2024學(xué)年初中數(shù)學(xué)經(jīng)典好題專項(xiàng)(二次函數(shù)與等腰三角形有關(guān)問(wèn)題)練習(xí)(附答案)

2024學(xué)年初中名校數(shù)學(xué)經(jīng)典好題專項(xiàng)(二次函數(shù)與等腰三角形有關(guān)問(wèn)題)練習(xí)

1.如圖，已知拋物線>=如?+4苫+〃與x軸交于/、8兩點(diǎn)，與夕軸交于點(diǎn)C.直線y=x-3

經(jīng)過(guò)8,C兩點(diǎn).

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)拋物線的頂點(diǎn)為在該拋物線的對(duì)稱軸/上是否存在點(diǎn)尸，使得以C,M,P為

頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

2.已知拋物線y=a，+6x+8與x軸交于/(-3,0),B(8,0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)

P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2,將直線沿y軸向下平移5個(gè)單位，交x軸于點(diǎn)交y軸于點(diǎn)N.過(guò)

點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線于點(diǎn)。，是否存在一點(diǎn)P,使是等腰三角形？若

存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的別的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1

圖2

1

3.如圖，拋物線y=-x2+6x+c過(guò)點(diǎn)，、B,拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D,直線y=-x+3

與x軸交于點(diǎn)3,與y軸交于點(diǎn)C,且OAQOB，

(1)求拋物線的解析式；

(2)在x軸上是否存在點(diǎn)P,使得△POC為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo),

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4.已知拋物線經(jīng)過(guò)N(-1,0)、8(0,3)、C(3,0)三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線交

正方形OADC的邊AD于點(diǎn)E,點(diǎn)M為射線2。上一動(dòng)點(diǎn)，連接。交2C于點(diǎn)尸.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)求證：/BOF=NBDF；

(3)是否存在點(diǎn)使尸為等腰三角形？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，求ME

的長(zhǎng).

5.綜合與探究

2

如圖，二次函數(shù)y=-1/+*+4的圖象與x軸交于1,3兩點(diǎn)（點(diǎn)/在點(diǎn)8的左側(cè)），

與了軸交于點(diǎn)C.點(diǎn)P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為加.過(guò)

點(diǎn)P作直線PD±x軸于點(diǎn)D,作直線BC交PD于點(diǎn)E.

（1）求4B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫出直線5c的函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)是以尸￡為底邊的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

6.如圖，開(kāi)口向上的拋物線與x軸交于/（xi，0）、B（犯，0）兩點(diǎn)，與〉軸交于點(diǎn)C,

SLACLBC,其中xi，X2是方程，+3x-4=0的兩個(gè)根.

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出拋物線的表達(dá)式；

（2）垂直于線段2c的直線/交x軸于點(diǎn)D,交線段2C于點(diǎn)E,連接8,求的

面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）在（2）的結(jié)論下，拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)尸，使得△尸是等腰三角形？

若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

3

7.如圖，拋物線y=-＞1■r2+及?+c與x軸交于/(-1,0),5(4,0),與y軸交于點(diǎn)C.連

接/C,2C,點(diǎn)尸在拋物線上運(yùn)動(dòng).

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)如圖②，若點(diǎn)尸在第一象限，直線/P交2C于點(diǎn)R過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交2C

8.如圖1,拋物線y=-，+6x+c過(guò)點(diǎn)/(-1,0),點(diǎn)2(3,0),與了軸交于點(diǎn)C.在x

軸上有一動(dòng)點(diǎn)E(辦0)(0＜加＜3),過(guò)點(diǎn)E作直線軸，交拋物線于點(diǎn)

(1)求拋物線的解析式及C點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)當(dāng)小=1時(shí)，。是直線/上的點(diǎn)且在第一象限內(nèi)，若△NCD是以/DC4為底角的等

腰三角形，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

9.如圖，已知拋物線y=a(x+6)(x-2)過(guò)點(diǎn)C(0,2),交x軸于點(diǎn)A和點(diǎn)8(點(diǎn)/

4

在點(diǎn)2的左側(cè))，拋物線的頂點(diǎn)為。，對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E,連接EC.

(1)直接寫出。的值，點(diǎn)/的坐標(biāo)和拋物線對(duì)稱軸的表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)〃是拋物線對(duì)稱軸DE上的點(diǎn)，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)”的坐標(biāo);

10.如圖，拋物線y=a/+6x+4交無(wú)軸于/(-3,0),5(4,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,

連接/C,BC.M為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)〃作尸軸，交拋物線于點(diǎn)尸，交

8c于點(diǎn)Q.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)試探究點(diǎn)河在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)。使得以4C,。為頂點(diǎn)的三角

形是等腰三角形.若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)0的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

11.拋物線y=-2/+6X+C與無(wú)軸交于/(-1,0),B(5,0)兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C,對(duì)稱軸

9

5

交X軸于點(diǎn)。，點(diǎn)尸為拋物線對(duì)稱軸CD上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與C,。重合）.過(guò)點(diǎn)C

作直線PB的垂線交PB于點(diǎn)E,交x軸于點(diǎn)F.

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)△PCP為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

備用圖

6

參考答案

1.如圖，已知拋物線y=/w/+4x+〃與x軸交于4、8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.直線y=x-3

經(jīng)過(guò)3,C兩點(diǎn).

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)拋物線的頂點(diǎn)為河，在該拋物線的對(duì)稱軸/上是否存在點(diǎn)尸，使得以C,M,P為

頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

【過(guò)程解答］解：(l)y=x-3中，令x=0,則y=-3,

：.C(0,-3),

令y=0,則x=3,

：.B(3,0),

將。(0,-3),5(3,0)代入y=mJ+4x+力中，

.{n=-3

19m+12+n=0

解得［m=T,

(n=-3

2

??y="x+4x-3；

(2)存在點(diǎn)P,使得以C,M,尸為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，理由如下:

-X2+4X-3=-(x-2)2+1,

：.M(2,1),對(duì)稱軸為直線x=2,

設(shè)尸(2,t),

：.MP=\t-1|,MC=2-/5,CP=^4+(t+3)21

1

①當(dāng)=時(shí)，\t-11=2^5.

.3=2返+1或t=-2V5+1,

：.P(2,2V5+D或(2,-2>/5+1):

②當(dāng)■=(??時(shí)，\t-11=1/4+(t+3)2,

解得t=-3,

2

:.P(2,-.)；

2

③當(dāng)MC=C尸時(shí)，2近=14+(t+3)2,

解得7=1(舍)或-7,

：.P(2,7)；

綜上所述：尸點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2市+1)或(2,-2A/5+1)或(2,-3)或(2,7).

2

2.已知拋物線、=改2+版+8與x軸交于4(-3,0),B(8,0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)

P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為辦

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2,將直線3C沿y軸向下平移5個(gè)單位，交x軸于點(diǎn)M交y軸于點(diǎn)N.過(guò)

點(diǎn)尸作x軸的垂線，交直線于點(diǎn)。，是否存在一點(diǎn)尸，使△2M)是等腰三角形？若

存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的機(jī)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【過(guò)程解答】解：(1):拋物線夕=方2+旅+8與x軸交于/(-3,0),5(8,0)兩

點(diǎn),

9a-3b+8=0

64a+8b+8=0

2

a=T

解得，

b=r

...拋物線的解析式為丁=-工/+S共8；

33

(3)易證線8。的解析式為y=-/8,向下平移5個(gè)單位得到y(tǒng)=-x+3,

當(dāng)y=0時(shí)，x=3,

：.M(3,0),

當(dāng)x=0時(shí)，y=3,

：.N(0,3),

由題意得尸

'：MB=S-3=5,D(w,-w+3),

：.MD2=(w-3)2+(-m+3)2,BIT=(8-w)2+(-w+3)2

若△8MD是等腰三角形，可分三種情況:

①當(dāng)MB=MD時(shí)，

(w-3)2+(-w+3)2=25,

解得7M1=3+5利2=3-1V^，

②當(dāng)=時(shí),

(8-w)2+(-w+3)2=25,

解得，wi=3(舍去)，W2=8(舍去)，

③當(dāng)ME^BD時(shí)，

(S-m)(-?<+3)~—(??-3)"+(-nt+'i)2>

解得，機(jī)=5.5.

綜上所述，機(jī)的值為3+^|亞或3-后或5.5時(shí)，是等腰三角形.

3.(2022?興寧區(qū)校級(jí)模擬)如圖，拋物線y=-x2+bx+c過(guò)點(diǎn)/、B,拋物線的對(duì)稱軸交x

軸于點(diǎn)D,直線y=-x+3與x軸交于點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)C,且OA^OB.

(1)求拋物線的解析式；

(2)在x軸上是否存在點(diǎn)P,使得△POC為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

3

令y=0,即-x+3=0,

解得：x=3f

令龍=0,得y=3,

：.B(3,0),C(0,3),

為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，且。4

3

：.A(-1,0).

將點(diǎn)N、2的坐標(biāo)分別代入y=~x'+bxJrc中,

得「l-b+c=0,

I-9+3b+c=0

...拋物線的解析式為^=-X2+2X+3；

(3)存在.如圖2,

?.,點(diǎn)尸在x軸上，

工設(shè)尸(如0).

VC(0,3),Z>(1,0),

2

，由勾股定理，得：82=OC+O￡)2=32+I2=]0,尸)=(機(jī)_])2,C鏟=O於+0(3=

m2+32=m2+9,

分為三種情況討論：

①當(dāng)CD=PD時(shí)，。。2=尸。2,

即10=(w-1)2,

解得W2=i-Vio>

此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1+41^,0)或(1-8，0)；

②當(dāng)CZ>=C尸時(shí)，。爐=。尸2,即10=桃2+9,

4

解得町=7，W2=1(不符合題意，舍去)，

此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-1,0)；

③當(dāng)尸C=RD時(shí)，PC1=PD1,

即M+9=(w-1)5

解得m--4,

此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-4,0).

綜上所述，在x軸上存在點(diǎn)尸，使得△尸。。為等腰三角形，滿足條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1+

VIo,0)或(1-VI5,0)或(-1,0)或(-4,0).

圖1

4.已知拋物線經(jīng)過(guò)N(-1,0)、2(0,3)、C(3,0)三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線交

正方形。的邊AD于點(diǎn)E,點(diǎn)河為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接。M交8c于點(diǎn)尸.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)求證：NBOF=NBDF；

(3)是否存在點(diǎn)跖使產(chǎn)為等腰三角形？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，求ME

的長(zhǎng).

5

【過(guò)程解答】(1)解：設(shè)拋物線的表達(dá)式為y="2+6/c,

把/(-1,0)、5(0,3)、C(3,0)代入

0=a-b+cza=-l

得：，3=c，解得<b=2，

L0=9a+3b+cLc=3

拋物線的表達(dá)式為：y=-X2+2X+3；

(2)證明：?.?正方形。班C,

：.NOBC=NDBC,BD=OB,

'：BF=BF,

：./XBOF^ABDF,

：.ZBOF=4BDF；

(3)解：I?拋物線交正方形O30C的邊區(qū)D于點(diǎn)E,

?,.令y=3,貝lj3=-/+2x+3,解得：xi=0>X2=2,

：.E(2,3),

①如圖，

當(dāng)加在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，N3D尸為銳角,

/./尸DM■為鈍角，

6

???△MD廠為等腰二角形,

:?DF=DM,

：.4M=/DFM,

：./BDF=NWNDFM=2/M,

?:BM〃OC,

：.ZM=ZMOCf

由（2）得NBOF=/BDF,

/.ZBDF+ZMOC=3ZM=90°,

/.ZM=30°,

在RtASO河中，

BM=———=3^/3,

tan30

BE=3y/3-2；

②如圖，

當(dāng)河在線段上時(shí)，NOW為鈍角,

,/△40下為等腰三角形，

:?MF=DM,

：./BDF=/MFD,

：./BMO=4BDF+/MFD=24BDF,

由（2）得NBOF=/BDF,

I.ZBMO=2ZBOMf

：.ZBOM+ZBMO=3ZBOM=90°,

AZBOM=30°,

在RtASO河中，

7

BM=tan30**0B=V3，

：.ME=BE-BM=2-V3,

綜上所述，ME的值為：36-2或2-、月.

5.綜合與探究

如圖，二次函數(shù)》=什4的圖象與x軸交于48兩點(diǎn)（點(diǎn)/在點(diǎn)8的左側(cè)），

42

與y軸交于點(diǎn)C.點(diǎn)尸是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為m過(guò)

點(diǎn)P作直線PDLx軸于點(diǎn)D,作直線BC交于點(diǎn)E.

（1）求4B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫出直線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)尸是以PE為底邊的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

［過(guò)程解答］解：(1)在y=-2？+3X+4中，

’42

令x=0得y=4,令y=0得x=8或％=-2,

：.A(-2,0),5(8,0),C(0,4),

設(shè)直線解析式為丁=京+4,將刀(8,0)代入得:

8a4=0,

解得k=-1,

2

直線BC解析式為、=--lx+4；

8

設(shè)尸(7M,~-^-W2+-^-w+4)，

42

:.PD=-L/+3雨+4,

42

ZCOZ>=ZPDO=ZCGD=90°,

二四邊形COZ>G是矩形，

：.DG=OC=^,CG=OD=m,

：.PG=PD-DG=-l-m2+^-m+4-4=-l-ni2+^-m,

4242

,：CP=CE,CGVPD,

:.GE=PG=-A22.,

4W+2W

VAGCE=AOBC,NCGE=90°=Z5OC,

：./\CGE^/\BOC,

.CG=GE即典二衛(wèi)士二

OBoc''?4

解得機(jī)=0(舍去)或m=4,

：.P(4,6)；

6.如圖，開(kāi)口向上的拋物線與x軸交于/（xi，0）、B（冷，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,

且NC_LBC,其中xi，&是方程）+3x-4=0的兩個(gè)根.

（1）求點(diǎn)。的坐標(biāo)，并求出拋物線的表達(dá)式；

（2）垂直于線段8C的直線/交x軸于點(diǎn)O,交線段于點(diǎn)E,連接8,求△CDE的

面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）在（2）的結(jié)論下，拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)尸，使得是等腰三角形？

若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

9

【過(guò)程解答】解：(1)由X2+3X-4=0得xi=-4,X2=L

：.A(-4,0),5(1,0),

.,.04=4,OB=1,

9：ACLBC,

：.ZACO=90°-ZBCO=ZOBCf

ZAOC=ZBOC=90°,

：./\AOC^/\COB,

?0A__OCup4__OC

??疏一麗''五一丁

:.。。=2,

：.C(0,-2),

設(shè)拋物線解析式為y=a(x+-4)(x-1),

將。(0,-2)代入得_2=-4a,

?1

??a——,

2

...拋物線解析式為y=』(釬4)(x-1)2；

222

由4(-4,0),B(1,0),C(0,-2)得：AB=5,BC=y[5,AC=2y/S,

■:DELBC,ACLBC,

：.DE//AC,

：./\ABCSADBE,

.BD_DE_BE

AC前，

設(shè)。。，0),則BD=1-t,

io

.1-t_DE_BE

,,工

：.DE=^^~(1-r),BE=^~(1-f),

55

2

S^BDE=—DE-BE=—Cl-t),

25

而S^BDC=—BD?OC=A(1-r)X2=l-t,

22

*'?SACDE=SABDC_SABDE=I■?■—(1-f)2=--—r+—=-—(^+—)2+—>

5555524

Y-工<0,

t=-3時(shí)，SACDE最大為包，

24

此時(shí)。（-3,o）；

2

（3）存在，

由^=—x2+—r-2知拋物線對(duì)稱軸為直線x=-—,

222

而。（-3,o）,

2

在對(duì)稱軸上，

由（2）得-（-2.）]=V5,

52

.9.DP=y/5i

：.P(--,V5)或(-S,-V5),

22

當(dāng)。E=PE時(shí)，過(guò)E作EH_Lx軸于H,如圖:

11

VZHDE=AEDB,4DHE=NBED=90",

/.4DHEs/\DEB,

.DE=DH即近_HE_DH

"BDBEDE''1娓癥’

2~

：.HE=1,DH=2,

：.E(工-1),

2

???E在。尸的垂直平分線上，

：.P(-3,-2),

2

設(shè)尸(—-.m),

2

則W2=(---—)2+(w+1)*■,

22

解得m=-1,

2

：.P(,一包)，

22

12

綜上所述，P的坐標(biāo)為（——,V5）或（-3,-V5）或（-3,-2）或（-3,-—）.

22222

7.如圖，拋物線y=-■^■x~+6x+c與x軸交于/（-1,0）,5（4,0）,與y軸交于點(diǎn)C.連

接NC,3C,點(diǎn)尸在拋物線上運(yùn)動(dòng).

（1）求拋物線的表達(dá)式;

（2）如圖②，若點(diǎn)尸在第一象限，宜線4P交2C于點(diǎn)廠,過(guò)點(diǎn)尸作x軸的垂線交BC

于點(diǎn)H,當(dāng)力為等腰三角形時(shí)，求線段尸H的長(zhǎng).

圖①圖②備用圖

【過(guò)程解答】解：（1）'：A（-1,0）,5（4,0）是拋物線丁=-^x+bx+c與x軸的

兩個(gè)交點(diǎn)，且二次項(xiàng)系數(shù)。=」，

2

，根據(jù)拋物線的兩點(diǎn)式知，（x+1）（x-4）=-yx2-*^-x+2-

（2）設(shè)尸H與x軸的交點(diǎn)為0,P（。,冬2玲a+2），

則7/（。，卷a+2）?PH=-^~a2+2a,

若FP=FH,則/FPH=/FHP=/BHQi=/BCO,

tanZAPQi=tailZBCO=2,

??/0=2尸0i，

即（7+1=2（學(xué)多+2）＞

解得a=3（-1舍去），此時(shí)尸//=2■.

2

若PF=PH,過(guò)點(diǎn)尸作尸齷Ly軸于點(diǎn)M,

13

ZPFH=/PHF,

■:/CFA=/PFH,NQiHB=/PHF,

：./CE4=/QiHB,

又〈N4CF=/BQiH=90°,

：?LACFs

：.CF=—AC=^~,

22

在RtZXCMF中，MF=\,CM=X

2

F（1,S）,

2

：.AF：丫=*0，

y44

將上式和拋物線解析式聯(lián)立并解得》=立（-1舍去），

2

此時(shí)尸77=型.

8

若HF=HP,過(guò)點(diǎn)。作以〃43交4P于點(diǎn)E（見(jiàn)上圖），

VZCAF+ZCFA=90°,

ZR4Q+ZHPF=90°,

ZCFA=ZHFP=ZHPF,

：.ZCAF=ZPAQi，

即4P平分NC4B,

：.CE=CA=y[5,

：.E（V5,2）,

y=^x3

：.AE：

22

聯(lián)立拋物線解析式，解得x=5-正■1舍去）.

14

此時(shí)PH=3A/5-5.

二當(dāng)"=切時(shí)，PH=—；

2

當(dāng)尸尸時(shí)，PH=^~；

8

當(dāng)即時(shí)，尸H=3找-5；

8.如圖1,拋物線y=-》2+以+。過(guò)點(diǎn)N(-1,0),點(diǎn)5(3,0),與y軸交于點(diǎn)C.在x

軸上有一動(dòng)點(diǎn)E(m,0)(0<w<3),過(guò)點(diǎn)E作直線/_Lx軸，交拋物線于點(diǎn)"

(1)求拋物線的解析式及C點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)當(dāng)m=l時(shí)，。是直線/上的點(diǎn)且在第一象限內(nèi)，若△48是以NO。為底角的等

腰三角形，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

【過(guò)程解答】解：(1)將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得(T"+c=0，解得,b=2

(-9+3b+c=0(c=3

故拋物線的表達(dá)式為y=-J+2x+3,

當(dāng)x=0時(shí)，y=3,故點(diǎn)。(0,3)；

(2)當(dāng)機(jī)=1時(shí)，點(diǎn)E(1,0),設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,a),

由點(diǎn)月、。、D的坐標(biāo)得，AC=y](0+1)2+(3-0)2=,同理可得：^-D=Va2+4>

8=Jl+(a-3)2,

①當(dāng)8=40時(shí)，即《a2+4=4l+(a-3)2,解得。=1;

②當(dāng)/C=4O時(shí)，同理可得。=±V6(舍去負(fù)值)；

故點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,1)或(1,V6)；

9.如圖，已知拋物線y=a(%+6)(%-2)過(guò)點(diǎn)。(0,2),交x軸于點(diǎn)N和點(diǎn)5(點(diǎn)/

15

在點(diǎn)3的左側(cè))，拋物線的頂點(diǎn)為。，對(duì)稱軸。E交x軸于點(diǎn)E,連接EC.

(1)直接寫出。的值，點(diǎn)月的坐標(biāo)和拋物線對(duì)稱軸的表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸DE上的點(diǎn)，當(dāng)△MCE是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)河的坐標(biāo);

【過(guò)程解答】解：(1)..?拋物線y=a(x+6)(x-2)過(guò)點(diǎn)C(0,2),

：.2=a(0+6)(0-2),

a=--,

6

二拋物線的解析式為y=-—(x+6)(x-2)=-(x+2)2+—,

663

,拋物線的對(duì)稱軸為直線k=-2；

針對(duì)于拋物線的解析式為尸-1(/6)(x-2),

令y=0,則-工(x+6)(x-2)=0,

6

.*.x=2或％=-6,

：.A(-6,0)；

、J，力nR囪MAi,UcJbrViAZ、八4nH，卅4/H枷社的IIJ去八J卜'"珠J'l柿川，、kJii-Jo、

：.E(-2,0),

VC(0,2),

，OC=OE=2,

：.CE=y/2OC=2y/2,ZCEZ)=45O,

???△CAffi是等腰三角形，

J①當(dāng)時(shí)，

ZECM=ZCED=45°,

AZCME=90°,

16

：.M(-2,2),

②當(dāng)CE=CAf時(shí),

：.MMi=CM=2,

：.EMX=\,

：.Mx(-2,4),

③當(dāng)EM=C￡■時(shí)，

：.EM2=EMi=2yj2,

：.Mi(-2,-2A/2).跖(-2,2A/2),

即滿足條件的點(diǎn)M■的坐標(biāo)為(-2,2)或(-2,4)或(-2,2^2)或(-2,-2^2);

10.如圖，拋物線、="2+旅+4交x軸于月(-3,0),5(4,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,

連接NC,BC.可為線段。8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)"作尸蹂Lx軸，交拋物線于點(diǎn)尸，交

BC于點(diǎn)、Q.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)試探究點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)0,使得以/,C,0為頂點(diǎn)的三角

形是等腰二角形.若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)0的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

［過(guò)程解答］解：(1)將點(diǎn)48的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式