當陽市2024屆高三年級下冊模擬考試（四）數(shù)學試卷(含答案)

當陽市第一高級中學2024屆高三下學期模擬考試（四）數(shù)學試卷

學校：___________姓名：班級：___________考號：

一'選擇題

____________r_B、

1.集合A==J—九2—2x+31,8=,則A、B=（）

A.（0,V2]B.[-l,3]C.（0,l]D.[-3,V2]

2.若復數(shù)Z1在復平面內(nèi)對應的點的坐標為（1,2）,Z2在復平面內(nèi)對應的點的坐標為

（L-2）,如果復數(shù)Z滿足Z]Z=Z2,則Z在復平面內(nèi)對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.某市一次高三統(tǒng)考，數(shù)學成績X經(jīng)統(tǒng)計分析，近似服從正態(tài)分布XN（110,<T2）,且

P（100<X”110）=0.3,若該市有9000人參考，估計該市此次統(tǒng)考成績不低于120分的人

數(shù)為（）

A.900B.3600C.2700D.1800

4.2020年電視劇《大秦賦》風靡大江南北，某記者調(diào)查了大量觀看《大秦賦》的觀眾,

發(fā)現(xiàn)愛看的人數(shù)與收入存在較好的線性相關(guān)關(guān)系，愛看人數(shù)為6,5,3,2（千萬）的觀眾的收

入分別在（2,4],（4,6],（6,8],（8,10]（萬元）之間，現(xiàn)用這四個區(qū)間的中間值關(guān)代表收入，根

據(jù)數(shù)據(jù)求得愛看人數(shù)y關(guān)于收入x的線性回歸方程為_9=云+12.4,則》的值為（）

A.-1.2B.-1.3C.-1.4D.-1.5

5.在（x-y）（2x+y）5的展開式中,丁父的系數(shù)是（）

A.40B.-40C.120D.-120

6.已知函數(shù)〃X）=—；2021X,X<0,,0=/（岫；）/=/（（；）6）,,=/，）,則。力了的

—X—202lx,x0,33

大小關(guān)系是（）

A.c<b<aB.c<a<bC.a<c<bD.a<b<c

7.我國古代《九章算術(shù)》里記載了一個“羨除”的例子，羨除，隧道也，其所穿地,上平下

邪.小李制作了如圖所示的一個羨除模型ABCDEF淇中平面

ABF,ADHBCHEF,AD=4,BC=3,AB=BF=EF=2,NABF=120，則該羨除的體積

為（）

A.2A/3B.3cC.4A/3D.5A/3

8.定義在R上的函數(shù)/(x),/'(x)是它的導函數(shù)，且恒有/'(x)-2/(x"0成立，已知

/(1)=6,則/(可402?1的解集為()

A.(^0,1)B.(l,^o)C.(^0,1]D.[l,+oo)

二、多項選擇題

9.下列結(jié)論正確的是()

A.過點(2,1)且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為x+y-3=0

B."tanx=也”的充分不必要條件是“x=衛(wèi)”

36

C.已知0>0,6>0,。+2/?=4,則ab的最大值為2

D.命題“在AABC中，若AB.<0,則AABC是鈍角三角形”是真命題

10.如圖，在棱長為2的正方體ABCD-44GB中,石為CG的中點下為的中點，下

列說法正確的是()

A.所〃平面

B.AE與BF所成角的余弦值為當

C.平面BD.F±平面ABE

Q

D.平面4夕￡截該正方體所得的截面圖形的面積為2

2

22

H.已知雙曲線c：二-當=1(?！祇力〉o)的左、右焦點分別為4(-巧,0),瑪(而,0),

ab一

一條漸近線方程為x+4y=0,雙曲線上一點P滿足鳥=60。,下列說法正確的是()

A.雙曲線的實軸長為8B.雙曲線的離心率為上

4

c.^FXPF2的面積為鳥的面積為百

12.函數(shù)/(%)為定義在R上的奇函數(shù)，對任意實數(shù)X滿足/(x)=-了(％+1),當xe[-1,0)

時,/(%)=1-/,下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)/(x)的周期為4

B.當xe[-1,2020)時，函數(shù)f[x)的零點有2021個

C.函數(shù)g(x)=/(x)+g的圖象與函數(shù)y=l,xe[-1,100)的圖象共有50個交點

D.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(1,0)和(2,0)對稱

三、填空題

13.等差數(shù)列｛*｝的前〃項和為S”,%=—7,/+2%+%=-20,則Sn取最小值時

n=.

14.甲、乙、丙三名大學生到武漢A,3,C三家醫(yī)院選擇一家實習，則甲不去A醫(yī)院的安

排方法有種.

15.已知函數(shù)f(x)=73sin2(%+-^)-A/3COS2(%+-^)-2cos2x+g,若f(0)=0(0<<^),

則si嗚-23)=..

四、雙空題

16.已知拋物線C:%2=2py(p〉0)的焦點為￡設(shè)過點R的動直線交拋物線C于A乃兩

點,拋物線C在A,5處的兩條切線的交點為N,點N在直線y=-1上，則拋物線C的標準

方程為__________,四-——的最小值為________________.

4\BF\

五、解答題

17.在^ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,0,c,且—=之二.

cosBcosC

（1）求cos23;

（2）若Z?=3,且sinA+sinC=2CsinAsinC,求ZvlBC的面積.

18.已知正項數(shù)列"｝的前n項和為S“，且滿足2s“=片+4.

（1）求數(shù)列｛*｝的通項公式；

（2）若等比數(shù)列也“｝的公比大于1也=81也4=晌，設(shè)%=%，求數(shù)列上｝的前九項和

bn

Tn.

19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形,24,平面

9

ABCD,tanZPBA=—下為PC的中點.

3

（1）判斷直線Q4與平面BED的位置關(guān)系，并證明；

（2）在邊5C上是否存在一點E,使得平面AEFJ_平面"＞歹？若存在，說明點E的位置;

若不存在,請說明理由.

20.2019年10月1日，為慶祝新中國成立70周年的閱兵儀式在北京舉行，陸軍、海軍、

空軍、火箭軍和戰(zhàn)略支援部隊部分新型武器裝備受閱.觀看閱兵后，某校軍事興趣組決定

對首次亮相的武器裝備做更加深入的了解，以完善興趣小組的文檔資料.軍事興趣組一共

6人,分成兩個小組（第一小組研究15式主戰(zhàn)坦克、轟-6N新型戰(zhàn)略轟炸機、直-20直

升機，第二小組研究東風-17常規(guī)導彈、長劍-100巡航導彈、東風T1核導彈）,其中第

一小組A,民C三位同學分別對15式主戰(zhàn)坦克、轟-6N新型戰(zhàn)略轟炸機、直-20直升機

特別感興趣，第二小組。，瓦R三位同學分別對東風-17常規(guī)導彈、長劍-100巡航導彈、

東風T1核導彈特別感興趣，現(xiàn)對兩個小組的同學隨機分配（每人只選一項且不重復），設(shè)

兩個小組中調(diào)查的裝備恰為自己特別感興趣的同學個數(shù)分別為X,K

（1）求*=丫+1的概率；

(2)設(shè)Z=|X-F],求隨機變量2的分布列與數(shù)學期望.

22

21.已知橢圓二+2=l(a〉b>0)的左、右焦點分別為&F,,橢圓的一個焦點是圓

ab

公一2%+丁2=0的圓心，且橢圓過點||,當]

(1)求橢圓的標準方程；

(2)過《作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于A,C和BQ,設(shè)線段AC,的中點分

別為P,。,判斷直線P。是否過定點？如果過定點，求出定點坐標;如果不過定點，請說明理

由.

22.已知函數(shù)/(%)=lnx-ov+1+^x2.

(1)若函數(shù)"力在x=2處的切線的斜率為3,求實數(shù)a的值;

(2)設(shè)g(x)=求當a=l時g(x)的極值，并證明當x>l

In2In3In4Inxxlx

時,----+——+-----+...+------

345x+14

參考答案

1.答案：D

解析：A={x|-3<x<l},B=(v|0<y<72|,

所以AU3=

故選：D.

2.答案：C

解z=z1=l-2i=(l-2i)(l-2i)=_3_4i

4l+2i(l+2i)(l-2i)55

故選：C.

3.答案：D

解析：估計該市此次統(tǒng)考成績不低于120分的人數(shù)為9000x±2@2=i800,

2

故選：D.

4.答案：C

解析：由題意可知x的值依次為3,5,7,9,

rrt.r—3+5+7+9/6+5+3+2

貝Ux=----------=6,y=--------------=4,

44

故回歸直線方程經(jīng)過(6,4)，可得》=-1.4,

故選：C.

5.答案：B

解析：的系數(shù)為WQX)2y3+(_y)c；(2x)3y2=TO,

故選：B.

6.答案：A

解析：/(x)是奇函數(shù)且在R上單調(diào)遞減，

11

-63

log6—<log61=0,3<6°=1,6>1，所以cvZ?va,

故選：A.

7.答案：B

角牛析：^ABCDEF=^ABF-HGE+^E-CDHG

=1X2X2X^X2+|X(1±|^XV3=3V3,

故選：B.

8.答案：C

解析：令g(x)=雪，則g，(x)‘叫"(之0,故g(U在R上單調(diào)遞增，

ee

因為g(l)=*=J所以/(力~21等價于g(x)Wg⑴，

根據(jù)函數(shù)g(x)的單調(diào)性可得X<1,

故選：C.

9.答案：BC

解析：

10.答案：ABD

解析：因為EF//AG，可知即〃平面AGSA正確；

將8尸平移至平面2E內(nèi)在△R4E中求得A]E與5尸所成角的余弦值為t，B正確；

以。為坐標原點所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,

求得平面8。7的一個法向量為6=(1,1,2),平面A3E的一個法向量為

“=(1,0,2),加?〃=5。0,所以兩個平面不垂直,C錯誤；

(2也+?建Q

取棱CQ的中點G,則等腰梯形ABEG即為所得截面,面積為--------——=：q

正確，

故選ABD.

11.答案：AD

解析：由題意得。=舊,2」,可求得。=4/=1,所以雙曲線的標準方程為反-/=1,

a416

實軸長為8,A正確；

離心率e=$=晅,B錯誤；

a4

設(shè)PF]=m,PF2=n,Z\PFXF2中,

由余弦定理得4c2=m2+n2-2mncos60°又(m—n)2=64,故加〃=4,故

S.PFF=匕〃磔M60。=百,(2錯誤,口正確，

i—\rz^2

故選：AD.

12.答案：BD

解析：因為/(九)=—/(x+1),所以+1)=—/(x+2)=—/(x),

即/1(x)=y(x+2),所以函數(shù)/"(x)的周期為2,A錯誤；

因為函數(shù)F(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以/(0)=0,

又xe[-1,0)時,=1-,且函數(shù)/(X)的周期為2,所

以當xe[-1,2020)時，函數(shù)f(x)的零點有2021個,B正確；

函數(shù)g(x)=/(x)+；的圖象與函數(shù)y=l的圖象有交點等價于方程/")=；有解，當

xe[-1,100)時，方程/(x)=g共有51個解,C錯誤；

奇函數(shù)/(X)關(guān)于(0,0)對稱，根據(jù)周期為2可得D正確，

故選：BD.

13.答案：6

解析：

14.答案:18

解析：安排方法共有2x3x3=18種.

15.答案：叵已

8

解析：/(x)=A/3sin2(%+—)-A/3COS2(x+—)-2cos2x+-=2sin|2x--|+-,

442(6)2

因為"6)=0,即sin(2，—四]=一±因為owew工

I6J42

所以一二426-工所以sin(28—四]<0,所以一二426-二WO,

66616J66

所以cosf2^--1，所以sin(—-26)=cos20=cos((23-—)+—!

(6142LI66)

Q兀、兀*Q，兀3-\[S+1

=cos(2"——)cos---sin(2"——)sin—=--------.

66668

16.答案：x2=4y,0

解析：由-=2py知,y=工設(shè)A（芯,％）,5（%2，%），

過48兩點的切線方程分別為y-y1=—(x-xx),y-y2=—(x-x2),

PP

22

將％=白，％=在代入消去x可得y=9,又/％=-/，所以y=-K，

2p2p2p2

因為交點N在y=-l上，

所以p=2,所以拋物線C的標準方程為x2=4y,

易知西々=—4,%%=工><與=^^=1，|河|=乂+1，忸同=%+1，

44lo

—G2陲L―1=0,所

4\BF\4y2+l4￡+14%+l\4%+l

X

以也1——L的最小值為o.

4\BF\

17.答案：⑴」

2

(2)還

4

解：⑴由——可得Z?cosC+ccosB=2?cosB,

cosBcosC

由正弦定理得：sinBcosC+sinCcos5=2sinAcosB,

即sin(B+C)=2sinAcosB,

cosB=-cos2B=—

即2,因為0<8(%可得3=60。,所以2.

（2）設(shè)△ABC的外接圓半徑為R,由題意8=60。,6=3,

得筋=Ur3r磊=就=2有,

由sinA+sinC=2斯sinAsinC,及正弦定理得：$+-^==2顯產(chǎn)廠

2V32V32326

即a+c=yflac①，

由余弦定理得：/+。2一〃。=9,即(Q+C)2—3。。—9=0②，

將①式代入②，得2(ac)2—3。?！?=0.

解得：ac=3或〃c=—|(舍去)，則/謝=；acsin5=t^.

18.答案：(1)a〃=n

Q31

(2)M^--(-+H)x(-r

解：(1)當〃=1時,2〃1=Q；+%,因為Q］〉0,所以Q1=l,

由2Sn=a；+。鹿，①可得2szi+i=a；+i+an+1,?

②—①得2an+l=片+i-4+%+i-。〃，移項可得-。-%-%=°，

故(%+an)(。用-4T)=0,因為4>0,所以%-%=1,

所以數(shù)列｛〃/是首項為1,公差為1的等差數(shù)歹!J,所以4=心

…h(huán)

(2)由b4b§=9b9可得b3b9=9b9也w0,所以4=9,可得公比d=上=9,

4

又9>1,所以q=3,2=1,所以2=3"T,

所以。〃=合=靠，

2462n自

12

"1333”T

1,.2462(?-1)2n公

3332333"T3"

e小田2”，-2222In

3332333"-13"

-111~\2n1-(鼻)“1

=2xl+§+(?+(-r--=2x^-2nx(-)

3

931

所以（5+〃）X（P〃T.

19.答案：（1）見解析

9

（2）BE=—BC

13

解析：（1）K4//平面BED,

證明：連接AC交5。于點。，連接尸因為四邊形ABC。為正方形，所以。為AC的中

點，又R為PC的中點，所以PA//FO,

因為必.平面BFD,FOu平面BFD,所以RV/平面BFD.

（2）因為24,平面A3CD,且底面ABCD為正方形，

所以AP,A5,AZ）兩兩垂直，以A為原點，以AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z

軸建立空間直角坐標系A(chǔ)-町2,

2

=—，設(shè)己4=2,則AB=3,

3

所以A(0,0,0),3(3,0,0),C(3,3,0),D(0,3,0)

則AF=|,|,lj,AD=（0,3,0），假設(shè)在邊3C上存在一點E使得平面AER與平面ADR

垂直，設(shè)BE=ABC，可得E（3,3A,0）,

則AE=（3,32,0），設(shè)平面AEF的法向量為m=（羽y,z）,

AEm=Q3x+32y=0

因為，所以133八，

AF-m=Q

[22

令y=l,則x=—%z=3x—3,所以平面AER的一個法向量機=(—尢1』3/1—33,

22{22)

%=0

AD-n=0

設(shè)平面ADR的法向量為〃=（%,%,zj,因為＜，所以133

AFn=O萬石+萬中=0

令x1=2,則A=-3，所以平面ADF的一個法向量為"=（2,0,-3）.

因為平面AER,平面ADF,

999

所以桃_L〃,即山?〃二0,所以一2%——4+—=0,解得2=一,

2213

Q

所以存在片點使得平面AEF±平面ADR此時BE=—BC.

13

20.答案：（1）工

6

（2）1

解析：（1）根據(jù)題意可得X=0,1,31=0,1,3,

C1?1

乂=卜+1只有乂=1,丫=0時成立,「（％=1,丫=0）=*＞＜丁=—.

A3A36

（2）因為Z=|X-寸,所以Z的所有可能取值為0,1,2,3,

21

p(x=0)=尸(y=0)=下=<

1

p(X=l)=p(y=1)=-1=-,

p(x=3)=p(y=3)=5=：，

xlgO

p(z=o)=p(x=o,y=o)+p(x=i,y=i)+p(x=3,y=3)=|x|+|x|+|x|=^,

11111

p(z=i)=p(x=o,y=i)+p(x=i,y=o)=—X——I——X—=

32233

P(Z=2)=P(X=l,y=3)+P(X=3,y=l)=|x-|+|x|=-|,

p(z=3)=P(X=0,y=3)+P(X=3,y=o)=|x|+1x|=I，

所以隨機變量z的分布列為

Z0123

711

p

18369

7111

E(Z)=0x—+lx-+2x-+3x-=l.

'/18369

22

21.答案：(1)—+^=1

43

(2)見解析

解析：(1)由題意知圓的圓心坐標為(1,0),所以乙(1,0),所以①

424

又橢圓過點偵]，所以2+2=1,②

[33)a2b2

聯(lián)立①②可得〃之=4,Z?2=3,

22

所以橢圓的標準方程為二+匕=1.

43

(2)由(1)得乙(1,0),當直線AC的斜率不存在時,AC:x=l,3D:y=0,

所以尸(l,0),Q(0,0),所以P。為了軸；

當直線AC的斜率存在時，設(shè)AC:y=k(x-l),k豐0,則①)：y=—L(x-1),