2023-2024學(xué)年上海市華東高二年級(jí)下冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)試卷含詳解

華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)2023學(xué)年第二學(xué)期期中考試

I口」■了，

（考試時(shí)間：120分鐘卷面滿分：150分）

一、填空題（1~6題每題4分，7~12題每題5分，共54分）

1若復(fù)數(shù)z滿足z（l+i）=l-i,則2=.

2.袋中有10個(gè)球，有紅球和黃球兩種類型.小明有放回地取10000次，有6973次取到紅球，有3027次取到黃球，

那么紅球最有可能有個(gè).

3已知/（*）=八麻則/'（"=.

2

A=[x\3<x<5,%GZ）人

4.已知集合1I兀那么A的真子集有個(gè).

5.C°024-C；024+Cl024-Cl024++C黑：=

6.”力是不共線的兩個(gè)向量，但總與優(yōu)+1）“+12”是共線向量，則左=.

7.若/（%）=丁-x-2024（xwR）,則八％）減區(qū)間是.

8.10件產(chǎn)品中有8件合格，2件次品，一次取兩件產(chǎn)品，其中有次品的概率是.

9.在空間中有三點(diǎn)A5c滿足AB=BC=啦，CA=6在空間中取兩個(gè)點(diǎn)（不計(jì)順序），使得這5點(diǎn)可以組

成正四棱錐，這兩點(diǎn)的選法數(shù)是.

10.設(shè)數(shù)列入的通項(xiàng)公式為""=1+2C：+22C；+23C：++2〃C：（“eN）,其前九項(xiàng)和為S“，則使

S”〉2024的最小〃是.

11.4位同學(xué)參加某種形式的競(jìng)賽，競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：每位同學(xué)必須從甲、乙兩道題中任選一題作答，選甲題答對(duì)得100

分，答錯(cuò)得一100分；選乙題答對(duì)得90分，答錯(cuò)得一90分.若4位同學(xué)的總分為0,則這4位同學(xué)不同得分情況的

種數(shù)有種.

12.已知正方形A3C。的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，四個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)/（”=/+次的圖象上.若正方形A3C0唯一確

定，則實(shí)數(shù)力的值為

二、選擇題（13?14題每題4分，15?16題每題5分，共18分）

13.已知。<上<°,那么下列不等式成立的是（）

14.從5位男教師和4位女教師中選出3位教師，派到3個(gè)班擔(dān)任班主任（每班1位班主任），要求這3位班主任

中男、女教師都要有，則不同的選派方案共有

A.210種B.420種C.630種D.840種

15.設(shè)函數(shù)/(x)=acosGx(aw0Q>0),若將的圖象向左平移看個(gè)單位長度后在。弓上有且僅有兩個(gè)

零點(diǎn)，則⑷的取值范圍是()

W「713、B.j［2,4八)C.匕「7,4八)D「［型c13、

16.已知函數(shù)“X),g(x)的定義域是R,g(x)的導(dǎo)函數(shù)為g'(x),且〃x)+g'(x)=5,

/(x-l)-g,(5-x)=5,若g(x)為偶函數(shù)，則下列說法中錯(cuò)誤的是()

A./(。)=5

B./(1)+/(2)+/(3)+..+/(2024)=10120

C.若存在%使/⑴在［0,%］上嚴(yán)格增，在［%2］上嚴(yán)格減，則2024是g(x)的極小值點(diǎn)

D.若〃龍)為偶函數(shù)，則滿足題意的“X)唯一，g(x)不唯一

三、解答題(17?19題每題14分，20?21題每題18分，共78分)

17.如圖，四棱錐P-A8CD的底面是矩形，側(cè)棱底面ABC。，E是PO的中點(diǎn)，B4=2,AB=1,A￡)=2.

(1)求證：PB〃平面ACE；

(2)求直線CP與平面ACE所成角的正弦值;

18.在?ABC中，acosC+ccosA=bcosB-

3

(1)求NB；

(2)若a=12,D為邊的中點(diǎn)，且A￡>=3,求b的值.

19.擲兩次質(zhì)地均勻的骰子

(1)若其中有一次點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)，則在此情況下另一次也是偶數(shù)概率.

(2)設(shè)事件4={第一次的點(diǎn)數(shù)為4},事件5={兩次點(diǎn)數(shù)和為6},事件C={兩次點(diǎn)數(shù)和為7},判斷事件A

和事件B是否獨(dú)立，事件A和事件C是否獨(dú)立?

22的右頂點(diǎn)為A(2,0),區(qū)廠是雙曲線。上兩點(diǎn)，過A作斜率為4

20.已知雙曲線C：二—二=1的直線/,/與雙

片b2

曲線只有A點(diǎn)這一個(gè)交點(diǎn).

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求AAEF的面積；

(3)已知點(diǎn)。(4,3)和雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn)MN,滿足ZWLDN,過點(diǎn)。作于a點(diǎn)，證明："點(diǎn)在

一個(gè)定圓上，并求定圓的方程.

21.若實(shí)數(shù)集A,B對(duì)任何aeA,beB,均有(1+。丫21+ab,則稱A-8具有伯努利型關(guān)系.

(1)若集合M={x|x?l},N表示自然數(shù)集，判斷是否具有伯努利型關(guān)系；

(2)設(shè)集合S={H尤>_1},T={x\x>t},若SfT具有伯努利型關(guān)系，求非負(fù)實(shí)數(shù)/的取值范圍；

(3)設(shè)〃為正整數(shù)，利用(2)中結(jié)論證明下面不等式：

華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)2023學(xué)年第二學(xué)期期中考試

I口」■了，

(考試時(shí)間：120分鐘卷面滿分：150分)

一、填空題(1~6題每題4分，7~12題每題5分，共54分)

1.若復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=l_i,則2=.

【答案】-i

【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求得結(jié)果即可.

1-z(l-z)(l-z)-2i.

【詳解】由題知，Z=「=:<==—z,

1+z(l+z)(l-z)2

故答案為：—i

2.袋中有10個(gè)球，有紅球和黃球兩種類型.小明有放回地取10000次，有6973次取到紅球，有3027次取到黃球,

那么紅球最有可能有個(gè).

【答案】7

【分析】利用頻率近似紅球的所占比例可得答案.

【詳解】因?yàn)榧t球所占比例為-----xl00%=69.73%,

10000

所以紅球的個(gè)數(shù)最有可能有10x69.73%X7.

故答案為：7

3.已知/(%)=%?siiu,則/'(%)=.

【答案】sinx+xcosx

【分析】由導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則即可求解.

【詳解】f(^:)=1-sinx-cos%=sinx+xcosx.

故答案為：sinx+xcosx.

4.已知集合4=k|3?/<5,那么A的真子集有個(gè).

【答案】3

【分析】先求解集合A,然后可得答案.

【詳解】A={x[3<x2<5,xeZ}={—2,2},所以A的真子集有2?—1=3個(gè).

故答案為：3

?「0_01?02_03..02024_

)12024.12024十12024—12024十十2024---------------

【答案】0

【分析】利用二項(xiàng)式定理展開式合并即可.

【詳解】c°024-a024+c?024-ci024++c歌：

3

=C2024+C；024(T)l+G024(TP+C2024(-1)++C第㈠廣

=(l-l)2024=0.

故答案為：o

6.a力是不共線的兩個(gè)向量，但:+/與(k+1”+128是共線向量，則左=.

【答案】-4或3.

【分析】由題意引入?yún)?shù)X,得a+妨=2(左+l)a+12XZUeR,結(jié)合平面向量基本定理可得關(guān)于4,4的方程組,

解之即可.

【詳解】由題意設(shè)a+左人=X[(左+l)a+12Z?]=2(^+l)tz+122Z?,2eR,

因?yàn)槭遣还簿€的兩個(gè)向量，

所以/，解得〈3或4.

122=k,.

i[K=-4[k=3

故答案為：T或3.

7.若/(到=三+――%—2024(xeR),則的減區(qū)間是.

【答案】[-由

【分析】令/'(x)=3f+2x—1<0,解一元二次不等式即可得解.

【詳解】/,(x)=3x2+2x-l(xeR),4/(x)=3x2+2x-l<0,解得一l<x<；,

從而"％)的減區(qū)間是

故答案為：[一1虧],

8.10件產(chǎn)品中有8件合格，2件次品，一次取兩件產(chǎn)品，其中有次品的概率是.

17

【答案】—

45

【分析】由古典概型概率計(jì)算公式、對(duì)立事件概率關(guān)系以及組合數(shù)即可得解.

P22817

【詳解】一次取兩件產(chǎn)品，其中有次品的概率是P=1=1=77.

C；n4545

17

故答案為:

45

9.在空間中有三點(diǎn)A5c滿足AB=BC=&，CA=6，在空間中取兩個(gè)點(diǎn)（不計(jì)順序），使得這5點(diǎn)可以組

成正四棱錐，這兩點(diǎn)的選法數(shù)是.

【答案】3

【分析】先證明所求的正四棱錐的側(cè)棱長均為0,底面是邊長為班的正方形或?qū)蔷€長為后的正方形，然后分

兩種情況討論，進(jìn)而得到所求的正四棱錐的個(gè)數(shù)，即兩點(diǎn)的選法數(shù).

【詳解】正四棱錐的底面是正方形，其四條邊相等且四個(gè)角都是直角；四條側(cè)棱的長度也都相等.

這表明，在一個(gè)正四棱錐中，兩頂點(diǎn)之間的距離只有三種可能的取值：側(cè)棱長，底面邊長，底面對(duì)角線長.同

時(shí)，側(cè)棱長一定大于底面對(duì)角線長的一半.

假設(shè)點(diǎn)8是底面中的一個(gè)頂點(diǎn)，則在四棱錐中，點(diǎn)8總共引出一條側(cè)棱，一條底面對(duì)角線，兩條底面的邊.

現(xiàn)在點(diǎn)B引出了兩條線段且長度均為0.

由于A32+3C2=2+2=4W3=C42,所以/ABC不是直角，故不可能都是底面的邊；

由于A5BC長度相等，而底面的對(duì)角線和底面的邊的長度之比是血,故A58c不可能一個(gè)是底面的邊，另一

個(gè)是底面對(duì)角線；

由于A5BC長度相等，正四棱錐的側(cè)棱都相等，而由CA/0知“WC不是等邊三角形，故不可能一

個(gè)是底面的邊或底面對(duì)角線，另一個(gè)是側(cè)棱.

因此，我們排除了所有可能性，這導(dǎo)致矛盾，故點(diǎn)3不是底面中的一個(gè)頂點(diǎn).

故我們所要構(gòu)成的正四棱錐只有以下兩種可能：

①底面邊長為若，側(cè)棱長均為近；

②底面對(duì)角線長為有，側(cè)棱長均為

如果是可能性①，我們需要再選擇兩個(gè)點(diǎn)。,石，使得四個(gè)點(diǎn)AC,D,E構(gòu)成邊長為力的正方形，

且BA=BC=BD=BE=yfi，這時(shí)，我們需要考慮的就是四個(gè)點(diǎn)AC,Q,E構(gòu)成的正方形的情況數(shù)目.

由于不計(jì)順序，故我們不妨設(shè)四個(gè)點(diǎn)AC,E構(gòu)成的四邊形是ACDE.

如上圖所示，設(shè)P為AC的中點(diǎn)，正方形ACDE的中心為。,

則點(diǎn)。的位置和正方形ACDE的位置能夠互相確定對(duì)方，

所以我們只需要考慮點(diǎn)。的可能情況數(shù)目.

因?yàn)辄c(diǎn)尸是AC的中點(diǎn)，AB=BC,所以皮3LAC,

因?yàn)?。P//AE,AE，AC,

所以O(shè)PLAC,因?yàn)锽PcOQuO,BPu面O3P,OPu面OBP,

所以AC上面OBP,

故P,B,。都在直線AC在點(diǎn)B處的法平面a內(nèi).

首先，PA=PC=—，BA=BC=E，OA=OC=—AC=—，

222

而與此同時(shí)，有OP=PA=與，OB=以笈_(tái)0A2=_乎=^2-1=

從而，點(diǎn)。要滿足的條件是：在一個(gè)包含尸,3的平面c內(nèi)，豆OP力,OB=—.

由于PB=VAB2-PA2=

故這樣點(diǎn)?？偣灿?個(gè)，所以滿足條件的正方形ACDE總共有2個(gè).

這表明，對(duì)于可能性①，滿足條件的正四棱錐總共有2個(gè)；

如果是可能性②，我們需要再選擇兩個(gè)點(diǎn)。,E,使得四個(gè)點(diǎn)A,C,D,E構(gòu)成邊長為Y5的正方形45CE,且

BA=BC=BD=BE=?.

如上圖所示，設(shè)P為AC的中點(diǎn)，平面ABC的過點(diǎn)P的垂線為/,

則P為正方形ADCE的中心.

此時(shí)，由于成垂直于平面ADCE,OE在平面ADCE內(nèi)，故BP_LDE.

而BP上DE,AC±DE,8尸,AC在平面ABC內(nèi)相交于p,故￡>E垂直于平面ABC.

由。E垂直于平面ABC,點(diǎn)尸在直線OE上，故。，石在直線/上.

而PD=PE=PA=q故在不計(jì)順序的情況下，點(diǎn)D,E至多有一種選擇.

2

由于庭〉#,故底面對(duì)角線長為若，側(cè)棱長均為0的正四棱錐是存在的.

這表明，對(duì)于可能性②，滿足條件的正四棱錐總共有1個(gè).

綜上，滿足條件的正四棱錐總共有3個(gè).

故答案為：3.

10.設(shè)數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為4=1+2C；+22C：+23C：++2"C：(〃wN*),其前〃項(xiàng)和為S“，則使

S”〉2024的最小九是.

【答案】7

【分析】先利用二項(xiàng)式定理化簡(jiǎn)數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等比求和公式可得答案.

23

【詳解】an=l+2C；,+2C>2C；,++2"C；=(1+2)"=3",

S=3+32+33++3"=30-結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性該數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，

n1-32V)

67

且s6=-(3-1)=1092<2024,S7=-(3-l)=3279>2024,

所以使2024的最小”是7.

故答案為：7

11.4位同學(xué)參加某種形式的競(jìng)賽，競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：每位同學(xué)必須從甲、乙兩道題中任選一題作答，選甲題答對(duì)得100

分，答錯(cuò)得一100分；選乙題答對(duì)得90分，答錯(cuò)得一90分.若4位同學(xué)的總分為0,則這4位同學(xué)不同得分情況的

種數(shù)有種.

【答案】36

【分析】分三種情況，利用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解.

【詳解】4個(gè)同學(xué)分別為a,伍c,d，

因?yàn)?個(gè)同學(xué)總分為0,所以可分為三類：

第一，都選甲且兩對(duì)兩錯(cuò)，答對(duì)的情況有。"。。,以/力。,加/,必，共有6種；

第二，都選乙且兩對(duì)兩錯(cuò)，同理可得有6種；

第三，兩個(gè)選甲一對(duì)一錯(cuò)，另兩個(gè)選乙也一對(duì)一錯(cuò)，

選甲的情況有ab,ac,ad,be,bd,cd,對(duì)應(yīng)選乙的情況為cd,bd,bc,ad,ac,ab,

一對(duì)一錯(cuò)均有兩種情況，故有6x2x2=24種.

由分類加法計(jì)數(shù)原理N=6+6+24=36種.

故答案為：36

12.已知正方形ABCD的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，四個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)〃力=三+加；的圖象上.若正方形ABCD唯一確

定，則實(shí)數(shù)b的值為

【答案】-141

【分析】設(shè)直線AC和5D的方程，討論620,Z?<0兩種情況，根據(jù)。4=05得到方程

(左—g)-b[k-^+2=Q，換元后/—初+2=0必有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，檢驗(yàn)后即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)樗倪呅蜛3CD為正方形，。為其中心，所以AC13O于點(diǎn)。，

不妨設(shè)直線AC的方程為y=kx(k>0),則直線BD的方程為y=-1x,

設(shè)點(diǎn)A(WK),8(%,%)，則。(一看,-%),。(一馬，一%)，

當(dāng)/j'O時(shí)，f\x)=3x2+b>0,

/(%)在R上單調(diào)遞增，與y=-僅有1個(gè)交點(diǎn)為原點(diǎn)，不合題意，

當(dāng)人<0時(shí)，聯(lián)立直線AC與曲線方程，得到d+如=母，解得片=上—人

則yf=(g)2=卜2(k-b),

a11

聯(lián)立直線8D與曲線方程，得到石+/?%=—79，解得￥9=—：—萬，

kk

設(shè)《左)=左-左>0),該函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞增，值域?yàn)镽,

K

要使符合題意的正方形只有1個(gè)，則必有/—4+2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,

即A=〃—8=0，解得b=-26或b=2近，

因?yàn)?<0,所以匕=—20，

止匕時(shí)k—=—2-$/2,解得k=—y/2—6或左=—V2+V3，

k

因?yàn)樽?gt;0,所以左=—\/2+s/3，

所以匕=—2后.

故答案為：-20.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，將正方形A3CD唯一性轉(zhuǎn)化為根的個(gè)數(shù)問題，分

b>0,b<0兩種情況討論.

二、選擇題（13?14題每題4分，15?16題每題5分，共18分）

13.已知a<b<0,那么下列不等式成立是（）

a-\-b1

D.------->l

b

【答案】D

【分析】利用特值或不等式的性質(zhì)可得答案.

【詳解】對(duì)于A,-2<-1<0,而—,〉—1,A不成立；

2

對(duì)于B,-2<-1<0,而（―2）x（—B不成立；

對(duì)于C,=-——,因?yàn)閍<Z?<0,所以ab〉0,/>即C不成立;

ababab

―a+b,al,、，,八,<2Ca+b.

對(duì)于D,----------1=一,因?yàn)閍</?<0,所以一>0,即----->1,D成立.

bbbb

故選：D

14.從5位男教師和4位女教師中選出3位教師，派到3個(gè)班擔(dān)任班主任（每班1位班主任），要求這3位班主任

中男、女教師都要有，則不同的選派方案共有

A.210種B.420種C.630種D.840種

【答案】B

【詳解】依題意可得，3位實(shí)習(xí)教師中可能是一男兩女或兩男一女.若是一男兩女，則有?闋種選派方案，

若是兩男一女，則有?用種選派方案.所以總共有?制+CJC；?制=420種不同選派方案，故選B

15.設(shè)函數(shù)/a）=acosox（aw0,0>0）,若將/（尤）的圖象向左平移看個(gè)單位長度后在0,|上有且僅有兩個(gè)

零點(diǎn)，則。的取值范圍是（）

「713、j八

A.片,WB.[2,4）

【答案】A

【分析】由平移變換法則得g(x)=acos),由題意g(x)在0,|-

Ictx+—3上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，由此可列出關(guān)于

。的不等式組，解出不等式組即可得解.

【詳解】將/(%)的圖象向左平移三個(gè)單位長度后的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為

3co

71

g(x)=/XH-----二--acosco\x+—=〃COSCDX+—,

3co3(oI3

717TTC兀兀兀

注意到6y>0,則當(dāng)xe0,-時(shí)，a)x+—e一,一〃;+一

_2，」3323

由題意g(x)在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn),

這意味著(*兀兀715兀71兀71.5TTTC

一,一〃;+一一,一刃+一，且顯然—>一，

323'丁32323

71萬、3%

—G+—>—

232713

也就是說《'解得上人

兀n5TT

—。+一<——

〔232

故選：A.

16.已知函數(shù)“X),g(x)的定義域是R,g(x)的導(dǎo)函數(shù)為g'(x),且"x)+g'(x)=5,

“無―1)—g'(5—刈=5,若g(x)為偶函數(shù)，則下列說法中錯(cuò)誤的是(

A./(。)=5

B./(l)+/(2)+/(3)+..+/(2024)=10120

C.若存在與使/(%)在［0,%］上嚴(yán)格增，在［%,2］上嚴(yán)格減，則2024是g(x)的極小值點(diǎn)

D.若〃龍)為偶函數(shù)，則滿足題意的“X)唯一，g(x)不唯一

【答案】C

【分析】代入求得/(。)=5判斷A；利用函數(shù)的周期判斷B；利用已知條件和函數(shù)的周期性判斷C；根據(jù)函數(shù)的奇

偶性結(jié)合已知條件求出/(%)=5,g'(x)=0判斷D.

【詳解】對(duì)A,因?yàn)間(x)為偶函數(shù)，所以g'(x)是奇函數(shù)，所以g'⑼=0,又/(九)+g'(x)=5,所以

/(0)+g'(0)=5n/(0)=5,故A對(duì);

對(duì)B,由/(x)+g'(x)=5,/(x-l)-g,(5-x)=5,得〃4r)_g'(x)=5,

所以〃4—x)+/(x)=10,所以/⑴+"3)=10,/(2)=/(4)=5,

又〃x)=5—g'(x)=5+g'(—x)=/(x+4),所以/(x)是周期為4的函數(shù),g'(x)也是周期為4的函數(shù),

所以/。)+/(2)+/(3)+4-/(2024)=20x506=10120,故B對(duì)；

對(duì)C,/(%)在［0,1］上嚴(yán)格增，在［%,2］上嚴(yán)格減，

由〃4-%)+〃力=10,可知〃力在［2,4—%］嚴(yán)格遞減，在［4—%,4］嚴(yán)格遞增，

又"工)的周期為4,所以"%)在［—%,0］嚴(yán)格遞增，

所以g'(%)在［—%,0］嚴(yán)格遞減，在［0,%］嚴(yán)格遞減，

又g，(0)=0,所以0是g(x)的極大值點(diǎn)，g'(x)是周期為4的函數(shù),

所以2024是g(x)的極大值點(diǎn)，C錯(cuò).

對(duì)D,若/(x)為偶函數(shù),由于g'(x)是奇函數(shù)，/(x)+g'(x)=5,則/(—x)+g'(-x)=5,

即〃x)-g［x)=5,所以〃x)=5,g'(x)=0,所以唯一,g(x)不唯一,故D對(duì)

故選：c

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是充分利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性和極值的關(guān)系，并結(jié)合函數(shù)的奇偶性和周期性分

析.

三、解答題(17?19題每題14分，20?21題每題18分，共78分)

17.如圖，四棱錐P-A8C。的底面是矩形，側(cè)棱必，底面ABC。，E是的中點(diǎn)，PA=2,AB=\,AD=2.

(1)求證：PB〃平面ACE；

(2)求直線CP與平面ACE所成角的正弦值；

【答案】(1)見解析(2)逅

9

【分析】(1)根據(jù)線面平行的判斷，轉(zhuǎn)化為證明線線平行，即可證明；

(2)以點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求平面ACE的法向量，利用線面角的向量公式，即可求線面角的正弦

值.

【小問1詳解】

連結(jié)6D，交AC于點(diǎn)。，連結(jié)。E,

因?yàn)辄c(diǎn)O,E分別是加,的中點(diǎn),

所以尸B//OE,依0平面ACE,OEu平面ACE,

所以P3//平面ACE；

【小問2詳解】

如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以A3,AD,AP分別為蒼yz軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，4(0,0,0),

C（l,2,0）,P（0,0,2）,￡（0,1,1）,

uuu

AC=（1,2,0）,AE=（0,1,1）,PC=（1,2,-2）,

設(shè)平面ACE的法向量為三=（x,y,z）,

ACn=Ox+2y=Q

則即＜",令y=L則x=—2,z=—l,

AE-n=0y+z=O

所以平面ACE的法向量為〃=(-2,1,-1),

設(shè)直線CP與平面ACE所成角為

y/6

~9~

,9J3

18.ABC中，tzcosC+ccosA=-----bcosB-

3

(1)求/B；

(2)若a=12,。為BC邊的中點(diǎn)，且AT>=3,求b的值.

71

【答案】(1)

6

⑵3H

由正弦定理可得sin(A+C)=2fsin3cos5,結(jié)合三角和為兀及誘導(dǎo)公式可得cosB=咚，即可得

【分析】(1)

答案;

(2)在△A3。中，由正弦定理可求得NBA。=T，從而可得43=36，在中，利用余弦定理求解即可.

【小問1詳解】

解：因?yàn)閍cosC+ccosA=2GbcosB，

3

由正弦定理可得sinAcosC+sinCcosA=sinBcosB>

3

即sin(A+C)=~~~sinBcosB>sin(兀-3)=sin3=~~sinBcosB，

又因?yàn)閟inBwO,

所以1=38COSB，

3

解得cosBulA,又因?yàn)锽eQn),

2

所以8=3；

6

【小問2詳解】

解：因?yàn)?。為邊的中點(diǎn)，a=12,

所以BD=CD=6,

設(shè)44D=仇

△ABZ)中，由正弦定理可得型~=應(yīng))

sin6sinB

6_3

即sin01，解得sin6=1,

2

TT

又因?yàn)閑e(o,2,所以e=—,

2

在中，AB=VB￡>2-AD2=-32=373-

在一ABC中，AB=3y/3,BC=12,B=-,

6

由余弦定理可得：AC2=AB2+BC2-2AB-AC-cos5=144+27-2x12x3^x^=63，

所以AC=3j7,

即6=36.

19.擲兩次質(zhì)地均勻骰子

（1）若其中有一次點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)，則在此情況下另一次也是偶數(shù)的概率.

（2）設(shè)事件A={第一次的點(diǎn)數(shù)為4},事件3={兩次點(diǎn)數(shù)和為6},事件C={兩次點(diǎn)數(shù)和為7},判斷事件A

和事件B是否獨(dú)立，事件A和事件C是否獨(dú)立？

【答案】（1）|

（2）事件A和事件8不獨(dú)立，事件A和事件C獨(dú)立.

【分析】（1）由對(duì)立事件概率關(guān)系、條件概率公式即可求解；

（2）由古典概型概率計(jì)算公式分別求出P（A）,P（B）,P（AB）,P（C）,P（AC）,結(jié)合獨(dú)立乘法公式進(jìn)行驗(yàn)算即可.

【小問1詳解】

每一次點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)或奇數(shù)的概率都是g,

p[A2l1

若其中有一次點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)，則在此情況下另一次也是偶數(shù)的概率是尸=寸==-，

一1

其中4代表兩次都是偶數(shù)的概率，鳥代表至少有一次是偶數(shù)的概率.

【小問2詳解】

第一次的點(diǎn)數(shù)可能為：1,2,3,4,5,6,

所以對(duì)于事件A而言，它發(fā)生的概率為P（A）=,，

記兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)組成的有序數(shù)組為（。力），則共有6x6=36種可能，

其中兩次點(diǎn)數(shù)和為6的有：（1,5）,（2,4）,（3,3）,（4,2）,（5,1）,共有5種可能，

其中兩次點(diǎn)數(shù)和為7的有：（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）,共有6種可能,

所以尸（為=余尸?=：=

36JOo

事件A和事件8同時(shí)發(fā)生對(duì)應(yīng)的有序數(shù)組為：（4,2）,共有1種可能,

事件A和事件C同時(shí)發(fā)生對(duì)應(yīng)的有序數(shù)組為：（4,3）,共有1種可能,

所以網(wǎng)訓(xùn)總,個(gè)04

而P(A)P(5)=》aP(加=Q(A)P(C)[x*(AC)/

所以事件A和事件B不獨(dú)立，事件A和事件C獨(dú)立.

20.已知雙曲線。：二―/=1的右頂點(diǎn)為A(2,0)，瓦廠是雙曲線C上兩點(diǎn)，過A作斜率為手的直線/,/與雙

曲線只有A點(diǎn)這一個(gè)交點(diǎn).

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求△AEF的面積；

(3)已知點(diǎn)。(4,3)和雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn)",N,滿足過點(diǎn)。作DH于〃點(diǎn)，證明：H點(diǎn)在

一個(gè)定圓上，并求定圓的方程.

22

【答案】(1)上-匕=1

43

(2)144(3)證明見解析，(％—16)2+(y+9)2=288

【分析】(1)根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)和斜率可得方程；

(2)利用弦長公式得出|4同，結(jié)合垂直關(guān)系可得|A耳，利用目=|AF|可求斜率，進(jìn)而可得三角形的面積；

(3)設(shè)出肱V的方程，結(jié)合垂直關(guān)系，得出過定點(diǎn)，進(jìn)而可證結(jié)論.

【小問1詳解】

因?yàn)橛翼旤c(diǎn)為4(2,0),所以a=2,

又因?yàn)檫^A斜率為巫的直線與雙曲線只有A點(diǎn)這一個(gè)交點(diǎn)，

2

所以2=且，即5=6,所以方程為《一.=1.

a243

【小問2詳解】

由題意可知直線AE的斜率存在且不為零，設(shè)=2),則AF:y=—：(x—2),

K

聯(lián)立I37：左(％；2),(3-4Z:2)X2+16Z:2X-16A:2-12=0,

3x2-4y2=12'7

3—4/#0，A=(16左21—4(3—4左12)=144>0,

、幾萬/\eic16k21642+12

以￡（%，%）‘則2+Xo=_^^，2x。一3_妹2

-----------------_1241+左2

\AE\=Jl+/人-2|=Jl+rJ

2+x。）-8x°="4燈

利用-J代換人可得|4刊=

k

12,1+/_J112k2

由題意AEA典，

||=|\3-4k2\~\k2|3^2-4|

整理得4回+3網(wǎng)2_3陽_4=0,4時(shí)—明之+7悶2—3悶—4=0,

胸一1）（4河+7陽+4）=0,因?yàn)?閔2+7陽+4>0,所以網(wǎng)_1=0,即八±1,

此時(shí)|AE|=12后，所以△AEF的面積為萬3目=144.

【小問3詳解】

若直線"N的斜率為0,設(shè)MN:y=t,則工—1=1,解得％=±2」1+匚

43V3

（t2\

因?yàn)閆WLDV,所以（"3）2+16—41+—=0,解得，=一21或r=3（舍）.

、3/

若直線肱V的斜率不為0,設(shè)腦V:x=my+〃，Af（^,y,）,?/（x2,y2）；

X=r+：,（3療

[3x2-4y2=12v

3m2—4工0,A=（6帆一4（3療一4）（3〃2一12）>0,

6mn3H2-12

%+%=一，%%=

3m--43——4

8n

\+x=m{^y+y）+2n

2x23m2-4

12m2+4n2

XjX=m2%y+mn（%+%）+

223療—4

DM=（七一4,%—3）,DN=（九2—4,%—3）,

因?yàn)閆WLDV,所以DV.DN=0，即可%-4（%+%2）+%%-3（%+%）+25=0,

12m2+4n232〃3n2—1218mn

---9------1----7-----1----7-----1----7---+25=0,

3m2-43m2-43m2-43m2-4

整理得63m2+1Smn-n2+32n-112=0，即（21m-n+28）（3m+?-4）=0,

即〃=21m+28或〃=4—3根，

當(dāng)〃=4一3現(xiàn)時(shí)，上加：％=加(丁一3)+4過點(diǎn)。，舍去；

當(dāng)〃=21相+28時(shí)，MN:x=m(y+21)+28,此時(shí)過定點(diǎn)0(28,—21)；

綜上可知直線MV恒過定點(diǎn)Q(28,-21).

因?yàn)樗浴c(diǎn)一定在以。。為直徑的圓上，

定圓的圓心為(16,—9),半徑為120，所以方程為+(y+9『=288.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是等腰直角三角形條件的轉(zhuǎn)化，利用垂直和相等得出弦長；二

是第三問中H在定圓上的問題轉(zhuǎn)化為直線MN恒過定點(diǎn)的問題.

21.若實(shí)數(shù)集A,3對(duì)任何awA,beB,均有(1+a)"21+ab,則稱A-5具有伯努利型關(guān)系.

(1)若集合〃={x|x?l},N表示自然數(shù)集，判斷是否具有伯努利型關(guān)系；

(2)設(shè)集合S={尤|尤>一1},T={X|X>4,若SfT具有伯努利型關(guān)系，求非負(fù)實(shí)數(shù).的取值范圍；

(3)設(shè)”為正整數(shù)，利用(2)中結(jié)論證明下面不等式:

【答案】(1)MfN具有伯努利型關(guān)系，證明見解析

(2)

(3)證明見解析

【分析】(1)直接用二項(xiàng)式定理即可證明結(jié)論；

(2)構(gòu)造〃X)=(1+1)”一1—?并研究“X)在(一l,+oo)上單調(diào)性,即可比較(l+x)“和1+6的大小,進(jìn)而得到

a的條件，從而確定/的取值范圍；