2022-2023學(xué)年福建省福州市四校聯(lián)考高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

2022-2023學(xué)年福建省福州市四校聯(lián)考高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.15分）設(shè)集合A＝{（x，y）|y＝2x}，B＝{（x，y）|y＝x2}，則A∩B的元素個(gè)數(shù)為()25分）歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)，其將自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e，虛數(shù)單位i與三角函數(shù)cosθ,sinθ聯(lián)系在一起，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)的天橋”，若復(fù)數(shù)z=，則z的虛部為()35分）已知圓Mx﹣2）2+（y﹣1）2＝1，圓Nx+2）2+（y+1）2＝1，則下列不是M，N兩圓公切線的直線方程為()A．y＝045分）已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，∠APB＝120°,PA＝2，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角P﹣AC﹣O為45°,則△PAC的面積為()55分）在數(shù)列{an}中，a1＝1，且函數(shù)f（xx5+an+1sinx2an+3）x+3的導(dǎo)函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則a9的值為()A．(?1，)B．(，)C．(，)D．(，)75分）已知橢圓+=1(a＞b＞0)的兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，x軸上方兩點(diǎn)A，B在橢圓上，AF1與BF2平行，AF2交BF1于P．過P且傾斜角為α(α≠0）的直線從上到下依次交橢圓于S，T．若|PS|=β|PT|，則“α為定值”是“β為定值”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不必要也不充分條件85分）在同一平面直角坐標(biāo)系中，P，Q分別是函數(shù)f（xaxex﹣ln（ax）和g(x)=2ln(?1)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，若對(duì)任意a＞0，有|PQ|≥m恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為()二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.（多選）95分）已知向量=(1，3)，=(2x，2?x)，其中x∈R，下列說法正確的是()→→A．若a⊥b，則x＝6→→B．若a與b夾角為銳角，則x＜6→C．若x＝1，則a在b方向上投影向量為b→（多選）105分）已知函數(shù)f（xx3+ax2+bx+c（a，b，c∈R則下列說法正確的是()A．若函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，f（1中心對(duì)稱，則a=﹣3B．當(dāng)c＝0時(shí)，函數(shù)f（x）過原點(diǎn)的切線有且僅有兩條C．函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上單調(diào)遞減的充要條件是2a﹣b≥3D．若實(shí)數(shù)x1，x2是f（x）的兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，且滿足x1+x2＝x1x2，則a＞0或a<﹣6（多選）115分）已知函數(shù)f（x2sinx+|sin2x|，則()A．f（x）的最小正周期為2πB．f（x）的圖象關(guān)于x=對(duì)稱C．f（x）在[0，2π]上有四個(gè)零點(diǎn)D．f（x）的值域?yàn)閇?2，]（多選）125分）已知拋物線C：y2＝4x，過焦點(diǎn)F的直線l與C交于A（x1，y1B（x2，y2）兩點(diǎn)，y1＞2，E與F關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線AB與直線AE的傾斜角分別是α與β,則()A．sinα>tanβB.∠AEF=∠BEFC.∠AEB＜90°D.α＜2β三、填空題：本題共4小題，每小題5分，滿分20分.135分）(2x?y)5展開式中x2y3的系數(shù)為（用數(shù)字作答）145分）已知某批零件的質(zhì)量指標(biāo)ξ（單位：毫米）服從正態(tài)分布N（25.40，σ2且P(ξ≥25.45）=0.1，現(xiàn)從該批零件中隨機(jī)取3件，用X表示這3件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值ξ不位于區(qū)間（25.35，25.45）的產(chǎn)品件數(shù)，則D（X）=.155分）已知f（x）為奇函數(shù)，當(dāng)x∈（0，1]，f（xlnx，且f（x）關(guān)于直線x＝1對(duì)稱．設(shè)方程f（x）=x+1的正數(shù)解為x1，x2，?,xn，?,且任意的n∈N，總存在實(shí)數(shù)M，使得|xn+1﹣xn|＜M成立，則實(shí)數(shù)M的最小值為.165分）在平面四邊形ABCD中，∠ADB＝90°,∠ABC＝90°,BD＝BC＝2，沿對(duì)角線BD將△折起，使平面ADB⊥平面BDC，得到三棱錐A﹣BCD，則三棱錐A﹣BCD外接球表面積的最小值四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.1710分）已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn，且滿足sn=()2. ；=，設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，若m2＜Tn＜對(duì)一切n∈N*恒成立，求1812分）記銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知siB)=si（1）求證：B＝C；（2）若asinC＝2，求+的最大值.1912分）如圖4，在三棱臺(tái)ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面ACC1A1為等腰梯形，且A1C1＝AA1＝1，D為A1C1的中點(diǎn).（1）證明：AC⊥BD；（2）記二面角A1﹣AC﹣B的大小為θ,θ∈[，]時(shí)，求直線AA1與平面BB1C1C所成角的正弦值的取值范圍.2012分）已知函數(shù)f（xex+cosx﹣2，f'（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù).（1）當(dāng)x≥0時(shí)，求f'（x）的最小值；（2）當(dāng)x≥時(shí)，xex+xcosx﹣ax2﹣2x≥0恒成立，求a的取值范圍.2112分）甲、乙兩人進(jìn)行象棋比賽，賽前每人發(fā)3枚籌碼．一局后負(fù)的一方，需將自己的一枚籌碼給對(duì)方；若平局，雙方的籌碼不動(dòng)，當(dāng)一方無籌碼時(shí)，比賽結(jié)束，另一方最終獲勝．由以往兩人的比賽結(jié)果可知，在一局中甲勝的概率為0.3、乙勝的概率為0.2.（1）第一局比賽后，甲的籌碼個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列和期望；（2）求四局比賽后，比賽結(jié)束的概率；2212分）已知M是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線MA與直線y＝x垂直，A為垂足且位于第三象限；直線MB與直線y=﹣x垂直，B為垂足且位于第二象限．四邊形OAMB（O為原點(diǎn)）的面積為2，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C.（1）求C的方程；（2）點(diǎn)E(22，0)，直線PE，QE與C分別交于P，Q兩點(diǎn)，直線PE，QE，PQ的斜率分別為k1，k2，k3．若(+)?k3=?6，求△PQE周長(zhǎng)的取值范圍.2022-2023學(xué)年福建省福州市四校聯(lián)考高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.15分）設(shè)集合A＝{（x，y）|y＝2x}，B＝{（x，y）|y＝x2}，則A∩B的元素個(gè)數(shù)為()【解答】解：如圖，集合A為函數(shù)y＝2x圖象的點(diǎn)集，集合B為函數(shù)y＝x2圖象的點(diǎn)集，兩函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，所以A∩B的元素個(gè)數(shù)為3個(gè).故選：C.25分）歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)，其將自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e，虛數(shù)單位i與三角函數(shù)cosθ,sinθ聯(lián)系在一起，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)的天橋”，若復(fù)數(shù)z=，則z的虛部為()【解答】解：z=e=ei=cos+sini=+i，其虛部為.故選：D.35分）已知圓Mx﹣2）2+（y﹣1）2＝1，圓Nx+2）2+（y+1）2＝1，則下列不是M，N兩圓公切線的直線方程為()A．y＝0【解答】解：如圖，圓心M（2，1N(﹣21半徑r1＝r2＝1，兩圓相離，有四條公切線.另兩條切線與直線MN平行且相距為1，lMN：y=1 x x設(shè)切線l：y=x+b，則=1，解得b=±（或通過斜率排除所以D項(xiàng)不正確.故選：D.45分）已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，∠APB＝120°,PA＝2，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角P﹣AC﹣O為45°,則△PAC的面積為()【解答】解：如圖所示，∵AB為底面直徑，∠APB＝120°,PA＝2，∴△PAB是等腰三角形，由余弦定理可得AB2=AP2+BP2?2AP?BP?cOS120°=12?AB=23=2OA，PO=PA2?OA2=由圓錐的特征易知PA＝PC、OA＝OC，PO⊥⊙O，取AC中點(diǎn)D，連接PD、OD，顯然有OD⊥AC，PD⊥AC，即二面角P﹣AC﹣O為∠PDO＝45°,∴PO=OD=1，PD=2，則AC=2AD=2PA2?PD2∴S△PAC=AC?PD=2.故選：B.55分）在數(shù)列{an}中，a1＝1，且函數(shù)f（xx5+an+1sinx2an+3）x+3的導(dǎo)函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則a9的值為()A．1021B．1022C．1023D．1024【解答】解：f′（x5x4+an+1cosx2an+3易知函數(shù)f′（x）為偶函數(shù)，又f′（x）有唯一零點(diǎn)，則必有f′（0）＝an+1﹣（2an+3）＝0，即an+1＝2an+3，則有an+1+3＝2（an+3所以數(shù)列{an+3}是以2為公比的等比數(shù)列，則an+3=4×2n?1，6AABC中，sin(B)=cos2A，則AC的取值范圍是()A．(?1，)B．(，)C．(，)D．(，)【解答】解：由題意，sin(B)=cosB=cos2A，所以2A＝B，C=π﹣A﹣B=π﹣A﹣2A=π﹣3A，因?yàn)镃=π﹣3A∈（0，π),所以A∈(0，)，n=2sinA=sinnA， 2cosA?12cosA?14cos2A?1(2cosA?1)(2cosA+1)，==因?yàn)锳∈(0，)，所以2cosA﹣1＞0，故AC=，因?yàn)锳∈(0，)，所以cOSA∈(，1)，2cosA∈（1，22cosA+1∈（2，3故選：B.75分）已知橢圓+=1(a＞b＞0)的兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，x軸上方兩點(diǎn)A，B在橢圓上，AF1與BF2平行，AF2交BF1于P．過P且傾斜角為α(α≠0）的直線從上到下依次交橢圓于S，T．若|PS|=β|PT|，則“α為定值”是“β為定值”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不必要也不充分條件【解答】解：不妨設(shè)M（x，y）為橢圓+=1(a＞b＞0)上的動(dòng)點(diǎn)，c為橢圓的半焦距，所以|MF1|=(x+c)2+y2=(x+c)2+b2(1)不妨設(shè)直線l：x=，則點(diǎn)M到直線l的距離為d=|x+|，設(shè)直線MF1的傾斜角為γ,過M作l的垂線，垂足為S，同理，|F1P|=|A|)，此時(shí)|MF1||同理，|F1P|=|A|)，所以|MF1|=1sy，不妨設(shè)p=，此時(shí)|MF1|=1?osy，同理的|MF2|=1+osy，設(shè)AF1的傾斜角為θ,因?yàn)锳F1∥BF2，則|F2P|=|B|)，此時(shí)|AFF2|=|A2P|==2a|1則|F2P|=|B|)，所以|F2P|+|F1P|=2a=2a?ep，則P的軌跡方程為+(a22)2=1，其中y＞0，因?yàn)閍2≠a4+22+c4，所以不是定值，即即β不是定值，故“當(dāng)α取定值，β是定值”不符合條件，又直線ST的參數(shù)方程為整理得(ca+sia)t2+2(x0sa+y0a)t++2?1=0，t1t2=因?yàn)閨PS|=β|PT|，此時(shí)tc)，(x0sa+y0na(x0sa+y0na)2所以當(dāng)P（x0，y0）變化時(shí)，(x0a)2始終為定值，(x0sa+y0na)2x2a+2x0y0coa+y02n2a+1x[ca?(]+2x0y0coa+b22a=x[]+1cos2acos2ab2sin2a則?(2=解得a=，b2sin2a 所以(2=(?1)=b2?1=b2×(a22)+y02?1但此時(shí)(2隨y02的變化而變化，不是定值，則“當(dāng)β取定值，α是定值”是錯(cuò)誤的.故選：D.85分）在同一平面直角坐標(biāo)系中，P，Q分別是函數(shù)f（xaxex﹣ln（ax）和g(x)=2ln(?1)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，若對(duì)任意a＞0，有|PQ|≥m恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為()【．解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)PQ2分別是函數(shù)f（x）axex﹣ln（ax）和g(x=22ln(?1)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，不妨設(shè)P（k，akek﹣ln（aka，k＞0Q（t，2ln(?1))t＞1可得|PQ|2t﹣k）2+[（akek﹣ln（ak?2ln(?1)]2≥[t?2ln(?1)+akek?ln(ak)?k]2不妨設(shè)h（t2ln(?1)，數(shù)定義域?yàn)椋?，+∞),可得?'(t)=1?2[t1?(t?1)]=t2?t1ln(t?1)，不妨設(shè)u（tt2?t1+2ln（t﹣1函數(shù)定義域?yàn)椋?，+∞),可得u'(t)=2t?(t)2+t1=2t(2)＞0，所以函數(shù)u（t）在定義域上單調(diào)遞增，因?yàn)閡（2）＝0，所以函數(shù)h（t）在t＝2時(shí)取得極小值即最小值，此時(shí)h（2）＝2，不妨設(shè)v（kakek﹣ln（akk，函數(shù)定義域?yàn)椋?，+∞),可得v'(k)=a(k+1)ek1=(k+1)(aek)，易知函數(shù)y=aek在區(qū)間（0，+∞)上單調(diào)遞增，所以存在k0＞0，使得aek0=0，解得k0=﹣ln（ak0所以函數(shù)v（k）在k＝k0時(shí)取得極小值即最小值，此時(shí)v（k0）＝1+k0﹣k0＝1，則|PQ|2≥=，解得|PQ|≥，因?yàn)閷?duì)任意a＞0，都有|PQ|≥m恒成立，所以m≤，即m的最大值為.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.（多選）95分）已知向量=(1，3)，=(2x，2?x)，其中x∈R，下列說法正確的是()→→A．若a⊥b，則x＝6→→B．若a與b夾角為銳角，則x＜6→C．若x＝1，則a在b方向上投影向量為b→→a【解答】→a→→→若a⊥b，則a?→→→=2x+3(2?x)=0，解得x＝6，故A正確；若與夾角為銳角，則?=2x+3(2?x)＞0，解得x＜6，又當(dāng)x=，=(，)，此時(shí)=，與夾角為0，故x的取值范圍為(﹣∞,）∪(，+∞)，→→因?yàn)閍在b方向上投影為→==5，與b同向的單位向量為→=(，)， →因?yàn)閍在b方向上投影為→==5，與b同向的單位向量為→=(，)， |b||b|→所以a在b方向上投影向量為||=(2，1)=b，C正確；→→故選：AC.（多選）105分）已知函數(shù)f（xx3+ax2+bx+c（a，b，c∈R則下列說法正確的是()A．若函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，f（1中心對(duì)稱，則a=﹣3B．當(dāng)c＝0時(shí)，函數(shù)f（x）過原點(diǎn)的切線有且僅有兩條C．函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上單調(diào)遞減的充要條件是2a﹣b≥3D．若實(shí)數(shù)x1，x2是f（x）的兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，且滿足x1+x2＝x1x2，則a＞0或a<﹣6【解答】解：A．函數(shù)f（xx3+ax2+bx+c，f′（x3x2+2ax+b，f″（x6x+2a，令f″（x）＝6x+2a＝0，解得x=，∵函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，f（1中心對(duì)稱，∴=1，解得a=﹣3，因此A正確.B．c＝0時(shí)，原點(diǎn)（0，0）在函數(shù)f（xx3+ax2+bx的圖象上，因此過原點(diǎn)有一條切線；若切點(diǎn)不是原點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為P（x0，f（x0x0≠0則切線方程為yx+ax+bx03x+2ax0+bx﹣x0把（0，0）代入可得：x0=，若a＝0，則函數(shù)f（x）過原點(diǎn)的切線有且僅有一條；若a≠0，則函數(shù)f（x）過原點(diǎn)的切線有兩條．因此B不正確.C．函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上單調(diào)遞減?f′（x）＝3x2+2ax+b＝3(x+)2+b=g（x）≤0（不恒等于0）在[﹣1，1]上恒成立，其對(duì)稱軸為x=.3，因此C正確.D．f′（x）＝3x2+2ax+b，由實(shí)數(shù)x1，x2是f（x）的兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則Δ=4a2﹣12b＞0，即a2﹣3b＞0，∴x1+x2=，x1x2=，∴=，化為b=﹣2a，代入a2﹣3b＞0，可得a2+6a＞0，解得a＞0或a<﹣6，因此D正確.故選：ACD.（多選）115分）已知函數(shù)f（x2sinx+|sin2x|，則()A．f（x）的最小正周期為2πB．f（x）的圖象關(guān)于x=對(duì)稱C．f（x）在[0，2π]上有四個(gè)零點(diǎn)D．f（x）的值域?yàn)閇?2，]π【解答】解：對(duì)于A，函數(shù)y＝2sinx的最小正周期為2π,函數(shù)y＝|sin2x|的最小正周期為，2所以函數(shù)f（x）＝2sinx+|sin2x|的最小正周期為2π,選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，f(﹣x+π)=2sin(﹣x+π)+|sin2(﹣x+π)|＝2sinx+|sin(﹣2x）|＝2sinx+|sin2x|＝f（x所以f（x）的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，當(dāng)0≤x≤時(shí)，f（x2sinx+sin2x＝2sinx+2sinxcosx＝2sinx（1+cosx易知此時(shí)f（x）有唯一零點(diǎn)x＝0；當(dāng)＜x≤π時(shí)，f（x2sinx﹣sin2x＝2sinx﹣2sinxcosx＝2sinx（1﹣cosx易知此時(shí)f（x）有唯一零點(diǎn)x=π;當(dāng)π＜x≤時(shí)，f（x2sinx+sin2x＝2sinx+2sinxcosx＝2sinx（1+cosx易知此時(shí)f（x）無零點(diǎn)；當(dāng)＜x≤2π時(shí)，f（x2sinx﹣sin2x＝2sinx﹣2sinxcosx＝2sinx（1﹣cosx易知此時(shí)f（x）有唯一零點(diǎn)x＝2π,所以f（x）在[0，2π]上有三個(gè)零點(diǎn)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)x=時(shí)，y＝2sinx取得最小值﹣2，此時(shí)y＝|sin2x|恰好取得最小值0，故f（x）的最小值為﹣2；由選項(xiàng)C的分析可知，當(dāng)x∈(π,2π]時(shí)，f（x0，當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，f（x0，而f（x）關(guān)于直線x=對(duì)稱，故可考慮0≤x≤時(shí)，f（x2sinx+sin2x的取值情況，f′（x2cosx+2cos2x＝2（2cos2x﹣1）+2cosx=4cos2x+2cosx﹣2，令f′（x0，解得cosx=﹣1（舍）或cosx=，則x=，易知當(dāng)0＜x<時(shí)，f′（x0，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)＜x<時(shí)，f′（x0，f（x）單調(diào)遞減，所以此時(shí)，f(x)max=f()=2sin+sin=3+=，綜上，函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇?2，].故選：ABD.（多選）125分）已知拋物線C：y2＝4x，過焦點(diǎn)F的直線l與C交于A（x1，y1B（x2，y2）兩點(diǎn)，y1＞2，E與F關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線AB與直線AE的傾斜角分別是α與β,則()A．sinα>tanβB.∠AEF=∠BEFC.∠AEB＜90°D.α＜2β【解答】解：作AD⊥x軸于D，作BC⊥x軸于C，所以D（x1，0C（x2，0拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F（1，0整理得k2x22k2+4）x+k2＝0，所以x1+x2=，x1x2＝1，y=4x1，對(duì)于A，sinα==x1，tanβ==x1，所以sinα=tanβ,故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)閗AE=，kBE=，所以kAE+kBE=+=k(x2?1)(1)(x2+1)=k×2x1xx2?2=0，所以直線AE與BE的傾斜角互補(bǔ)，即∠AEF=∠BEF，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)閤1＞1，所以tanβ==x1=1＜=1，即∠AED＜45°,因?yàn)椤螦EF=∠BEF，所以∠AEB＜90°,故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椤螦EB＜90°,所以0°＜2β＜90°,tanα==x1，tanβ==x1，所以tanα﹣tan2β=211)=y1x1?1?2y1=?1＜0，故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，滿分20分.135分）(2x?y)5展開式中x2y3的系數(shù)為﹣20（用數(shù)字作答）【解答】解：(2x?y)5的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=c(2x)5?r?(?y)r=c(2)5?r?(?1)r?x5?ryr，取r＝3得到T4=c(2)2?(?1)3?x2y3=?20x2y3.故答案為20.145分）已知某批零件的質(zhì)量指標(biāo)ξ（單位：毫米）服從正態(tài)分布N（25.40，σ2且P(ξ≥25.45）=0.1，現(xiàn)從該批零件中隨機(jī)取3件，用X表示這3件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值ξ不位于區(qū)間（25.35，25.45）的產(chǎn)品件數(shù)，則D（X0.48.【解答】解：由正態(tài)分布的對(duì)稱性可知，P（25.35<ξ＜25.45）＝1﹣2P(ξ≥25.45）＝1﹣0.2＝0.8，故1件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值ξ不位于區(qū)間（25.35，25.45）的概率P＝0.2，則X～B（3，0.2故D（X）＝3×0.2×（1﹣0.2）＝0.48.故答案為：0.48.155分）已知f（x）為奇函數(shù)，當(dāng)x∈（0，1]，f（xlnx，且f（x）關(guān)于直線x＝1對(duì)稱．設(shè)方程f（x）=x+1的正數(shù)解為x1，x2，?,xn，?,且任意的n∈N，總存在實(shí)數(shù)M，使得|xn+1﹣xn|＜M成立，則實(shí)數(shù)M的最小值為2.【解答】解：因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，所以f（x）=﹣f(﹣x且f（00，又f（x）關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，所以f（1+xf（1﹣x所以f（2+xf(﹣x）=﹣f（x則f（4+x）=﹣f（2+xf（x所以函數(shù)f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，作出函數(shù)y＝f（x）和y＝x+1的圖像如圖所示：所以xn+1?xn)=2.所以得任意的n∈N，|xn+1﹣xn|＜2，已知任意的n∈N，總存在實(shí)數(shù)M，使得|xn+1﹣xn|＜M成立，可得M≥2，即M的最小值為2.故答案為：2.165分）在平面四邊形ABCD中，∠ADB＝90°,∠ABC＝90°,BD＝BC＝2，沿對(duì)角線BD將△折起，使平面ADB⊥平面BDC，得到三棱錐A﹣BCD，則三棱錐A﹣BCD外接球表面積的最小值為【解答】解：在平面四邊形中，設(shè)∠CBD=θ（0<θ<∠ABD=θ,在Rt△ADB中，可得∠BAD=θ,AD=.在△BCD中，CD＝2BCsin=4sin.設(shè)△BCD外接圓圓心為M，外接圓半徑為r，由正弦定理可得2r===，即r=.設(shè)三棱錐A﹣BCD外接球球心為O，則OM⊥平面BCD.又∵平面ADB⊥平面BDC，平面ADB∩平面BDC＝BD，∠ADB＝90°,∴AD⊥平面BDC，則AD∥OM，得四邊形OMDA為直角梯形.設(shè)外接球的半徑為R，在平面四邊形OMDA中，過O作OE⊥AD于E，在△AOD中，AO＝DO＝R，E為AD的中點(diǎn)，OM＝DE=AD=,由DO2＝DE2+OE2，得R2＝DE2+r2=+，令3﹣2cosθ=t，1＜t＜3，則cosθ=3t，令3﹣2cosθ=t，1＜t＜3，則cosθ=3t，5,t5,t4?(t+)+6，4即t=5時(shí)（滿足1＜t＜3）等號(hào)成立.∴外接球表面積的最小值為4πR2=4π×=(25+2)π.故答案為：(25+2)π.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.1710分）已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn，且滿足sn=()2. ；=，設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，若m2＜Tn＜對(duì)一切n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解答】解1）當(dāng)n＝1時(shí)，a1=s1=()2，∴a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an=sn?sn?1=()2?(an+1)2=a?a?1+(an?an?1)，即a?a?1?2(an+an?1)=0，∴（an+an﹣1an﹣an﹣1﹣20，由已知，數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)得an﹣an﹣1＝2，∴{an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，∴an＝2n﹣1；＜，＜，要使m2＜Tn＜恒成立，只需，解得≤m＜.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是[，).1812分）記銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知siB)=siC).（1）求證：B＝C；（2）若asinC＝2，求+的最大值.【解答】解1）證明：由于siB)=siC)，所以sinACOs（2）若asinC＝2，求+的最大值.整理的cosA（sinBcosC﹣cosBsinC）＝0，即cosAsin（B﹣C）＝0，因?yàn)锳為銳角，所以cosA＞0，故sin（B﹣C）＝0，由B，C為銳角可得B＝C；因?yàn)閍sinC＝2，且由正弦定理得asinC＝csinA＝bsinA＝asinB＝2，所以a=，b=，11114(sin2A+sin2B)sin22B)=[sin2B+sin2(B+C)]=[sin2B+sin22B]=(1?Cs2B+ 3 8因?yàn)锽<，所以＜B<，則＜2B<π,所以﹣1＜cos2B＜0，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)COs2B=?時(shí)*）取得最大值.1912分）如圖4，在三棱臺(tái)ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面ACC1A1為等腰梯形，且A1C1＝AA1＝1，D為A1C1的中點(diǎn).（1）證明：AC⊥BD；（2）記二面角A1﹣AC﹣B的大小為θ,θ∈[，]時(shí)，求直線AA1與平面BB1C1C所成角的正弦值的取值范圍.【解答】（1）證明：如圖，作AC的中點(diǎn)M，連接DM，BM，在等腰梯形ACC1A1中，D，M為A1C1，AC的中點(diǎn)，∴AC⊥DM，在正△ABC中，M為AC的中點(diǎn)，∴AC⊥BM，∵AC⊥DM，AC⊥BM，DM∩BM＝M，DM，BM?平面BDM，∴AC⊥平面BDM，又BD?平面BDM，∴AC⊥BD.（2）解：∵AC⊥平面BDM，在平面BDM內(nèi)作Mz⊥BM，以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，以MA，MB，Mz，分別為x，y，z，軸正向，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面BB1C1C的法向量為=(x，y，z)，=(1，3，0)，C1=(，COsθ,sinθ)，則有，1==00，即+sθ+zsinθ=0，可得令y=3，x=﹣3，z=3(sθ)，sinθ又A1=(，cosθ,sinθ)，∴sina=|cos＜A1，＞|=4+1?2cos2θ=,∴sina∈[，].2012分）已知函數(shù)f（xex+cosx﹣2，f'（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù).（1）當(dāng)x≥0時(shí)，求f'（x）的最小值；（2）當(dāng)x≥時(shí)，xex+xcosx﹣ax2﹣2x≥0恒成立，求a的取值范圍.【解答】解1）f'（xex﹣sinx，令g（xex﹣sinx，x≥0，則g'（xex﹣cosx.當(dāng)x∈[0，π)時(shí)，g'（x）為增函數(shù)，g'（x）≥g'（0）＝0；故x≥0時(shí)，g'（x）≥0，g（x）為增函數(shù)，故g（x）min＝g（0）＝1，即f'（x）的最小值為1.（2）令h（x）＝ex+cosx﹣2﹣ax，h'（x）＝ex﹣sinx﹣a，則x≥時(shí)，x?h（x）≥0恒成立.當(dāng)a≤1時(shí)，若x≥0，則由（1）可知，h'（x）≥1﹣a≥0，所以h（x）為增函數(shù)，故h（x）≥h（0）＝0恒成立，即x?h（x）≥0恒成立；若x∈[，0]，則h''（x）＝ex﹣cosx，h'''（x）＝ex+sinx在[，0]上為增函數(shù)，）＝故存在唯一x0∈(，0)，使得h'''（x0）＝0.當(dāng)x∈(，x0)時(shí)，h'''（x0，h''（x）為減函數(shù)；x∈（x0，0）時(shí)，h'''（x）≥0，h''（x）為增函數(shù).又?″()=e，h''（0）＝0，故存在唯一x1∈(，0)使得h''（x1）＝0.故x∈(，x1)時(shí)，h''（x1）＞0，h'（x）為增函數(shù)；x∈（x1，0）時(shí)，h''（x10，h'（x）為減函數(shù).）＝所以x∈[，0]時(shí)，h'（x0，h（x）為增函數(shù)，）＝當(dāng)a＞1時(shí)，由（1）可知h'（xex﹣sinx﹣a在[0，+∞)上為增函數(shù)，且h'（0）＝1﹣a＜0，h'（1+a）≥e1+a﹣1﹣a＞0，故存在唯一x2∈（0，+∞),使得h'（x2）＝0.則當(dāng)x∈（0，x2）時(shí)，h'（x0，h（x）為減函數(shù)，所以h（xh（00，此時(shí)x?h（x0，與x?h（x）≥0恒成立矛盾.綜上所述，a≤1.2112分）甲、乙兩人進(jìn)行象棋比賽，賽前每人發(fā)3枚籌碼．一局后負(fù)的一方，需將自己的一枚籌碼給對(duì)方；若平局，雙方的籌碼不動(dòng)，當(dāng)一方無籌碼時(shí)，比賽結(jié)束，另一方最終獲勝．由以往兩人的比賽結(jié)果可知，在一局中甲勝的概率為0.3、乙勝的概率為0.2.（1）第一局比賽后，甲的籌碼個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列和期望；（2）求四局比賽后，比賽結(jié)束的概率；明：{Pi+1﹣Pi}（i＝0，1，2，?,5）為等比數(shù)列.【解答】解1）X的所有可能取值為2，3，4，P（X＝2）＝0.2，P（X＝3）＝