2024年北師大版八年級(jí)下冊(cè)全冊(cè)知識(shí)點(diǎn)

2024年北師大版八年級(jí)下冊(cè)全冊(cè)知識(shí)點(diǎn)匯

總（精品）

第一章一元一次不等式和一元一次不等式組

一.不等關(guān)系

※上一般地，用符號(hào)（或“w"）,（或）連接的式子

叫做丕等式.

02.要區(qū)別方程與不等式：方程表示的是相等的關(guān)系;不等式表示

的是不相等的關(guān)系.

X3.準(zhǔn)確“翻譯”不等式,正確理解“非負(fù)數(shù)”、“不小于”等數(shù)學(xué)術(shù)

語(yǔ).

非負(fù)數(shù)<===>大于等于0（20）<===>0和正數(shù)<===>不小于

0

非正數(shù)<===>小于等于0（W0）<===>0和負(fù)數(shù)<===>不大于

0

二.不等式的基本性質(zhì)

※上掌握不等式的基本性質(zhì)，并會(huì)靈活運(yùn)用：

（1）不等式的兩邊加上（或減去）同一個(gè)整式,不等號(hào)的方向不變，

即：

如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c.

（2）不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)的方向不變,

即

如果a>b,并且c>0,那么ac>bc,—

cc

（3）不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)的方向改變,

即：

如果a>b,并且c<0,那么ac〈bc,-<-

cc

X2.比較大?。海╝、b分別表示兩個(gè)實(shí)數(shù)或整式）

一般地:如果a>b,那么a-b是正數(shù);反過(guò)來(lái),如果a-b是正數(shù),那

么a>b;

如果a=b,那么a-b等于0;反過(guò)來(lái),如果a-b等于0,那么

a=b;

如果a<b,那么a-b是負(fù)數(shù);反過(guò)來(lái),如果a-b是正數(shù),那

么a<b;

即：a>b<===>a-b>0a=b<===>a-b=0a<b<===>

a-b<0

（由此可見(jiàn),要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要考察它們的差就可以了.

三.不等式的解集：

※上能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做丕等式的解;一個(gè)不等式的

所有解,組成這個(gè)不等式的解集;求不等式的解集的過(guò)程，叫做解丕等

式.

X2.不等式的解可以有無(wú)數(shù)多個(gè),一般是在某個(gè)范圍內(nèi)的所有數(shù),與

方程的解不同.

03.不等式的解集在數(shù)軸上的表示：

用數(shù)軸表示不等式的解集時(shí),要確定邊界和方向：

①邊界:有等號(hào)的是實(shí)心圓圈，無(wú)等號(hào)的是空心圓圈；

②方向：大向右,小向左

四.一元一次不等式：

※上只含有一個(gè)未知數(shù),且含未知數(shù)的式子是整式,未知數(shù)的次數(shù)是

1.像這樣的不等式叫做二元二次丕等式.

X2.解一元一次不等式的過(guò)程與解一元一次方程類似,特別要注意，

當(dāng)不等式兩邊都乘以一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí),不等號(hào)要改變方向.

X3.解一元一次不等式的步驟：

①去分母；②去括號(hào)；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；

⑤系數(shù)化為1（不等號(hào)的改變問(wèn)題）

※生一元一次不等式基本情形為ax>b（或ax<b）

①當(dāng)a>0時(shí)，解為％>2；②當(dāng)a=0時(shí),且b<0,則x取一切實(shí)數(shù);

a

當(dāng)a=0時(shí)，且b20,則無(wú)解;③當(dāng)a〈0時(shí)，解為x<d

a

05.不等式應(yīng)用的探索（利用不等式解決實(shí)際問(wèn)題）

列不等式解應(yīng)用題基本步驟與列方程解應(yīng)用題相類似，即：

①審：認(rèn)真審題,找出題中的不等關(guān)系，要抓住題中的關(guān)鍵字眼,

如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含義；

②設(shè)：設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù);③列：根據(jù)題中的不等關(guān)系，列出不

等式；

④解：解出所列的不等式的解集;⑤答：寫出答案，并檢驗(yàn)答案

是否符合題意.

五.一元一次不等式與一次函數(shù)

六.一元一次不等式組

※上定義：由含有一個(gè)相同未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式組成的不

等式組,叫做二元二次丕等式組.

X2.一元一次不等式組中各個(gè)不等式解集的公共部分叫做不等式組

的解集.如果這些不等式的解集無(wú)公共部分,就說(shuō)這個(gè)不等式組

無(wú)解.

幾個(gè)不等式解集的公共部分,通常是利用數(shù)軸來(lái)確定.

派3.解一元一次不等式組的步驟：

⑴分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集；

(2)利用數(shù)軸求出這些解集的公共部分，即這個(gè)不等式組的解集.

兩個(gè)一元一次不等式組的解集的四種情況(a、b為實(shí)數(shù),且a<b)

一元一次不敘述語(yǔ)言表

解集圖示

等式達(dá)

x>a

x>b_____a,_______Jb_____>\兩大取較大

x>b

x<a

Vx>a-------J--------1>兩小取小

x<ba-b-

大小交叉中

x>a1J

V--------------->

a<x<ba-b-

x<b間找

在大小分離

x<a-------J------->

V無(wú)解a-b/

x>b沒(méi)有解

(是空集)

第二章分解因式

一.分解因式

※上把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式,這種變形叫做把這仝

多項(xiàng)式分解因式.

X2.因式分解與整式乘法是互逆關(guān)系.

因式分解與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系：

(1)整式乘法是把幾個(gè)整式相乘，化為一個(gè)多項(xiàng)式；

(2)因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)因式相乘.

二.提公共因式法

※上如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式,那么就可以把這個(gè)公因式

提出來(lái),從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式.這種分解因式

的方法叫做提公因式法..

如：ab+ac=a(b+c)

X2.概念內(nèi)涵：

(1)因式分解的最后結(jié)果應(yīng)當(dāng)是“積”；

(2)公因式可能是單項(xiàng)式,也可能是多項(xiàng)式；

(3)提公因式法的理論依據(jù)是乘法對(duì)加法的分配律，即：

ma+mb-me=m(a+b-c)

X3.易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)評(píng)：

(1)注意項(xiàng)的符號(hào)與幕指數(shù)是否搞錯(cuò)；(2)公因式是否提“干凈”；

⑶多項(xiàng)式中某一項(xiàng)恰為公因式,提出后,括號(hào)中這一項(xiàng)為+1,不

漏掉.

三.運(yùn)用公式法

※上如果把乘法公式反過(guò)來(lái),就可以用來(lái)把某些多項(xiàng)式分解因式.這

種分解因式的方法叫做運(yùn)用公式法..

X2.主要公式：(1)平方差公式：tz2-b"=(a+b\a-b)

(2)完全平方公式：a~+2ab+b~=(a+b)2

a2-2ab+b~=(a-bp

03.易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)評(píng)：因式分解要分解到底.如--/=(%2+就

沒(méi)有分解到底.

※生運(yùn)用公式法：

(1)平方差公式：

①應(yīng)是二項(xiàng)式或視作二項(xiàng)式的多項(xiàng)式；

②二項(xiàng)式的每項(xiàng)(不含符號(hào))都是一個(gè)單項(xiàng)式(或多項(xiàng)式)的

平方;③二項(xiàng)是異號(hào).

(2)完全平方公式：

①應(yīng)是三項(xiàng)式;②其中兩項(xiàng)同號(hào),且各為一整式的平方；

③還有一項(xiàng)可正負(fù)，且它是前兩項(xiàng)幕的底數(shù)乘積的2倍.

X5.因式分解的思路與解題步驟：

(1)先看各項(xiàng)有沒(méi)有公因式,若有,則先提取公因式；

(2)再看能否使用公式法；

(3)用分組分解法，即通過(guò)分組后提取各組公因式或運(yùn)用公式法

來(lái)達(dá)到分解的目的;

(4)因式分解的最后結(jié)果必須是幾個(gè)整式的乘積,否則不是因式

分解；

(5)因式分解的結(jié)果必須進(jìn)行到每個(gè)因式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能

再分解為止.

四.分組分解法：

X1.分組分解法:利用分組來(lái)分解因式的方法叫做分組分解法..

如：am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+ri)=(a+b)(m+n)

X2.概念內(nèi)涵：

分組分解法的關(guān)鍵是如何分組,要嘗試通過(guò)分組后是否有公因式

可提,并且可繼續(xù)分解,分組后是否可利用公式法繼續(xù)分解因式.

X3.注意：分組時(shí)要注意符號(hào)的變化.

五.十字相乘法：

XI.對(duì)于二次三項(xiàng)式4+bx+c,將a和c分別分解成兩個(gè)因數(shù)的乘積,

a=al-a2,c=q-c2,且滿足A=“倫,往往寫成的與的形

式,將二次三項(xiàng)式進(jìn)行分解.

2

如：ax+bx+c=+cx)(a2x+c2)

X2.二次三項(xiàng)式V+?x+q的分解：

p=a+bq=ab1x/ax2+px+q=(x+a)(x+b)

1人b'

X3.規(guī)律內(nèi)涵：

(1)理解:把好+px+q分解因式時(shí)，如果常數(shù)項(xiàng)q是正數(shù),那么把它

分解成兩個(gè)同號(hào)因數(shù),它們的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)P的符號(hào)相

同.

(2)如果常數(shù)項(xiàng)q是負(fù)數(shù),那么把它分解成兩個(gè)異號(hào)因數(shù),其中絕

對(duì)值較大的因數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)P的符號(hào)相同,對(duì)于分解的兩個(gè)

因數(shù),還要看它們的和是不是等于一次項(xiàng)系數(shù)p.

※生易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)評(píng)：

(1)十字相乘法在對(duì)系數(shù)分解時(shí)易出錯(cuò)；

(2)分解的結(jié)果與原式不等,這時(shí)通常采用多項(xiàng)式乘法還原后檢

驗(yàn)分解的是否正確.

第三章分式

「分式

※上兩個(gè)整數(shù)不能整除時(shí)，出現(xiàn)了分?jǐn)?shù);類似地，當(dāng)兩個(gè)整式不能整除

時(shí)，就出現(xiàn)了分式.

整式A除以整式B,可以表示成義的形式.如果除式B中含有字母,

B

那么稱金為分式,對(duì)于任意一個(gè)分式,分母都不能為零.

B

X2.整式和分式統(tǒng)稱為有理式，即有：有理式三

分式

X3.進(jìn)行分?jǐn)?shù)的化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí),常要進(jìn)行約分和通分,其主要依據(jù)是

分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：

分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個(gè)不等于零的整式,分式

的值不變.

A_AxMAA^M

(MHO)

B-BxMB-B+M

※生一個(gè)分式的分子、分母有公因式時(shí),可以運(yùn)用分式的基本性質(zhì)，

把這個(gè)分式的分子、分母同時(shí)除以它的們的公因式,也就是把分

子、分母的公因式約去,這叫做約分」

二.分式的乘除法

※上分式乘以分式,用分子的積做積的分子,分母的積做積的分母；

分式除以以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相

乘.

ACACACADAD

即Bn：-----=----,——+——=-----=-----

BDBDBDBCBC

X2.分式乘方，把分子、分母分別乘方.

逆向運(yùn)用*=,當(dāng)n為整數(shù)時(shí),仍然有f=當(dāng)成立.

Bn[Bj[B)Bn

X3.分子與分母沒(méi)有公因式的分式，叫做最簡(jiǎn)分式.

三.分式的加減法

※上分式與分?jǐn)?shù)類似,也可以通分.根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異

分母的分式分別化成與原來(lái)的分式相等的同分母的分式，叫做分

式的通分.

X2.分式的加減法：

分式的加減法與分?jǐn)?shù)的加減法一樣，分為同分母的分式相加減與異

分母的分式相加減.

⑴同分母的分式相加減,分母不變，把分子相加減;

上述法則用式子表示是：金±二=4孚

CCC

⑵異號(hào)分母的分式相加減,先通分,變?yōu)橥帜傅姆质?然后再加減;

上述法則用式子表示是:-±-=—+—=小變

BDBDBDBD

X3.概念內(nèi)涵：

通分的關(guān)鍵是確定最簡(jiǎn)分母,其方法如下:最簡(jiǎn)公分母的系數(shù),取

各分母系數(shù)的最小公倍數(shù);最簡(jiǎn)公分母的字母,取各分母所有字

母的最高次幕的積,如果分母是多項(xiàng)式,則首先對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因

式分解.

四.分式方程

※上解分式方程的一般步驟：

①在方程的兩邊都乘最簡(jiǎn)公分母,約去分母，化成整式方程;②

解這個(gè)整式方程；

③把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母,看結(jié)果是不是零，使最簡(jiǎn)公

母為零的根是原方程的增根,必須舍去.

X2.列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：

①審清題意;②設(shè)未知數(shù);③根據(jù)題意找相等關(guān)系,列出（分式）

方程；

④解方程，并驗(yàn)根;⑤寫出答案.

第四章相似圖形

一.線段的比

派1.如果選用同一個(gè)長(zhǎng)度單位量得兩條線段AB,CD的長(zhǎng)度分別是m、

n,那么就說(shuō)這兩條線段的比AB:CD=m:n,或?qū)懗闪x=%.

Bn

X2.四條線段a、b、c、d中，如果a與b的比等于c與d的比，即

bd

那么這四條線段a、b、c、d叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段.

X3.注意點(diǎn)：

①a:b=k,說(shuō)明a是b的k倍；

②由于線段a、b的長(zhǎng)度都是正數(shù)，所以k是正數(shù)；

③比與所選線段的長(zhǎng)度單位無(wú)關(guān)，求出時(shí)兩條線段的長(zhǎng)度單位要一

致；

④除了a=b之外，a:bWb:a,q與白互為倒數(shù)；.一一

ba

ACB

⑤比例的基本性質(zhì):若/=則ad=bc;若ad=bc,則,m圖1

baba

二.黃金分割

※上如圖1,點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果處=變，那

ABAC

么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分害U，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn),AC與

AB的比叫做黃金比.4°：筋=止二1土0.618：1

2

X2.黃金分割點(diǎn)是最優(yōu)美、最令人賞心悅目的點(diǎn).

四.相似多邊形

ai.一般地，形狀相同的圖形稱為相似圖形.

X2.對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似型邊形..相似

多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似上匕.

五.相似三角形

※上在相似多邊形中，最為簡(jiǎn)簡(jiǎn)單的就是相似三角形.

X2.對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似.三角.形..相似三角

形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.

X3.全等三角形是相似三角的特例，這時(shí)相似比等于1.注意:證兩

個(gè)相似三角形,與證兩個(gè)全等三角形一樣,應(yīng)把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的

字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上.

※生相似三角形對(duì)應(yīng)高的比,對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都

等于相似比.

X5.相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比.

X6.相似三角形面積的比等于相似比的平方.

六.探索三角形相似的條件

※上相似三角形的判定方法：

一般三角形直角三角形

基本定理：平行于三角形的一邊且和其他兩邊（或兩邊的延

長(zhǎng)線）相交的直線，所截得的三角形與原三角形相

似.

①兩角對(duì)應(yīng)相等；①一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等；

②兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相②兩條邊對(duì)應(yīng)成比例：

等；a兩直角邊對(duì)應(yīng)成比例；

③三邊對(duì)應(yīng)成比例.b.斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)成

比例.

X2.平行線分線段成比例定理:三條平行

線截兩條直線,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

如圖2,乙〃乙〃"則建嚕

X3.平行于三角形一邊的直線與其他兩

邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交,所構(gòu)成的三角

形與原三角形相似.

八.相似的多邊形的性質(zhì)

※相似多邊形的周長(zhǎng)等于相似比;面積比等于相似比的平方.

九.圖形的放大與縮小

※上如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形,而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都

經(jīng)過(guò)同一點(diǎn),那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形；這個(gè)點(diǎn)叫做位似生

心；這時(shí)的相似比又稱為位似比.

派2.位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似

比.

◎3.位似變換：

①變換后的圖形,不僅與原圖相似,而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于

一點(diǎn)，并且對(duì)應(yīng)點(diǎn)到這一交點(diǎn)的距離成比例.像這種特殊的相

似變換叫做位似變換.這個(gè)交點(diǎn)叫做位似生心.

②一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)位似變換后得到另一個(gè)圖形,這兩個(gè)圖形就叫

做位^■以形.

③利用位似的方法,可以把一個(gè)圖形放大或縮小.

第五章數(shù)據(jù)的收集與處理

一.每周干家務(wù)活的時(shí)間

※上所要考察的對(duì)象的全體叫做總體；

把組成總體的每一個(gè)考察對(duì)象叫做個(gè)體；

從總體中取出的一部分個(gè)體叫做這個(gè)總體的一個(gè)樣本.

X2.為一特定目的而對(duì)所有考察對(duì)象作的全面調(diào)查叫做普查；

為一特定目的而對(duì)部分考察對(duì)象作的調(diào)