函數(shù)與導數(shù)解答題特訓-2024高考數(shù)學總復習壓軸題（解析版）

專題13函數(shù)與導數(shù)解答題特訓(5年高考+3年模擬)

―最新模擬精練

1.(2024?廣東廣州?一模)已知函數(shù)/'(x)=cosx+尤sinx,xe(-7i,兀).

(1)求/(尤)的單調(diào)區(qū)間和極小值；

(2)證明：當xe[0,兀)時，2/(x)<e'+e-\

【答案】⑴遞增區(qū)間為(-私-]),(0,$,遞減區(qū)間為(-宗0),《㈤，極小值為1;

⑵證明見解析.

【分析】

(1)求出函數(shù)f(x)的導數(shù)，利用導數(shù)求出單調(diào)區(qū)間及極值.

(2)根據(jù)給定條件，構造函數(shù)，利用導數(shù)結合基本不等式推理即得.

【詳解】(1)函數(shù)/(%)=cos%+xsinx,xe(-7i,7i),求導得了'(%)=-sinx+sin%+xcosx=xcosx,

jrjr

當一兀<%<-5時，/(x)>0"(%)單調(diào)遞增；當一5<%<。時，/(%)<o,/(x)單調(diào)遞減；

當0<%苦時，/(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；當￡<%<兀時，/(x)<0,/(x)單調(diào)遞減,

所以/(X)的遞增區(qū)間為(-兀,-5，(0弓)；遞減區(qū)間為(-，0),(，兀)，”X)的極小值為"0)=1.

(2)當xe[0,兀)時，令F⑶=e*+―-2(cosx+xsinx),

求導得F'(x)=ex-e~x-2.xcosx>ex-e*A-2x,

xxxxx

令0(x)=e-e--2x,求導得"(x)=e+e^-2>2-Je-e--2=0，

函數(shù)以尤)在[0,兀)上單調(diào)遞增，則0(x)之0(0)=0,尸(x)20,/。)在[0㈤上單調(diào)遞增，

因此尸⑺。尸(0)=。所以"(x)?e'+eT.

2.(2024?河南?一模)已知函數(shù)”無)=勿11%一元2+。(4€卬.

⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若/(X)有兩個零點，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析

(2)["

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【分析】

（1）首先求函數(shù)的導數(shù)，再分和。>0兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性;

（2）首先根據(jù)（1）的結果可知。>0且/（x）V,再結合零點存在性定理，即可證明.

【詳解】⑴根據(jù)條件貝！J/'（x）=g-2x（x>0）

X

當aVO時，尸（“<。在定義域（0,+動內(nèi)恒成立，因此/（X）在（0,+時遞減;

當°>0時，由掰^）>0,解得0<x<字；/'（“<0,解得x>與

因此：當aVO時，〃x）的單調(diào)減區(qū)間為（0,+8）,無增區(qū)間；

〃>0時，的單調(diào)減區(qū)間為］字,+8）增區(qū)間為［。,呼J；

注：區(qū)間端點苫=叵處可以是閉的

2

（2）若“X）有兩個零點，有（1）可知。>0且/（尤）《/［容）

則必有/警=aln容一［浮+。>0

/7?

BPln-+l>0,解得

2e

又因/（J=--T<°，/（4〃）=<2In4a-16a2+a=Q（ln4Q-16a+l）

（8、1i-4r

即g（。=ln^-4r+ll［=4q〉一Jngr（t）=--4=----,

當,J|,+j時，g‘⑺<0恒成立，即g⑺在（|,+：|單調(diào)遞減，

（QAQ3232

可得_=ln-----+I=ln8——<0,

eee

也即得g（r）<0在，e［g，+co：恒成立，

從而可得〃x）在,'於,4。區(qū)間上各有一個零點，

綜上所述，若/（無）有兩個零點實數(shù)a的范圍為（I，+8）

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3.(23-24高二下?重慶?階段練習)已知函數(shù)了(幻=三+(。-2)/+(1-2?！?1(。€1i).

(I)若曲線y=〃尤)在(2,7(2))處的切線斜率為-1,求函數(shù)/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間；

⑵若函數(shù)f(x)在(0,+8)內(nèi)有且僅有一個極值點且對于任意x>0均有/(X)20,求。的取值范圍.

【答案】⑴(l，g);

(2)：W。W1

【分析】

(1)利用導數(shù)的幾何意義求出“，再利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.

(2)由(1)的信息求出函數(shù)的極值點，結合已知可得再求出極小值即可得解.

【詳解】(1)函數(shù)/(%)=兀'+(〃-2)/+(1-2〃)x+l的定義域為R,求導得廣(%)=3%2+2(。一2)%+(1-2。),

由曲線>=/(%)在(2"(2))處的切線斜率為—1,得1(2)=5+2Q=—1,解得々=—3,

f\x)=3x2-10x+7=(3x-7)(x-1),由/''(尤)<0,解得

7

所以函數(shù)“%)的單調(diào)遞減區(qū)間是(lq).

(2)由(1)得，/z(x)=(3x+2^-l)(x-l),由廣(乃=。，得冗=1-￡9^/71或％=1,

顯然V1-2/7,1是函數(shù)/W的變號零點，即石1-9也/7」是函數(shù)八%)的極值點，

由函數(shù)"X)在(0,+◎內(nèi)有且僅有一個極值點，得上色4。，解得a2；；

當0<x<l時，f'(x)<0,Ax)單調(diào)遞減，當x>l時，八x)>0,了⑴單調(diào)遞增，

因此函數(shù)"X)在(0,+8)上有最小值/(1)=1-。，由對于任意x>0均有/(x)NO,得/(1)20,

即解得aVI,于是:WaWl,

所以。的取值范圍是;WaWl

4.(2024?安徽合肥?一模)已知函數(shù)當x=l時，"力有極大值?

(1)求實數(shù)a，b的值；

(2)當x>0時，證明：

1+X

【答案】(l)a=l力=0

⑵證明見解析

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【分析】

(1)根據(jù)題中條件列出方程組，解出驗證即可；

(2)變形不等式，構造函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性證明即可.

【詳解】⑴函數(shù)"X)的定義域為(F,+"),且廣(X)—：*

因為x=l時，“X)有極大值；，

所以I'e,解得a=l,6=0,

廣⑴=。

經(jīng)檢驗，當。=1*=。時，〃X)在x=l時有極大值：，

所以〃=1,〃=0；

(2)由(1)知，/(x)=4>

當x>0時，要證〃x)<4，即證5<白，即證：e>x+i.

設g(x)=e"—元一1,貝ljg[x)=e*-l,

因為x>0,所以g，(x)=e"-l>0,

所以g(x)在(0,+動上單調(diào)遞增，

所以g(x)>g(O)=O,即e*-x-1>0,即e，>龍+1,

故當x>0時，/(x)<-^.

1+X

2

5.(23-24高三下?內(nèi)蒙古赤峰?開學考試)已知函數(shù)〃x)=lnx+(-q.

(1)若a=l,求曲線y=在。"(功處的切線方程；

⑵若天?0,+8),/(力之0恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1"+>-2=0

(2)?<ln2+l

【分析】

(1)求導，再根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可得解；

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(2)xe(O,+8),〃x絲O恒成立，即%?0,+8),"耳120,利用導數(shù)求出函數(shù)〃x)的最小值即可.

【詳解】(Q若“=1,則〃x)=lnx+：-L,=故〃1)="⑴=T,

所以曲線y=/(x)在(1,〃1))處的切線方程為丫-1=一(》一1),即尤+y-2=0；

(2)x?0,+8),/(x)N0恒成立,即xw(O,+鑿)J(x)1rfli20,

又尸(x)=「/?(x>2),

當0<x<2時，/r(x)<0,當x>2時，/1x)>0,

所以函數(shù)/'(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+力)上單調(diào)遞增，

所以〃x)m1n=〃2)=ln2+l--

所以ln2+l—所以a41n2+L

【點睛】方法點睛：對于利用導數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：

(1)通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(2)利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

(3)根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構造

的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放

縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.

6.(2024?四川成都?二模)己知函數(shù)/(x)=(x+a)lnx的導函數(shù)為尸(x).

(1)當“=1時，求尸(x)的最小值；

⑵若/(X)存在兩個極值點，求。的取值范圍.

【答案】(1)2

(2)(0,e-2)

【分析】

(1)求導判斷函數(shù)的單調(diào)性即可求解，

(2)求導，分類討論導函數(shù)的正負，結合零點存在性定理即可求解.

【詳解】(1)

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當a=l時，/(x)=(x+l)lnx,XG(0,+OO),/z(x)=lnx+-+l,

令函數(shù)W=lnX+'+l,XG(0,H-OO),則有/(%)='--y=

XXXX

當X￡(O,1)時，M犬)為減函數(shù)；當％￡(l,+co)時，/ir(x)>0,力⑺為增函數(shù),

所以以也向=川1)=2,即以G)的最小值為2；

因為x?0,+oo),W/r(x)=lnx+—+1,

令g(x)=7'(x)，有g'(x)=L一3=上；，

XXX

①當aWO時，因為x-a>0,所以g'(x)>0,即r(x)在(0,+力上為增函數(shù)，

所以至多存在一個修?0,”)，使得:(同=0,故〃x)不存在兩個極值點，

②當a>0時，解g,x)=O,得x=。，

故當xe(O,a)時,g/(x)<0,1(無)為減函數(shù)，當時x?a,+°o),g'(x)>0,

/'(X)為增函數(shù)，所以r(x)1rfti=7'(a)=lna+2,

(回).當lna+220,即心e.時，f'(x)>f\x)^n>Q,〃x)在(0,+少)上為增函數(shù),

故不存在極值點，

(回).當lna+2v0,即Ovave"時，

2/2>299

又因為—所以/‘二二山式"*---Fl=21n?—ln2dFl,

21212aa

又由第(1)問知lnx+」+lN2,故21na+2》2,所以尸23-ln2>0,

xaI2J

又因為1>。，又/")=a+l>0,

所在為%?a，l)使得((x)=。，

且〃x)在(0,為)，(孫+oo)上為增函數(shù)，在(%,超)上為減函數(shù)，

所以不，巧分別是丫="%)的極大值點和極小值點，

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綜上所述，。的取值范圍為(OW).

【點睛】方法點睛：

1.導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?/p>

題.注意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)

值問題處理.

2.利用導數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論

和數(shù)形結合思想的應用.

3.證明不等式，構造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這

種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.

7.(23-24高三下?江蘇蘇州?階段練習)已知函數(shù)g(x)=x3+/+6xg,beR)有極值，與函數(shù)〃x)=(x+a)e”

的極值點相同，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

⑴直接寫出當。=1時，函數(shù)“X)在x=l處的切線方程；

(2)通過計算用a表示b；

7

⑶當a>0時，若函數(shù)*尤)=〃%)—g⑺的最小值為"(a),證明：

［答案］(l)y=3ex_e

(2)Z?=-a2-4a-3,("一萬］

⑶證明過程見解析

【分析】⑴將a=1代入解析式得/(x)=(X+1廣，求導得尸(x)=(x+2)e*,分別求得"1)=2e和(⑴=3e,

利用點斜式求得切線的方程；

(2)推導出了'(x)=(x+a+l)e3令八尤)=0,得x=—a—1,求出g'(x)=3d+2辦+b,從而可得，(一。-1)=0,

由此即可求解；

(3)尸(x)=/(x)_g(尤)=(x+a)e*—(A3+依2+6尤)，求得

尸'(x)=(尤)一g'(尤)=(x+a+l)e*—(3f+2依+匕)=(尤+°+1乂1—3x+a+3),令力(x)=e"—3x+a+3,則

//(x)=e*-3,令〃(x)=0,得到x=ln3,Zz(ln3)=6-31n3+c為〃(x)最小值，推導出廠(一。一1)為尸(x)的最

小值，從而證得結果.

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【詳解】(1)當a=l時，/(x)=(x+l)e\/,(x)=(x+2)e\

從而〃l)=2e,/")=3e,

所以函數(shù)〃x)在x=l處的切線方程為y=3ex-e；

(2)因為無)=(x+a+l)e",令尸(x)=0,得x=-a-l,

當一時,r(x)＜o,/(X)單調(diào)遞減,

當彳＞一4一1時，/^X)＞0,/(無)單調(diào)遞增，

故彳=-4-1是函數(shù)〃尤)的極小值點；

又因為g,mhBx2+2ax+b,

所以g'(-a-1)=3(a+1)~—2a(a+1)+6,

整理得6=-4-4a-3,

又當6=—a2—4a—3時，g'(x)=3x2+2ax-(a+l)(a+3)=(x+a+l)(3x-a-3),

若要使得函數(shù)g(x)=x3+ax2+bx(a,beR)有極值，

則還需一a—lw等，即aw—T，

_

綜上所述，b=—a2-4a—3_j；

(3)因為尸(%)=/(%)—g(x)=(x+a)e"—(%3+av2+區(qū))，且由(？)可知且，(%)=(%+〃+1)(3無一〃一3),

所以尸(%)=/'(%)-g'(x)=(%+Q+l)e，一(X+〃+1)(3%—〃一3)=(%+〃+D(e*-3x+a+3),

令力(x)=e"—3無+a+3,則/(％)=e"-3,

令〃(x)=0,得到尤=ln3,

當尤＜ln3時，”(x)v。,網(wǎng)%)單調(diào)遞減,

當力＞如3時,人(力單調(diào)遞增，

所以〃(力.=介(1113)=1一3九+〃+3=3(2—1113)+々＞〃＞0,

所以

從而令尸'(犬)=0,得X=-〃一1,

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當-1時，F(xiàn),(x)<0,〃尤)單調(diào)遞減，

當彳>一。一1時，F(xiàn)(x)>0,/(無)單調(diào)遞增，

a-12

所以A/(°)=尸(x)1nhi=F(-a-l)=一片°7—[(-a—I]+a(—。-+6(-q—1)]=-e--(a+l)(o+2),

令/'=—<2—1,貝Ur<—1,記〃z(f)=—e'一?(1—r),r<—1,

貝！]7”(f)――e'+3/—2t,t<—1,

因為<-ef<0,3產(chǎn)一2/>5,

所以加⑺>0,祖(/)單調(diào)遞增，

177

所以機=gpM(a)<--.

8.(2024■福建漳州■一模)已知函數(shù)〃x)=alnx-x+a,aeR且a#0.

⑴證明：曲線y=〃龍)在點。，/⑴)處的切線方程過坐標原點.

⑵討論函數(shù)〃x)的單調(diào)性.

【答案】⑴證明見解析

(2)答案見解析

【分析】

(1)先利用導數(shù)的幾何意義求得f(無)在(1,/。))處的切線方程，從而得證；

(2)分類討論aWO與a>0,利用導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性即可得解.

【詳解】(1)因為/(x)=aln尤一無+a(x>0),所以f(x)=@-1=生，

貝i]/(l)=alnl_l+a=〃_l,f(I)=a-l,

所以f(x)在(I"⑴)處的切線方程為:y-3-l)=(a-l)(x-l),

當％=0時，y-(a-l)=(?-1)(0-1)=-(6/-1),故y=0,

所以曲線>=/(尤)在點(L〃1))處切線的方程過坐標原點.

(2)由(1)得/(尤)=@一1=匕，

XX

當〃W0時，a-x<Q,則/故“%)單調(diào)遞減；

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當〃>0時，令—食)=。貝!)X=〃，

當0<x<〃時，//(x)>0,/(%)單調(diào)遞增；

當時，f(x)<0,〃犬)單調(diào)遞減；

綜上：當時，/(九)在(。,+00)上單調(diào)遞減；

當a>0時，/(%)在(0,。)上單調(diào)遞增，在3收)上單調(diào)遞減.

3

9.(2024?安徽黃山?一模)已知函數(shù)〃元)=y2-4辦+”21nx在尤=1處取得極大值.

(1)求。的值；

(2)求“X)在區(qū)間1,e上的最大值.

【答案】⑴3

【分析】

(1)求導，然后令ra)=o求出x,代入》=1驗證是否符合題意即可；

(2)求導，確定函數(shù)在區(qū)間-,e上的單調(diào)性，進而可求最大值.

e_

【詳解】(1)由已知［(x)=3x-4a+且=3/-4"+/=(3x-a)(X-a)

XXX

令r(x)=o得』或了=與，

當“=1時，令/(x)>0得0c或x>l,令r(x)<0得g<x<l,

故函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

此時函數(shù)/'(X)在x=；處取極大值，在X=1處取極小值，與函數(shù)/(X)在X=1處取得極大值不符;

當■|=1,即“=3時，令r(x)>。得。<彳<1或》>3,令/'(x)<0得l<x<3,

故函數(shù)”X)在(-8,1)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，在(3,+8)上單調(diào)遞增，

此時函數(shù)“X)在X=1處取極大值，在x=3處取極小值，符合題意；

所以4=3;

(2)由(1)得/'(司二^/—管工+叼皿，尸(元)=3(.DU3),”1,e

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令/'(x)>0,得:<x<l,函數(shù)單調(diào)遞增，

令/'(x)<0,得l<x<e,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，

371

所以八同皿*=41)=5-12一萬?

10.(23-24高三下?陜西安康?階段練習)記函數(shù)”力的導函數(shù)為數(shù)為),尸(X)的導函數(shù)為尸(X),設。是

外”的定義域的子集，若在區(qū)間。上尸(x)40,則稱〃尤)在。上是"凸函數(shù)".已知函數(shù)〃x)=asinxr2.

(1)若〃x)在0,|上為"凸函數(shù)〃，求”的取值范圍；

⑵若a=2,判斷g(x)=〃x)+l在區(qū)間(0,兀)上的零點個數(shù).

【答案】(1)［一2,內(nèi))

(2)1個

【分析】

7T

(1)根據(jù)"凸函數(shù)"定義對函數(shù)求導，由不等式-asinx-24。在0,萬恒成立即可求得。的取值范圍；

(2)易知g(x)=2sinx-/+l,由導函數(shù)求得其在(0,兀)上的單調(diào)性，利用零點存在定理可知零點個數(shù)為1

個.

【詳解】(1)由〃x)=asinx—/可得其定義域為R,且尸(x)=acosx—2尤，

所以/'"(%)=-asinx-2,

若〃x)在0段上為"凸函數(shù)"可得/(x)=-asinx-2W0在0,1恒成立，

當。20時，顯然符合題意；

7T

當時，需滿足一asin,—2W0,可得一2Wa<0；

綜上可得a的取值范圍為［-2,+8)；

(2)若〃=2,可得g(x)=2sinx—九2+1,所以短(九)=2cosx—2%,

令/I(X)=2COSJV-2X,則//(九)=-2sinx-2；

易知"(X)=-2sinX-2Vo在區(qū)間(0,兀)上恒成立，

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因此可得人（九）=g'（%）=2cos2%在（0,兀）上單調(diào)遞減；

顯然gH=2cos￡-2x￡=若一4>。，gd=2cos：_2x：=V^_]<0；

根據(jù)零點存在定理可得存在x。e"使得g'（x0）=2cosx0-2x0=0,

因此可知當Xu?,%）時,g,（x）>0,即g（x）在（0,與）上為單調(diào)遞增；

當無€伉,兀）時,g[x）<0,即g（尤）在（七,兀）上為單調(diào)遞減；

Xg（0）=2sin0-02+l=l,顯然在（O,x。）上g（x）不存在零點；

而g（兀）=2sin兀-兀2+1=1-7?<0,結合單調(diào)性可得在小,兀）上g⑺存在一個零點；

綜上可知，g（x）=〃尤）+1在區(qū)間（0㈤上僅有1個零點.

11.（23-24高三下?江蘇南通?開學考試）已知函數(shù)/（x）=alnxr+l,其中aeR.

⑴若曲線y=/（x）在x=i處的切線在兩坐標軸上的截距相等，求。；

（2）求函數(shù)“X）的單調(diào)區(qū)間.

【答案】⑴1

（2）答案見解析

【分析】

（1）借助導數(shù)的幾何意義及截距的定義計算即可得；

（2）借助導數(shù)分類討論即可得.

【詳解】（1）貝=/（l）=?lnl-l+l=0,

X1

故曲線y=〃x）在X=1處的切線為y-o=（aT）（尤一1），

即y=（a-l）x-（a-1）,

當awl時，令x=0,有y=—（a—l）,

令y=。，有%=1,故一（。-1）=1,即a=0,

此時〃無）=-%+1,無切線，故不符合要求，故舍去；

當a=l時，此時切線為>=。，符合要求，故a=l

第12頁共47頁

/、「，(、Q—x+a八

(2)f(x)=1=--------,x>0,

XX

則當aWO時，/(x)=E^V0在(O,+s)上恒成立，

故〃尤)在(0,+動上單調(diào)遞減；

當a>0時，令尸(x)=0,貝［|x=a,

當xe(0,4)時，制x)>0,當xe(a,+co)時，/,(x)<0,

故〃尤)在(0,“)上單調(diào)遞增，在(a,內(nèi))上單調(diào)遞減；

綜上所述，當aWO時，〃尤)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

當a>0時，/(尤)在(O,a)上單調(diào)遞增，在(a,內(nèi))上單調(diào)遞減.

12.(2024?重慶?模擬預測)已知函數(shù)f(x)=a(x+a)-Inx(aeR)

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)證明：當a>0時，/(x)>31nfl+2

【答案】⑴答案見解析

(2)證明見解析

【分析】

(1)根據(jù)題意，求導可得尸(x),然后分與。>0討論，即可得到結果；

(2)根據(jù)題意，由(1)可得的最小值為了(1,構造函數(shù)g(x)=f-21nx-l(x>0),轉(zhuǎn)化為乳龍)的

最小值大于等于零，即可證明.

【詳解】(1)

依題意x>。，/'(尤)=〃，

當a?0時，/'(九)<0,

當a>0時，由/?x)>0得無>：,由/'(x)<0得0<x<：,

即當a40時函數(shù)在(。,+8)是減函數(shù)；

第13頁共47頁

當a>0時在(。,￡|是減函數(shù)，〃x)在，+，|是減函數(shù)；

(2)

由(1)知當。>0時，的最小值為=1+/+lna,

1+a?+Inci—(3Ina+2)=—2Ina—1,

設g(x)=X2-21nx-l(x>0),

貝Ug(x)=2x——=----------,

XX

回函數(shù)g(x)在(0,1)是減函數(shù)，在。,+°°)是減函數(shù)，

即g(x)的最小值為g⑴=f—21nl—1=0,即g(x)Ng(l)=0,

0g(a)>O,即的最小值/[￡|=l+a2+lna231na+2,

E/(x)>31na+2.

13.(2024高三?全國?專題練習)已知°>0,函數(shù)“x)=ox-xe，證明〃x)存在唯一的極值點.

【答案】證明見解析

【分析】

求導，構造函數(shù)g(x)=(x+l)e"判斷函數(shù)的單調(diào)性，結合函數(shù)單調(diào)性作出函數(shù)圖象，即可判斷求解了(盼的

單調(diào)性，進而可求.

【詳解】

令/'(x)=a-(尤+l)e*=0,貝ija=(x+l)e*,

令g(x)=(x+l)e，,則g'(x)=(x+2)e*,

當xe(-oo,-2)時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當xe(-2,+oo)時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

當x--8時，g(x)<0,g(-l)=0,當x-+8時，g(x)>0,

畫出g(x)大致圖像如下：

第14頁共47頁

所以當。>0時，y=a與y=g(x)僅有一個交點，令g(力2)=。，貝S.fXrn)=a-g(m)=0,

當xe(—o,附時，a>g(x),則/'(x)>0,單調(diào)遞增，

當無?機,+功時，a<g(x),則/'(x)<0,單調(diào)遞減，

x=m為/(%)的極大值點,故f(x)存在唯一的極值點；

14.(23-24高三下?上海?開學考試)已知函數(shù)

⑴討論函數(shù)〃尤)的單調(diào)性和極值；

⑵記曲線c：y=〃x)在x=0處的切線為/,求證：/與C有且僅有1個公共點.

【答案】①答案見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)利用函數(shù)單調(diào)性、極值與導數(shù)的關系進行求解即可；

(2)根據(jù)導數(shù)的幾何意義，結合導數(shù)的性質(zhì)進行運算證明即可.

【詳解】(1)因為〃尤)=^^,則尸⑺」-1,

ee

4/^)>0,得令/'(x)<0,得或X>竽；

則“X)在［匕*，上卓］上單調(diào)遞增，在匕盧］，［上?，+］上單調(diào)遞減.

I22JI27I27

從而“X)的極小值、極大值分別為

第15頁共47頁

由⑴可知/'(0)=1,〃0)=0,所以曲線c：y=/(x)在x=0處的切線的方程為：y=x；

2

令〃x)=x,即X+X=X,得x=0或x+l=e",

ex

當尤=0時，y=0,此時，/與C有公共點(0,0),

當時x+l=e*，設g(x)=e'-xT=/(x)=e*-l,

當x<0時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

當x>0時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

所以g(x)n>in=g(°)=°，

EPg(%)=eA-x-l>0^er>x+l,當且僅當x=0時取等號，

所以由尤+l=yox=0,即y=o,此時/與C有公共點，

綜上所述：/與C有唯一公共點.

15.(2024高三?全國?專題練習)已知二次函數(shù)/(耳=爐-2(0-1卜+4

⑴若了⑺為偶函數(shù)，求/⑺在[T,2]上的值域；

(2)當xe[l,2]時，/(*)>辦恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)[4,20]

(2)a<2

【分析】(1)利用偶函數(shù)的定義求出。，再利用二次函數(shù)求出值域即可得;

(2)變形給定不等式，分離參數(shù)構造函數(shù)，求出函數(shù)最小值即可得解.

【詳解】(1)

函數(shù)〃無)定義域為R，由人龍)是偶函數(shù)，得+〃尤)=0,

即(--2(a-1)(-x)+4--2(a-l)x+4]=0,

整理得4(a-l)x=0,而x不恒為0,

因此a=l,函數(shù)/(尤)=V+4,

當尤e[-4,2]時，/(x)在(T,0)上單調(diào)遞減，在(0,2)上單調(diào)遞增，

于是AM疝n=〃°)=4,又/1)=20，42)=8,則y(x)1mx=20，

第16頁共47頁

所以Ax)在［T2］上的值域是［4,20］；

(2)

不等式>QOx?-2(。一1卜+4>ox<=>3ox<x?+2x+4,

依題意，Vxe［l,2］,3a<x+-+2,而對勾函數(shù)y=x+4在(1,2)上單調(diào)遞減，

XX

當x=2時，/。=4,

即當x=2時，|x+—+2|=6,則3“<6,解得a<2,

I%Jmin

所以實數(shù)。的取值范圍是。<2.

16.(2024?江蘇南通?二模)設函數(shù)/(x)=sin(0x+e)(0>O,O<e<7r).已知〃無)的圖象的兩條相鄰對稱軸間

的距離為，且

(1)若〃尤)在區(qū)間(0,m)上有最大值無最小值，求實數(shù)m的取值范圍；

⑵設/為曲線y=/Q)在x=處的切線，證明：/與曲線y=/(x)有唯一的公共點.

O

【答案］⑴五<,工五

⑵證明見解析

【分析】

(1)根據(jù)周期以及/(1)=-g可求解/(x)=sin(2x+3,進而根據(jù)整體法即可求解，

(2)求導，根據(jù)點斜式求解切線方程，進而構造函數(shù)8(*)=2,+0-而12天+。，利用導數(shù)判斷函數(shù)的

單調(diào)性，即可求解.

【詳解】(1)由題意可得周期T=@=2xg,故。=2,

CD2

,,無、.(無)11

/(--)=sin--+(5l=-cos^=--=>cos(5=-,

由于°€(0,兀)，故e=g,

故〃x)=sin(2x+|J,

當xe(O,m)時，2x+］e［5,2m+1^,

第17頁共47頁

由于〃尤)在區(qū)間(。,加)上有最大值無最小值，故5＜2加+々4￥，解得已＜加4號,

71/7兀

故一<m<——

1212

(2)/(x)=2cosf2x+y

故直線/方程為＞=21+巳

令g(x)=21x+^]-sin[2x+1J,則g,(x)=2-2cos^2x+-|j>0,

故g(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，又g,E[=°，

因此g(x)有唯一的的零點

故/與曲線y=/(x)有唯一的交點，得證.

17.(2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模)已知函數(shù)/(x)=(x-2)e*-x2+2x+3

(1)求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵令g(x)=/'(x)，求g(x)在X=ln2處的切線/的方程，并證明g(x)的圖象在直線/的上方.

【答案】①增區(qū)間是(-通比2)和(1,+8)1⑺的減區(qū)間是(ln2,l)

(2)y=(21n2-2)(x-ln2),證明見解析

【分析】

(1)對函數(shù)f(x)求導并根據(jù)導函數(shù)符號可得其單調(diào)區(qū)間；

(2)利用導函數(shù)的幾何意義可求得切線/的方程，構造函數(shù)Mx)=g(x)-(21n2—2)(x—ln2),求出其最值可

證明人(力20恒成立即可得出結論.

【詳解】(1)

“X)的定義域為R,

則/'(尤)=(無一1"工―2x+2=(x—l乂e*—2),xeR

當無＞1或x＜ln2時，((司＞04(力在(1,包)上單調(diào)遞增；

第18頁共47頁

當In2c<1時，r(x)<O,/(x)在(ln2,l)上單調(diào)遞減；

所以〃尤)的增區(qū)間是(—Un2)和(l,+8)J(x)的減區(qū)間是(ln2,l).

(2)

由(1)知g(x)=F'(x)=(xT)(e"-2),xeR,

則§'(x)=xe*-2,xeR,

又g'(ln2)=ln2eln2-2=21n2-2,g(ln2)=(ln2-l)(eln2-2)=0,

所以g(x)在x=ln2處的切線方程/為y=(21n2-2)(x-ln2)

令=g(x)-(21n2_2)(x-ln2)=(x_f)(e*_2)_(21n2_2)(x-ln2),xeR,

則〃'(x)=xex—21n2,xeR,

令〃(zx)=h'(x)=%er-21n2,xeR,可得加(x)=(x+1)e*,xeR

當x>-l時，加(x)>O,/z'(x)在(T+oo)上單調(diào)遞增；

當x<-1時，加在(Y°,-1)上單調(diào)遞減；

所以當x=-l時，力'(力取得最小值“⑴=—T-21n2<0,

當x趨近于-8時，/(x)趨近于0,又/l)=e—21nZAOM'OZblnZeSZ—ZlnZuO；

故當x>ln2時，〃'(》)>。,/2(%)在(1112,+00)上單調(diào)遞增；

當x<ln2時，"(尤)<0,〃(x)在(-jln2)上單調(diào)遞減；

因此當x=ln2時,囚x)取得最小值/z(ln2)=0,

即h(x)>/?(ln2)=。恒成立，所以g(x)“21n2-2)(x-ln2)恒成立

所以g(x)的圖象在直線/的上方.

18.(2024?浙江金華?模擬預測)已知函數(shù)〃x)=(cosx-l)e-1

⑴求函數(shù)在x=0處的切線方程；

(2)當xe(O,兀)時,求函數(shù)的最小值.

【答案】(i)y=o

第19頁共47頁

【分析】

(1)由導數(shù)的幾何意義得出切線方程；

(2)對函數(shù)求導，用導數(shù)方法判斷函數(shù)在(0,兀)上的單調(diào)性，即可得出結果.

【詳解】(1)由〃x)=(cosx—1)。

得r⑴=(一sinx)e「(：osx-l)e'-sinx-cosx+1

(1)2

所以〃0)=0,尸(0)=0,

函數(shù)/(X)在x=o處的切線方程y=o

當0<丁<二時，—<x+—<~,則-04-夜sin[x+工]<一1,

2444I4)

所以y=-sinx-cosx+l=-V5sin[x+：j+l<0,所以/

所以〃x)在0個單調(diào)遞減；

當工<尤<兀時，—<x+—<—,貝lj-l<0sin(x+巴]41,

2444V4J

止匕時y=-sinx-cosx+l=-0sin[x+：)+l>O,

所以〃尤)在看冗單調(diào)遞增，

所以當x=]時，函數(shù)f(x)取得最小值；

所以當x?0㈤時，函數(shù)“X)的最小值為/[J=-e^

19.(2024?四川成都?二模)記5“(元)=尤+尤2+/++X"-2(XWR,〃CN*).

⑴當x=2時，、(2)為數(shù)列｛見｝的前〃項和，求｛4｝的通項公式;

⑵記當期(%)是S2024(x)的導函數(shù)，求S￡(2).

第20頁共47頁

▼由冷、..[0,n=l,

【答案】⑴凡

[2,n>l.

⑵％24⑵=2023x22024+1

【分析】

[5,,n=1

(1)由S”與。”的關系凡={、。求解即可.

IS"-5"T，〃N2

(2)先求導，再根據(jù)錯位相減求解即可.

【詳解】(1)當”=1時，0(=5](2)=0.

2zn

當“22時，a?=S?(2)-S?_1(2)=(2+2+2"-2)-(2+2+2"-'-2)=2.

又當〃=1時，1=0不滿足上式，

所以"[0,，，心n=l

(2)$2024(x)=X+X?+x，++x~°~4-2,

22023

.-.S^24(X)=1+2X+3X++2O24%.

S；必⑵=1+2x2+3x22++2O24X22023①

2S；o24(2)=2+2x2?+3x23+-+2O24x22024@

220232024

①-②得，-S；024(2)=1+1X2+1X2++1X2-2024X2

i_Q2024

=—-----2024x22024=-2023x22024-1.

1-2

2024

.?.S^024(2)=2023X2+1.

20.(23-24高三下?四川雅安?開學考試)已知函數(shù)f(x)=x(lnx—a)+lnx+a.

(1)若a=l,當x>l時，證明：/(x)>0.

(2)若。<2,證明:〃尤)恰有一個零點.

【答案】⑴證明見解析

⑵證明見解析

第21頁共47頁

【分析】

(1)根據(jù)題意，求導可得用勾>0,即可得到“X)在。,內(nèi))上單調(diào)遞增，再由〃x)>〃l)=O,即可證

明；

(2)根據(jù)題意，構造函數(shù)g(x)=lnAa+—+/,求導可得g'(x)>0,即g(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增，再

結合g(l)=O,即可證明.

【詳解】(1)

證明：因為4=1,所以/'(x)=xlnx-x+lnx+l,f'[x)=\nx+—.

當x>l時，制x)>0,則〃x)在。,包)上單調(diào)遞增，

所以當x>l時，，(龍)>/(1)=0.

(2)

1Inxa

/(x)=x(inx-a)+\nx+a=xInx-ciH-----1—

xx

令g(x)=ln%_Q+^^+@,貝|g1%)」十1—Inxax+l-\nx-a

ix—A

令/?(無)=x+l-lnx-17,貝！|〃(尤)=]——=---.

當xe(O,l)時，〃(x)<0,從尤)在(0,1)上單調(diào)遞減，當x?l,+8)時,〃⑺>0,無⑺在(1,+8)上單調(diào)遞增,

所以/?(x)2/z(l)=2-a>0,所以g'(x)=x

則g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

因為g(l)=o,所以g(x)恰有一個零點，則f(元)恰有一個零點.

第22頁共47頁

真題實戰(zhàn)演練

1.(2022?全國?高考真題)已知函數(shù)

(1)當。=1時，討論了(X)的單調(diào)性；

(2)當x>0時，J(x)<-1,求。的取值范圍；

111,,八

(3)設〃eN",證明：「+/,++/,>ln(w+l).

V1+1V22+2-Jn2+n

【答案】⑴的減區(qū)間為(F,0),增區(qū)間為(0,y).

⑵*

⑶見解析

【分析】(1)求出尸(力，討論其符號后可得f(x)的單調(diào)性.

(2)設Mx)=xem-ex+l,求出先討論a>g時題設中的不等式不成立，再就0<a?g結合放縮法

討論”⑺符號，最后就aW0結合放縮法討論網(wǎng)%)的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.

(3)由(2)可得21nf<一；對任意的"1恒成立，從而可得ln(〃+l)-ln1

n</2一對任意的HGN*恒成立,

7n+n

結合裂項相消法可證題設中的不等式.

【詳解】(1)當a=l時，/(x)=(x-l)e\貝1」1(力=朧，,

當％<0時，yr(x)<o,當％>o時，

故〃力的減區(qū)間為(-8,0)，增區(qū)間為(0,+。).

(2)設/z(x)=xe依一e*+l,則,(0)=0,

又“(%)=(1+依)產(chǎn)—e",設g(x)=(l+ax)e以—e*,

則短(%)=(2〃+〃2X)產(chǎn)一/,

若*,貝/(0)=2。-1>0,

因為g'(x)為連續(xù)不間斷函數(shù)，

故存在飛e(0,+°o),使得Vxe(O,%),總有g'(x)>0,

第23頁共47頁

故g(x)在(0,%)為增函數(shù),故g(x)>g(o)=o,

故無(x)在(0,飛)為增函數(shù),故/i(x)>M0)=。，與題設矛盾?

若0<a4；,貝I"/(x)=(1+依)——/=U"。+狗一

下證：對任意x>0,總有l(wèi)n(l+x)<x成立,

證明：設S(x)=ln(l+x)—x,故S'(x)=^----1=-——<0,

故S(x)在(0,+功上為減函數(shù),故s(x)<s(o)=o即ln(l+x)<x成立.

由上述不等式有em+，n(l+ar)-ex<eai+ar-ex=e2av-e*<0，

故h'(x)<。總成立，即力⑴在(0,+s)上為減函數(shù)，

所以/z(x)<M0)=0.

當aVO時，有//(x)=e"、一e"+6zxe"‘<1—1+0=0,

所以/z(x)在(0,+oo)上為減函數(shù)，所以<〃(0)=0.

綜上，a~^,'

(3)取。=g，則Vx>。，總有xe3_e,+l<0成立，

令/則》>1，/=e=x=21nr,

故2rhn<〃_i即2int<r-；對任意的r>i恒成立.

所以對任意的"cN*,有21%尸<、尸一、工,

VnVnVn+1

整理得到：ln(n+l)-lnn</1,

7rl+n

故/]:+pJ_^++,>In2-In1+In3-In2++ln(n+l)-lnn

Vl2+1A/22+2\ln2+n

=ln(n+l),

故不等式成立.

【點睛】思路點睛：函數(shù)參數(shù)的