27.2.2 相似三角形的判定 提升訓練（解析版）

27.2.2相似三角形的判定提升訓練1．如圖，在中，，BE、CF分別是AC、AB邊上的高，連接EF，則的值為(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】先證明得到，接著可以判斷得到比例式，再利用含的直角三角形三邊的關系得到，即，可得到的值．【詳解】∵BE，CF分別是AC，AB邊上的高，∴，∵，∴，，即.又∵，∴，∴.∵在中，，∴，.故選項A正確.【點睛】本題考查的知識點是相似三角形的性質與判定及含有的直角三角形具有的特殊邊的關系．2．將矩形OABC如圖放置，O為坐標原點，若點A（﹣1，2），點B的縱坐標是，則點C的坐標是（）A．（4，2） B．（3，） C．（3，） D．（2，）【答案】B【分析】首先構造直角三角形，利用相似三角形的判定與性質以及結合全等三角形的判定與性質得出CM＝，MO＝3，進而得出答案．【詳解】如圖，過點A作AE⊥x軸于點E，過點B作BF⊥x軸于點F，過點A作AN⊥BF于點N，過點C作CM⊥x軸于點M．∵∠EAO+∠AOE=90°，∠AOE+∠MOC=90°，∴∠EAO=∠COM，又∵∠AEO=∠CMO=90°，∴△AEO∽△OMC，∴，∵∠BAN+∠OAN=90°，∠EAO+∠OAN=90°，∴∠BAN=∠EAO=∠COM，在△ABN和△OCM中，，∴△ABN≌△OCM（AAS），∴BN=CM．∵點A（﹣1，2），點B的縱坐標是，∴BN，∴CM，∴，∴MO=3，∴點C的坐標是：（3，）．故選：B．【點睛】本題主要考查了矩形的性質以及相似三角形的判定與性質以及結合全等三角形的判定與性質等知識.構造直角三角形，正確得出CM的長是解題的關鍵.3．如圖，把菱形向平移至的位置，作，垂足為與相交于點的延長線交于點，連接，則下列結論：①；②；③；④，則正確的結論有（

）個A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】先證明，再根據(jù)直角三角形性質和菱形性質以及相似三角形的判定即可一一判斷．【詳解】解：∵把菱形向右平移至的位置，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，即，故①正確；∵DE=DH，∴∠DHE=∠DEH，∵四邊形CDFE是菱形，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴，故②正確；∵，∴，∵，∴，∵，∴是的中位線，∴，∴，故③正確；∵四邊形是菱形，∴，∵，∴，∴．故④正確；正確的有：①②③④，故選：D．【點睛】本題考查菱形的性質、平移變換、全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質，三角形中位線定理，直角三角形斜邊中線的性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．4．如圖，AB、DE是⊙O的直徑，點C在⊙O上，∠ABC=20°，點D從點C出發(fā)沿順時針方向繞圓心O旋轉α°（0＜α＜180），當α=______時，直徑DE在△ABC中截得的三角形與△ABC相似．【答案】50、70或160【分析】分三種情況，當，，時，直徑DE在△ABC中截得的三角形都與△ABC相似，既如圖1，2，3，數(shù)形結合即可得出結果．【詳解】解：如圖1所示：當點D從點C出發(fā)沿順時針方向繞圓心O旋轉到時，DE交BC于點F，連接OC，是的直徑，故當時，直徑DE在△ABC中截得的三角形與△ABC相似．如圖2所示：當點D從點C出發(fā)沿順時針方向繞圓心O旋轉到時，DE與BC交于點F，連接OC，是的直徑，故當時，直徑DE在△ABC中截得的三角形與△ABC相似．如圖3所示：當點D從點C出發(fā)沿順時針方向繞圓心O旋轉到時，DE與AC交于點F，連接OC，是的直徑，故當時，直徑DE在△ABC中截得的三角形與△ABC相似．故答案為：50、70或160．【點睛】本題主要考查了三角形相似的知識，涉及到圖形的旋轉，分三種情況討論，數(shù)形結合是解此題的關鍵．5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點P為射線BC上的一個動點，過點P的直線PQ垂直于AP與直線CD相交于點Q，當BP＝5時，CQ＝_____．【答案】【分析】通過證明△ABP∽△PCQ，可得，即可求解．【詳解】解：如圖，∵BP＝5，BC＝4，∴CP＝1，∵PQ⊥AP，∴∠APQ＝90°＝∠ABC，∴∠APB+∠BAP＝90°＝∠APB+∠BPQ，∴∠BAP＝∠BPQ，又∵∠ABP＝∠PCQ＝90°，∴△ABP∽△PCQ，∴，∴∴CQ＝，故答案為：．【點睛】本題考查相似三角形、矩形的性質．根據(jù)題意找相似的條件是關鍵．利用相似比計算線段的長度是常用的方法．6．如圖，四邊形ABCD是正方形，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且CE＝DF，DE，AF交于點G，AF的中點為點H，連接BG，DH．現(xiàn)有以下結論：①AF⊥DE；②△ADG∽△DEC；③HD∥BG；④△ABG∽△DHF．其中正確的結論有_____．（填寫所有正確結論的序號）【答案】①②【分析】證明△ADF≌△DCE，再利用全等三角形的性質結合余角的性質得到∠DGF=90°，可判斷①②；如圖所示，連接AE，得到A、B、E、G四點共圓，則∠AEB=∠AGB，當∠AED=∠DEC時，可證明，又E是BC上任意一點，則∠AED不一定等于∠DEC，即可判斷③；△DHF是等腰三角形，而G點是動點，△ABG不一定是等腰三角形，即可判斷④．【詳解】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，又∵DF=EC=，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴∠AFD=∠DEC，∠FAD=∠EDC，∵∠EDC+∠DEC=90°，∴∠EDC+∠AFD=90°，∴∠DGF=90°，即DE⊥AF，故①正確；∴∠DGA=∠ECD=90°，又∵∠DAG=∠EDC，∴△ADG∽△DEC，故②正確；如圖所示，連接AE，∵∠ABE=∠AGE=90°，∴A、B、E、G四點共圓，∴∠AEB=∠AGB，∵點H是AF的中點，∴AH=HF=DH，∴∠HDF=∠HFD，∴∠DHF+2∠AFD=180°，當∠AED=∠DEC時，則∠AEB+2∠DEC=180°，∴∠AEB=∠DHF=∠AGB，∴，又∵E是BC上任意一點，∴∠AED不一定等于∠DEC，∴DH與BG不一定平行，故③錯誤；∵△DHF是等腰三角形，而G點是動點，△ABG不一定是等腰三角形，∴△ABG與△DHF不一定相似，故④錯誤；故答案為：①②．故答案為：①④．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定，四點共圓，圓周角定理，直角三角形斜邊中線定理，知識點較多，有一定難度，解題時注意利用線段和角度關系．7．如圖，在平行四邊形中，過點B作，垂足為E，連接為上一點，且(1)求證：(2)若，，求的長【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）利用平行四邊形的性質可得到，結合條件可證得；（2）利用平行四邊形的面積公式，結合勾股定理可求得AE；【詳解】（1）證明：∵四邊形為平行四邊形，∴，∴∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵∴，∴，∴；【點睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質及平行四邊形的性質，掌握相似三角形的判定是解題的關鍵．注意方程思想的應用．8．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分別與AC，CD相交于點E，F(xiàn)．（1）求證：△AEB∽△CFB；（2）若CE＝5，，BD＝6．求AD的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)兩角對應相等兩三角形相似即可判斷；（2）解直角三角形求出，，利用相似三角形的性質求出，即可．【詳解】（1）證明：，，為邊上的高，，，，是的