江蘇省常熟市第一中學新高考全國統(tǒng)考預測密卷數(shù)學試卷及答案解析_第1頁
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文檔簡介

江蘇省常熟市第一中學新高考全國統(tǒng)考預測密卷數(shù)學試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知,則“直線與直線垂直”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.如圖是二次函數(shù)的部分圖象,則函數(shù)的零點所在的區(qū)間是()A. B. C. D.3.函數(shù)的圖象可能是()A. B. C. D.4.已知拋物線經(jīng)過點,焦點為,則直線的斜率為()A. B. C. D.5.已知七人排成一排拍照,其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰,甲、丁兩人必須相鄰,則滿足要求的排隊方法數(shù)為().A.432 B.576 C.696 D.9606.設x、y、z是空間中不同的直線或平面,對下列四種情形:①x、y、z均為直線;②x、y是直線,z是平面;③z是直線,x、y是平面;④x、y、z均為平面.其中使“且”為真命題的是()A.③④ B.①③ C.②③ D.①②7.設,則A. B. C. D.8.已知直線:與橢圓交于、兩點,與圓:交于、兩點.若存在,使得,則橢圓的離心率的取值范圍為()A. B. C. D.9.設點,,不共線,則“”是“”()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件10.設分別為雙曲線的左、右焦點,過點作圓的切線,與雙曲線的左、右兩支分別交于點,若,則雙曲線漸近線的斜率為()A. B. C. D.11.已知向量,則是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充要條件12.中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題:“三百七十八里關(guān),初行健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān),要見次日行里數(shù),請公仔細算相還.”意思為有一個人要走378里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛,每天走的路程為前一天的一半,走了六天恰好到達目的地,請問第二天比第四天多走了()A.96里 B.72里 C.48里 D.24里二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.平面直角坐標系中,O為坐標原點,己知A(3,1),B(-1,3),若點C滿足,其中α,β∈R,且α+β=1,則點C的軌跡方程為14.函數(shù)滿足,當時,,若函數(shù)在上有1515個零點,則實數(shù)的范圍為___________.15.兩光滑的曲線相切,那么它們在公共點處的切線方向相同.如圖所示,一列圓(an>0,rn>0,n=1,2…)逐個外切,且均與曲線y=x2相切,若r1=1,則a1=___,rn=______16.已知點是拋物線的準線上一點,F(xiàn)為拋物線的焦點,P為拋物線上的點,且,若雙曲線C中心在原點,F(xiàn)是它的一個焦點,且過P點,當m取最小值時,雙曲線C的離心率為______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在正四棱柱中,已知,.(1)求異面直線與直線所成的角的大小;(2)求點到平面的距離.18.(12分)如圖1,四邊形是邊長為2的菱形,,為的中點,以為折痕將折起到的位置,使得平面平面,如圖2.(1)證明:平面平面;(2)求點到平面的距離.19.(12分)設橢圓的左右焦點分別為,離心率是,動點在橢圓上運動,當軸時,.(1)求橢圓的方程;(2)延長分別交橢圓于點(不重合).設,求的最小值.20.(12分)已知數(shù)列滿足:對一切成立.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和.21.(12分)如圖,在四棱錐中,底面是直角梯形,,,,是正三角形,,是的中點.(1)證明:;(2)求直線與平面所成角的正弦值.22.(10分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;(2)求在上的最大值和最小值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

由兩直線垂直求得則或,再根據(jù)充要條件的判定方法,即可求解.【詳解】由題意,“直線與直線垂直”則,解得或,所以“直線與直線垂直”是“”的必要不充分條件,故選B.【點睛】本題主要考查了兩直線的位置關(guān)系,及必要不充分條件的判定,其中解答中利用兩直線的位置關(guān)系求得的值,同時熟記充要條件的判定方法是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與論證能力,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱軸得出范圍,軸截距,求出的范圍,判斷在區(qū)間端點函數(shù)值正負,即可求出結(jié)論.【詳解】∵,結(jié)合函數(shù)的圖象可知,二次函數(shù)的對稱軸為,,,∵,所以在上單調(diào)遞增.又因為,所以函數(shù)的零點所在的區(qū)間是.故選:B.【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及函數(shù)的零點,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性,以及該函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值符號,結(jié)合排除法可得出正確選項.【詳解】函數(shù)的定義域為,,該函數(shù)為偶函數(shù),排除B、D選項;當時,,排除C選項.故選:A.【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的解析式辨別函數(shù)的圖象,一般分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點以及函數(shù)值符號,結(jié)合排除法得出結(jié)果,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.4、A【解析】

先求出,再求焦點坐標,最后求的斜率【詳解】解:拋物線經(jīng)過點,,,,故選:A【點睛】考查拋物線的基礎(chǔ)知識及斜率的運算公式,基礎(chǔ)題.5、B【解析】

先把沒有要求的3人排好,再分如下兩種情況討論:1.甲、丁兩者一起,與乙、丙都不相鄰,2.甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰.【詳解】首先將除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好,共有種不同排列方式,甲、丁排在一起共有種不同方式;若甲、丁一起與乙、丙都不相鄰,插入余下三人產(chǎn)生的空檔中,共有種不同方式;若甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰,插入余下三人產(chǎn)生的空檔中,共有種不同方式;根據(jù)分類加法、分步乘法原理,得滿足要求的排隊方法數(shù)為種.故選:B.【點睛】本題考查排列組合的綜合應用,在分類時,要注意不重不漏的原則,本題是一道中檔題.6、C【解析】

①舉反例,如直線x、y、z位于正方體的三條共點棱時②用垂直于同一平面的兩直線平行判斷.③用垂直于同一直線的兩平面平行判斷.④舉例,如x、y、z位于正方體的三個共點側(cè)面時.【詳解】①當直線x、y、z位于正方體的三條共點棱時,不正確;②因為垂直于同一平面的兩直線平行,正確;③因為垂直于同一直線的兩平面平行,正確;④如x、y、z位于正方體的三個共點側(cè)面時,不正確.故選:C.【點睛】此題考查立體幾何中線面關(guān)系,選擇題一般可通過特殊值法進行排除,屬于簡單題目.7、C【解析】分析:利用復數(shù)的除法運算法則:分子、分母同乘以分母的共軛復數(shù),化簡復數(shù),然后求解復數(shù)的模.詳解:,則,故選c.點睛:復數(shù)是高考中的必考知識,主要考查復數(shù)的概念及復數(shù)的運算.要注意對實部、虛部的理解,掌握純虛數(shù)、共軛復數(shù)這些重要概念,復數(shù)的運算主要考查除法運算,通過分母實數(shù)化轉(zhuǎn)化為復數(shù)的乘法,運算時特別要注意多項式相乘后的化簡,防止簡單問題出錯,造成不必要的失分.8、A【解析】

由題意可知直線過定點即為圓心,由此得到坐標的關(guān)系,再根據(jù)點差法得到直線的斜率與坐標的關(guān)系,由此化簡并求解出離心率的取值范圍.【詳解】設,且線過定點即為的圓心,因為,所以,又因為,所以,所以,所以,所以,所以,所以,所以.故選:A.【點睛】本題考查橢圓與圓的綜合應用,著重考查了橢圓離心率求解以及點差法的運用,難度一般.通過運用點差法達到“設而不求”的目的,大大簡化運算.9、C【解析】

利用向量垂直的表示、向量數(shù)量積的運算,結(jié)合充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】由于點,,不共線,則“”;故“”是“”的充分必要條件.故選:C.【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷,考查向量垂直的表示,考查向量數(shù)量積的運算,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

如圖所示:切點為,連接,作軸于,計算,,,,根據(jù)勾股定理計算得到答案.【詳解】如圖所示:切點為,連接,作軸于,,故,在中,,故,故,,根據(jù)勾股定理:,解得.故選:.【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線斜率,意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.11、A【解析】

向量,,,則,即,或者-1,判斷出即可.【詳解】解:向量,,,則,即,或者-1,所以是或者的充分不必要條件,故選:A.【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷,考查向量平行的坐標表示,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

人每天走的路程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列,設此人第一天走的路程為,計算,代入得到答案.【詳解】由題意可知此人每天走的路程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列,設此人第一天走的路程為,則,解得,從而可得,故.故選:.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的應用,意在考查學生的計算能力和應用能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據(jù)向量共線定理得A,B,C三點共線,再根據(jù)點斜式得結(jié)果【詳解】因為,且α+β=1,所以A,B,C三點共線,因此點C的軌跡為直線AB:【點睛】本題考查向量共線定理以及直線點斜式方程,考查基本分析求解能力,屬中檔題.14、【解析】

由已知,在上有3個根,分,,,四種情況討論的單調(diào)性、最值即可得到答案.【詳解】由已知,的周期為4,且至多在上有4個根,而含505個周期,所以在上有3個根,設,,易知在上單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增,又,.若時,在上無根,在必有3個根,則,即,此時;若時,在上有1個根,注意到,此時在不可能有2個根,故不滿足;若時,要使在有2個根,只需,解得;若時,在上單調(diào)遞增,最多只有1個零點,不滿足題意;綜上,實數(shù)的范圍為.故答案為:【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的零點個數(shù)問題,涉及到函數(shù)的周期性、分類討論函數(shù)的零點,是一道中檔題.15、【解析】

第一空:將圓與聯(lián)立,利用計算即可;第二空:找到兩外切的圓的圓心與半徑的關(guān)系,再將與聯(lián)立,得到,與結(jié)合可得為等差數(shù)列,進而可得.【詳解】當r1=1時,圓,與聯(lián)立消去得,則,解得;由圖可知當時,①,將與聯(lián)立消去得,則,整理得,代入①得,整理得,則.故答案為:;.【點睛】本題是拋物線與圓的關(guān)系背景下的數(shù)列題,關(guān)鍵是找到圓心和半徑的關(guān)系,建立遞推式,由遞推式求通項公式,綜合性較強,是一道難度較大的題目.16、【解析】

由點坐標可確定拋物線方程,由此得到坐標和準線方程;過作準線的垂線,垂足為,根據(jù)拋物線定義可得,可知當直線與拋物線相切時,取得最小值;利用拋物線切線的求解方法可求得點坐標,根據(jù)雙曲線定義得到實軸長,結(jié)合焦距可求得所求的離心率.【詳解】是拋物線準線上的一點拋物線方程為,準線方程為過作準線的垂線,垂足為,則設直線的傾斜角為,則當取得最小值時,最小,此時直線與拋物線相切設直線的方程為,代入得:,解得:或雙曲線的實軸長為,焦距為雙曲線的離心率故答案為:【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解問題,涉及到拋物線定義和標準方程的應用、雙曲線定義的應用;關(guān)鍵是能夠確定當取得最小值時,直線與拋物線相切,進而根據(jù)拋物線切線方程的求解方法求得點坐標.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】

(1)建立空間坐標系,通過求向量與向量的夾角,轉(zhuǎn)化為異面直線與直線所成的角的大小;(2)先求出面的一個法向量,再用點到面的距離公式算出即可.【詳解】以為原點,所在直線分別為軸建系,設所以,,所以異面直線與直線所成的角的余弦值為,異面直線與直線所成的角的大小為.(2)因為,,設是面的一個法向量,所以有即,令,,故,又,所以點到平面的距離為.【點睛】本題主要考查向量法求異面直線所成角的大小和點到面的距離,意在考查學生的數(shù)學建模以及數(shù)學運算能力.18、(1)證明見解析(2)【解析】

(1)由題意可證得,,所以平面,則平面平面可證;(2)解法一:利用等體積法由可求出點到平面的距離;解法二:由條件知點到平面的距離等于點到平面的距離,過點作的垂線,垂足,證明平面,計算出即可.【詳解】解法一:(1)依題意知,因為,所以.又平面平面,平面平面,平面,所以平面.又平面,所以.由已知,是等邊三角形,且為的中點,所以.因為,所以.又,所以平面.又平面,所以平面平面.(2)在中,,,所以.由(1)知,平面,且,所以三棱錐的體積.在中,,,得,由(1)知,平面,所以,所以,設點到平面的距離,則三棱錐的體積,得.解法二:(1)同解法一;(2)因為,平面,平面,所以平面.所以點到平面的距離等于點到平面的距離.過點作的垂線,垂足,即.由(1)知,平面平面,平面平面,平面,所以平面,即為點到平面的距離.由(1)知,,在中,,,得.又,所以.所以點到平面的距離為.【點睛】本題主要考查空間面面垂直的的判定及點到面的距離,考查學生的空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力.求點到平面的距離一般可采用兩種方法求解:①等體積法;②作(找)出點到平面的垂線段,進行計算即可.19、(1);(2)【解析】

(1)根據(jù)題意直接計算得到,,得到橢圓方程.(2)不妨設,且,設,代入數(shù)據(jù)化簡得到,故,得到答案.【詳解】(1),所以,,化簡得,所以,,所以方程為;(2)由題意得,不在軸上,不妨設,且,設,所以由,得,所以,由,得,代入,化簡得:,由于,所以,同理可得,所以,所以當時,最小為【點睛】本題考查了橢圓方程,橢圓中的向量運算和最值,意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.20、(1);(2)【解析】

(1)先通過求得,再由得

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