《解直角三角形》名師課件

28.2.1解直角三角形（2）勾股定理：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．（1）銳角三角函數(shù)：在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別記為a、b、c，若∠C=90°，則，

，

.（4）含30°角的直角三角形的三邊比為；含45°角的直角三角形的三邊比為.（3）直角三角形兩銳角互余.（5）30°、45°、60°角的三角函數(shù)值：30°45°60°sinαcosαtanα創(chuàng)設(shè)情境，引入新知活動(dòng)1探究一:已知直角三角形中的兩個(gè)元素能求出其他元素嗎？重點(diǎn)知識(shí)★問題：要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端，梯子與地面所成的角α一般要滿足50°＜α＜75°，如圖現(xiàn)有一個(gè)長6m的梯子，問：(1)使用這個(gè)梯子最高可以安全攀上多高的墻(精確到0.1m)(2)當(dāng)梯子底端距離墻面2.4m時(shí)，梯子與地面所成的角α等于多少(精確到1°)？這時(shí)人是否能夠安全使用這個(gè)梯子？分析：對(duì)于問題（1），當(dāng)梯子與地面所成的角α為75°時(shí)，梯子頂端與地面的距離是使用這個(gè)梯子所能攀到的最大高度。問題（1）可以歸結(jié)為：在Rt△ABC中，已知∠A=75°，斜邊AB=6，求∠A的對(duì)邊BC的長。分析：對(duì)于問題（2），當(dāng)梯子底端距離墻面2.4m時(shí)，求梯子與地面所成的角α的問題，可以歸結(jié)為：在Rt△ABC中，已知AC=2.4，斜邊AB=6，求銳角α的度數(shù)。創(chuàng)設(shè)情境，引入新知活動(dòng)1問題：要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端，梯子與地面所成的角α一般要滿足50°＜α＜70°，如圖現(xiàn)有一個(gè)長6m的梯子，問：(1)使用這個(gè)梯子最高可以安全攀上多高的墻(精確到0.1m)(2)當(dāng)梯子底端距離墻面2.4m時(shí)，梯子與地面所成的角α等于多少(精確到1°)？這時(shí)人是否能夠安全使用這個(gè)梯子？解：（1）由,得.由計(jì)算器求得，所以.因此使用這個(gè)梯子能夠安全攀到墻面的最大高度約是5.8m.探究一:已知直角三角形中的兩個(gè)元素能求出其他元素嗎？重點(diǎn)知識(shí)★創(chuàng)設(shè)情境，引入新知活動(dòng)1問題：要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端，梯子與地面所成的角α一般要滿足50°＜α＜70°，如圖現(xiàn)有一個(gè)長6m的梯子，問：(1)使用這個(gè)梯子最高可以安全攀上多高的墻(精確到0.1m)(2)當(dāng)梯子底端距離墻面2.4m時(shí)，梯子與地面所成的角α等于多少(精確到1°)？這時(shí)人是否能夠安全使用這個(gè)梯子？探究一:已知直角三角形中的兩個(gè)元素能求出其他元素嗎？重點(diǎn)知識(shí)★解：（2）由于，利用計(jì)算器求得.因此當(dāng)梯子底端距離墻面2.4m時(shí)，梯子與地面所成的角大約是66°

.由可知，這時(shí)使用這個(gè)梯子是安全的.探究思考，理論提升活動(dòng)2思考：在上面問題的Rt△ABC中，（2）根據(jù)AC=2.4，斜邊AB=6，你能求出這個(gè)直角三角形的其他元素嗎？（1）根據(jù)∠A=75°，斜邊AB=6，你能求出這個(gè)直角三角形的其他元素嗎？結(jié)論：可以，過程嘗試自己寫一下.探究一:已知直角三角形中的兩個(gè)元素能求出其他元素嗎？重點(diǎn)知識(shí)★解直角三角形活動(dòng)1探究二:什么是解直角三角形？依據(jù)是什么？1．一般地，我們把三角形的三個(gè)角∠A，∠B，∠C和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的元素，即三角形共有六個(gè)元素.2.在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程，就是解直角三角形.3.在直角三角形中，除直角外共有5個(gè)元素，即3條邊和2個(gè)銳角，如果已知兩個(gè)元素（其中至少有一個(gè)是邊），就可以求出其余的三個(gè)元素.即解直角三角形滿足“知二推三”.重點(diǎn)知識(shí)★直角三角形各元素間的關(guān)系活動(dòng)1直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B這五個(gè)元素間有哪些等量關(guān)系呢？（1）三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2(勾股定理)（2）兩銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°．（3）邊角之間的關(guān)系：以上三點(diǎn)就是解直角三角形的依據(jù).探究二:什么是解直角三角形？依據(jù)是什么？重點(diǎn)知識(shí)★應(yīng)用新知，鞏固練習(xí)活動(dòng)1例1：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=，AC=，解這個(gè)直角三角形.解：點(diǎn)撥：已知兩邊，用三角函數(shù)求出一角是突破口.探究二:什么是解直角三角形？依據(jù)是什么？重點(diǎn)知識(shí)★應(yīng)用新知，鞏固練習(xí)活動(dòng)1例2：如圖，在Rt△ABC中，∠B=35°，b=20，解這個(gè)直角三角形（精確到0.1）解：點(diǎn)撥：已知一邊一角，用三角函數(shù)求出第二條邊是突破口.另外，解直角三角形的方法很多，在做題中要善于比較歸納、靈活處理.探究二:什么是解直角三角形？依據(jù)是什么？重點(diǎn)知識(shí)★應(yīng)用新知，回顧引言活動(dòng)2探究三:怎樣解直角三角形？重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲例3：如圖，始建于1350年的意大利比薩斜塔落成時(shí)就已經(jīng)傾斜.1972年比薩發(fā)生地震，這座高54.5m的斜塔大幅度搖擺22分之后，仍巍然屹立.可是，塔頂中心點(diǎn)偏離垂直中心線的距離已由落成時(shí)的2.1m增加至5.2m，而且還以每年傾斜1cm的速度繼續(xù)增加，隨時(shí)都有倒塌的危險(xiǎn).為此，意大利當(dāng)局從1990年起對(duì)斜塔進(jìn)行維修糾偏，2001年竣工，使塔頂中心點(diǎn)偏離垂直中心線的距離比糾偏前減少了43.8cm.根據(jù)上面的信息，你能用“塔身中心線偏離垂直中心線的角度”來描述比薩斜塔的傾斜程度嗎？我們一起來解決關(guān)于比薩斜塔傾斜的問題.應(yīng)用新知，回顧引言活動(dòng)2解：先看1972年的情形：設(shè)塔頂中心點(diǎn)為B，塔身中心線與垂直中心線的交點(diǎn)為A，過B點(diǎn)向垂直中心線引垂線，垂足為C.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2m，AB=54.5m．

sinA=≈0.0954．所以∠A≈5°28′．類似地，可以求出2001年糾偏后塔身中心線與垂直中心線的夾角.我們一起來解決關(guān)于比薩斜塔傾斜的問題.探究三:怎樣解直角三角形？重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲常見類型，歸納提升活動(dòng)3當(dāng)圖形中沒有需要的直角三角形時(shí)，常常通過添加輔助線來構(gòu)造直角三角形.例1：如圖，在△ABC中，已知BC＝

，∠B＝60°，∠C＝45°，求AB的長．D解：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D.

設(shè)BD＝x，在Rt△ABD中，AD＝BD·tanB＝x·tan60°＝x.在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，∴∠CAD＝90°－∠C＝45°.∴∠C＝∠CAD.∴CD＝AD＝x.∵BC＝

，∴x＋x＝.解得x＝1，即BD＝1.在Rt△ABD中，∵cosB＝

，∴AB＝.點(diǎn)撥：無直角的三角形常常作高，作高一般不破壞特殊角.探究三:怎樣解直角三角形？重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲常見類型，歸納提升活動(dòng)3例2．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝60°，∠D＝∠B＝90°，求四邊形ABCD的面積．解：如圖，延長BC，AD交于點(diǎn)E.∵∠A＝60°，∠B＝90°，∴∠E＝30°.在Rt△ABE中，BE＝

，在Rt△CDE中，EC＝2CD＝2.∴DE＝EC·cos30°＝.∴S四邊形ABCD＝SRt△ABE－SRt△ECD＝E點(diǎn)撥：有直角、無三角形的圖形常常延長某些邊.本題看似是四邊形問題，但注意到∠B＝90°，∠A＝60°，不難想到延長BC，AD，構(gòu)造出直角三角形，將所求問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題來解決．探究三:怎樣解直角三角形？重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲常見類型，歸納提升活動(dòng)3例3：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，DC⊥AC，sin∠BCD＝，求tanA的值．解：如圖，過點(diǎn)B作BE⊥CD，交CD的延長線于點(diǎn)E.E∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴AD＝DB.又∵∠ACD＝∠BED＝90°，∠ADC＝∠BDE，∴△ACD≌△BED，∴CD＝DE，AC＝BE.在Rt△CBE中，sin∠BCE＝

，∴BC＝3BE.∴CE，∴∴tanA＝

點(diǎn)撥：有三角函數(shù)值不能直接利用時(shí)常常作垂線構(gòu)造直角三角形，把所要求的量與已知量建立關(guān)系是解題的關(guān)鍵．探究三:怎樣解直角三角形？重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲常見類型，歸納提升活動(dòng)3例4．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝∠BAC，求tan∠BPC的值.解：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，E∵AB＝AC＝5，∴BE，∠BAE＝∠BAC.∵∠BPC＝∠BAC，∴∠BPC＝∠BAE.在Rt△BAE中，由勾股定理得 AE＝

， ∴tan∠BPC＝tan∠BAE＝.點(diǎn)撥：求角的三角函數(shù)值，若角不在直角三角形中、也不好構(gòu)造直角三角形時(shí)，可以嘗試將角轉(zhuǎn)化到容易構(gòu)造直角三角形的位置求解.探究三:怎樣解直角三角形？重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲

（1）直角三角形各元素間的關(guān)系：三邊關(guān)系------勾股定理；