應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)第4章 數(shù)據(jù)分布特征的度量

第四章數(shù)據(jù)分布特征的度量

1本章學(xué)習(xí)目標(biāo)1.領(lǐng)會(huì)數(shù)據(jù)分布的各種特征：集中趨勢(shì)、離散趨勢(shì)、偏斜程度和峰度。2.掌握數(shù)據(jù)分布特征各測(cè)定值的計(jì)算方法、特點(diǎn)及其應(yīng)用場(chǎng)合。2海之濱每日營業(yè)收入的次數(shù)分配直方圖3海之濱營業(yè)收入的次數(shù)分配圖4夏季春季本章要點(diǎn)5集中趨勢(shì)(位置)偏態(tài)和峰態(tài)（形狀）離中趨勢(shì)

(分散程度)集中趨勢(shì)眾數(shù)中位數(shù)分位數(shù)平均數(shù)6眾數(shù)(mode)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值不受極端值的影響一組數(shù)據(jù)可能沒有眾數(shù)或有幾個(gè)眾數(shù)主要用于分類數(shù)據(jù)，也可用于順序數(shù)據(jù)和數(shù)值型數(shù)據(jù)7眾數(shù)(不惟一性)8無眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):10591268一個(gè)眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):659855多于一個(gè)眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):252828364242分類數(shù)據(jù)的眾數(shù)9解：這里的變量為“飲料品牌”，這是個(gè)分類變量，不同類型的飲料就是變量值所調(diào)查的100人中，購買可口可樂的人數(shù)最多，為35人，占被調(diào)查總?cè)藬?shù)的35%，因此眾數(shù)為“可口可樂”這一品牌，即

Mo＝可口可樂不同飲料品牌的頻數(shù)分布飲料品牌頻數(shù)匯源果汁百事可樂可口可樂娃哈哈15203530合計(jì)100順序數(shù)據(jù)的眾數(shù)10解：這里的數(shù)據(jù)為順序數(shù)據(jù)。變量為“回答類別”甲城市中對(duì)住房表示不滿意的戶數(shù)最多，為108戶，因此眾數(shù)為“不滿意”這一類別，即

Mo＝不滿意甲城市家庭對(duì)住房狀況評(píng)價(jià)的頻數(shù)分布回答類別甲城市戶數(shù)(戶)百分比(%)

非常不滿意

不滿意一般滿意非常滿意24108934530836311510合計(jì)300100.0數(shù)值型數(shù)據(jù)的眾數(shù)由眾數(shù)的定義可知，在單項(xiàng)數(shù)列的情形求眾數(shù)，只需通過觀察，找出頻數(shù)最多的變量值，則該變量值即為眾數(shù)。在組距數(shù)列的條件下，則要先確定眾數(shù)所在組，然后按下面的近似公式計(jì)算。11數(shù)值型數(shù)據(jù)的眾數(shù)12某企業(yè)職工月工資資料表職工月工資（元）職工人數(shù)（人）800～1000101000～1200201200～1400501400～1600301600～180010合計(jì)120解：①確定眾數(shù)組。由于1200~1400組頻數(shù)最多，故該組即為眾數(shù)組。②根據(jù)近似公式計(jì)算眾數(shù)值。集中趨勢(shì)眾數(shù)中位數(shù)分位數(shù)平均數(shù)13中位數(shù)(median)按大小排序后處于中間位置上的值不受極端值的影響主要用于順序數(shù)據(jù)，也可用數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不能用于分類數(shù)據(jù)14Me50%50%中位數(shù)(位置和數(shù)值的確定)15位置確定數(shù)值確定順序數(shù)據(jù)的中位數(shù)16解：中位數(shù)的位置為

(300+1)/2＝150.5

從累計(jì)頻數(shù)看，中位數(shù)在“一般”這一組別中中位數(shù)為

Me=一般甲城市家庭對(duì)住房狀況評(píng)價(jià)的頻數(shù)分布回答類別甲城市戶數(shù)(戶)累計(jì)頻數(shù)

非常不滿意

不滿意一般滿意非常滿意2410893453024132225270300合計(jì)300—數(shù)值型數(shù)據(jù)的中位數(shù)17【例】9個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù):15007507801080850960200012501630排序:75078085096010801250150016302000位置:123456789中位數(shù)1080數(shù)值型數(shù)據(jù)的中位數(shù)

18【例】：10個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)排序:

660

75078085096010801250150016302000位置:12345678910數(shù)值型數(shù)據(jù)的中位數(shù)(分組數(shù)據(jù))19身高（cm）人數(shù)（人）某班級(jí)學(xué)生身高資料表身高（cm）人數(shù)（人）人數(shù)累積向上累積向下累積16016517017518018524563126111720212119151041合計(jì)21——解：①確定中位數(shù)位次：

②確定中位數(shù)組：按人數(shù)向上累積（或向下累積）知，中位數(shù)在第三組。

③確定中位數(shù)：

中位數(shù)組只有唯一的變量值170cm，故它就是所求的中位數(shù)。數(shù)值型數(shù)據(jù)的中位數(shù)(組距數(shù)列)在組距數(shù)列的情況下，確定中位數(shù)組后，由于這時(shí)中位數(shù)組是一區(qū)間，可用下面的近似公式計(jì)算中位數(shù)：20數(shù)值型數(shù)據(jù)的中位數(shù)(分組數(shù)據(jù))21

某企業(yè)職工月工資資料職工月工資（元）職工人數(shù)（人）向上累積800～100010101000～120020301200～140050801400～1600301101600～180010120合計(jì)120—①確定中位數(shù)位次。②確定中位數(shù)組。從向上累積欄中，找出首個(gè)大于等于中位數(shù)位次60的組，該組即為中位數(shù)組，因此中位數(shù)組為1200~1400元。③按近似公式計(jì)算中位數(shù)值。集中趨勢(shì)眾數(shù)中位數(shù)分位數(shù)平均數(shù)22四分位數(shù)(quartile)排序后處于25%和75%位置上的值不受極端值的影響主要用于順序數(shù)據(jù)，也可用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不能用于分類數(shù)據(jù)23Q1Q2Q325%25%25%25%四分位數(shù)(位置的確定及計(jì)算)24的位次=的位次=順序數(shù)據(jù)的四分位數(shù)25解：Q1位置=(300)/4=75Q3位置=(3×300)/4=225

從累計(jì)頻數(shù)看，Q1在“不滿意”這一組別中；Q3在“一般”這一組別中四分位數(shù)為

Q1=不滿意

Q3=一般甲城市家庭對(duì)住房狀況評(píng)價(jià)的頻數(shù)分布回答類別甲城市戶數(shù)(戶)累計(jì)頻數(shù)

非常不滿意

不滿意一般滿意非常滿意2410893453024132225270300合計(jì)300—數(shù)值型數(shù)據(jù)的四分位數(shù)26

【例】9個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù):15007507801080850960200012501630排序:75078085096010801250150016302000位置:1234

5

6789的位次=的位次=四分位數(shù)(位置的確定及計(jì)算)27的位次=先計(jì)算Ｋ=n/4。若Ｋ為整數(shù)，則取第Ｋ個(gè)與第Ｋ+1個(gè)數(shù)的平均值。若Ｋ不是整數(shù)，則取小數(shù)進(jìn)位為整數(shù)的那一個(gè)數(shù)值。數(shù)值型數(shù)據(jù)的四分位數(shù)28

【例】9個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù):15007507801080850960200012501630排序:75078085096010801250150016302000位置:1234

5

6789的位次=的位次=盒須圖分析法假設(shè)某公司經(jīng)理想比較業(yè)務(wù)員小朱與小鐘最近8個(gè)星期股票交易的手續(xù)費(fèi)收入，看看哪一個(gè)表現(xiàn)較佳。已知兩者的手續(xù)費(fèi)如下:29小鐘306366788296106270小朱6482889096108128166兩人的最小值、中位數(shù)、最大值、下四分位數(shù)、上四分位數(shù)，分別為多少?小朱與小鐘的業(yè)績小鐘:

最小值=30

、中位數(shù)=80、最大值=270、下四分位數(shù)=64.5、上四分位數(shù)=101小朱:最小值=64、中位數(shù)=93、最大值=166、下四分位數(shù)=85、上四分位數(shù)=11830小鐘306366788296106270小朱6482889096108128166盒須圖分析法(5數(shù)綜合）四分位數(shù)(位置的確定及計(jì)算)32的位次=的位次=第i個(gè)四分位數(shù)可按如下近似公式計(jì)算：

數(shù)值型數(shù)據(jù)的四分位數(shù)(分組數(shù)據(jù))33

某企業(yè)職工月工資資料職工月工資（元）職工人數(shù)（人）向上累積800～100010101000～120020301200～140050801400～1600301101600～180010120合計(jì)120—①確定位次。②確定組。從向上累積欄中，找出首個(gè)大于等于90的組，該組即為中位數(shù)組，因此為1400~1600元。③按近似公式計(jì)算值。集中趨勢(shì)眾數(shù)中位數(shù)分位數(shù)平均數(shù)34數(shù)值型數(shù)據(jù)：平均數(shù)（簡單平均數(shù)）35設(shè)一組數(shù)據(jù)為：x1，x2，…

，xn(總體數(shù)據(jù)xN)樣本平均數(shù)總體平均數(shù)數(shù)值型數(shù)據(jù)：平均數(shù)（加權(quán)平均數(shù)）36設(shè)各組的組中值為：x1，x2，…，xk

相應(yīng)的頻數(shù)為：f1，f2，…，fk樣本加權(quán)平均總體加權(quán)平均加權(quán)平均數(shù)37某電腦公司銷售量數(shù)據(jù)分組表按銷售量分組組中值(Mi)頻數(shù)(fi)xifi

140~150150~160160~170170~180180~190190~200200~210210~220220~230230~24014515516517518519520521522523549162720171084558013952640472537003315205017209001175合計(jì)—12022200加權(quán)平均數(shù)(權(quán)數(shù)對(duì)均值的影響)38

甲乙兩組各有10名學(xué)生，考試成績及其分布數(shù)據(jù)如下:

甲組：考試成績（x）: 020100

人數(shù)分布（f）：118

乙組：考試成績（x）: 020100

人數(shù)分布（f）：811股票的報(bào)酬率陳先生接到投資顧問公司業(yè)務(wù)員王先生的電話:”陳先生，去年我們虧損了50%，今年已經(jīng)又賺回50%了”?！碧昧?”陳先生這下可放下心中的大石頭。可是當(dāng)陳先生接到對(duì)賬單一看，原來的100萬元，現(xiàn)值只有75萬元?！斑?不是說賺回50%了嗎，怎么還是虧25萬元?”這是怎么回事呢?39股票的報(bào)酬率去年虧損50%，所以去年年底現(xiàn)值為

今年賺回50%，因此今年年底現(xiàn)值為算術(shù)平均數(shù)40(萬元)(萬元)收益率=

收益率=

幾何平均數(shù)(geometricmean)

n個(gè)變量值乘積的n次方根適用于對(duì)比率數(shù)據(jù)的平均主要用于計(jì)算平均增長率計(jì)算公式為可看作是平均數(shù)的一種變形41幾何平均數(shù)42

【例】某水泥生產(chǎn)企業(yè)1999年的水泥產(chǎn)量為100萬噸，2000年與1999年相比增長率為9%，2001年與2000年相比增長率為16%，2002年與2001年相比增長率為20%。求各年的年平均增長率年平均增長率＝114.91%-1=14.91%股票的報(bào)酬率去年虧損50%，所以去年年底現(xiàn)值為

今年賺回50%，因此今年年底現(xiàn)值為幾何平均數(shù):43(萬元)(萬元)收益率=

收益率=

眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的關(guān)系44左偏分布均值

中位數(shù)

眾數(shù)對(duì)稱分布

均值=中位數(shù)=

眾數(shù)右偏分布眾數(shù)

中位數(shù)均值眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的特點(diǎn)和應(yīng)用眾數(shù)不受極端值影響具有不惟一性數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大且有明顯峰值時(shí)應(yīng)用中位數(shù)不受極端值影響數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大時(shí)應(yīng)用平均數(shù)易受極端值影響數(shù)學(xué)性質(zhì)優(yōu)良數(shù)據(jù)對(duì)稱分布或接近對(duì)稱分布時(shí)應(yīng)用45數(shù)據(jù)類型與集中趨勢(shì)測(cè)度值46數(shù)據(jù)類型和所適用的集中趨勢(shì)測(cè)度值數(shù)據(jù)類型分類數(shù)據(jù)順序數(shù)據(jù)定距數(shù)據(jù)定比數(shù)據(jù)適用的測(cè)度值※眾數(shù)※中位數(shù)※平均數(shù)※平均數(shù)—四分位數(shù)眾數(shù)幾何平均數(shù)—眾數(shù)中位數(shù)

中位數(shù)——四分位數(shù)四分位數(shù)———眾數(shù)本章要點(diǎn)集中趨勢(shì)離散趨勢(shì)分類數(shù)據(jù)：異眾比率順序數(shù)據(jù)：極差與四分位差數(shù)值型數(shù)據(jù)：方差和標(biāo)準(zhǔn)差相對(duì)離散程度：離散系數(shù)47異眾比率對(duì)分類數(shù)據(jù)離散程度的測(cè)度非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比例計(jì)算公式為用于衡量眾數(shù)的代表性48異眾比率49解：

在所調(diào)查的50人當(dāng)中，購買其他品牌飲料的人數(shù)占70%，異眾比率比較大。因此，用“可口可樂”代表消費(fèi)者購買飲料品牌的狀況，其代表性不是很好不同品牌飲料的頻數(shù)分布

飲料品牌頻數(shù)比例百分比(%)

可口可樂旭日升冰茶百事可樂匯源果汁露露15119690.300.220.180.120.183022181218合計(jì)501100本章要點(diǎn)集中趨勢(shì)離散趨勢(shì)分類數(shù)據(jù)：異眾比率順序數(shù)據(jù)：極差與四分位差數(shù)值型數(shù)據(jù)：方差和標(biāo)準(zhǔn)差相對(duì)離散程度：離散系數(shù)50極差(range)一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差離散程度的最簡單測(cè)度值易受極端值影響未考慮數(shù)據(jù)的分布計(jì)算公式為51R

=max(xi)-min(xi)極差(全距)52全距相同但分散程度不同四分位差(quartiledeviation)對(duì)順序數(shù)據(jù)離散程度的測(cè)度也稱為內(nèi)距或四分間距上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差

Qd=Q3

–

Q1反映了中間50%數(shù)據(jù)的離散程度不受極端值的影響用于衡量中位數(shù)的代表性53盒須圖分析法(5數(shù)綜合）四分位差55解：設(shè)非常不滿意為1,不滿意為2,一般為3,滿意為4,非常滿意為5

。已知

Q1

=不滿意=2

Q3

=一般=3四分位差為

Qd

=Q3

-

Q1

=3–2

=1甲城市家庭對(duì)住房狀況評(píng)價(jià)的頻數(shù)分布回答類別甲城市戶數(shù)(戶)累計(jì)頻數(shù)

非常不滿意

不滿意一般滿意非常滿意2410893453024132225270300合計(jì)300—本章要點(diǎn)集中趨勢(shì)離散趨勢(shì)分類數(shù)據(jù)：異眾比率順序數(shù)據(jù)：極差與四分位差數(shù)值型數(shù)據(jù)：方差和標(biāo)準(zhǔn)差相對(duì)離散程度：離散系數(shù)56平均差(meandeviation)各變量值與其平均數(shù)離差絕對(duì)值的平均數(shù)能全面反映一組數(shù)據(jù)的離散程度數(shù)學(xué)性質(zhì)較差，實(shí)際中應(yīng)用較少計(jì)算公式為57未分組數(shù)據(jù)組距分組數(shù)據(jù)平均差58某電腦公司銷售量數(shù)據(jù)平均差計(jì)算表按銷售量分組組中值(Mi)頻數(shù)(fi)140~150150~160160~170170~180180~190190~200200~210210~220220~230230~24014515516517518519520521522523549162720171084540302010010203040501602703202700170200240160250合計(jì)—120—2040方差和標(biāo)準(zhǔn)差

(varianceandstandarddeviation)數(shù)據(jù)離散程度的最常用測(cè)度值反映了各變量值與均值的平均差異根據(jù)總體數(shù)據(jù)計(jì)算的，稱為總體方差或標(biāo)準(zhǔn)差，記為

2()；根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算的，稱為樣本方差或標(biāo)準(zhǔn)差，記為s2(s)59總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差

60未分組數(shù)據(jù)組距分組數(shù)據(jù)未分組數(shù)據(jù)組距分組數(shù)據(jù)方差的計(jì)算公式標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差61未分組數(shù)據(jù)組距分組數(shù)據(jù)未分組數(shù)據(jù)組距分組據(jù)數(shù)方差的計(jì)算公式標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式注意：樣本方差用自由度n-1去除!自由度(degreeoffreedom)自由度是指附加給獨(dú)立的觀測(cè)值的約束或限制的個(gè)數(shù)從字面涵義來看，自由度是指一組數(shù)據(jù)中可以自由取值的個(gè)數(shù)62自由度(degreeoffreedom)樣本有3個(gè)數(shù)值，即x1=2，x2=4，x3=9，則

x=5。當(dāng)

x

=5確定后，x1，x2和x3有兩個(gè)數(shù)據(jù)可以自由取值，另一個(gè)則不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3則必然取2，而不能取其他值為什么樣本方差的自由度是n-1呢？因?yàn)樵谟?jì)算離差平方和時(shí)，必須先求出樣本均值

x

，而

x則是附加給離差平方和的一個(gè)約束，因此，計(jì)算離差平方和時(shí)只有n-1個(gè)獨(dú)立的觀測(cè)值，而不是n個(gè)樣本方差用自由度去除，其原因可從多方面解釋，從實(shí)際應(yīng)用角度看，在抽樣估計(jì)中，當(dāng)用樣本方差s2去估計(jì)總體方差σ2時(shí)，它是σ2的無偏估計(jì)量63樣本標(biāo)準(zhǔn)差64某電腦公司銷售量數(shù)據(jù)平均差計(jì)算表按銷售量分組組中值(Mi)頻數(shù)(fi)140~150150~160160~170170~180180~190190~200200~210210~220220~230230~24014515516517518519520521522523549162720171084540302010010203040501602703202700170200240160250合計(jì)—120—55400數(shù)據(jù)分布數(shù)量的估計(jì)（經(jīng)驗(yàn)法則）65Z值若數(shù)據(jù)型態(tài)為鐘形時(shí)，為了解觀察值在數(shù)據(jù)中的位置，可計(jì)算Z值。樣本值的Z值：

母體

值的Z值：

66Z值設(shè)A班學(xué)生的成績平均為75分，標(biāo)準(zhǔn)偏差為10分，而A班同學(xué)甲的成績?yōu)?0分，則70分的Z值為:

表示同學(xué)甲的成績低于平均數(shù)0.5個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差。67Z值又如B班學(xué)生的平均成績?yōu)?5分，標(biāo)準(zhǔn)偏差為10，而B班學(xué)生乙的成績?yōu)?0分，則70分的Z值為:

表示學(xué)生乙的成績高于平均數(shù)0.5個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差。68切比雪夫不等式

(Chebyshev’sinequality)適用任何分布形狀的數(shù)據(jù)對(duì)于任意分布形態(tài)的數(shù)據(jù)，根據(jù)切比雪夫不等式，至少有1-1/k2的數(shù)據(jù)落在k個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)。其中k是大于1的任意值，但不一定是整數(shù)69切比雪夫不等式

(Chebyshev’sinequality)對(duì)于k=2，3，4，該不等式的含義是至少有75%的數(shù)據(jù)落在平均數(shù)加減2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)至少有89%的數(shù)據(jù)落在平均數(shù)加減3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)至少有94%的數(shù)據(jù)落在平均數(shù)加減4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)70切比雪夫不等式

(Chebyshev’sinequality)100個(gè)學(xué)生統(tǒng)計(jì)學(xué)平均成績?yōu)?5分，標(biāo)準(zhǔn)差為5分:成績?cè)?525=65~85分的同學(xué)至少有75位成績?cè)?535=60~90分的同學(xué)至少有89位71本章要點(diǎn)集中趨勢(shì)離散趨勢(shì)分類數(shù)據(jù)：異眾比率順序數(shù)據(jù)：極差與四分位差數(shù)值型數(shù)據(jù)：方差和標(biāo)準(zhǔn)差相對(duì)離散程度：離散系數(shù)72離散系數(shù)(coefficientofvariation)標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的均值之比對(duì)數(shù)據(jù)相對(duì)離散程度的測(cè)度消除了數(shù)據(jù)水平高低和計(jì)量單位的影響用于對(duì)不同組別數(shù)據(jù)離散程度的比較計(jì)算公式為73離散系數(shù)74某管理局所屬8家企業(yè)的產(chǎn)品銷售數(shù)據(jù)企業(yè)編號(hào)產(chǎn)品銷售額（萬元）x1銷售利潤（萬元）x21234567817022039043048065095010008.112.518.022.026.540.064.069.0【例】某管理局抽查了所屬的8家企業(yè)，其產(chǎn)品銷售數(shù)據(jù)如表。試比較產(chǎn)品銷售額與銷售利潤的離散程度離散系數(shù)75結(jié)論：計(jì)算結(jié)果表明，v1<v2，說明產(chǎn)品銷售額的離散程度小于銷售利潤的離散程度v1=536.25309.19=0.577v2=32.521523.09=0.710數(shù)據(jù)類型與離散程度測(cè)度值76數(shù)據(jù)類型和所適用的離散程度測(cè)度值數(shù)據(jù)類型分類數(shù)據(jù)順序數(shù)據(jù)數(shù)值型數(shù)據(jù)適用的測(cè)度值※異眾比率※四分位差※方差或標(biāo)準(zhǔn)差—

異眾比率※離散系數(shù)（比較時(shí)用）——

平均差——

極差——

四分位差——

異眾比率本章要點(diǎn)集中趨勢(shì)離散趨勢(shì)偏態(tài)與峰態(tài)77偏態(tài)與峰態(tài)分布的形狀78扁平分布尖峰分布偏態(tài)峰態(tài)左偏分布右偏分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布比較！偏態(tài)系數(shù)偏態(tài)系數(shù)的計(jì)算公式：

其中偏態(tài)方向和程度的判別：按上面公式計(jì)算出來的偏度指標(biāo)，其符號(hào)可以表明分布的偏斜方向，其絕對(duì)值大小則可以表明分布的偏斜程度。79偏態(tài)統(tǒng)計(jì)學(xué)家Pearson于1895年首次提出數(shù)據(jù)分布偏斜程度的測(cè)度偏態(tài)系數(shù)=0為對(duì)稱分布偏態(tài)系數(shù)>0為右偏分布偏態(tài)系數(shù)<0為左偏分布偏態(tài)系數(shù)大于1或小于-1，被稱為高度偏態(tài)分布；偏態(tài)系數(shù)在0.5～1或-0.5～-1之間，被認(rèn)為是中等偏態(tài)分布；