2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-計(jì)數(shù)原理【新教材新高考】

【新教材新高考】專題十四計(jì)數(shù)原理一一2022屆高考數(shù)學(xué)一輪

復(fù)習(xí)考點(diǎn)剖析精創(chuàng)專題卷

考點(diǎn)39：排列與組合（1,3,5,8,9,11,14,16,17,19,22題）

考點(diǎn)40：二項(xiàng)式定理（2,4,6,7,10,12,13,15,18,20,21題）

考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分

說明：請(qǐng)將選擇題正確答案填寫在答題卡上，主觀題寫在答題紙上

第I卷（選擇題）

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。）

1.有5名同學(xué)站成一排拍畢業(yè)紀(jì)念照，其中甲必須站在正中間，并且乙、丙兩名同學(xué)不能相

鄰，則不同的站法有（）

A.8種B.16種C.32種D.48種

2.已知筮+吃的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為32,則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）

A.5B.10C.20D.1

3.將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每

名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）

A.60種B.120種C.240種D.480種

4.若的展開式中，尤4y3的系數(shù)為50,則"2=（）

A.-3C.2D.3

5.隨著新冠疫苗的成功研發(fā)，某地區(qū)開始對(duì)重點(diǎn)人群進(jìn)行新冠疫苗接種.為了配合社區(qū)對(duì)新冠

疫苗接種人員講解注意事項(xiàng)，某醫(yī)科大學(xué)共派出4名男志愿者和2名女志愿者參與該地區(qū)志

愿服務(wù).已知6名志愿者將會(huì)被分為2組派往該地區(qū)的2個(gè)不同的社區(qū)，且女志愿者不單獨(dú)

成組.若每組不超過4人，則不同的分配方法種數(shù)為（）

A.32B.40C.48D.56

）

6.已知（1-尤5+（l+x）7-ax+a尤2尤3+。尤5尤6彳7,則a+a+a+a的

012345671357

值為（）

A.24B.-48C.-32D.72

7.已知（2+ax）（l+x）5的展開式中位的系數(shù)為25,則展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為（）

A.-99B.97C.96D.-98

8.某學(xué)習(xí)小組有男、女生共8人，現(xiàn)從男生中選2人，女生中選1人分別去做3種不同的工

作，共有90種不同的選法，則男、女生人數(shù)分別為（）

A.2,6B.3,5C.5,3D.6,2

二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分。）

9.有13名醫(yī)生，其中女醫(yī)生6人，現(xiàn)從中抽調(diào)5名醫(yī)生組成醫(yī)療小組前往湖北疫區(qū)若醫(yī)療

小組至少有2名男醫(yī)生，同時(shí)至多有3名女醫(yī)生，設(shè)不同的選派方法種數(shù)為N,則下列能表

示N的算式是（）

A.C5—CiB.C2c3+C3c2+C4cl+C5

C.C5-C1C4-C5D.C2c3

13766711

10.關(guān)于二項(xiàng)式（3x-2）6的說法正確的是（）

A.展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為64B.展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)

C.展開式中所有偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為32D.展開式中此項(xiàng)的系數(shù)為-448

11.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)和一名老師站成一排合影留念若老師站在正中間，則下列選項(xiàng)

中恰有8種不同站法的是（）

A.甲、乙都不與老師相鄰B.甲、乙都與老師相鄰

C.甲與老師不相鄰，乙與老師相鄰D.甲、乙相鄰

12.已知w為滿足S=a+O+C2+C3+…+C27（63）能被9整除的正整數(shù)a的最小值，則

27272727

的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為（）

A.第6項(xiàng)B.第7項(xiàng)C.第8項(xiàng)D.第9項(xiàng)

第n卷（非選擇題）

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。）

13.在（2x+1）15的展開式中，含爐的項(xiàng)是展開式的第項(xiàng).

14.由于受到疫情影響，某校決定實(shí)施學(xué)生佩戴口罩、間隔而坐的策略.已知一排有9個(gè)座位,

每?jī)擅瑢W(xué)之間至少間隔1個(gè)空位.若一排要坐4名同學(xué)，則不同的坐法有種.

的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為____________.

16.我國是由56個(gè)民族組成的統(tǒng)一的多民族國家，每個(gè)民族都有自己獨(dú)特的民俗風(fēng)情.某校高

二年級(jí)的歷史研學(xué)課，歷史老師準(zhǔn)備帶8個(gè)班去湖南的鳳凰古城、常德桃花源、通道皇都侗

寨、永順老司城、芙蓉古鎮(zhèn)進(jìn)行歷史與民俗風(fēng)情研學(xué)要求每個(gè)景點(diǎn)至少有1個(gè)班去，且每

個(gè)景點(diǎn)至多有2個(gè)班去，則不同的分法種數(shù)是.

四、解答題（本題共6小題，共70分。）

17.（10分）盒子內(nèi)有3個(gè)不同的黑球，5個(gè)不同的白球.

（1）將它們?nèi)咳〕雠懦梢涣校?個(gè)黑球兩兩不相鄰的排法有多少種？

（2）若取到一個(gè)白球記2分，取到一個(gè)黑球記1分，從中任取5個(gè)球，使總分不少于7分

的取法有多少種？

18.（12分）已知（1+AWX＞。=a+ax+aX2---\-axio,其中加4o,且。+14a=0.

0121063

（1）求實(shí)數(shù)相的值；

（2）求a+a+a+a+a-

246810

19.（12分）在高三一班元旦晚會(huì)上，有6個(gè)演唱節(jié)目，4個(gè)舞蹈節(jié)目.

（1）當(dāng)4個(gè)舞蹈節(jié)目排在一起時(shí)，有多少種不同的節(jié)目安排順序？

（2）當(dāng)要求每2個(gè)舞蹈節(jié)目之間至少安排1個(gè)演唱節(jié)目時(shí)，有多少種不同的節(jié)目安排順序？

（3）若已定好節(jié)目單，后來情況有變，需加上詩歌朗誦和快板2個(gè)節(jié)目，但不能改變?cè)瓉?/p>

節(jié)目的相對(duì)順序，有多少種不同的節(jié)目演出順序？

20.（12分）在［x-—CieN*）的展開式中.

（1）若所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；

（2）若前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值成等差數(shù)列，求展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和

21.（12分）已知二項(xiàng)式（1+J%）〃展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64.

⑴求〃的值；

（2）若展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為a+6右，其中為有理數(shù)，求。和6的值.

22.（12分）6人坐在一排10個(gè)座位上，問:

(1)空位不相鄰的坐法有多少種？

(2)4個(gè)空位只有3個(gè)相鄰的坐法有多少種？

(3)4個(gè)空位至多有2個(gè)相鄰的坐法有多少種?

答案以及解析

1.答案：B

解析：首先將甲排在中間，因?yàn)橐摇⒈麅擅瑢W(xué)不能相鄰，所以兩人必須站在甲的兩側(cè),

選出一人排在左側(cè)，有CiAi種方法，

22

另外一人排在右側(cè)，有Ai種方法，

2

余下兩人排在余下的兩個(gè)空中，有A2種方法，

2

所以不同的站法有CiAiAiA2=16種.

2222

故選B.

2.答案：A

的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為32,所以〃=5.又（x2+

解析:的展開式

既。小-小.吟，令1。-1』，解得』，所以展開式的常數(shù)項(xiàng)

的通項(xiàng)為T

r+1

為C4=5.

5

3.答案：C

解析：本題考查排列與組合問題.根據(jù)題目條件知花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)

目中有1個(gè)項(xiàng)目分配2名志愿者,先分組再排列，可知不同的分配方案共有C2?A,=240（種）.

54

4.答案：B

-r

解析：（x2+y）的通項(xiàng)為Tyr=C%10-2ryr.所以XyT=CrXll-2ryr+l,

'r+155r+15

令（無解；一竺^丁=-mCrX^-2ryr+l,令'解得「=2；3T=3CrX10-2rJr,

[廠+1=3.%2r+15[r+1=3,r+15

P10-2r=4

令",解得r=3.所以X4?的系數(shù)為-加C2+3C3=-10帆+30=50,所以根=-2.

\r=3,s5

故選B.

5.答案：C

解析：本題考查排列組合的綜合應(yīng)用根據(jù)題意，分兩種情況討論：①分為3,3的兩組時(shí),

2名女志愿者不單獨(dú)成組，有1C3種分組方法，再對(duì)應(yīng)到兩個(gè)社區(qū)參加志愿工作，有Az種

262

情況，此時(shí)共有』C3xA2=20種分配方法.②分為2,4的兩組時(shí)，有C4XC2=15種分組方

26262

法，其中有1種兩名女志愿者單獨(dú)成組的情況，則有14種符合條件的分組方法，再對(duì)應(yīng)到

兩個(gè)社區(qū)參加志愿工作，有A2種情況，此時(shí)共有14xAi=28種分配方法.故共有20+28=48

22

種分配方法.故選C.

6.答案：B

解析：由題，令％=可得。-a+a-a+a-a+a-a=27=128①，令％=可得

01234567

a+a+a+a+a+a+a+〃=25=32②，(②一①)+2,可得〃+a+a+a=-48,故選

012345671357

B.

7.答案：C

解析：解法一：因?yàn)?2+ax)(l+x)5=(2+QX)XC+5X+10X2+10X3+5%4+短)，

所以/的系數(shù)為20+5。，由題意得20+5〃=25,解得〃=1.

設(shè)(2+x)(l+x)5=+。產(chǎn)+卜〃6九6，令％=1，得(2+1)(1+1)5=“0+qT+〃6=96.

解法二：由乘法分配律知(2+〃x)(l+x)5的展開式中/的系數(shù)為2.q+QC；=20+5〃，所以

20+5^=25,解得〃=1,

設(shè)(2+x)(l+X)5=+。產(chǎn)+--卜練九6'

令％=1,得(2+1)(1+1)5=〃0+〃廣.?+,=96.故選C.

8.答案：B

解析：設(shè)男生人數(shù)為“，則女生人數(shù)為8-〃，其中G</<8,〃eN*),由題意可知

C2clAa=90,即迎二12.(8-")=15，整理得(〃一3)?Q-6〃-10)=0，

n8-〃32

解得〃=3,所以男、女生人數(shù)分別為3,5,故選B.

9.答案：BC

解析：13名醫(yī)生，其中女醫(yī)生6人，男醫(yī)生7人.

利用直接法，2男3女：C2c3；3男2女：C3c2；4男1女：C40；5男：C5,所以

7676767

N=C2c3+C3c2+C4cl+C5;

7676767

利用間接法：13名醫(yī)生，任取5人，有C5種，1男4女：QC4,5女：C5,所以

13766

N=C5—ClC4—C5,

13766

所以能表示N的算式是BC.

10.答案：BC

解析：令x=l,可得展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為1,故A錯(cuò)誤；由〃=6可知，展開式中

二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)，故B正確；展開式中所有偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為絲=32,

2

故C正確；(3x-2)6的展開式的通項(xiàng)公式為T=C(3x)6一.(-2)「，所以展開式中工2項(xiàng)為

r+l6

C4(3尤)2.(-2)4=2160x2,故D錯(cuò)誤.故選BC.

6

11.答案：CD

解析：對(duì)于A,甲、乙只能站左、右兩端，有2種站法，丙、丁在老師相鄰兩邊，有2種站

法，所以有2x2=4種站法，不符合；

對(duì)于B,同A一樣，有4種站法，不符合；

對(duì)于C,甲站兩端，有2種站法，乙與老師相鄰，有2種站法，丙、丁站剩下位置，有2種

站法，所以有2x2x2=8種站法，C符合；

對(duì)于D,甲、乙要么都在老師左邊，要么都在老師右邊，且甲、乙還可以相互交換，有x2

種站法，丙、丁站剩下兩個(gè)位置，有2種站法，所以共有2x2x2=8種站法，D符合.

12.答案：AB

解析：S=a+O+C2+C3+...+C27

27272727

=a+Co+G+C2+???+C27—1=。+227—1=(9-1>+。-1=

27272727

0)99-C198+C297-C396+C495-C594+C693—C792+C89-C9+a-l

9999999999

=9^8-097+—FC8)+〃一2,

99

心3,二.S能被9整除的正整數(shù)a的最小值是2=9,/.〃=11.

M=11,

,其展開式的二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第6,7項(xiàng).

故選AB.

13.答案：11

解析：(2X+1)B的展開式的通項(xiàng)公式為T=G(2x)15-*=0,1,2,…,15),令15-廠=5,得

r+115

r=10,所以含?的項(xiàng)是展開式的第11項(xiàng).

14.答案：360

解析：本題考查排列組合.先排5張空椅子，然后將4名同學(xué)進(jìn)行插空，共有A,=360種不

6

同的坐法.

15.答案：14

解析：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.1曰-4：的展開式的通項(xiàng)

T=c，-(-&?=G(-1>27-14,令L「一14=0,得r=6,貝1]C6x2=14,即常數(shù)

r+l7^X2)737

項(xiàng)為14.

16.答案：50400

解析：由題意可知這5個(gè)景點(diǎn)中有3個(gè)景點(diǎn)各有2個(gè)班去，有2個(gè)景點(diǎn)各有1個(gè)班去.先分

l

組，將8個(gè)班分成5組，有4r2c^2r2=420(種)分法再排列，將5組分別排到5個(gè)景點(diǎn)中

A3

3

去,有A5=120(種)排法.所以不同的分法種數(shù)是420x120=50400.

5

17.答案：(1)首先將5個(gè)白球進(jìn)行排列，然后3個(gè)黑球進(jìn)行插空，貝13個(gè)黑球兩兩不相鄰

的排法有A5A3=5x4x3x2xlx6x5x4=14400種.

56

(2)從中任取5個(gè)球，使總分不少于7分的取法有4類：5個(gè)白球、4個(gè)白球1個(gè)黑球、3

個(gè)白球2個(gè)黑球、2個(gè)白球3個(gè)黑球，故共有C5+C1C4+C2C3+C3C2=56種.

5353535

18.答案：(1)(1+妙)10的展開式的通項(xiàng)為T=Cr(mx)r=CrmrXr,所以。=C3加3,

r+11010310

a=C6儂，

610

依題意得C6機(jī)6+14c3m3=0,即210m6+14x120機(jī)3=0，整理得nv>Cn3+8)=0，因?yàn)閙w0,

1010

所以加3=-8,所以用=-2.

(2)由(1)得加=—2,所以(l—2x)io=〃+ax+a+axw.

01210

%=1,a+Q+Q+a+a+Q+a+a+a+a+a—(1—2)io=1.(J)

012345678910

令^x——19a—-a+Q.—u.+u.—a+a—a+a—(1+2)io—31。.②)

012345678910

①+②得2(a+a+Q.+4+U.+〃)=1+3io，

0246810

1+310

即nnQ+〃+〃+〃+〃+〃-------

02468102

又a=Co(-2)0=1，

010

匚廣1、?]+3103io_1

所1以Q+〃+〃+〃+“=—1=二29524?

24681022

19.答案：(1)第一步，將4個(gè)舞蹈節(jié)目“捆綁”起來，看成1個(gè)節(jié)目，與6個(gè)演唱節(jié)目一起

排列，有A7=5040種方法;

7

第二步，“松綁”，給4個(gè)舞蹈節(jié)目排序，有A4=24種方法.

4

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，一共有5040x24=120960種安排順序.

(2)第一步，將6個(gè)演唱節(jié)目排成一列，有A6=720種方法，排好后形成7個(gè)空；

6

第二步，將4個(gè)舞蹈節(jié)目插入7個(gè)空中，有A4=840種方法.

7

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，一共有720x840=604800種安排順序.

(3)加入2個(gè)節(jié)目后共有12個(gè)節(jié)目，若所有節(jié)目沒有順序要求，全部排列，則有An種排

12

法，但原來的10個(gè)節(jié)目已定好順序，所以節(jié)目演出的順序有經(jīng)■nA?=132種.

A1012

10

20.答案：(1)由已知得Co+Q+…+C”=64,即2〃=64,解得〃=6,

nnn

所以展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第四項(xiàng)，即C3X3--X-3=2OX-1XX0=-2.

<JI2J18)2

(2)〔4--I]