期末專題12 數(shù)列壓軸綜合（附加）（30題）（解析版）-備戰(zhàn)期末高二數(shù)學(xué)

期末專題12數(shù)列壓軸綜合（附加）（精選30題）一、單選題1．（21-22高二下·遼寧大連·期末）數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前80項(xiàng)和為（

）A．1640 B．1680 C．2100 D．2120【答案】A【分析】利用周期性以及等差數(shù)列進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)榈闹芷跒?，所以的周期?又，，所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，.又，所以，，，于是得到，同理可求出，…，設(shè)，則數(shù)列是以6為首項(xiàng)，8為公差的等差數(shù)列，所以數(shù)列的前80項(xiàng)和為數(shù)列的前20項(xiàng)和.故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.2．（20-21高二下·浙江紹興·期末）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足：，設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用進(jìn)行放縮，然后再逐項(xiàng)分析即可.【詳解】，設(shè)，，令，得，易得所以，所以，即所以，若，則，與矛盾，所以A錯(cuò)若，則，由得由，即得由，即得所以可以推出，與矛盾，所以B錯(cuò)又因?yàn)樗砸驗(yàn)?，所以故選：D.3．（22-23高二下·安徽合肥·期末）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為5，取正方形各邊的中點(diǎn)，作第2個(gè)正方形，然后再取正方形各邊的中點(diǎn)，作第3個(gè)正方形，依此方法一直繼續(xù)下去，則從正方形開始，連續(xù)15個(gè)正方形的面積之和等于（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)第個(gè)正方形的面積為，第個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，則第個(gè)正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為，則由題意可得，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，從而可求出，進(jìn)而可求得答案.【詳解】記第1個(gè)正方形的面積為，第2個(gè)正方形的面積為，第個(gè)正方形的面積為，設(shè)第個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，則第個(gè)正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為，所以第個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，則，當(dāng)時(shí)，，又，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，連續(xù)15個(gè)正方形的面積之和等于故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查等比數(shù)列應(yīng)用，考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到第個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為與第個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的關(guān)系，從而可得，考查計(jì)算能力，屬于較難題.4．（21-22高二下·江蘇南京·期末）將等比數(shù)列按原順序分成1項(xiàng)，2項(xiàng)，4項(xiàng)，…，項(xiàng)的各組，再將公差為2的等差數(shù)列的各項(xiàng)依次插入各組之間，得到新數(shù)列：，，，，，，，，，，…，新數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，，，則S200=（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知求得等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，以及等差數(shù)列的首項(xiàng)，再求得數(shù)列的前200項(xiàng)中含有數(shù)列的前7項(xiàng)，含有數(shù)列的前193項(xiàng)，運(yùn)用分組求和的方法可求得答案.【詳解】解：由已知得，，，等比數(shù)列的公比．令，則，，所以數(shù)列的前200項(xiàng)中含有數(shù)列的前7項(xiàng)，含有數(shù)列的前193項(xiàng)，故．故選：A．5．（20-21高二下·浙江衢州·期末）已知等差數(shù)列滿足：，則的最大值為（

）A．18 B．16 C．12 D．8【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)分析題中數(shù)列變化規(guī)律，計(jì)算得出結(jié)果.【詳解】不為常數(shù)列，且數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)為則，一定存在正整數(shù)k使得或不妨設(shè)，即，從而得，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，，且，，同理即，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，所以n的最大值為12，選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)ABD錯(cuò)誤故選：C.6．（22-23高二下·安徽合肥·期末）定義高階等差數(shù)列：對(duì)于一個(gè)給定的數(shù)列，令，則數(shù)列稱為數(shù)列的一階差數(shù)列，再令，則數(shù)列是數(shù)列的二階差數(shù)列．已知數(shù)列為2，5，11，21，36，，且它的二階差數(shù)列是等差數(shù)列，則（

）A．45 B．85 C．121 D．166【答案】C【分析】利用二階差數(shù)列是等差數(shù)列，由此將原數(shù)列一一列舉即可.【詳解】該數(shù)列的一階差數(shù)列為3，6，10，15，，則二階差數(shù)列為3，4，5，，因?yàn)槎A差數(shù)列是等差數(shù)列，故二階差數(shù)列后面的項(xiàng)為6，7，8，，所以一階差數(shù)列后面的項(xiàng)為21，28，36，，從而原數(shù)列后面的項(xiàng)為57，85，121，，故．故選：C7．（22-23高二下·河北邢臺(tái)·期末）數(shù)列單調(diào)遞減，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用數(shù)列單調(diào)遞減，可知，可化為，再判斷數(shù)列的單調(diào)性，即可求出的取值范圍.【詳解】∵數(shù)列單調(diào)遞減，∴，∴，則，令，，令，可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，則數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，對(duì)所有的正整數(shù)都成立只需時(shí)，成立，即，解得，∴的取值范圍是，故選：C.二、多選題8．（22-23高二下·安徽亳州·期末）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，公比，且，則（）A．當(dāng)時(shí)，最小B．C．存在，使得D．當(dāng)時(shí)，最小【答案】BD【分析】根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)以及單調(diào)性逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)A、D：因?yàn)?，所以，則，又因?yàn)?，可得，則，故，且，可知數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以當(dāng)時(shí)，最小，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)閿?shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，且當(dāng)時(shí)，，所以，故C錯(cuò)誤.故選：BD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：項(xiàng)數(shù)是關(guān)鍵：解題時(shí)特別關(guān)注條件中項(xiàng)的下標(biāo)即項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，尋找項(xiàng)與項(xiàng)之間、多項(xiàng)之間的關(guān)系選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)解題.9．（22-23高二下·遼寧·期末）若數(shù)列滿足，，，則稱數(shù)列為斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列.在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域，斐波那契數(shù)列都有直接的應(yīng)用.則下列結(jié)論成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】對(duì)A，根據(jù)遞推公式即可判斷；對(duì)利用判斷；D利用數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合斐波那契數(shù)列的前項(xiàng)和即可判斷；對(duì)C，根據(jù)遞推公式，即可判斷.【詳解】對(duì)A：，，，所以，，，，故A正確；對(duì)B：由，可得，，故B正確；對(duì)C：，可得，即有，故C正確；對(duì)于，故不正確．故選：ABC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查斐波那契數(shù)列的遞推公式，以及其偶數(shù)項(xiàng)和奇數(shù)項(xiàng)的和的求解；處理問題的關(guān)鍵是通過遞推公式，找到相鄰項(xiàng)的和與差的關(guān).系10．（22-23高二下·重慶沙坪壩·期末）已知數(shù)列滿足，，，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列說法正確的有（

）A． B．C． D．的最大值為【答案】ACD【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式可求得為奇數(shù)和為偶數(shù)時(shí)的通項(xiàng)公式，進(jìn)而確定，知AB正誤；由可確定C正確；分別討論和時(shí)，的通項(xiàng)公式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可確定D正確.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，又，，則，A正確；對(duì)于B，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，又，；由A知：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；則當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；綜上所述：，D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系式求解通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和的問題，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)遞推關(guān)系式確定數(shù)列奇偶項(xiàng)所滿足的關(guān)系，進(jìn)而通過對(duì)于的取值的討論求得通項(xiàng)公式.11．（22-23高二下·江蘇鹽城·期末）如圖，已知正三角形的邊長(zhǎng)為3，取正三角形各邊的三等分點(diǎn)作第二個(gè)正三角形，然后再取正三角形的各邊的三等分點(diǎn)作正三角形，以此方法一直循環(huán)下去．設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為，后續(xù)各正三角形的邊長(zhǎng)依次為；設(shè)的面積為，的面積為，后續(xù)各三角形的面積依次為，則下列選項(xiàng)正確的是（

）

A．?dāng)?shù)列是以3為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列B．從正三角形開始，連續(xù)3個(gè)正三角形面積之和為C．使得不等式成立的最大值為3D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和【答案】ABD【分析】利用余弦定理得到，即可得到數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即可判斷A、B，再由，求出的通項(xiàng)，即可判斷C，利用等比數(shù)列求和公式判斷D.【詳解】設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為，后續(xù)各正三角形的邊長(zhǎng)依次為，，，由題意知，，，所以為以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，故A正確；又，，所以從正三角形開始，連續(xù)個(gè)正三角形面積之和為，故B正確；又，，，所以，，，顯然數(shù)列單調(diào)遞減，，，，故C錯(cuò)誤；數(shù)列的前項(xiàng)和，故D正確；故選：ABD12．（21-22高二下·山東東營(yíng)·期末）如圖，是一塊半徑為的圓形紙板，在的左下端剪去一個(gè)半徑為的半圓后得到圖形，然后依次剪去一個(gè)更小半圓其直徑為前一個(gè)剪掉半圓的半徑得圖形，，，，，記紙板的周長(zhǎng)為，面積為，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用列舉前幾項(xiàng)的方法，判斷AB；根據(jù)列舉的規(guī)律，寫出，再求和，判斷C；利用與的關(guān)系，即可判斷D.【詳解】根據(jù)圖形生成的規(guī)律可知，，，，故A正確；，，，故B正確；根據(jù)題意可知，圖形中被剪去的最小的半圓的半徑為，所以當(dāng)故C錯(cuò)誤；根據(jù)題意可知，圖形中被剪去的最小的半圓的半徑為，，故D正確．故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是通過列舉的方法，發(fā)現(xiàn)圖形間的規(guī)律，轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題，進(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算.13．（21-22高二下·湖南衡陽(yáng)·期末）已知數(shù)列滿足，則（

）A．為等比數(shù)列B．的通項(xiàng)公式為C．的前項(xiàng)和D．的前項(xiàng)和【答案】ACD【分析】利用取倒數(shù)構(gòu)造法、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式、以及錯(cuò)位相減法、分組求和法進(jìn)行計(jì)算.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，，所以?shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故A正確；因?yàn)閿?shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以的前?xiàng)和，故C正確；因?yàn)?，所以，所以的前?xiàng)和,令，則，兩式錯(cuò)位相減得：，所以，所以，故D正確.故選：ACD.14．（21-22高二下·江蘇南通·期末）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則下列說法正確的是（

）A．B．是偶數(shù)C．若，則D．若，則存在n使得能被8整除【答案】BCD【分析】計(jì)算判斷A；探求數(shù)列的性質(zhì)，尋找規(guī)律判斷B；利用數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合累加法判斷C；取特值計(jì)算判斷D作答.【詳解】，，，，A不正確；，因數(shù)列從第3項(xiàng)起的每一項(xiàng)都等于其相鄰前2項(xiàng)的和，又都是奇數(shù)，則必為偶數(shù)，又都是奇數(shù)，又為偶數(shù)，由此，是奇數(shù)，是偶數(shù)，照此規(guī)律依次進(jìn)行，因此，數(shù)列中，是奇數(shù)，是偶數(shù)，而，是偶數(shù)，B正確；因，，即，則，C正確；，顯然能被8整除，因此，存在n使得能被8整除，D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及給出遞推公式探求數(shù)列規(guī)律的問題，按條件寫出變量的前幾個(gè)取值對(duì)應(yīng)數(shù)列，認(rèn)真分析每個(gè)變量對(duì)應(yīng)的數(shù)列，找準(zhǔn)變化規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵.15．（20-21高二上·江蘇揚(yáng)州·期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，.則下列選項(xiàng)正確的為（

）A．B．?dāng)?shù)列是以2為公比的等比數(shù)列C．對(duì)任意的，D．的最小正整數(shù)n的值為15【答案】BD【分析】根據(jù)題設(shè)的遞推關(guān)系可得，從而可得，由此可得的通項(xiàng)和的通項(xiàng)，從而可逐項(xiàng)判斷正誤.【詳解】由題設(shè)可得，因?yàn)?，，故，所以，所以，所以，因?yàn)?，故，所以，所以為等比?shù)列，所以即，故，故A錯(cuò)，C錯(cuò).又，故，所以，即是以2為公比的等比數(shù)列，故B正確.，，故的最小正整數(shù)n的值為15，故D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：題設(shè)中給出的是混合遞推關(guān)系，因此需要考慮奇數(shù)項(xiàng)的遞推關(guān)系和偶數(shù)項(xiàng)的遞推關(guān)系，另外討論D是否成立時(shí)注意先考慮的值.16．（20-21高二下·山東德州·期末）“斐波那契數(shù)列”由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契發(fā)現(xiàn)，因?yàn)殪巢瞧跻酝米臃敝碁槔佣?，故又稱該數(shù)列為“兔子數(shù)列”，它在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué).等領(lǐng)域都有直接的應(yīng)用.斐波那契數(shù)列滿足：，，，記其前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用進(jìn)行遞推即可得出答案.【詳解】對(duì)A，，∴，A正確；對(duì)B,，B正確；對(duì)C，，C錯(cuò)誤；對(duì)D，，D正確.故選：ABD.17．（22-23高二下·廣東佛山·期末）記等差數(shù)列的n和為，數(shù)列的前k項(xiàng)和為，則（

）A．若，均有，則B．若當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，則C．若且，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值D．若和時(shí)，取得最小值，則，【答案】BD【分析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性和等差數(shù)列的性質(zhì)，可得結(jié)論；【詳解】選項(xiàng)A：等差數(shù)列的前n和為，因?yàn)椋?，所以從第二?xiàng)開始，故正負(fù)不確定，不一定成立，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以數(shù)列是首項(xiàng)為負(fù)，慢慢遞增的數(shù)列，且有，則有，故有，選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C：，解得：，，，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，先減后增，由題意知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：當(dāng)和時(shí)，取得最小值，故先減后增，且，故，，選項(xiàng)D正確；故選：BD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：熟練掌握并應(yīng)用等差數(shù)列求和公式是本題的關(guān)鍵，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，將題目轉(zhuǎn)化為對(duì)具體項(xiàng)正負(fù)的判斷是本題的解題關(guān)鍵和突破點(diǎn)；18．（22-23高二下·山東日照·期末）已知有窮數(shù)列各項(xiàng)均不相等，將的項(xiàng)從大到小重新排序后相應(yīng)的序號(hào)構(gòu)成新數(shù)列，稱數(shù)列為數(shù)列的序數(shù)列．例如數(shù)列，，，滿足，則其序數(shù)列為1，3，2．若有窮數(shù)列滿足，（n為正整數(shù)），且數(shù)列的序數(shù)列單調(diào)遞減，數(shù)列的序數(shù)列單調(diào)遞增，則下列正確的是（

）A．?dāng)?shù)列單調(diào)遞增B．?dāng)?shù)列單調(diào)遞增C．D．【答案】ACD【分析】根據(jù)新定義直接判斷AB，根據(jù)數(shù)列單調(diào)性可得，，據(jù)此利用累加法求通項(xiàng)判斷D，并項(xiàng)求和結(jié)合等比數(shù)列求和公式判斷C.【詳解】由題意，數(shù)列的序數(shù)列單調(diào)遞減，故數(shù)列單調(diào)遞增，故A正確；由數(shù)列的序數(shù)列單調(diào)遞增，故數(shù)列單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；因?yàn)閿?shù)列是單調(diào)遞增，所以，即，因?yàn)?，所以，因此，所以，由?shù)列單調(diào)遞減，同理可得，，所以，也符合該式，故D正確；，故C正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：理解新定義數(shù)列的序數(shù)列是判斷數(shù)列單調(diào)性的關(guān)鍵，再由單調(diào)性及不等式的性質(zhì)分別得出，是解決問題的第二個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，利用累加法求通項(xiàng)公式，利用并項(xiàng)求和是解決本題的第三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).19．（22-23高二下·廣東汕尾·期末）已知數(shù)列滿足（且），則下列說法正確的是（

）A．，且B．若數(shù)列的前16項(xiàng)和為540，則C．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)中的所有偶數(shù)項(xiàng)之和為D．當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)，賦值法求解即可；B選項(xiàng)，先得到，求出數(shù)列的前16項(xiàng)和中偶數(shù)項(xiàng)之和，從而得到前16項(xiàng)和中奇數(shù)項(xiàng)之和，賦值法得到，從而得到，求出答案；C選項(xiàng)，在B選項(xiàng)的基礎(chǔ)上得到，從而利用等差數(shù)列求和公式求解；D選項(xiàng)，在B選項(xiàng)基礎(chǔ)上得到，令可得答案.【詳解】A選項(xiàng)，中，令得，令得，A正確；B選項(xiàng)，中，令得，所以，，，，相加得，因?yàn)閿?shù)列的前16項(xiàng)和為540，所以前16項(xiàng)和中奇數(shù)項(xiàng)之和為，中，令得，所以，故，解得，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可知，的前項(xiàng)中的共有偶數(shù)項(xiàng)項(xiàng)，故最后兩項(xiàng)之和為，所以數(shù)列的前項(xiàng)中的所有偶數(shù)項(xiàng)之和為，C正確；D選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可知，令，則，故故當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，，D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】當(dāng)遇到時(shí)，數(shù)列求通項(xiàng)公式或者求和時(shí)，往往要分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)，這類題目的處理思路可分別令和，用累加法進(jìn)行求解.三、填空題20．（21-22高二下·福建廈門·期末）分形幾何在計(jì)算機(jī)生成圖形和游戲中有廣泛應(yīng)用．按照如圖1所示的分形規(guī)律可得如圖2所示的一個(gè)樹形圖．設(shè)圖2中第n行黑圈的個(gè)數(shù)為，則，數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】41【分析】記第n行白圈的個(gè)數(shù)為，根據(jù)題意得到遞推公式，，從而推導(dǎo)出，進(jìn)而構(gòu)造等比數(shù)列聯(lián)立求解即可得【詳解】記第n行白圈的個(gè)數(shù)為，由題意可得，，，則，所以，所以，由，得，所以，即，故，故答案為：41；21．（21-22高二下·湖北武漢·期末）如圖是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案.圖形的作法是：從一個(gè)正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊.反復(fù)進(jìn)行這一過程，就得到一條“雪花”狀的曲線．設(shè)原三角形（圖）的邊長(zhǎng)為，把圖，圖，圖，中的圖形依次記為，，，，，，則的邊數(shù)，所圍成的面積．【答案】【分析】記的邊數(shù)為，三角形邊長(zhǎng)為，面積為，由圖形變化規(guī)律可直接得到，從而得到；根據(jù)，采用累加法可求得.【詳解】記的邊數(shù)為，三角形邊長(zhǎng)為，面積為，由圖形變換規(guī)律可知：，，則；由圖形可知：是在每條邊上生成一個(gè)小三角形（去掉底邊），則，由，，…，；左右分別相加得：；數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用問題，解題關(guān)鍵是根據(jù)圖形的變化規(guī)律確定的邊數(shù)的變化規(guī)律符合等比數(shù)列的變化；并得到圖形面積變化所滿足的遞推關(guān)系式，采用累加法表示出圖形面積.四、解答題22．（22-23高二下·福建泉州·期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列，求c．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用，可知數(shù)列為2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算即可；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和為，根據(jù)等差數(shù)列及等比數(shù)列的性質(zhì)可求出c．【詳解】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，兩式相減得化簡(jiǎn)得，，，當(dāng)時(shí)，，解得或（舍去）故數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．．（2）由（1）知，，，，，，，，成等比數(shù)列，，即，整理得：，或．①當(dāng)時(shí)，，所以（定值），滿足為等差數(shù)列，②當(dāng)時(shí)，，，，，不滿足，故此時(shí)數(shù)列不為等差數(shù)列（舍去）．綜上可得．23．（21-22高二下·河北石家莊·期末）已知等差數(shù)列為遞增數(shù)列，(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和：(3)若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和的最大值?最小值.【答案】(1)(2)(3)最大值為，最小值為【分析】（1）根據(jù)題意可得，則可解得，即可求出通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法即可求出；（3）利用裂項(xiàng)相消法求出前n項(xiàng)和，再討論n的奇偶即可求出.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，又，且為遞增數(shù)列，則可解得，所以公差為2，所以.（2）因?yàn)?，所以①，②，?②得，；（3），記的前項(xiàng)和為，則，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)隨著的增大而減小，可得，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)隨著的增大而增大，可得，所以的最大值為，最小值為.24．（21-22高二下·黑龍江哈爾濱·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】(1)(2)【分析】（1）由前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系先得到遞推關(guān)系為等比數(shù)列模型，進(jìn)而得到；（2）將等式往前遞推一次得，再兩邊同乘以4與原式作差得到，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】（1）∵，∴，∴令，得，∴是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，∴（2）∵，即∴等式兩邊同乘以4得：∴∴，∴，經(jīng)檢驗(yàn)成立，∴25．（22-23高二下·湖北十堰·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)為滿足的的個(gè)數(shù)，求使成立的最小正整數(shù)的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先由前項(xiàng)和的遞推公式通過累乘法算出，然后由與的關(guān)系解出通項(xiàng)公式.（2）不等式左邊利用分組求和的方法求出和，然后構(gòu)造函數(shù)結(jié)合作差法與二項(xiàng)式展開式來(lái)判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而解出值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，累乘得，所?符合上式，所以.當(dāng)時(shí)，，則，所以.因?yàn)榉仙鲜?，所?（2）由題意知，則.令，則.由二項(xiàng)式展開式.所以，所以單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以的最小值?1.26．（20-21高二·遼寧·期末）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充下面的問題中，若問題中的存在，求的最小整數(shù)值；若不存在，請(qǐng)說明理由．問題：設(shè)數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若_________，則是否存在，使得？【答案】當(dāng)選擇①時(shí)，存在，且的最小整數(shù)值為1；當(dāng)選擇②時(shí)，存在，且的最小整數(shù)值為24；選擇③時(shí)，存在，且的最小整數(shù)值為0.【分析】先根據(jù)，利用數(shù)列通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系求得，若選擇①，得到，利用裂項(xiàng)相消法求解；若選擇②，得到，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解；若選擇③，得到，利用裂項(xiàng)相消法求解.【詳解】因?yàn)椋?dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得：，則，又適合上式，所以，當(dāng)選擇①時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以存在，且的最小整?shù)值為1；當(dāng)選擇②時(shí)，，所以，，所以存在，且的最小整數(shù)值為24；選擇③時(shí)，，所以，，當(dāng)時(shí)，，所以存在，且的最小整數(shù)值為0；27．（20-21高二下·浙江·期末）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，d為整數(shù)，前n項(xiàng)和為，等比數(shù)列的公比為q，已知．（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和為；（3）設(shè)，求證：．【答案】（1），；（2）（3）證明詳見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件建立關(guān)于和的方程即可求解；（2）利用分組求和可求解；（3）化簡(jiǎn)可得，即可證明.【詳解】（1）由題意可得，解得（舍去）或，，；（2）由（1）可得；（3），.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列不等式的證明，解題的關(guān)鍵是化簡(jiǎn)得出.28．（20-21高二下·浙江·期末）在數(shù)列中，．（Ⅰ）證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：．【答案】（Ⅰ）證明見解析，；（Ⅱ）證明見解析.【分析】（Ⅰ）由化簡(jiǎn)可得,，進(jìn)而可得，即可證明結(jié)果;（Ⅱ）利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可.【詳解】（Ⅰ）,,,數(shù)列是以為首項(xiàng),-2為公差的等差數(shù)列.,,當(dāng)時(shí)，，滿足此式，故.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，成立，假設(shè)，時(shí)，成立，則當(dāng)時(shí)，，.只需證明即可.,,,時(shí)，成立，綜上所述，恒成立.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：用數(shù)學(xué)歸納法證明，一般是兩步一結(jié)論，（1）證明當(dāng)時(shí)命題成立；（2）假設(shè)時(shí)命題成立，再證明當(dāng)時(shí)，命題成立（3）下結(jié)論.29．（20-21高二上·江蘇蘇州·期末）已知數(shù)列滿足，．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)中最大值為，最小值為，令，稱數(shù)列是數(shù)列的“中程數(shù)數(shù)列”．①求“中程數(shù)數(shù)列”的前項(xiàng)和；②若（且），求所有滿足條件的實(shí)數(shù)對(duì)．【答案】（1）證明見解析，；（2）①；②．【解析】（1）先利用遞推關(guān)系推出，即證結(jié)論，再利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；（2）①先判斷數(shù)列單調(diào)性得到最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，求得數(shù)列，再利用錯(cuò)位相減法求和即可；②先利用通項(xiàng)公式判斷和，再逐一代入求解滿足題意的m