2025年中考數(shù)學專題07 將軍飲馬專題（解析版）

模型介紹模型介紹一、兩條線段和的最小值。基本圖形解析：（一）、已知兩個定點：1、在一條直線m上，求一點P，使PA+PB最?。唬?）點A、B在直線m兩側：（2）點A、B在直線同側：A、A’是關于直線m的對稱點。2、在直線m、n上分別找兩點P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）兩個點都在直線外側：（2）一個點在內(nèi)側，一個點在外側：（3）兩個點都在內(nèi)側：（4）、臺球兩次碰壁模型變式一：已知點A、B位于直線m,n的內(nèi)側，在直線n、m分別上求點D、E點，使得圍成的四邊形ADEB周長最短.變式二：已知點A位于直線m,n的內(nèi)側,在直線m、n分別上求點P、Q點PA+PQ+QA周長最短.二、求兩線段差的最大值問題(運用三角形兩邊之差小于第三邊)基本圖形解析：1、在一條直線m上，求一點P，使PA與PB的差最大；（1）點A、B在直線m同側：解：延長AB交直線m于點P，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此時最大，因此點P為所求的點。（2）點A、B在直線m異側：解：過B作關于直線m的對稱點B’,連接AB’交點直線m于P,此時PB=PB’，PA-PB最大值為AB’例題精講例題精講考點一、兩定一動模型【例1】.如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線DE交BC于點D，垂足為E，M為DE上任意一點，BA＝3，AC＝4，BC＝6，則△AMC周長的最小值為（）A．7 B．6 C．9 D．10解：如圖所示，連接BM，∵DE是AB的垂直平分線，∴AM＝BM，∴AM+CM＝BM+CM，當B，M，C在同一直線上時，AM+CM的最小值為BC的長，又∵AC＝4，BC＝6，∴△AMC周長的最小值＝6+4＝10，故選：D．變式訓練【變式1-1】．如圖，Rt△ABC中，AC＝BC＝4，點D，E分別是AB，AC的中點，在CD上找一點P，使PA+PE最小，則這個最小值是（）A．2 B． C． D．4解：如圖，連接BE，則BE就是PA+PE的最小值，∵Rt△ABC中，AC＝BC＝4，點D，E分別是AB，AC的中點，∴CE＝2cm，∴BE＝＝2，∴PA+PE的最小值是2．故選：C．【變式1-2】．如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，動點P滿足S△PAB＝S矩形ABCD，則點P到A、B兩點距離之和PA+PB的最小值為．解：設△ABP中AB邊上的高是h．∵S△PAB＝S矩形ABCD，∴AB?h＝AB?AD，∴h＝AD＝2，∴動點P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上，如圖，作A關于直線l的對稱點E，連接AE，連接BE，則BE的長就是所求的最短距離．在Rt△ABE中，∵AB＝5，AE＝2+2＝4，∴BE＝＝＝，即PA+PB的最小值為．故答案為：．【變式1-3】．如圖，∠AOB的邊OB與x軸正半軸重合，點P是OA上的一動點，點N（5，0）是OB上的一定點，點M是ON的中點，∠AOB＝30°，要使PM+PN最小，則點P的坐標為．解：作N關于OA的對稱點N'，連接N'M交OA于P，則此時，PM+PN最小，∵OA垂直平分NN'，∴ON＝ON'，∠N'ON＝2∠AON＝60°，∴△NON'是等邊三角形，∵點M是ON的中點，∴N'M⊥ON，∵點N（5，0），∴ON＝5，∵點M是ON的中點，∴，∴，∴．故答案為：．考點二、一定兩動模型【例2】.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD平分∠CAB交BC于D點，E、F分別是AD，AC上的動點，則CE+EF的最小值為________.解：在AB上取一點G，使AG＝AF，∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE，∴△AEF≌△AEG（SAS），∴FE＝EG，∴CE+EF＝CE+EG，則最小值時CG垂直AB時，CG的長度，CG＝．變式訓練【變式2-1】．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，BC＝4，若E是BC上的動點，F(xiàn)是AC上的動點，則AE+EF的最小值為3．解：∵∠A＝90°，∠B＝60°，∴∠C＝30°，作A關于BC的對稱點D，交BC于H，過D作DF⊥AC于F，交BC于E，則此時AE+EF的值最小，且AE+EF的最小值＝DF，連接CD，則△ACD是等邊三角形，∵S△ADC＝AC?DF＝AD?CH，∵AD＝AC，∴DF＝CH，∵∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，∴AB＝BC＝2，同理BH＝AB＝1，∴CH＝BC﹣B＝3，∴DF＝CH＝3，∴AE+EF的最小值為3，故答案為：3．【變式2-2】.如圖，正方形ABCD的邊長為4，∠DAC的平分線交DC于點E，若點P、Q分別是AD和AE上的動點，則DQ+PQ的最小值是2．解：作D關于AE的對稱點D′，再過D′作D′P′⊥AD于P′，∵DD′⊥AE，∴∠AFD＝∠AFD′，∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE，∴△DAF≌△D′AF，∴D′是D關于AE的對稱點，AD′＝AD＝4，∴D′P′即為DQ+PQ的最小值，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAD′＝45°，∴AP′＝P′D′，∴在Rt△AP′D′中，P′D′2+AP′2＝AD′2，AD′2＝16，∵AP′＝P′D'，2P′D′2＝AD′2，即2P′D′2＝16，∴P′D′＝2，即DQ+PQ的最小值為2，故答案為：2．【變式2-3】．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點M、N，使△AMN周長最小時，則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為100°．解：如圖，作點A關于BC的對稱點A′，關于CD的對稱點A″，連接A′A″與BC、CD的交點即為所求的點M、N，∵∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠130°＝50°，由軸對稱的性質得：∠A′＝∠A′AM，∠A″＝∠A″AN，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″）＝2×50°＝100°．故答案為：100°．考點三、線段差最大值模型【例3】.如圖，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分線交AC于點N，交AB于點M，AB＝12cm，△BMC的周長是20cm，若點P在直線MN上，則PA﹣PB的最大值為_______.解：∵MN垂直平分AC，∴MA＝MC，又∵C△BMC＝BM+MC+BC＝20cm，BM+MA＝AB＝12cm，∴BC＝20﹣12＝8（cm），在MN上取點P，∵MN垂直平分AC連接PA、PB、PC∴PA＝PC∴PA﹣PB＝PC﹣PB在△PBC中PC﹣PB＜BC當P、B、C共線時，即P運動到與P'重合時，（PC﹣PB）有最大值，此時PC﹣PB＝BC＝8cm．變式訓練【變式3-1】．如圖，已知點A的坐標為（0，1），點B的坐標為（，﹣2），點P在直線y＝﹣x上運動，當|PA﹣PB|最大時點P的坐標為_________.解：作A關于直線y＝﹣x對稱點C，易得C的坐標為（﹣1，0）；連接BC，可得直線BC的方程為y＝﹣x﹣；求BC與直線y＝﹣x的交點，可得交點坐標為（4，﹣4）；此時|PA﹣PB|＝|PC﹣PB|＝BC取得最大值，其他BCP不共線的情況，根據(jù)三角形三邊的關系可得|PC﹣PB|＜BC；【變式3-2】．如圖，兩點A、B在直線MN外的同側，A到MN的距離AC＝16，B到MN的距離BD＝10，CD＝8，點P在直線MN上運動，則|PA﹣PB|的最大值等于10．解：延長AB交MN于點P′，∵P′A﹣P′B＝AB，AB＞|PA﹣PB|，∴當點P運動到P′點時，|PA﹣PB|最大，∵BD＝10，CD＝8，AC＝16，過點B作BE⊥AC，則BE＝CD＝8，AE＝AC﹣BD＝16﹣10＝6，∴AB＝＝＝10，∴|PA﹣PB|的最大值等于10，故答案為：10．【變式3-3】．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC＝6，BD＝8，點E為AB邊的中點，點P為對角線BD上一動點，連接PC，PE，求|PC﹣PE|的最大值．解：由菱形性質可知，C點關于BD的對稱點A，連接AP，則AP＝CP，在△APE中，|PE﹣PA|＜EA，則當點P、E、A三點共線時，|PE﹣PA|取最大值，最大值為AE．∴|PC﹣PE|的最大值為AE．∵菱形ABCD中，對角線AC＝6，BD＝8，∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝5，∵點E為AB邊的中點∴AE＝2.5，∴|PC﹣PE|的最大值為2.5．模型四、造橋選址模型（即動線段類型）【例4】.如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E、F分別是AD、BC的中點，點P、Q在EF上．且滿足PQ＝2，則四邊形APQB周長的最小值為12．解：∵AB＝5，PQ＝2，∴四邊形APQB的周長為AP+PQ+BQ+AB＝AP+BQ+7，則要使四邊形APQB的周長最小，只要AP+BQ最小即可．在AB邊上截取AM＝PQ，∵點F是BC的中點，∴點B關于EF的對稱點為點C，連接CM，交EF于點Q，則CM即為AP+BQ的最小值．在Rt△BCM中，MB＝AB﹣AM＝5﹣2＝3，BC＝4，∴CM＝＝5，∴四邊形APQB的周長最小值為5+7＝12．故答案為：12．變式訓練【變式4-1】．如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點B在原點，點A、C在坐標軸上，點D的坐標為（6，4），E為CD的中點，點P、Q為BC邊上兩個動點，且PQ＝2，要使四邊形APQE的周長最小，則點P的坐標應為（，0）．解：點A向右平移2個單位到M，點E關于BC的對稱點F，連接MF，交BC于Q，此時MQ+EQ最小，∵PQ＝2，DE＝CE＝2，AE＝，∴要使四邊形APQE的周長最小，只要AP+EQ最小就行，即AP+EQ＝MQ+EQ，過M作MN⊥BC于N，設CQ＝x，則NQ＝6﹣2﹣x＝4﹣x，∵△MNQ∽△FCQ，∴∵MN＝AB＝4，CF＝CE＝2，CQ＝x，QN＝4﹣x，∴，解得：x＝，∴BP＝6﹣2﹣＝，故點P的坐標為：（，0）．故答案為：（，0）．【變式4-2】．如圖，正方形ABCD的邊長為3，E、F是對角線BD上的兩個動點，且EF＝，連接CE、CF，則△CEF周長的最小值為．解：如圖所示，連接AE，AC，以AE，EF為鄰邊作平行四邊形AEFG，則AE＝FG，EF＝AG＝，∠GAD＝∠ADF＝45°＝∠DAC，∴∠GAC＝90°，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBE，BE＝BE，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴CE＝AE＝GF，∴CE+CF＝GF+CF，∴當G，F(xiàn)，C在同一直線上時，CF+FG的最小值等于CG的長，此時，Rt△ACG中，CG＝＝＝2，∴CF+FG的最小值等于2，又∵EF＝，∴△CEF周長的最小值為，故答案為：．【變式4-3】．在直角坐標系中，矩形OACB的頂點O在坐標原點，頂點A，B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA＝3，OB＝4，D為邊OB的中點，線段EF在邊OA上移動，保持EF＝2，當四邊形CDEF的周長最小時，求點E，F(xiàn)的坐標．解：如圖，作點D關于x軸的對稱點D′，在CB邊上截取CG＝2，連接D′G與x軸交于點E，在EA上截EF＝2，∵GC∥EF，GC＝EF，∴四邊形GEFC為平行四邊形，有GE＝CF，又DC、EF的長為定值，∴此時得到的點E、F使四邊形CDEF的周長最小，∵OE∥BC，∴Rt△D′OE∽Rt△D′BG，有＝，∴OE＝＝＝＝，∴OF＝OE+EF＝2＝，∴點E的坐標為（，0），點F的坐標為（，0）．實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分線．若P，Q分別是AD和AC上的動點，則PC+PQ的最小值是（）A． B．4 C．5 D．解：作點Q關于AD的對稱點Q′，連接PQ′，如圖2所示.∵AD平分∠BAC，∴點Q′在直線AB上，PQ＝PQ′，∴PC+PQ＝PC+PQ′，∴當CQ′⊥AB，點P為CQ′與AD的交點時，PC+PQ′取得最小值，最小值為CQ′．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，∴AC?BC＝AB?CQ′，即×6×8＝×10?CQ′，∴CQ′＝，∴PC+PQ的最小值為．故選：D．2．如圖，正方形ABEF的面積為4，△BCE是等邊三角形，點C在正方形ABEF外，在對角線BF上有一點P，使PC+PE最小，則這個最小值的平方為（）A． B． C．12 D．解：連接AC，AE，過C作CG⊥AB，∵正方形ABEF，∴AE⊥BF，OA＝OE，即可得：E關于BF的對稱點是A，連接AC交BF于P，則此時EP+CP的值最小，EP+CP＝AC，∵正方形ABEF的面積為4，△BCE是等邊三角形，∴AB＝BE＝2，BE＝BC＝2，在Rt△BCG中，∠CBG＝90°﹣60°＝30°，BC＝2，∴CG＝1，BG＝，∴AC＝，∴AC2＝8+4，即這個最小值的平方為8+4，故選：B．3．如圖，在平面直角坐標系中，Rt△OAB的頂點A在x軸的正半軸上．頂點B的坐標為（3，），點C的坐標為（，0），點P為斜邊OB上的一個動點，則PA+PC的最小值為（）A． B． C． D．2解：法一：作A關于OB的對稱點D，連接CD交OB于P，連接AP，過D作DN⊥OA于N，則此時PA+PC的值最小，∵DP＝PA，∴PA+PC＝PD+PC＝CD，∵B（3，），∴AB＝，OA＝3，∠B＝60°，由勾股定理得：OB＝2，由三角形面積公式得：×OA×AB＝×OB×AM，∴AM＝，∴AD＝2×＝3，∵∠AMB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAM＝30°，∵∠BAO＝90°，∴∠OAM＝60°，∵DN⊥OA，∴∠NDA＝30°，∴AN＝AD＝，由勾股定理得：DN＝，∵C（，0），∴CN＝3﹣﹣＝1，在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC＝＝，即PA+PC的最小值是，法二：如圖，作點C關于OB的對稱點D，連接AD，過點D作DM⊥OA于M．∵AB＝，OA＝3∴∠AOB＝30°，∴∠DOC＝2∠AOB＝60°∵OC＝OD∴△OCD是等邊三角形∴DM＝CD?sin60°＝，OM＝CM＝CD?cos60°＝∴AM＝OA﹣OM＝3﹣＝∴AD＝＝即PA+PC的最小值為故選：B．4．如圖，在正方形ABCD中，AB＝8，AC與BD交于點O，N是AO的中點，點M在BC邊上，且BM＝6．P為對角線BD上一點，則PM﹣PN的最大值為（）A．2 B．3 C． D．解：如圖所示，以BD為對稱軸作N的對稱點N'，連接MN′并延長交BD于P，連NP，根據(jù)軸對稱性質可知，PN＝PN'，∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，當P，M，N'三點共線時，取“＝”，∵正方形邊長為8，∴AC＝AB＝8，∵O為AC中點，∴AO＝OC＝4，∵N為OA中點，∴ON＝2，∴ON'＝CN'＝2，∴AN'＝6，∵BM＝6，∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2，∴＝＝，∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，∵∠N'CM＝45°，∴△N'CM為等腰直角三角形，∴CM＝MN'＝2，即PM﹣PN的最大值為2，故選：A．5．如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)將對角線AC三等分，且AC＝12，點P在正方形的邊上，則滿足PE+PF＝9的點P的個數(shù)是（）A．0 B．4 C．6 D．8解：如圖，作點F關于BC的對稱點M，連接FM交BC于點N，連接EM，交BC于點H∵點E，F(xiàn)將對角線AC三等分，且AC＝12，∴EC＝8，F(xiàn)C＝4＝AE，∵點M與點F關于BC對稱∴CF＝CM＝4，∠ACB＝∠BCM＝45°∴∠ACM＝90°∴EM＝＝4則在線段BC存在點H到點E和點F的距離之和最小為4＜9在點H右側，當點P與點C重合時，則PE+PF＝12∴點P在CH上時，4＜PE+PF≤12在點H左側，當點P與點B重合時，BF＝＝2∵AB＝BC，AE＝CF，∠BAE＝∠BCF∴△ABE≌△CBF（SAS）∴BE＝BF＝2∴PE+PF＝4∴點P在BH上時，4＜PE+PF≤4∴在線段BC上點H的左右兩邊各有一個點P使PE+PF＝9，同理在線段AB，AD，CD上都存在兩個點使PE+PF＝9．即共有8個點P滿足PE+PF＝9，故選：D．6．如圖，在直角坐標系中，點A、B的坐標分別為（1，4）和（3，0），點C是y軸上的一個動點，當|BC﹣AC|最大時，點C的坐標是（0，6）．解：∵A（1，4），B（3，0），∴直線AB的解析式為y＝﹣2x+6，∵|BC﹣AC|≤AB，∴當A、B、C三點共線時，|BC﹣AC|的值最大，此時C（0，6）故答案為（0，6）7．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分別找一點M，N，使三角形AMN周長最小時，則∠MAN的度數(shù)為80°．解：延長AB到A′使得BA′＝AB，延長AD到A″使得DA″＝AD，連接A′A″與BC、CD分別交于點M、N．∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A、A′關于BC對稱，A、A″關于CD對稱，此時△AMN的周長最小，∵BA＝BA′，MB⊥AB，∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），∵∠BAD＝130°，∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠BAD＝50°，∴∠AMN+∠ANM＝2×50°＝100°．∴∠MAN＝180°﹣100°＝80°，故答案為：80°8．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC+BC＝14，tanB＝0.75，點D，E分別是邊AB，BC上的動點，則DC+DE的最小值為．解：作C關于AB的對稱點C'，過C'作C'E⊥BC，與AB交于點D，則DC+DE的最小值即為C'E；∵∠ACB＝90°，AC+BC＝14，tanB＝0.75，∴AC＝6，BC＝8，AB＝10，∴CC'＝，∵∠B＝∠C'，∴，∴C'E＝，故答案為；9．如圖，在?ABCD中，點M、N分別是AC和BC上的動點，AB＝3，BC＝6，∠D＝60°，在點M、N運動的過程中，BM+MN的最小值為3．解：延長BA到E，使EA＝AB，過點E作EN⊥BC于N，交AC于M，連接BM,在?ABCD中，∠D＝60°，∴∠ABC＝∠D＝60°，∵△ABC中，AB＝3，EA＝AB，∴BE＝BC＝6，△EBC是等邊三角形，∴點E和點B關于AC對稱，∴BM+MN的最小值即為EN的長，Rt△EBN中，∠BNE＝90°，∠ABC＝60°，BE＝6，∴BM+MN＝EN＝BE×sin60°＝3．故答案為：3．10．如圖，在平面直角坐標系中，長為2的線段CD（點D在點C右側）在x軸上移動，A（0，2），B（0，4），連接AC，BD，則AC+BD的最小值為2．解：如圖，將線段DB向左平移到CE的位置，作點A關于原點的對稱點A′，連接CA′，EA′．則E（﹣2，4），A′（0，﹣2），AC+BD＝CA′+CE≥EA′，EA′＝＝2，∴AC+BD的最小值為2．故答案為：2．11．如圖，在等邊△ABC中，E是AC邊的中點，P是△ABC的中線AD上的動點，且AB＝6，則BP﹣PE的最大值是3．解：如圖，連接PC，∵△ABC是等邊三角形，AD是中線，∴AD⊥BC，∴PC＝PB，∵E是AC邊的中點，AB＝6，∴EC＝3，在△PCE中，CP﹣PE＜EC，∴CP﹣PE＜3，∴當P與A重合時，CP﹣PE的值最大為3，BP﹣PE的最大值是3．故答案為：3．12．如圖，在平面直角坐標系中，點P（4，5），點Q（0，2），當腰長為2的等腰直角三角形ABC在x軸上滑動時，AQ+PC的最小值為．解：連接QC、AQ、CO、OP，如右圖所示，∵Q（0，2），△ABC是腰長為2的等腰直角三角形，∴∠CAO＝∠QOA＝∠OQC＝90°，∴四邊形QOAC是矩形，∴AQ＝OC，∴AQ+PC＝OC+PC，∵OP＜OC+PC，等腰直角三角形ABC在x軸上滑動，∴當OC+PC等于OP時，取得最小值，∵點P（4，5），∴OP＝＝，∴AQ+PC的最小值是，故答案為：．13．如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠A＝60°，E是邊AD的中點，F(xiàn)是邊AB上的一個動點，EG＝EF，且∠GEF＝60°，則GB+GC的最小值為2．解：取AB與CD的中點M，N，連接MN，作點B關于MN的對稱點E'，連接E'C，E'B，此時CE的長就是GB+GC的最小值；∵MN∥AD，∴HM＝AE，∵HB⊥HM，AB＝4，∠A＝60°，∴MB＝2，∠HMB＝60°，∴HM＝1，∴AE'＝2，∴E點與E'點重合，∵∠AEB＝∠MHB＝90°，∴∠CBE＝90°，在Rt△EBC中，EB＝2，BC＝4，∴EC＝2，故答案為2；14．如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，線段MN在對角線BD上運動，若⊙O的面積為2π，MN＝1，則△AMN周長的最小值為4．解：⊙O的面積為2π，則圓的半徑為，則BD＝2＝AC，由正方形的性質，知點C是點A關于BD的對稱點，過點C作CA′∥BD，且使CA′＝1，連接AA′交BD于點N，取NM＝1，連接AM、CM，則點M、N為所求點，理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，則四邊形MCA′N為平行四邊形，則A′N＝CM＝AM，故△AMN的周長＝AM+AN+MN＝AA′+1為最小，則A′A＝＝3，則△AMN的周長的最小值為3+1＝4，故答案為：4．15．如圖拋物線y＝x2+2x﹣3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點P是拋物線對稱軸上任意一點，若點D、E、F分別是BC、BP、PC的中點，連接DE，DF，則DE+DF的最小值為．解：拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，當x＝0時，y＝x2+2x﹣3＝﹣3，則C（0，﹣3），當y＝0時，x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，則A（﹣3，0），B（1，0），∵點D、E、F分別是BC、BP、PC的中點，∴DE和DF都為△PBC的中位線，∴DE＝PC，DF＝PB，∴DE+DF＝（PC+PB），連接AC交直線x＝﹣1于P，如圖，∵PA＝PB，∴PB+PC＝PA+PC＝AC，∴此時PB+PC的值最小，其最小值為3，∴DE+DF的最小值為．故答案為．16．如圖，正方形ABCD邊長為4，DE＝1，M，N在BC上，且MN＝2．求四邊形AMNE周長的最小值．解：在AD上取一點A′，使得AA′＝MN＝2，作A′關于BC的對稱點A″，連接A″E交BC于N．此時四邊形AMNE的周長最短．由題意AE＝＝，A″E＝＝，∴四邊形AMNE的周長的最小值為2++．17．（1）如圖1，OC平分∠AOB，點D是射線OA邊上一點，點P、Q分別在射線OC、OB上運動，已知OD＝10，∠AOC＝30°，則DP+PQ的最小值是10；（2）如圖2，在菱形ABCD中，AB＝8，∠DAB＝60°，點E是AB邊上的動點，點F是對角線AC上的動點，求EF+BF的最小值；（3）如圖3，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，點M是AB上一動點，點N是對角線AC上一動點，請直接寫出MN+BN的最小值．解：（1）當D、P、Q共線且DQ⊥OB時，DP+PQ的值最小，∴DP+PQ的最小值是5，故答案為：5；（2）連接DE、BD，由菱形的對角線互相垂直平分，可得B、D關于AC對稱，則FD＝FB，∴FE+FB＝EF+FD＝DE，即DE就是FE+FB的最小值，∵∠BAD＝60°，AD＝AB，∴△ABD是等邊三角形，∵AE＝BE，∴DE⊥AB（等腰三角形三線合一的性質），在Rt△ADE中，DE＝＝＝4，∴EF+BF的最小值＝4；（3）如圖3，作點B關于AC的對稱點B′，過點B′作B′M⊥AB于M，交AC于N，連接AB′交DC于P，連接BN，∵四邊形ABCD是矩形，∴DC∥AB，∴∠BAC＝∠PCA，∵點B關于AC的對稱點是B′，∴∠PAC＝∠BAC，∴∠PAC＝∠PCA，∴PA＝PC．令PA＝x，則PC＝x，PD＝8﹣x．在Rt△ADP中，∵PA2＝PD2+AD2，∴x2＝（8﹣x）2+42，∴x＝5，∵cos∠B′AM＝cos∠APD，∴AM：AB′＝DP：AP，∴AM：8＝3：5，∴AM＝，∴B′M＝＝＝，∴MN+BN的最小值＝．

18．（1）如圖①，點P為直線l上一個動點，點A，B是直線l外同側的兩個定點，連接PA，PB，AB．若AB＝2，則PA﹣PB的最大值為2．（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，對角線AC⊥BD，垂足為點O，OA＝2OC，點E為OC中點，點F在AB上，且BF＝3AF，點P為BD上一動點，連接PE，PF，若AC＝6，求PF﹣PE的最大值．（3）如圖③，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝150°，點P為平面內(nèi)一動點，連接PA，PB，PC．若PA＝2，求PB﹣PC的最大值.解：（1）根據(jù)三角形三邊關系兩邊之差小于第三邊，∴只有當A、B、P共線時PA﹣PB有最大值為AB＝2，故答案為：2；（2）如圖②，作點E關于BD的對稱點E'，連接FE'并延長交BD于P'，同理（1）可知，此時F、E、P共線PF﹣PE有最大值為FE'，∵AC＝6，OA＝2OC，OA+OC＝AC，∴OA＝4，OC＝2，∵點E為OC中點，∴OE＝OC＝1，根據(jù)對稱性得：OE'＝OE＝1，∵AB＝AD，∠BAD＝90°，AC⊥BD，∴△AOB為等腰直角三角形，∴AB＝AO＝4，∵BF＝3AF，AF+BF＝AB，∴AF＝，作FH⊥AC于H，∵△AOB為等腰直角三角形，∴∠BAE＝45°，即△AFH也為等腰直角三角形，∴AH＝FH＝AF＝1，∴HE'＝AO﹣AH﹣OE'＝4﹣1﹣1＝2，∴FE'＝＝＝，故PF﹣PE的最大值為；（3）如圖③，將△APC繞A點順時針旋轉150°得到△AP'B，則PC＝P'B，∴當點P、P'、B三點共線時，PB﹣PC有最大值為PP'，作PO⊥P'A延長線于O，∵∠BAC＝150°，∴∠OAP＝30°，∴OP＝AP＝1，∴OA＝＝＝，∴P'O＝2+，∴P'P＝＝＝＝，∴P'B﹣P'C＝，故PB﹣PC的最大值為．19．如圖所示，拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，點M為拋物線的頂點．（1）求點C及頂點M的坐標；（2）在拋物線的對稱軸上找一點P，使得△ACP的周長最小，請求出點P的坐標；（3）若點N是第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點，連接BN、CN，求△BCN面積的最大值及此時點N的坐標．解：（1）拋物線y＝x2﹣2x﹣3，當x＝0時，y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴拋物線的頂點坐標為M（1，﹣4）．（2）如圖1，由（1）得，拋物線的對稱軸為直線x＝1，設直線x＝1交BC于點D，點P為直線x＝1上任意一點，連接