概率論與數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題解答(第4章)

第4章習(xí)題答案三、解答題1.設(shè)隨機變量的分布律為X–202pi0.40.30.3求，，．解：E(X)==+0+2=-0.2E(X2)==4+0+4=2.8E(3X+5)=3E(X)+5=3+5=4.42.同時擲八顆骰子，求八顆骰子所擲出的點數(shù)和的數(shù)學(xué)期望．解：記擲1顆骰子所擲出的點數(shù)為Xi，那么Xi的分布律為記擲8顆骰子所擲出的點數(shù)為X，同時擲8顆骰子，相當(dāng)于作了8次獨立重復(fù)的試驗，E(Xi)=1/6×(1+2+3+4+5+6)=21/6E(X)=8×21/3=283.某圖書館的讀者借閱甲種圖書的概率為p1，借閱乙種圖書的概率為p2，設(shè)每人借閱甲乙圖書的行為相互獨立，讀者之間的行為也是相互獨立的．(1)某天恰有n個讀者，求借閱甲種圖書的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望．(2)某天恰有n個讀者，求甲乙兩種圖書至少借閱一種的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望．解：(1)設(shè)借閱甲種圖書的人數(shù)為X，那么X~B(n,p1),所以E(X)=np1(2)設(shè)甲乙兩種圖書至少借閱一種的人數(shù)為Y,那么Y~B(n,p),記A={借甲種圖書}，B={借乙種圖書}，那么p=｛A∪B｝=p1+p2-p1p2所以E(Y)=n(p1+p2-p1p2)4.將n個考生的的錄取通知書分別裝入n個信封，在每個信封上任意寫上一個考生的姓名、地址發(fā)出，用X表示n個考生中收到自己通知書的人數(shù)，求E(X)．解：依題意，X~B(n，1/n)，所以E(X)=1.5.設(shè)，且，求E(X)．解：由題意知X～P〔〕，那么X的分布律P=，k=1,2,...又P=P,所以解得，所以E(X)=6.6.設(shè)隨機變量X的分布律為問X的數(shù)學(xué)期望是否存在？解：因為級數(shù)，而發(fā)散，所以X的數(shù)學(xué)期望不存在.7.某城市一天的用電量X〔十萬度計〕是一個隨機變量，其概率密度為求一天的平均耗電量．解：E(X)==6.8.設(shè)某種家電的壽命X〔以年計〕是一個隨機變量，其分布函數(shù)為求這種家電的平均壽命E(X)．解：由題意知，隨機變量X的概率密度為當(dāng)>5時，，當(dāng)5時，0.E(X)=所以這種家電的平均壽命E(X)=10年.9.在制作某種食品時，面粉所占的比例X的概率密度為求X的數(shù)學(xué)期望E(X)．解：E(X)==1/410.設(shè)隨機變量X的概率密度如下，求E(X)．解：.11.設(shè)，求數(shù)學(xué)期望．解：X的分布律為，k=0，1，2，3，4，X取值為0，1，2，3，4時，相應(yīng)的取值為0，1，0，-1，0，所以12.設(shè)風(fēng)速V在(0，a)上服從均勻分布，飛機機翼受到的正壓力W是V的函數(shù)：，〔k>0，常數(shù)〕，求W的數(shù)學(xué)期望．解：V的分布律為，所以13.設(shè)隨機變量(X,Y)的分布律為YX01203/289/283/2813/143/14021/2800求E(X)，E(Y)，E(X–Y)．解：E(X)=0×(3/28+9/28+3/28〕+1×(3/14+3/14+0)+2×(1/28+0+0)=7/14=1/2E(Y)=0×〔3/28+3/14+1/28〕+1×(9/28+3/14+0)+2×(3/28+0+0)=21/28=3/4E(X-Y)=E(X)-E(Y)=1/2-3/4=-1/4.14.設(shè)隨機變量(X，Y)具有概率密度，求E(X)，E(Y)，E(XY)解：E(X)=15.某工廠完成某批產(chǎn)品生產(chǎn)的天數(shù)X是一個隨機變量，具有分布律X1011121314pi0.20.30.30.10.1所得利潤〔以元計〕為,求E(Y)，D(Y)．解：E(Y)=E［1000(12-X)］=1000E［(12-X)］=1000×[(12-10)×0.2+(12-11)]×0.3+(12-12)×0.3+(12-13)×0.1+(12-14)×0.1]=400E(Y2)=E［10002(12-X)2］=10002E［(12-X)2］=10002[(12-10)2×0.2+〔12-11〕2×0.3+〔12-12〕2×0.3+〔12-13〕2×0.1+〔12-14〕2×0.1]=1.6×106D(Y)=E(Y2)-［E(Y)］2=1.6×106-4002=1.44×10616.設(shè)隨機變量X服從幾何分布，其分布律為其中0<p<1是常數(shù)，求E(X)，D(X)．解：令q=1-p,那么D(X)=E(X2)-E(X)=2q/p2+1/p-1/p2=(1-p)/p217.設(shè)隨機變量X的概率密度為，試求E(X)，D(X)．解：E(X)=D(X)=E(X2)=18.設(shè)隨機變量(X，Y)具有D(X)=9，D(Y)=4，，求，．解：因為，所以=-1/6×3×2=-1,19.在題13中求Cov(X，Y)，XY．解：E(X)=1/2,E(Y)=3/4,E(XY)=0×(3/28+9/28+3/28+3/14+1/28〕+1×3/14+2×0+4×0=3/14,E(X2)=02×〔3/28+9/28+3/28〕+12×(3/14+3/14+0)+22×(1/28+0+0)=4/7,E(Y2)=02×〔3/28+3/14+1/28〕+12×(9/28+3/14+0)+22×(3/28+0+0)=27/28,D(X)=E(X2)-［E(X)］2=4/7-(1/2)2=9/28,D(Y)=E(Y2)-［E(Y)］2=27/28-(3/4)2=45/112,Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=3/14-(1/2)×(3/4)=-9/56,XY=Cov(X，Y)/()=-9/56()=-/520.在題14中求Cov(X，Y)，XY，D(X+Y)．解：,21.設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為試驗證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨立的．解：，所以Cov(X，Y)=0，XY=0，即X和Y是不相關(guān).當(dāng)x2+y2≤1時，f(x,y)≠fX(x)fY(y),所以X和Y不是相互獨立的22.設(shè)隨機變量(X,Y)的概率密度為驗證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨立的．解：由于f(x,y)的非零區(qū)域為D:0<x<1,|y|<2x,,,所以Cov(X，Y)=0，從而，因此X與Y不相關(guān).所以，當(dāng)0<x<1,-2<y<2時，，所以X和Y不是相互獨立的.四、應(yīng)用題.1.某公司方案開發(fā)一種新產(chǎn)品市場，并試圖確定該產(chǎn)品的產(chǎn)量，他們估計出售一件產(chǎn)品可獲利m元，而積壓一件產(chǎn)品導(dǎo)致n元的損失，再者，他們預(yù)測銷售量Y〔件〕服從參數(shù)的指數(shù)分布，問假設(shè)要獲利的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？〔設(shè)m,n,均為〕.解：設(shè)生產(chǎn)x件產(chǎn)品時，獲利Q為銷售量Y的函數(shù)y0<y<xx2.設(shè)賣報人每日的潛在賣報數(shù)為X服從參數(shù)為的泊松分布，如果每日賣出一份報可獲報酬m元，賣不掉而退回那么每日賠償n元，假設(shè)每日賣報人買進(jìn)r份報，求其期望所得及最正確賣報數(shù)。解：設(shè)真正賣報數(shù)為Y,那么，Y的分布為設(shè)賣報所得為Z,那么Z與Y的關(guān)系為當(dāng)給定m,n,λ之后，求r，使得E(g(Y))到達(dá)最大.(B)組題1.甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品，從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后，求：(1)乙箱中次品件數(shù)X的數(shù)學(xué)期望；(2)從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率．解：(1)X的可能取值為0，1，2，3，X的概率分布律為，k=0,1,2,3.即X0123pi因此(2)設(shè)A表示事件“從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品”，由于，，，構(gòu)成完備事件組，因此根據(jù)全概率公式，有==2.隨機變量X的概率密度為，對X獨立重復(fù)觀察4次，用Y表示觀察值大于的次數(shù)，求Y2的數(shù)學(xué)期望解：依題意，Y~B(4,p),p=P{X>}=所以E(Y)=4p=2，D(Y)=4p(1-p)=1，E(Y2)=D(Y)+[E(Y)]2=1+4=53.設(shè)隨機變量U在區(qū)間(-2，2)上服從均勻分布，隨機變量試求：(1)和的聯(lián)合分布律；(2)．解：(1)P{X=-1,Y=-1}=P{U≤-1且U≤1}=P{U≤-1}=，P{X=-1,Y=1}=P{U≤-1且U>1}=0，P{X=1,Y=-1}=P{-1<U≤1}=，P{X=1,Y=1}=P{U>-1且U>1}=P{U>1}=，所以和的聯(lián)合分布律為XY-11-11/41/2101/4(2)和的邊緣分布律分別為X–11pi1/43/4Y–11pi3/41/4所以E(X)=-1/4+3/4=1/2，E(Y)=-3/4+1/4=-1/2，E(XY)=1/4-1/2+1/4=0，E(X2)=1/4+3/4=1，E(Y2)=1，D(X)=1-1/4=3/4，D(Y)=1-1/4=3/4，Cov(X，Y)=1/4，D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=3/4+3/4+2/4=24.設(shè)隨機變量X的期望E(X)與方差存在，且有，，證明．證明：首先證明E〔Y〕存在(1)假設(shè)隨機變量X為離散型隨機變量，分布律為：那么由E(X)存在知，絕對收斂，且記,那么絕對收斂，所以E〔Y〕存在，,(2)假設(shè)X為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f(x),那么：5.設(shè)離散型隨機變量X的分布律為，且E(X)，E(X2)，D(X)都存在，試證明：函數(shù)在時取得最小值，且最小值為D(X)．證明：令，那么，，所以，又，所以時，取得最小值，此時6.隨機變量X與Y獨立同分布，且X的分布律為X12pi2/31/3記，(1)求(U，V)的分布律；(2)求U與V的協(xié)方差Cov(U，V).解：(1)(X,Y)的分布律YX1214/92/922/91/9(X,Y)〔1，1〕〔1，2〕〔2，1〕〔2，2〕pij4/92/92/91/9U1222V1112VU1214/9024/91/9(2)E(U)=4/9+2×5/9=14/9，E(V)=(4/9+2/9+2/9)+2×1/9=10/9，E(UV)=4/9+2×4/9+4×1/9=16/9,Cov(U，V)=16/9-140/81=4/817.隨機變量X的概率密度為令為二維隨機變量〔X，Y〕的分布