27.2.2 相似三角形的判定 提升訓(xùn)練（解析版）

27.2.2相似三角形的判定提升訓(xùn)練1．如圖，在中，，BE、CF分別是AC、AB邊上的高，連接EF，則的值為(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】先證明得到，接著可以判斷得到比例式，再利用含的直角三角形三邊的關(guān)系得到，即，可得到的值．【詳解】∵BE，CF分別是AC，AB邊上的高，∴，∵，∴，，即.又∵，∴，∴.∵在中，，∴，.故選項(xiàng)A正確.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的性質(zhì)與判定及含有的直角三角形具有的特殊邊的關(guān)系．2．將矩形OABC如圖放置，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)A（﹣1，2），點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．（4，2） B．（3，） C．（3，） D．（2，）【答案】B【分析】首先構(gòu)造直角三角形，利用相似三角形的判定與性質(zhì)以及結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出CM＝，MO＝3，進(jìn)而得出答案．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥BF于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥x軸于點(diǎn)M．∵∠EAO+∠AOE=90°，∠AOE+∠MOC=90°，∴∠EAO=∠COM，又∵∠AEO=∠CMO=90°，∴△AEO∽△OMC，∴，∵∠BAN+∠OAN=90°，∠EAO+∠OAN=90°，∴∠BAN=∠EAO=∠COM，在△ABN和△OCM中，，∴△ABN≌△OCM（AAS），∴BN=CM．∵點(diǎn)A（﹣1，2），點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是，∴BN，∴CM，∴，∴MO=3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是：（3，）．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)以及結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí).構(gòu)造直角三角形，正確得出CM的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.3．如圖，把菱形向平移至的位置，作，垂足為與相交于點(diǎn)的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，則下列結(jié)論：①；②；③；④，則正確的結(jié)論有（

）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】先證明，再根據(jù)直角三角形性質(zhì)和菱形性質(zhì)以及相似三角形的判定即可一一判斷．【詳解】解：∵把菱形向右平移至的位置，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，即，故①正確；∵DE=DH，∴∠DHE=∠DEH，∵四邊形CDFE是菱形，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴，故②正確；∵，∴，∵，∴，∵，∴是的中位線，∴，∴，故③正確；∵四邊形是菱形，∴，∵，∴，∴．故④正確；正確的有：①②③④，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、平移變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．4．如圖，AB、DE是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，∠ABC=20°，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿順時(shí)針?lè)较蚶@圓心O旋轉(zhuǎn)α°（0＜α＜180），當(dāng)α=______時(shí)，直徑DE在△ABC中截得的三角形與△ABC相似．【答案】50、70或160【分析】分三種情況，當(dāng)，，時(shí)，直徑DE在△ABC中截得的三角形都與△ABC相似，既如圖1，2，3，數(shù)形結(jié)合即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖1所示：當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿順時(shí)針?lè)较蚶@圓心O旋轉(zhuǎn)到時(shí)，DE交BC于點(diǎn)F，連接OC，是的直徑，故當(dāng)時(shí)，直徑DE在△ABC中截得的三角形與△ABC相似．如圖2所示：當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿順時(shí)針?lè)较蚶@圓心O旋轉(zhuǎn)到時(shí)，DE與BC交于點(diǎn)F，連接OC，是的直徑，故當(dāng)時(shí)，直徑DE在△ABC中截得的三角形與△ABC相似．如圖3所示：當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿順時(shí)針?lè)较蚶@圓心O旋轉(zhuǎn)到時(shí)，DE與AC交于點(diǎn)F，連接OC，是的直徑，故當(dāng)時(shí)，直徑DE在△ABC中截得的三角形與△ABC相似．故答案為：50、70或160．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形相似的知識(shí)，涉及到圖形的旋轉(zhuǎn)，分三種情況討論，數(shù)形結(jié)合是解此題的關(guān)鍵．5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P為射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線PQ垂直于AP與直線CD相交于點(diǎn)Q，當(dāng)BP＝5時(shí)，CQ＝_____．【答案】【分析】通過(guò)證明△ABP∽△PCQ，可得，即可求解．【詳解】解：如圖，∵BP＝5，BC＝4，∴CP＝1，∵PQ⊥AP，∴∠APQ＝90°＝∠ABC，∴∠APB+∠BAP＝90°＝∠APB+∠BPQ，∴∠BAP＝∠BPQ，又∵∠ABP＝∠PCQ＝90°，∴△ABP∽△PCQ，∴，∴∴CQ＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形、矩形的性質(zhì)．根據(jù)題意找相似的條件是關(guān)鍵．利用相似比計(jì)算線段的長(zhǎng)度是常用的方法．6．如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且CE＝DF，DE，AF交于點(diǎn)G，AF的中點(diǎn)為點(diǎn)H，連接BG，DH．現(xiàn)有以下結(jié)論：①AF⊥DE；②△ADG∽△DEC；③HD∥BG；④△ABG∽△DHF．其中正確的結(jié)論有_____．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①②【分析】證明△ADF≌△DCE，再利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合余角的性質(zhì)得到∠DGF=90°，可判斷①②；如圖所示，連接AE，得到A、B、E、G四點(diǎn)共圓，則∠AEB=∠AGB，當(dāng)∠AED=∠DEC時(shí)，可證明，又E是BC上任意一點(diǎn)，則∠AED不一定等于∠DEC，即可判斷③；△DHF是等腰三角形，而G點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，△ABG不一定是等腰三角形，即可判斷④．【詳解】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，又∵DF=EC=，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴∠AFD=∠DEC，∠FAD=∠EDC，∵∠EDC+∠DEC=90°，∴∠EDC+∠AFD=90°，∴∠DGF=90°，即DE⊥AF，故①正確；∴∠DGA=∠ECD=90°，又∵∠DAG=∠EDC，∴△ADG∽△DEC，故②正確；如圖所示，連接AE，∵∠ABE=∠AGE=90°，∴A、B、E、G四點(diǎn)共圓，∴∠AEB=∠AGB，∵點(diǎn)H是AF的中點(diǎn)，∴AH=HF=DH，∴∠HDF=∠HFD，∴∠DHF+2∠AFD=180°，當(dāng)∠AED=∠DEC時(shí)，則∠AEB+2∠DEC=180°，∴∠AEB=∠DHF=∠AGB，∴，又∵E是BC上任意一點(diǎn)，∴∠AED不一定等于∠DEC，∴DH與BG不一定平行，故③錯(cuò)誤；∵△DHF是等腰三角形，而G點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，△ABG不一定是等腰三角形，∴△ABG與△DHF不一定相似，故④錯(cuò)誤；故答案為：①②．故答案為：①④．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定，四點(diǎn)共圓，圓周角定理，直角三角形斜邊中線定理，知識(shí)點(diǎn)較多，有一定難度，解題時(shí)注意利用線段和角度關(guān)系．7．如圖，在平行四邊形中，過(guò)點(diǎn)B作，垂足為E，連接為上一點(diǎn)，且(1)求證：(2)若，，求的長(zhǎng)【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)可得到，結(jié)合條件可證得；（2）利用平行四邊形的面積公式，結(jié)合勾股定理可求得AE；【詳解】（1）證明：∵四邊形為平行四邊形，∴，∴∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵∴，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．注意方程思想的應(yīng)用．8．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分別與AC，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）求證：△AEB∽△CFB；（2）若CE＝5，，BD＝6．求AD的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等兩三角形相似即可判斷；（2）解直角三角形求出，，利用相似三角形的性質(zhì)求出，即可．【詳解】（1）證明：，，為邊上的高，，，，是的