經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分 第4版 課件 6-5 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開

一、函數(shù)的泰勒公式、泰勒級(jí)數(shù)三、小結(jié)6.5函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開二、將函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)——微積分一、泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù)

對(duì)于一些較復(fù)雜的函數(shù)，為了研究的方便，往往希望用一些簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)近似表達(dá)，而在初等函數(shù)中，最簡(jiǎn)單的函數(shù)就是多項(xiàng)式函數(shù)，因此常用多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)復(fù)雜的函數(shù).

設(shè)函數(shù)f(x)在含有x0的開區(qū)間具有直到(n+1)階導(dǎo)數(shù)，試找出一個(gè)關(guān)于(x-x0)的n次多項(xiàng)式來(lái)近似表示f(x)要求Pn(x)與f(x)之差是比(x-x0)n的高階無(wú)窮小，并給出的具體表達(dá)式.1、泰勒公式設(shè)Pn(x)與f(x)在x0的函數(shù)值及在x0點(diǎn)直到n階導(dǎo)數(shù)均相等——泰勒多項(xiàng)式——皮亞諾余項(xiàng)——拉格朗日余項(xiàng)如果函數(shù)f(x)在含有x0的某個(gè)開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到(n+1)階導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)x∈(a,b)時(shí)，有其中ξ介于x與x0之間另一余項(xiàng)形式：定理（泰勒中值定理，泰勒公式）解例寫出函數(shù)f(x)=ex的馬克勞林公式.取

x0=0，就得到麥克勞林公式：Taylor公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用Taylor公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用無(wú)窮級(jí)數(shù)Taylor公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用Taylor公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用Taylor公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用Taylor公式的數(shù)學(xué)思想——局部逼近Taylor公式的數(shù)學(xué)思想——局部逼近Taylor公式的數(shù)學(xué)思想——局部逼近Taylor公式的數(shù)學(xué)思想——局部逼近Taylor公式的數(shù)學(xué)思想——局部逼近Taylor公式的數(shù)學(xué)思想——局部逼近Taylor公式的數(shù)學(xué)思想——局部逼近Taylor公式的數(shù)學(xué)思想——局部逼近Taylor公式的數(shù)學(xué)思想——局部逼近Taylor公式的數(shù)學(xué)思想——局部逼近Taylor公式的數(shù)學(xué)思想——局部逼近Taylor公式的數(shù)學(xué)思想——局部逼近Taylor公式的數(shù)學(xué)思想——局部逼近Taylor公式的數(shù)學(xué)思想——局部逼近Taylor公式的數(shù)學(xué)思想——局部逼近2.f(x)在x0處的泰勒級(jí)數(shù)及展開的條件定理(1)f(x)=cosx在x0=0處的泰勒級(jí)數(shù).圖形演示②

圖形演示圖形演示圖形演示數(shù)值實(shí)驗(yàn)數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)論且對(duì)任意的x∈(-∞,+∞)只要n越來(lái)越大，cosx的泰勒多項(xiàng)式均收斂到cosx，這時(shí)我們稱上述級(jí)數(shù)收斂于cosx，或者稱cosx在x0=0處可以展開成泰勒級(jí)數(shù)，即(2)f(x)=ex在x0=0處的泰勒級(jí)數(shù).圖形演示圖形演示圖形演示圖形演示數(shù)值實(shí)驗(yàn)數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)論二、將函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)的方法步驟:(一)直接法則f(x)可以展開成泰勒級(jí)數(shù)例1解（麥克勞林級(jí)數(shù)）

其中例2解——牛頓二項(xiàng)展開式1.2.3.常用函數(shù)的麥克勞林級(jí)數(shù)：雙階乘（二）間接法根據(jù)唯一性,利用常見展開式,通過(guò)變量代換,四則運(yùn)算,恒等變形,逐項(xiàng)求導(dǎo),逐項(xiàng)積分等方法,求展開式.例3解例4解例5解例6解例7解無(wú)窮級(jí)數(shù)三、小結(jié)2.函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)的方法和類型.（1）將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù)（麥克勞林級(jí)數(shù)