上海市浦東區(qū)洋涇中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

上海市浦東區(qū)洋涇中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知某數(shù)列的前項和（為非零實數(shù)），則此數(shù)列為（）A．等比數(shù)列 B．從第二項起成等比數(shù)列C．當(dāng)時為等比數(shù)列 D．從第二項起的等比數(shù)列或等差數(shù)列2．函數(shù)的圖象（）A．關(guān)于點（－，0）對稱 B．關(guān)于原點對稱 C．關(guān)于y軸對稱 D．關(guān)于直線x=對稱3．過兩點，的直線的傾斜角為，則實數(shù)=（）A．-1 B．1C． D．4．已知，且，則（）A． B．7 C． D．5．計算的值等于（）A． B． C． D．6．若直線的傾斜角為，則的值為（）A． B． C． D．7．已知，則的值域為A． B． C． D．8．如圖所示，AB是半圓O的直徑，VA垂直于半圓O所在的平面，點C是圓周上不同于A,B的任意一點，M,N分別為VA,VC的中點，則下列結(jié)論正確的是()A．MN//AB B．平面VAC⊥平面VBCC．MN與BC所成的角為45° D．OC⊥平面VAC9．將所有的正奇數(shù)按以下規(guī)律分組，第一組：1；第二組：3，5，7；第三組：9，11，13，15，17；…表示n是第i組的第j個數(shù)，例如，，則（）A． B． C． D．10．某單位共有老、中、青職工430人，其中有青年職工160人，中年職工人數(shù)是老年職工人數(shù)的2倍．為了解職工身體狀況，現(xiàn)采用分層抽樣方法進行調(diào)查，在抽取的樣本中有青年職工32人，則該樣本中的老年職工人數(shù)為()A．9 B．18 C．27 D．36二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知直線l過定點,且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為4，則直線l的方程為______.12．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是_________13．已知三點A(1,0)，B(0，)，C(2，)，則△ABC外接圓的圓心到原點的距離為________．14．設(shè)α，β是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l?α，m?β，下列四個命題正確的是________．①若l⊥β，則α⊥β；②若α⊥β，則l⊥m；③若l∥β，則α∥β；④若α∥β，則l∥m.15．計算__________．16．設(shè)是數(shù)列的前項和，且，，則__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知集合，集合.（1）求；（2）若不等式的解集為，求不等式的解集.18．如圖，在多面體中，為等邊三角形，,點為邊的中點.（Ⅰ）求證:平面；（Ⅱ）求證:平面平面；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.19．已知的頂點都在單位圓上，角的對邊分別為，且.（1）求的值；（2）若，求的面積.20．已知：三點,其中.（1）若三點在同一條直線上，求的值；（2）當(dāng)時，求．21．如圖，某污水處理廠要在一個矩形污水處理池的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道（三條邊，是直角頂點）來處理污水，管道越長，污水凈化效果越好.要求管道的接口是的中點，分別落在線段上，已知米，米，記.(1)試將污水凈化管道的總長度（即的周長）表示為的函數(shù)，并求出定義域；(2)問取何值時，污水凈化效果最好？并求出此時管道的總長度.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

設(shè)數(shù)列的前項和為，運用數(shù)列的遞推式：當(dāng)時，，當(dāng)時，，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和通項公式，即可得到所求結(jié)論．【詳解】設(shè)數(shù)列的前項和為，對任意的，（為非零實數(shù)）.當(dāng)時，；當(dāng)時，.若，則，此時，該數(shù)列是從第二項起的等差數(shù)列；若且，不滿足，當(dāng)時，，此時，該數(shù)列是從第二項起的等比數(shù)列.綜上所述，此數(shù)列為從第二項起的等比數(shù)列或等差數(shù)列.故選：D.【點睛】本題考查數(shù)列的遞推式的運用，等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和通項公式，考查分類討論思想和運算能力，屬于中檔題．2、A【解析】

關(guān)于點（－，0）對稱，選A.3、A【解析】

根據(jù)兩點的斜率公式及傾斜角和斜率關(guān)系,即可求得的值.【詳解】過兩點,的直線斜率為由斜率與傾斜角關(guān)系可知即解得故選:A【點睛】本題考查了兩點間的斜率公式,直線的斜率與傾斜角關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

由平方關(guān)系求得，再由商數(shù)關(guān)系求得，最后由兩角和的正切公式可計算．【詳解】，，，，.故選：D.【點睛】本題考查兩角和的正切公式，考查同角間的三角函數(shù)關(guān)系．屬于基礎(chǔ)題．5、C【解析】

由三角正弦的倍角公式計算即可．【詳解】原式．故選C【點睛】本題屬于基礎(chǔ)題，考查三角特殊值的正弦公式的計算．6、B【解析】

根據(jù)題意可得：，所求式子利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后，將代入計算即可求出值．【詳解】由于直線的傾斜角為，所以，則故答案選B【點睛】本題考查二倍角的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．7、C【解析】

利用求函數(shù)的周期為，計算即可得到函數(shù)的值域.【詳解】因為，，，因為函數(shù)的周期，所以函數(shù)的值域為，故選C.【點睛】本題考查函數(shù)的周期運算，及利用函數(shù)的周期性求函數(shù)的值域.8、B【解析】

對每一個選項逐一分析判斷得解.【詳解】A.∵M，N分別為VA，VC的中點，∴MN//AC，又AC⊥BC，∴MN與BC所成的角為90°，故C不正確；∵MN//AC，AC∩AB=A，∴MN//AB不成立，故A不正確．B.∵AB是⊙O的直徑，點C是圓周上不同于A，B的任意一點，∴AC⊥BC，∵VA垂直⊙O所在的平面，BC?⊙O所在的平面，∴VA⊥BC，又AC∩VA=A，∴BC⊥平面VAC，又BC?平面VBC，∴平面VAC⊥平面VBC，故B正確；C.∵AB是⊙O的直徑，點C是圓周上不同于A，B的任意一點，∴AC⊥BC，又A、B、C、O共面，∴OC與AC不垂直，∴OC⊥平面VAC不成立，故B不正確；∵M，N分別為VA，VC的中點，∴MN//AC，又AC⊥BC，∴MN與BC所成的角為90°，故C不正確；D.∵AB是⊙O的直徑，點C是圓周上不同于A，B的任意一點，∴AC⊥BC，又A、B、C、O共面，∴OC與AC不垂直，∴OC⊥平面VAC不成立，故D不正確.故選B.【點睛】本題主要考查空間位置關(guān)系的證明，考查異面直線所成的角的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

由等差數(shù)列求和公式及進行簡單的合情推理可得：2019為第1010個正奇數(shù)，設(shè)2019在第n組中，則有，，解得：n=32，又前31組共有961個奇數(shù)，則2019為第32組的第1010-961=49個數(shù)，得解．【詳解】由已知有第n組有2n-1個連續(xù)的奇數(shù)，則前n組共有個連續(xù)的奇數(shù)，又2019為第1010個正奇數(shù)，設(shè)2019在第n組中，則有，，解得：n=32，又前31組共有961個奇數(shù)，則2019為第32組的第1010-961=49個數(shù)，即2019=（32，49），故選：C．【點睛】本題考查歸納推理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等差數(shù)列求和公式分析出規(guī)律，再結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)求解，屬于中等題.10、B【解析】試題分析：根據(jù)條件中職工總數(shù)和青年職工人數(shù)，以及中年和老年職工的關(guān)系列出方程，解出老年職工的人數(shù)，根據(jù)青年職工在樣本中的個數(shù)，算出每個個體被抽到的概率，用概率乘以老年職工的個數(shù)，得到結(jié)果．設(shè)老年職工有x人，中年職工人數(shù)是老年職工人數(shù)的2倍，則中年職工有2x，∵x+2x+160=430，∴x=90，即由比例可得該單位老年職工共有90人，∵在抽取的樣本中有青年職工32人，∴每個個體被抽到的概率是用分層抽樣的比例應(yīng)抽取×90=18人．故選B．考點：分層抽樣點評：本題是一個分層抽樣問題，容易出錯的是不理解分層抽樣的含義或與其它混淆．抽樣方法是數(shù)學(xué)中的一個小知識點，但一般不難，故也是一個重要的得分點，不容錯過二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、或.【解析】

設(shè)直線的方程為，利用已知列出方程，①和②，解方程即可求出直線方程【詳解】設(shè)直線的方程為.因為點在直線上，所以①.因為直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為4,所以②.由①②可知或解得或故直線的方程為或，即或.【點睛】本題考查截距式方程和直線與坐標軸形成的三角形面積問題，屬于基礎(chǔ)題12、，【解析】

令，即可求得結(jié)果.【詳解】令，解得：，所以單調(diào)遞增區(qū)間是，故填：，【點睛】本題考查了型如：單調(diào)區(qū)間的求法，屬于基礎(chǔ)題型.13、【解析】

求出的垂直平分線方程，兩垂直平分線交點為外接圓圓心．再由兩點間距離公式計算．【詳解】由點B(0，)，C(2，)，得線段BC的垂直平分線方程為x＝1，①由點A(1,0)，B(0，)，得線段AB的垂直平分線方程為②聯(lián)立①②，解得△ABC外接圓的圓心坐標為，其到原點的距離為.故答案為：【點睛】本題考查三角形外接圓圓心坐標，外心是三角形三條邊的中垂線的交點，到三頂點距離相等．14、①【解析】

由線面的平行垂直的判定和性質(zhì)一一檢驗即可得解.【詳解】由平面與平面垂直的判定可知，①正確；②中，當(dāng)α⊥β時，l，m可以垂直，也可以平行，也可以異面；③中，l∥β時，α，β可以相交；④中，α∥β時，l，m也可以異面．故答案為①.【點睛】本題主要考查了線面、面面的垂直和平行位置關(guān)系的判定和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

采用分離常數(shù)法對所給極限式變形，可得到極限值.【詳解】.【點睛】本題考查分離常數(shù)法求極限，難度較易.16、【解析】原式為，整理為：，即，即數(shù)列是以-1為首項，-1為公差的等差的數(shù)列，所以，即.【點睛】這類型題使用的公式是，一般條件是，若是消，就需當(dāng)時構(gòu)造，兩式相減，再變形求解；若是消，就需在原式將變形為：，再利用遞推求解通項公式.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）由一元二次不等式的解法分別求出集合，再求交集即可；（2）由待定系數(shù)法求得，再代入不等式，解不等式即可得解.【詳解】解：（1）因為集合，集合，即；（2）由不等式的解集為，則不等式等價于，即，即，即不等式等價于，即，解得或，故不等式的解集為.【點睛】本題考查了集合的運算，重點考查了一元二次不等式的解法，屬基礎(chǔ)題.18、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）.【解析】

(I)取中點,連結(jié),利用三角形中位線定理可證明是平行四邊形，可得，由線面平行的判定定理可得結(jié)果；（Ⅱ）先證明，，可得平面，從而可得平面，由面面垂直的判定定理可得結(jié)果；（Ⅲ）取中點,連結(jié)，直線與平面所成角等于直線與平面所成角,過作,垂足為,連接，為直線與平面所成角，利用直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】(I)取中點,連結(jié)，是平行四邊形，平面，平面,平面.(II)，又平面平面，又為等邊三角形，為邊的中點，平面由(I)可知，平面，平面平面平面．(III)取中點,連結(jié)，所以直線與平面所成角即為直線與平面所成角,過作,垂足為,連接.平面平面,平面，平面.為斜線在面內(nèi)的射影，為直線與平面所成角，在中，直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題主要考查線面平行、面面垂直的證明以及線面角的求解方法，屬于中檔題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面.19、（1）；（2）【解析】分析：（1）由正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡已知可得，又，即可求得的值；（2）由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值，由于的頂點都在單位圓上，利用正弦定理可得，可求，利用余弦定理可得的值，利用三角形面積公式即可得解.詳解：（1）∵，由正弦定理得：，，又∵，，∴，所以.（2）由得，，因為的頂點在單位圓上，所以,所以，由余弦定理,..點睛：本題主要考查了正弦定理、兩角和的正弦函數(shù)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、余弦定理、三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)公式是解題的關(guān)鍵，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題.20、(1）（2）【解析】

（1）利用共線向量的特點求解m；（2）先利用求解m，再求解.【詳解】（1）依題有：，共線.（2）由得：又【點睛】本題主要考查平面向量的應(yīng)用，利用共線向量可以證明三點共線問題，利用向量可以解決長度問題.21