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文檔簡介
廣東省興寧一中高三考前熱身新高考數學試卷注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號。回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.點在曲線上,過作軸垂線,設與曲線交于點,,且點的縱坐標始終為0,則稱點為曲線上的“水平黃金點”,則曲線上的“水平黃金點”的個數為()A.0 B.1 C.2 D.32.已知函數,存在實數,使得,則的最大值為()A. B. C. D.3.在原點附近的部分圖象大概是()A. B.C. D.4.一艘海輪從A處出發(fā),以每小時24海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行,30分鐘后到達B處,在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是南偏東70°,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65°,那么B,C兩點間的距離是()A.6海里 B.6海里 C.8海里 D.8海里5.已知奇函數是上的減函數,若滿足不等式組,則的最小值為()A.-4 B.-2 C.0 D.46.我國南北朝時的數學著作《張邱建算經》有一道題為:“今有十等人,每等一人,宮賜金以等次差降之,上三人先入,得金四斤,持出,下三人后入得金三斤,持出,中間四人未到者,亦依次更給,問各得金幾何?”則在該問題中,等級較高的二等人所得黃金比等級較低的九等人所得黃金()A.多1斤 B.少1斤 C.多斤 D.少斤7.已知函數在區(qū)間上恰有四個不同的零點,則實數的取值范圍是()A. B. C. D.8.已知中,角、所對的邊分別是,,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充分必要條件9.設點是橢圓上的一點,是橢圓的兩個焦點,若,則()A. B. C. D.10.設m,n為直線,、為平面,則的一個充分條件可以是()A.,, B.,C., D.,11.關于圓周率π,數學發(fā)展史上出現過許多很有創(chuàng)意的求法,如著名的浦豐實驗和查理斯實驗.受其啟發(fā),我們也可以通過設計下面的實驗來估計的值:先請全校名同學每人隨機寫下一個都小于的正實數對;再統(tǒng)計兩數能與構成鈍角三角形三邊的數對的個數;最后再根據統(tǒng)計數估計的值,那么可以估計的值約為()A. B. C. D.12.關于函數,有下列三個結論:①是的一個周期;②在上單調遞增;③的值域為.則上述結論中,正確的個數為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.的展開式中,若的奇數次冪的項的系數之和為32,則________.14.復數為虛數單位)的虛部為__________.15.根據如圖所示的偽代碼,若輸入的的值為2,則輸出的的值為____________.16.設函數,則滿足的的取值范圍為________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知是遞增的等差數列,,是方程的根.(1)求的通項公式;(2)求數列的前項和.18.(12分)小麗在同一城市開的2家店鋪各有2名員工.節(jié)假日期間的某一天,每名員工休假的概率都是,且是否休假互不影響,若一家店鋪的員工全部休假,而另一家無人休假,則調劑1人到該店維持營業(yè),否則該店就停業(yè).(1)求發(fā)生調劑現象的概率;(2)設營業(yè)店鋪數為X,求X的分布列和數學期望.19.(12分)已知橢圓的左焦點坐標為,,分別是橢圓的左,右頂點,是橢圓上異于,的一點,且,所在直線斜率之積為.(1)求橢圓的方程;(2)過點作兩條直線,分別交橢圓于,兩點(異于點).當直線,的斜率之和為定值時,直線是否恒過定點?若是,求出定點坐標;若不是,請說明理.20.(12分)已知函數,其中.(1)討論函數的零點個數;(2)求證:.21.(12分)某企業(yè)為了了解該企業(yè)工人組裝某產品所用時間,對每個工人組裝一個該產品的用時作了記錄,得到大量統(tǒng)計數據.從這些統(tǒng)計數據中隨機抽取了個數據作為樣本,得到如圖所示的莖葉圖(單位:分鐘).若用時不超過(分鐘),則稱這個工人為優(yōu)秀員工.(1)求這個樣本數據的中位數和眾數;(2)以這個樣本數據中優(yōu)秀員工的頻率作為概率,任意調查名工人,求被調查的名工人中優(yōu)秀員工的數量分布列和數學期望.22.(10分)我們稱n()元有序實數組(,,…,)為n維向量,為該向量的范數.已知n維向量,其中,,2,…,n.記范數為奇數的n維向量的個數為,這個向量的范數之和為.(1)求和的值;(2)當n為偶數時,求,(用n表示).
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
設,則,則,即可得,設,利用導函數判斷的零點的個數,即為所求.【詳解】設,則,所以,依題意可得,設,則,當時,,則單調遞減;當時,,則單調遞增,所以,且,有兩個不同的解,所以曲線上的“水平黃金點”的個數為2.故選:C【點睛】本題考查利用導函數處理零點問題,考查向量的坐標運算,考查零點存在性定理的應用.2、A【解析】
畫出分段函數圖像,可得,由于,構造函數,利用導數研究單調性,分析最值,即得解.【詳解】由于,,由于,令,,在↗,↘故.故選:A【點睛】本題考查了導數在函數性質探究中的應用,考查了學生數形結合,轉化劃歸,綜合分析,數學運算的能力,屬于較難題.3、A【解析】
分析函數的奇偶性,以及該函數在區(qū)間上的函數值符號,結合排除法可得出正確選項.【詳解】令,可得,即函數的定義域為,定義域關于原點對稱,,則函數為奇函數,排除C、D選項;當時,,,則,排除B選項.故選:A.【點睛】本題考查利用函數解析式選擇函數圖象,一般要分析函數的定義域、奇偶性、單調性、零點以及函數值符號,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.4、A【解析】
先根據給的條件求出三角形ABC的三個內角,再結合AB可求,應用正弦定理即可求解.【詳解】由題意可知:∠BAC=70°﹣40°=30°.∠ACD=110°,∴∠ACB=110°﹣65°=45°,∴∠ABC=180°﹣30°﹣45°=105°.又AB=24×0.5=12.在△ABC中,由正弦定理得,即,∴.故選:A.【點睛】本題考查正弦定理的實際應用,關鍵是將給的角度、線段長度轉化為三角形的邊角關系,利用正余弦定理求解.屬于中檔題.5、B【解析】
根據函數的奇偶性和單調性得到可行域,畫出可行域和目標函數,根據目標函數的幾何意義平移得到答案.【詳解】奇函數是上的減函數,則,且,畫出可行域和目標函數,,即,表示直線與軸截距的相反數,根據平移得到:當直線過點,即時,有最小值為.故選:.【點睛】本題考查了函數的單調性和奇偶性,線性規(guī)劃問題,意在考查學生的綜合應用能力,畫出圖像是解題的關鍵.6、C【解析】設這十等人所得黃金的重量從大到小依次組成等差數列則由等差數列的性質得,故選C7、A【解析】
函數的零點就是方程的解,設,方程可化為,即或,求出的導數,利用導數得出函數的單調性和最值,由此可根據方程解的個數得出的范圍.【詳解】由題意得有四個大于的不等實根,記,則上述方程轉化為,即,所以或.因為,當時,,單調遞減;當時,,單調遞增;所以在處取得最小值,最小值為.因為,所以有兩個符合條件的實數解,故在區(qū)間上恰有四個不相等的零點,需且.故選:A.【點睛】本題考查復合函數的零點.考查轉化與化歸思想,函數零點轉化為方程的解,方程的解再轉化為研究函數的性質,本題考查了學生分析問題解決問題的能力.8、D【解析】
由大邊對大角定理結合充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】中,角、所對的邊分別是、,由大邊對大角定理知“”“”,“”“”.因此,“”是“”的充分必要條件.故選:D.【點睛】本題考查充分條件、必要條件的判斷,考查三角形的性質等基礎知識,考查邏輯推理能力,是基礎題.9、B【解析】∵∵∴∵,∴∴故選B點睛:本題主要考查利用橢圓的簡單性質及橢圓的定義.求解與橢圓性質有關的問題時要結合圖形進行分析,既使不畫出圖形,思考時也要聯想到圖形,當涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時,要理清它們之間的關系,挖掘出它們之間的內在聯系.10、B【解析】
根據線面垂直的判斷方法對選項逐一分析,由此確定正確選項.【詳解】對于A選項,當,,時,由于不在平面內,故無法得出.對于B選項,由于,,所以.故B選項正確.對于C選項,當,時,可能含于平面,故無法得出.對于D選項,當,時,無法得出.綜上所述,的一個充分條件是“,”故選:B【點睛】本小題主要考查線面垂直的判斷,考查充分必要條件的理解,屬于基礎題.11、D【解析】
由試驗結果知對0~1之間的均勻隨機數,滿足,面積為1,再計算構成鈍角三角形三邊的數對,滿足條件的面積,由幾何概型概率計算公式,得出所取的點在圓內的概率是圓的面積比正方形的面積,即可估計的值.【詳解】解:根據題意知,名同學取對都小于的正實數對,即,對應區(qū)域為邊長為的正方形,其面積為,若兩個正實數能與構成鈍角三角形三邊,則有,其面積;則有,解得故選:.【點睛】本題考查線性規(guī)劃可行域問題及隨機模擬法求圓周率的幾何概型應用問題.線性規(guī)劃可行域是一個封閉的圖形,可以直接解出可行域的面積;求解與面積有關的幾何概型時,關鍵是弄清某事件對應的面積,必要時可根據題意構造兩個變量,把變量看成點的坐標,找到試驗全部結果構成的平面圖形,以便求解.12、B【解析】
利用三角函數的性質,逐個判斷即可求出.【詳解】①因為,所以是的一個周期,①正確;②因為,,所以在上不單調遞增,②錯誤;③因為,所以是偶函數,又是的一個周期,所以可以只考慮時,的值域.當時,,在上單調遞增,所以,的值域為,③錯誤;綜上,正確的個數只有一個,故選B.【點睛】本題主要考查三角函數的性質應用.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】試題分析:由已知得,故的展開式中x的奇數次冪項分別為,,,,,其系數之和為,解得.考點:二項式定理.14、1【解析】試題分析:,即虛部為1,故填:1.考點:復數的代數運算15、【解析】
滿足條件執(zhí)行,否則執(zhí)行.【詳解】本題實質是求分段函數在處的函數值,當時,.故答案為:1【點睛】本題考查條件語句的應用,此類題要做到讀懂算法語句,本題是一道容易題.16、【解析】
當時,函數單調遞增,當時,函數為常數,故需滿足,且,解得答案.【詳解】,當時,函數單調遞增,當時,函數為常數,需滿足,且,解得.故答案為:.【點睛】本題考查了根據函數單調性解不等式,意在考查學生對于函數性質的靈活運用.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】
(1)方程的兩根為,由題意得,在利用等差數列的通項公式即可得出;(2)利用“錯位相減法”、等比數列的前項和公式即可求出.【詳解】方程x2-5x+6=0的兩根為2,3.由題意得a2=2,a4=3.設數列{an}的公差為d,則a4-a2=2d,故d=,從而得a1=.所以{an}的通項公式為an=n+1.(2)設的前n項和為Sn,由(1)知=,則Sn=++…++,Sn=++…++,兩式相減得Sn=+-=+-,所以Sn=2-.考點:等差數列的性質;數列的求和.【方法點晴】本題主要考查了等差數列的通項公式、“錯位相減法”、等比數列的前項和公式、一元二次方程的解法等知識點的綜合應用,解答中方程的兩根為,由題意得,即可求解數列的通項公式,進而利用錯位相減法求和是解答的關鍵,著重考查了學生的推理能力與運算能力,屬于中檔試題.18、(1)(2)見解析,【解析】
(1)根據題意設出事件,列出概率,運用公式求解;(2)由題得,X的所有可能取值為,根據(1)和變量對應的事件,可得變量對應的概率,即可得分布列和期望值.【詳解】(1)記2家小店分別為A,B,A店有i人休假記為事件(,1,2),B店有i人,休假記為事件(,1,2),發(fā)生調劑現象的概率為P.則,,.所以.答:發(fā)生調劑現象的概率為.(2)依題意,X的所有可能取值為0,1,2.則,,.所以X的分布表為:X012P所以.【點睛】本題是一道考查概率和期望的??碱}型.19、(1)(2)直線過定點【解析】
(1),再由,解方程組即可;(2)設,,由,得,由直線MN的方程與橢圓方程聯立得到根與系數的關系,代入計算即可.【詳解】(1)由題意知:,又,且解得,,∴橢圓方程為,(2)當直線的斜率存在時,設其方程為,設,,由,得.則,(*)由,得,整理可得(*)代入得,整理可得,又,∴,即,∴直線過點當直線的斜率不存在時,設直線的方程為,,,其中,∴,由,得,所以∴當直線的斜率不存在時,直線也過定點綜上所述,直線過定點.【點睛】本題考查求橢圓的標準方程以及直線與橢圓位置關系中的定點問題,在處理直線與橢圓的位置關系的大題時,一般要利用根與系數的關系來求解,本題是一道中檔題.20、(1)時,有一個零點;當且時,有兩個零點;(2)見解析【解析】
(1)利用的導函數,求得的最大值的表達式,對進行分類討論,由此判斷出的零點的個數.(2)由,得到和,構造函數,利用導數證得,即有,從而證得,即.【詳解】(1),∴當時,,當時,在上遞增,在上遞減,.令在上遞減,在上遞增,,當且僅當時取等號.①時,有一個零點;②時,,此時有兩個零點;③時,,令在上遞增,,此時有兩個零點;綜上:時,有一個零點;當且時,有兩個零點;(2)由(1)可知:,令在上遞增,.【點睛】本小題主要考查利用導數
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