2025年中考數(shù)學(xué)專題23 隱圓系列之點(diǎn)圓最值專題（原卷版）

模型介紹模型介紹平面內(nèi)一定的D和O上動點(diǎn)M的連線中，當(dāng)連線過圓心O時，線段DM有最大值和最小值。分以下情況討論：（設(shè)OD=d，O的半徑為r）點(diǎn)D在O外時，d＞r，如圖：=1\*GB3①當(dāng)D、M、O三點(diǎn)共線時，線段DM出現(xiàn)最值，DM的最大值為d+r，DM的最小值為d-r;②當(dāng)點(diǎn)D在O上時，d=r，如圖：當(dāng)D、O、M三點(diǎn)共線時，線段DM有最值；DM最大值為d+r，DM最小值為d-r=0(即點(diǎn)D與點(diǎn)M重合）③當(dāng)點(diǎn)D在O內(nèi)時，d＜r，如圖當(dāng)點(diǎn)D、O、M三點(diǎn)共線時，DM有最值；DM最大值為d+r，DM最小值為|d-r|=r-d;點(diǎn)圓最值：平面內(nèi)一定點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離的最值問題.方法：求出該定點(diǎn)到圓心的距離d，則最大值為d+r,最小值為|d-r|例題精講例題精講【例1】．如圖，在長方形紙片ABCD中，AB＝4，AD＝6．點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD邊上的一個動點(diǎn)．將△AEF沿EF所在直線翻折，得到△GEF．則GC長的最小值是（）A． B． C．2 D．2變式訓(xùn)練【變式1-1】.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝6，AD＝2，∠A＝45°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上的一動點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C長度的最小值是．【變式1-2】．如圖，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D為圓心，3為半徑作⊙D，E為⊙D上一動點(diǎn)，連接AE，以AE為直角邊作Rt△AEF，使∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，則點(diǎn)F與點(diǎn)C的最小距離為．【例2】.如圖，△ABC中，AB＝AC，BC＝24，AD⊥BC于點(diǎn)D，AD＝5，P是半徑為3的⊙A上一動點(diǎn)，連結(jié)PC，若E是PC的中點(diǎn)，連結(jié)DE，則DE長的最大值為_______變式訓(xùn)練【變式2-1】.如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，F(xiàn)是BD邊上的一個動點(diǎn)，連接AF，過點(diǎn)B作BE⊥AF于E，在點(diǎn)F變化的過程中，線段DE的最小值是．【變式2-2】．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在半圓的中點(diǎn)，且BC＝4cm，點(diǎn)D是上的一個動點(diǎn)，連接BD，過C點(diǎn)作CH⊥BD于H，連接AH，在點(diǎn)D的運(yùn)動過程中，AH長度的最小值是．1．如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P是線段BC上一動點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AP上一點(diǎn)，∠ADM＝∠BAP，則BM的最小值為（）A． B． C．﹣ D．﹣22．如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝3．若P為△ABC內(nèi)一動點(diǎn)，且滿足∠PAB＝∠ACP，則線段PB長度的最小值為（）A．1.5 B． C． D．23．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，將線段BC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段BE，連接DE，則DE最大值是．4．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊DC，CB上的動點(diǎn)，且始終滿足DE＝CF，AE，DF交于點(diǎn)P，則∠APD的度數(shù)為；連接CP，線段CP的最小值為．5．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8，BC＝10，AD是BC邊上的高，E、F分別為邊DC，DA上的動點(diǎn)，且DE：DF＝4：3，射線AE與BF相交于點(diǎn)M，若連接CM，則線段CM的最小值為．6．如圖，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，AB＝1，BC＝2，CD＝3，以B為圓心，半徑為1的弧交BC于M，E是線段CD上一動點(diǎn)，EG⊥AD，垂足為G，F(xiàn)是弧AM上一動點(diǎn)，則EG+EF的最小值為．7．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，以BC為直角邊向外作等腰Rt△BCD，連接OD，當(dāng)OD取最大值時，則∠ODB的度數(shù)是．8．如圖，正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)E為正方形外一個動點(diǎn)，∠AED＝45°，P為AB中點(diǎn)，線段PE的最大值是．9．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．（1）如圖①，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC邊上一點(diǎn)，將△BEF沿EF折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P，求CP的最小值；（2）如圖②，若點(diǎn)P是矩形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)，且∠BPC＝90°，求PD取得最小值時，BP的長；（3）如圖③，若點(diǎn)P是矩形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)，且∠PAD+∠PBC＝60°，求AP+BP的最大值.10．如圖，已知四邊形ABCD為正方形，△AEF為等腰直角三角形，∠AEF＝90°，連接FC，G為FC的中點(diǎn)，連接GD，ED．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上時，請直接寫出DE，DG的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖②，將圖①中的△AEF繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，其他條件不變．①探究（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；②若AD＝4，AE＝1，求DG的最大值和最小值．11．（1）如圖1，A、B是?O上的兩個點(diǎn)，點(diǎn)P在?O上，且△APB是直角三角形，?O的半徑為1①請?jiān)趫D1中畫出點(diǎn)P的位置；②當(dāng)AB＝1時，∠APB＝°；（2）如圖2，?O的半徑為5，A、B為?O外固定兩點(diǎn)（O、A、B三點(diǎn)不在同一直線上），且OA＝9，P為⊙O上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)P不在直線AB上），以PA和AB為作平行四邊形PABC，求BC的最小值并確定此時點(diǎn)P的位置；（3）如圖3，A、B是⊙O上的兩個點(diǎn)，過A點(diǎn)作射線AM⊥AB，AM交?O于點(diǎn)C，若AB＝3，AC＝4，點(diǎn)D是平面內(nèi)的一個動點(diǎn)，且CD＝2，E為BD的中點(diǎn)，在D的運(yùn)動過程中，求線段AE長度的最大值與最小值．12．【問題提出】（1）如圖①，四邊形ABCD為正方形，以BC邊為直徑在BC上方作半圓O，P是上一點(diǎn)，若AB＝6，則DP的最小值為；【問題探究】（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，CD是中線，將△ACD沿CD折疊，得到△ECD，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為E，連接AE，求AE的長；【問題解決】（3）如圖③是一塊矩形ABCD的場地，AB＝300m，AD＝600m，D為場地的出人口，點(diǎn)E在AD邊上，且A