2024高考數(shù)學(xué)模擬試題與答案 (二)

1.樣本數(shù)據(jù)16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位數(shù)為（）

A.14B.16C.18D.20

【答案】B

【分析】由中位數(shù)定義即可得.

【詳解】將這些數(shù)據(jù)從小到大排列可得：10,12,14,14,16,20,24,30,40,

則其中位數(shù)為16.

故選：B.

一?

2.橢圓三+/=1伍〉1）的離心率為則。=（）

A.土B.V2C.V3D.2

3

【答案】A

【分析】由橢圓的離心率公式即可求解.

【詳解】由題意得e==解得。=述,

a23

故選：A.

3.記等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為工,。3+。7=6,42=17,貝1JS]6=（）

A.120B.140C.160D.180

【答案】C

【分析】利用下標(biāo)和性質(zhì)先求出生+。12的值，然后根據(jù)前〃項和公式結(jié)合下標(biāo)和性質(zhì)求解出Be的值.

【詳解】因為的+%=2%=6,所以。5=3,所以/+42=3+17=20,

所以凡=（%+?）x16=8（%+陽）=160，

故選：C.

4.設(shè)a,尸是兩個平面，加,/是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）

A.若aJ_民加〃a,/〃尸，則加_L/B.若mua,Iu0,m〃I,則a〃4

C.若aCB=rn,/〃a,/〃B,則加〃/D.若加J_a,/_LQ,加〃/,則a_L夕

【答案】C

【分析】由線面平行性質(zhì)判斷真命題，舉反例判定假命題即可.

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【詳解】對于A,/可能平行，相交或異面，故A錯誤，對于B,a,乃可能相交或平行，故B錯誤，對

于D,火尸可能相交或平行，故D錯誤，由線面平行性質(zhì)得C正確，

故選：C

5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有()

A.20種B.16種C.12種D.8種

【答案】B

【分析】分類討論：乙丙及中間2人占據(jù)首四位、乙丙及中間2人占據(jù)尾四位，然后根據(jù)分類加法計數(shù)原理

求得結(jié)果.

【詳解】因為乙和丙之間恰有2人，所以乙丙及中間2人占據(jù)首四位或尾四位，

①當(dāng)乙丙及中間2人占據(jù)首四位，此時還剩末位，故甲在乙丙中間，

排乙丙有A；種方法，排甲有A；種方法，剩余兩個位置兩人全排列有A；種排法，

所以有人上人上人；=8種方法；

②當(dāng)乙丙及中間2人占據(jù)尾四位，此時還剩首位，故甲在乙丙中間，

排乙丙有A；種方法，排甲有㈤種方法，剩余兩個位置兩人全排列有A；種排法，

所以有人紅人上人；=8種方法；

由分類加法計數(shù)原理可知，一共有8+8=16種排法，

故選：B.

6.已知0為直線/：x+2y+l=0上的動點(diǎn)，點(diǎn)尸滿足0A=(1,—3),記尸的軌跡為E,則()

A.E是一個半徑為6的圓B.E是一條與/相交的直線

C.E上的點(diǎn)到/的距離均為J?D.E是兩條平行直線

【答案】C

【分析】設(shè)P(x，V),由存=。,-3)可得。點(diǎn)坐標(biāo)，由。在直線上，故可將點(diǎn)代入坐標(biāo)，即可得尸軌跡E,

結(jié)合選項即可得出正確答案.

【詳解】設(shè)P(xj),由存=(1,-3),則。(x—l,y+3),

由。在直線/：》+2^+1=0上，故x—1+2(>+3)+1=0,

化簡得x+2y+6=0,即尸的軌跡為E為直線且與直線/平行，

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E上的點(diǎn)到/的距離d==君，故A、B、D錯誤，C正確.

71*2+22

故選：C.

7.已知(羽，?r],tan26=_4tan(6+^],貝！|—畝-=()

I4)I4；2cos20+sin26

133

A.-B.一C.1D.-

442

【答案】A

【分析】根據(jù)正弦、余弦、正切二倍角公式’將熹黑3齊次化即可得出答案?

【詳解】由題?！?,Jij,tan2^=—4tanf^+—兀j,

4

2tan8-4(tan8+l)

得-4(tan6+1)2=2tan8,

1-tan201-tan0

則(2tan0+l)(tan8+2)=0ntan8=-2或tan8=

(3兀

因為e￡I彳，兀,tan^€(-l,0),所以tan。二一;

1+sin20sin20+cos20+2sin6cos0tan2^+l+2tan0

2cos2。+sin282cos2^+2sin8cos02+2tan。

-2+(-1)-4

故選：A

22

8.設(shè)雙曲線C:二-2=1(。>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為片,不，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與。交于48兩點(diǎn)，

ab

陽同=2/4可.糜=4/,則C的離心率為()

A.V2B.2C.45D.療

【答案】D

【分析】由雙曲線的對稱性可得|耳/|=|￡司、閨卻=優(yōu)/|且四邊形2為此為平行四邊形，由題意可得

出/鳥8片，結(jié)合余弦定理表示出與。、c有關(guān)齊次式即可得離心率.

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【詳解】

由雙曲線的對稱性可知I耳4|二優(yōu)同，|不目=內(nèi)4有四邊形/片和為平行四邊形,

令陽/|=同邳=加,則閨邳=同,=2加,

由雙曲線定義可知區(qū)4|一出力|二2。，故有2加一加=2Q,即加=2Q,

即閨H=周固=m=2a,|7^5|=優(yōu)旬=4a,

2

F2A-F2B=|?1008/147^5=2ax4acosZAF2B=4a,

i27r

則cos/Zg8=—,即乙華？5=等，故/￡幽=—

233

閨”+優(yōu)砰—陽閶2

j_

則有cosZ.FBF二

1X2國理忸邳2

22

70/y-4r1?04P21

即二」,即仝—竺二—上，則/=7,由e〉l,故e=V7.

16/216162

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是找到關(guān)于。、6、C之間的等量關(guān)系，本題中結(jié)

合題意與雙曲線的定義得出閨/|、區(qū)可與。的具體關(guān)系及/心8片的大小，借助余弦定理表示出與。、C有

關(guān)齊次式，即可得解.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知函數(shù)/(x)=sin12x+-^]+cos[Zx+,則()

A,函數(shù)—為偶函數(shù)

B.曲線y=/(x)的對稱軸為x=E，左eZ

C./(x)在區(qū)間單調(diào)遞增

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D./(x)的最小值為-2

【答案】AC

【分析】利用輔助角公式化簡/(x)=sin2x+—+cos2x+—,再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即

可.

+cos2%+2

【詳解】/(x)=sin|2x+—

I4I4

sin2xcos—+sin—cos2x+cos2xcos--sin2xsin—

4444

--sin2x+—cos2x--cos2x——sin2x=-V2sin2x，

2222

即f(x)=-V2sin2x,

對于A,/[x—；J=—J5sin[2x-]J=J^cos2x,易知為偶函數(shù)，所以A正確；

對于B,/(x)=—J^sin2x對稱軸為2》=5+標(biāo):,左eZ=>x=^+@,A:eZ,故B錯誤;

對于C,,y=sin2x單調(diào)遞減，貝I]

/(X)=-J5sin2x單調(diào)遞增，故C正確；

對于D,/(x)=-V2sin2x,則sin2xe[—1,1],所以/(x)e/亞,亞],故D錯誤；

故選：AC

10.已知復(fù)數(shù)z,w均不為o,則()

n..nZZ

A.z=|z|B,-=--7

__z_z

C.z-w=z-wD.——

ww

【答案】BCD

【分析】設(shè)出z=Q+bi、w=c+di,結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算、共粗復(fù)數(shù)定義及復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)逐個計算即可得.

【詳解】設(shè)2=〃+例(a,bcR)、w=c+di(c,dwR)；

對A：設(shè)2=Q+bi(a,beR),則z2=(a+ZdJ=a2+2abi-b2=a2-b2+2abi,

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|z|2=(Va2+62=a2+b2,故A錯誤；

2_2

對B：芻=」，又z-z=|z/，即有==,故B正確；

zz-zZ|zI

對C：z-w=Q+bi—c—di=Q—c+(b—d)i,貝ijz-w="c-(b—d)i,

z=a—bifw=c—di9則z—>v=a—Z?i—c+di=a—c—0—d)i,

即有z—w=z—w，故C正確;

za+bi(a+Z?i)(c_di)ac+bd-^ad-bc^i

對D：

wc+di(c+di)(c-di)c2+d2

ac+bd(ad—bc\_ja2c2+2abcd+b2d2+tz2(i2-2abcd+/?2c2

+

d2

_\a2c2+b2d2+a2d2+b2c2_yJa2c2+b2d2+a2d2+b2c2

={(c2+d2)2-

|z|yja2+b2\Ja2+b2xyjc2+d2

M7c2+t/2c2+d2

_7?2C2+b2c2+a2d2+b2d"

c2+d2

z

故故D正確.

w

故選：BCD.

11.已知函數(shù)/(x)的定義域為R,且若/(x+y)+/(x)/(y)=4xy,則(

C.函數(shù)/(x—是偶函數(shù)D.函數(shù)/(x+g］是減函數(shù)

【答案】ABD

【分析】對抽象函數(shù)采用賦值法，令x=g、了=°，結(jié)合題意可得/(o)=—1,對A：令》=；、y=°，

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代入計算即可得；對B、C、D：令了=一3,可得—=_2x,即可得函數(shù)—g]及函數(shù)/1x+g

函數(shù)的性質(zhì)，代入x=l,即可得

【詳解】令x=：、J=O,則有/（￡|+/]￡|x/（0）=/（￡|[l+/（0）]=0,

又嗎＞O,故l+/(O)=O,即/(O)=T，

令V、T，則有/1-3+/圖04心山,

即由/（o）=-i,可得/1]/[—￡!=°,

又/（llwo,故/（一5]=0，故A正確；

即J——21,故函數(shù)/1x—5）是奇函數(shù)，

有/（x+l-g]=-2（x+l）=-2%-2,即/[x+心]=-2%-2,

即函數(shù)/[x+g]是減函數(shù)，

令x=l,有/[：]=一2xl=—2,

故B正確、C錯誤、D正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用賦值法解決抽象函數(shù)問題，借助賦值法，得到/（o）=-1,再重新

賦值，得到/，3=0,再得到/卜-：]=-2x.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

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12.已知集合/={—2,0,2,4},8={x||x—3歸加},若2口5=2,則加的最小值為

【答案】5

【分析】由2口8=2可得2=8,解出集合3后結(jié)合集合的關(guān)系計算即可得.

【詳解】由/口8=2,故2=3,

由年一3|〈加，得一加+3<x<加+3,

4<m+3m>\

故有《即〈，即加之5,

-2>-m+3m>5

即加的最小值為5.

故答案為：5.

13.已知軸截面為正三角形的圓錐M7'的高與球。的直徑相等，則圓錐的體積與球。的體積的比值

是,圓錐W的表面積與球0的表面積的比值是.

【答案】①.(2②.1

【分析】設(shè)圓錐的底面圓半徑廠以及球的半徑R,用「表示出圓錐的高〃和母線/以及球的半徑R,然后根

據(jù)體積公式求出體積比，根據(jù)表面積公式求得表面積之比.

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為「，球的半徑為R,

因為圓錐的軸截面為正三角形，所以圓錐的高力=百r，母線/=2r,

由題可知:h=2R，所以球的半徑二

2

23

所以圓錐的體積為匕=-x（7txr）xV3r=^-nr，

3v'3

4：

球的體積匕=§成

2

3

2

圓錐的表面積Sl=nrl+nr=371r?,

\2

球的表面積邑=4成②=4兀X二371r之，

2J

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「一E3a2

所以寸市"

2

故答案為：—；1.

14.以maxM表示數(shù)集M中最大的數(shù).設(shè)已知622?；騽t

max{b-a,c-b,l-c}的最小值為

【答案】1##0.2

b=l-n-p

【分析】利用換元法可得《1，進(jìn)而根據(jù)不等式的性質(zhì)，分情況討論求解.

a-\-m-n-p

【詳解】令6加,。一6二〃,1一。=p,其中私凡夕〉0,

b=l-n-p

所以《

a-\-m-n-p

若6^2。，則6=1—〃一022（1—加一〃一夕），故2加+〃+221,

令川=111@*{6—。,0一仇1一0}=111@*{加,〃,夕},

2M>2m

因此<M>n，故4M>2m+〃+221,則M,

4

M>p

若〃+貝!]1一〃一2+1—加一〃一2VI,即加+2〃+2221,

Af=max\b-a,c-b.\-c\=max[m.n.p],

M>m

則v2M>In，故5M2加+2〃+2p21,則M2L

2M>2p5

當(dāng)冽=2〃=22時，等號成立，

綜上可知max{b-a,c-b,l-c}的最小值為:,

故答案為：I

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用換元法，在622a和a+6〈l前提下進(jìn)行合理分類討論，根據(jù)題意

得到相對應(yīng)的不等式組，注意題目的條件關(guān)鍵詞是“或”.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

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15.已知函數(shù)/(x)=lnx+x2+ox+2在點(diǎn)(2,/(2))處的切線與直線2x+3y=0垂直.

(1)求。；

(2)求/(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.

【答案】(1)a=-3

(2)單調(diào)遞增區(qū)間為［o,g］、(1,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為U，極大值，n2,極小值0

【分析】(1)結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線垂直的性質(zhì)計算即可得;

(2)借助導(dǎo)數(shù)可討論單調(diào)性，即可得極值.

【小問1詳解】

11a

=—+2X+Q,則ff(2)=—+2x2+a=—+a,

x22

由題意可得+=-1,解得.=—3；

【小問2詳解】

由〃=一3,故/(x)=lm:+x2-31+2,

“x12x2—3x+1(2x——1)

則mf(x)=—+2x—3=-------------=--------------人，x>0,

XXX

故當(dāng)0<x<J時，#(x)〉0,當(dāng),<x<l時，r(x)<0,當(dāng)x>l時，/%)>0,

22

故/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8),/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為C

故/(X)有極大值/p_]=ln'+口]-3x-+2=--ln2,

(2j212j24

有極小值/(l)=lnl+l2-3xl+2=0.

16.盒中有標(biāo)記數(shù)字1,2,3,4的小球各2個，隨機(jī)一次取出3個小球.

(1)求取出的3個小球上的數(shù)字兩兩不同的概率;

(2)記取出的3個小球上的最小數(shù)字為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望￡(X).

4

【答案】(1)-

7

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（2）分布列見解析，E（X）=/

【分析】（1）先確定3個不同數(shù)字的小球，然后再從確定的每種小球中取1個，通過計算可求符合要求的取

法數(shù)，再除以總的取法數(shù)可得結(jié)果;

（2）先確定X的可取值為1,2,3,然后計算出不同取值的概率，注意X的每種取值對應(yīng)兩種情況，由此可

求分布列和期望￡（X）.

【小問1詳解】

記“取出的3個小球上的數(shù)字兩兩不同”為事件M,

先確定3個不同數(shù)字的小球，有C：種方法，

然后每種小球各取1個，有C；xC；xC；種取法,

C；xC；xC；xC；_4

所以尸（/）=

7

【小問2詳解】

由題意可知，X的可取值為1,2,3,

當(dāng)X=1時，分為兩種情況：只有一個數(shù)字為1的小球、有兩個數(shù)字為1的小球,

Cg+C|C^_9

所以尸(X=l)=

14

當(dāng)X=2時，分為兩種情況：只有一個數(shù)字為2的小球、有兩個數(shù)字為2的小球,

CC+C；C；_2

所以P（X=2）=

7

當(dāng)X=3時，分為兩種情況：只有一個數(shù)字為3的小球、有兩個數(shù)字為3的小球,

C*Ct+C|C*_1

所以尸（X=3）=

14

所以X的分布列為:

X123

921

P

14714

o2110

所以E(X)=lx3+2x—+3x—=一

v7147147

17.如圖，平行六面體48CD—44Gq中，底面45CD是邊長為2的正方形，。為4c與BD的交點(diǎn),

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AAX=2,ZCXCB=NCiCD/GCO=45°.

（1）證明：G。，平面48CD；

（2）求二面角3-41―。的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；

⑵迪

3

【分析】（1）根據(jù)題意，利用線面垂直的判定定理證明即可.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角的正弦值.

【小問1詳解】

連接8G，DG，

因為底面/5CD是邊長為2的正方形，所以8C=Z)C,

又因為NGC3=NGCQ,CC,=ccx,

所以AC】CBSAQCD,所以BG=DCX,

點(diǎn)O為線段8。中點(diǎn)，所以GOLBD,

在△GCO中，CG=2,CO='/C=正，NGCO=45°,

所以cosZQCO=—=，。2+0C2_“2==正，

22xC,Cx(9C1

則C,C2=OC2+CfirnG。工OC,

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又。CnBD=O,OCu平面48CD,ADu平面48C￡),

所以G。，平面/BCD.

【小問2詳解】

由題知正方形488中/。工3。，G。，平面48CD,所以建系如圖所示,

則3(0,也,0),刃(0,一虎,0),4(短0,0),。卜倉0,0)0(0,0,同，

則福=西=(/,o,C),

AB=(-V2,V2,0),AD=卜6,-6,0),

設(shè)面氏44的法向量為加=(七,必,2]),面。441的法向量為"=(x2,j2,z2),

AA,-in=0fV2x+V2z,=0,、

則」J」n玩=1,1,—1,

AB-m=0[-42xl+V2=0

AA.?H=0fV2x,+也z,=0,、

—rr"=(1，T，T)，

AD-m=0[-V2X2-yj2y2=0

設(shè)二面角3-44]-￡＞大小為歷

則3"n麗m-n=7^1=31”.團(tuán)八4￡—二一。=于2也,

所以二面角3-的正弦值為述.

18.已知拋物線C:/=4x的焦點(diǎn)為/，過E的直線/交。于48兩點(diǎn)，過R與/垂直的直線交。于。,￡

兩點(diǎn)，其中8,。在x軸上方，M,N分別為48,￡?￡的中點(diǎn).

(1)證明：直線"N過定點(diǎn)；

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(2)設(shè)G為直線ZE與直線AD的交點(diǎn)，求AGMN面積的最小值.

【答案】(1)證明見解析

(2)8

【分析】(1)設(shè)出直線48與直線CD的方程，聯(lián)立曲線后得到與縱坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理，結(jié)合題意，表示

出直線"N后即可得定點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)設(shè)出直線ZE與直線8。的方程，聯(lián)立兩直線后結(jié)合第一問中韋達(dá)定理得出點(diǎn)G的橫坐標(biāo)恒為-1,再

結(jié)合面積公式及基本不等式即可得.

【小問1詳解】

由C:/=4x,故廠(1,0),由直線與直線垂直，

故兩只直線斜率都存在且不為0,

設(shè)直線45、CD分別為1=叫卜+1、x=m2y+l,有四加2=一1，

/(不，必)、5(12〃2)、￡(工3，%)、。(/，乂)，

,fy2=4x

聯(lián)立C:/=4x與直線4B,即有廣，

x=mxy+1

消去了可得y?-Amxy-4=0,A=16加;+16>0,

故必+%=4加i、必必二—4,

則再+%=加Ji+1+m1y2+1=加1（必+歹2）+2=4加;+2,

故紅*=2喈+1,比也=2叫，

22

即M（2加;+1,2加］）,同理可得N（2加;+1,2掰2），

當(dāng)2加;+1w2加;+1時，

則鼠：尸2球%（：+1）［-2"T+2㈣,

即>=^一2喈一1）+2叫=^11+2叫（叫+叫）

mmm

2~\加2+加1加2+叫2+mi

x2加；+1-2叫加2-2/x1-2mm

_一x2,

m2+m1加2+叫加2+74%+嗎

x1+21

由m.m1=-1,即y=---------------=-------

m。+mlm2+mlm2+m1

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1

故x=3時，有^=---------(3—3)=0,

m2+mi

此時上W過定點(diǎn)，且該定點(diǎn)為（3,0）,

當(dāng)2加；+1=2布+1時，即加;=*時，由叫加2=-1，即叫=土1時,

有。：》=2+1=3,亦過定點(diǎn)（3,0）,

故直線過定點(diǎn)，且該定點(diǎn)為（3,0）；

【小問2詳解】

由4（西，%）、8（》2，了2）、￡（七，八）、。（％4，居），

則心:受上匕

(x—xJ+必，由弁=4占、yl=4X2

x3一

f2、

乃一必4xK工弁+%為_4x必為

+弘=l—I

故尸22X--1

47%+%％+必％+%為+%為+%,

44

k4x+衛(wèi)

4x三工，聯(lián)立兩直線，即＜"%+弘％+M

同理可得】BD-y~+

乂+%乂+%

v4+v2y4+y2

有上+巫4x?%%

%%為+%y4+y2y4+y2

即4x(y4+y2)+%%(%+%)=4x(%+乂)+必%(%+M)，

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右V%乂（%+弘）一%%（%+%）,/日由/

有》=-----T7---------------；----，由%%=-4，同理為為=—4,

4（%+%-%-弘）

故％="4（匕+必）-"3（%+丁2）=+%"4一弘"4-"2匕

4（%+%-8-乂）4（%+%-8F

「4（%+以-%-匕）廠J

4（%+%-8-%）’

故％=T,

過點(diǎn)G作G0〃x軸，交直線上W于點(diǎn)°,則S-GMN=；|了”一3^卜,。一%卜

由Af（2*+1,2㈣）、N（2加；+1,2加2），

=2fril+22m,X

故I加~yN\=2ml—2冽2~~^^~=4，

當(dāng)且僅當(dāng)叫=±1時，等號成立，

下證卜27Gli4：

由拋物線的對稱性，不妨設(shè)叫〉0,則叫<0，

當(dāng)町>1時，有%=-二則點(diǎn)G在X軸上方，點(diǎn)。亦在X軸上方，

mx

-1-=-^->0,,、

有加2+叫m1,由直線ACV過定點(diǎn)（3,0）,

1加2

此時卜。一%卜3-（-1）=4,

同理，當(dāng)叫<1時，有點(diǎn)G在％軸下方，點(diǎn)。亦在不軸下方，

有一--<0,故此時匕一%|>4,

m2+mx1Q1

當(dāng)且僅當(dāng)加i=l時，x0=3,

故園-%|24恒成立,且/=±1時,等號成立，

故S.GMN=；|加_%岡&_%,；義4義4=8,

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【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第二問關(guān)鍵在于借助直線聯(lián)立及第一問中韋達(dá)定理得出點(diǎn)G的橫坐標(biāo)恒為-1,此時可

根據(jù)三角形的面積公式及基本不等式求取最值.

19.離散對數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用.設(shè)。是素數(shù)，集合X={1,2,…若〃，丫€*,〃761記“區(qū)丫

為"V除以P的余數(shù)，產(chǎn)?為除以。的余數(shù)；設(shè)aex,1,a,/?,…，/々⑧兩兩不同，若

優(yōu)?=6(〃e{O,l,…，2―2}),則稱〃是以。為底6的離散對數(shù)，記為〃=log(p)“6.

(1)若夕=ll,a=2,求"T?；

(2)對嗎，加2e{0」,…，。一2},記加1十加2為加1+?除以7T的余數(shù)(當(dāng)加1+掰2能被夕T整除時，

加1十加2=0).證明：log(p)a(b?C)=log(p)abe>log(p)aC,其中aCdX;

k,(sk,

(3)已知〃=log(p)/.對xeX,ke{1,2,-??,/?-2}，令乂=a,y2=x?b?.證明：x=8③弁3⑵?.

【答案】(1)1(2)證明見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)第一問直接根據(jù)新定義來即可.

(2)第二問結(jié)合新定義、帶余除法以及費(fèi)馬小定理即可得證.

(3)根據(jù)新定義進(jìn)行轉(zhuǎn)換即可得證.

【小問1詳解】

若夕=11,。=2,又注意到2"=1024=93x11+1，

所以aPT?=2i°'?=L

【小問2詳解】

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當(dāng)夕=2時，此時X={1},此時6=c=l,b?c=\,

故log(p)a"區(qū)c)=0,log(p)06=0,log(/?)ac=0,

此時log(p)“伍二c)=log。?)/十log(p)aC.

當(dāng)夕>2時,因1,凡2巴…,a_2，?相異,故。之2,

而aeX,故凡)互質(zhì).

設(shè)〃=log(Ma伍區(qū)C),〃1=log(p)/,%=log(p)“C

記〃=log(。)。伍?c),=log(p)M%Tog(P)aC,

12

則3mx,w2GN,使得a'=pmr+b,a"=pm2+c,

故a"i+%=(0g+3)(0加2+c),故a"計以三bc(modp),

設(shè)4+〃2=/(0一l)+s,OWs〈0一2,則〃i十〃2=s，

因為1,2,3,./-I除以。的余數(shù)兩兩相異，

且a,2a,3d..(0一1)。除以。的余數(shù)兩兩相異，

故(2_。！三［ax2ax3a,..x(2一l)a］(mod?),故三Imodp,

故相三6c(modp),而an=60c(mod/>)=Z?c(modp),其中0V〃三)一2,

故s=/即k>g(p)a(6?c)=log(p)/十log(0).c.

【小問3詳解】

當(dāng)2時，由(2)可得"TmImod)，若6=1,則〃tmImodp也成立.

因為〃=log(夕)?,所以a"三A(modp).

另一方面，乂兇％"(T)，'三”：(")，?三,區(qū)嚴(yán))(/，?(尸2)

三(田)/。-?)=(xZ?勺三］僅"7)1三x(l)*1(modJ?)=x(modp).

由于xeX,所以》=%(8)4任2),?.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是充分理解新定義，然后結(jié)合帶余除法以及費(fèi)馬小定理等初等數(shù)論知識即

可順利得解.

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1.樣本數(shù)據(jù)16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位數(shù)為()

A.14B.16C.18D.20

J

2.橢圓一+J；?=l(a>1)的禺心率為了，則。=()

B.V2D.2

3.記等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為5“,%+%=6,%2=17,貝!|S]6=(

A.120B.140C.160D.180

4.設(shè)名￡是兩個平面，加,/是兩條直線，則下列命題為真命題的是()

A.若a工a,l〃B,則加UB.若mua,lu/3,m〃l,則a〃4

C.若aV\0=m,l〃a,l〃0,則加〃/D,若m上a,lA,0,m〃I,則a_L，

5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有(

A.20種B.16種C.12種D.8種

6.已知0為直線/：x+2y+l=0上的動點(diǎn)，點(diǎn)尸滿足0A=(1,—3),記P的軌跡為E,貝U()

A.E是一個半徑為石的圓B.E是一條與/相交的直線

C.E上的點(diǎn)到/的距離均為D.E是兩條平行直線

7.已知手，7r),tan2，=—4tan16+；nj,則l+sin28

)

42cos之。+sin26

133

A.-B.一C.1D.

442

22

8.設(shè)雙曲線C:二-2=1(。>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為公,不，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與。交于48兩點(diǎn),

ab

\F{B\=2陽4琮.初=4a2,則。的離心率為()

A.V2B.2

二、選擇題：本題共3小題,每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

.?37r?(37兀1)

9.已知函數(shù)/(x)=sinI2xH——I+cosI2xH——I,貝!](

4