nèi)的結(jié)果有，共4個(gè)，所以選出的2名學(xué)生中恰有1人成績(jī)?cè)谥械母怕蕿?20.已知，函數(shù)．（1）求圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)及其在內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)，計(jì)算的值．【答案】（1）,Z，;（2）【解析】【分析】（1）利用向量的數(shù)量積運(yùn)算以及三角恒等變形求得函數(shù)解析式，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得對(duì)稱中心以及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）利用函數(shù)的周期性求解.【小問(wèn)1詳解】由已知得令Z，解得Z，所以圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)為,Z，令Z,解得，Z，所以在內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】，該函數(shù)周期為，所以，，，，，因?yàn)楹瘮?shù)周期為，且，所以，而，所以.21.為打造美好生態(tài)校園，緩解學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力，培養(yǎng)學(xué)生的責(zé)任和擔(dān)當(dāng)意識(shí)，某校北校區(qū)擬開設(shè)飼養(yǎng)動(dòng)物的課程.校園內(nèi)有一塊空地（如圖所示），其中，.學(xué)校擬在空地中間規(guī)劃動(dòng)物休息區(qū)域，活動(dòng)區(qū)域，且，現(xiàn)需要在的周圍安裝防護(hù)網(wǎng).（1）當(dāng)時(shí)，求防護(hù)網(wǎng)的總長(zhǎng)度；（2）為了節(jié)約成本投入，要求動(dòng)物休息區(qū)域盡可能小，問(wèn)如何規(guī)劃，能讓的面積最??？最小面積是多少？