圓錐曲線問題的優(yōu)化解法 論文

圓錐曲線問題的優(yōu)化解法有關(guān)直線斜率之和（積）為定值的問題摘要：研究圓錐曲線中因動(dòng)直線而產(chǎn)生與斜率有關(guān)的定值問題，涉及斜率之和、斜率之積兩類定值問題。關(guān)鍵詞：圓錐曲線直線斜率定值根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)，近年來，解析幾何考察直線與圓，直線與圓錐曲線的問題較多，常常與三角、向量、函數(shù)導(dǎo)數(shù)、不等式等知識(shí)相結(jié)合，求解弦長(zhǎng)M、面積S，直線斜率K等幾何特征量的最值與定值問題，而定值問題一直是高考中的高頻考點(diǎn)問題之一，本文圍繞圓錐曲線中有關(guān)直線斜率之和（積）為定值的問題進(jìn)行研究。解析幾何問題的解題策略和方法很多，但出發(fā)點(diǎn)不外乎兩個(gè)方面，一是把幾何問題進(jìn)行代數(shù)化；二是解法的優(yōu)化設(shè)計(jì)和運(yùn)算的簡(jiǎn)化措施。詳細(xì)來說要回歸定義，彰顯本質(zhì)；然后巧設(shè)方程，優(yōu)化解法；整體代換，簡(jiǎn)化計(jì)算。為此本文以兩道解析幾何題目的教學(xué)為例，介紹一系列斜率之和（積）為定值的方法，供參考。一斜率之和為定值已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)A(2,1)．若P，Q是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且使∠PAQ的角平分線總垂直于x軸，試判斷直線PQ的斜率是否為定值？若是，求出該值；若不是，請(qǐng)說明理由．此題是一道把直線和圓錐曲線結(jié)合到一起的綜合題，對(duì)大多數(shù)人來說并不困難，但是要把題目中的思想提煉出來還是不容易的。解：方法一：因?yàn)闄E圓C的離心率為，且過點(diǎn)A(2,1)，所以，解得,所以橢圓C的方程為,因?yàn)椤螾AQ的角平分線總垂直于x軸，所以PA與AQ所在的直線關(guān)于直線x＝2對(duì)稱（從這里提煉出兩條直線的傾斜角是互補(bǔ)的）．設(shè)直線PA的斜率為k，則直線AQ的斜率為－k.所以直線PA的方程為y－1＝k(x－2)，直線AQ的方程為y－1＝－k(x－2)．由得①?因?yàn)辄c(diǎn)A(2,1)在橢圓C上，所以x＝2是方程①的一個(gè)根，則，所以同理,所以又，所以直線PQ的斜率，所以直線PQ的斜率為定值，該值為.方法一分析，解法說明解法1利用“斜率互為相反數(shù)”這一條件,設(shè)出兩條直線方程,得出坐標(biāo)，然后求出所求直線斜率,這類方法比較直接;當(dāng)然也可以先設(shè)出所求直線方程,再借助“斜率互為相反數(shù)”這一條件建立等式,通過研究恒等式求出定值。是大部分學(xué)生會(huì)采用的方法，這是最直接的利用直線與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理得出x1+x法二：因?yàn)闄E圓C的離心率為，且過點(diǎn)A(2,1)，所以，解得,所以橢圓C的方程為x28+直線PQ不過（2,1）故直線PQ可設(shè)：mx?2設(shè)點(diǎn)∠PAQ的角平分線總垂直于x軸，所以PA與AQ所在的直線關(guān)于直線x＝2對(duì)稱．設(shè)直線PA的斜率為k1，則直線AQ的斜率為k2.k1=k1+k2=化為(x?2+2)28+(y?1+1)22化(x?2)m直線方程與橢圓聯(lián)立：“1”的整體代換進(jìn)行齊次化(x?2)1兩邊同時(shí)除以x?21巧妙之處在于發(fā)現(xiàn)PA的斜率為k1、直線AQ的斜率為k1k1+k2=?n代入直線方程：?此時(shí)直線斜率為1例2（2017全國(guó)卷）設(shè)A，B為曲線C:y=x求直線AB的斜率；設(shè)M為曲線C上一點(diǎn)，C在M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程。分析：設(shè)Ax1,y1kAM解：（1）略解，得直線AB的斜率為1（2）設(shè)M(xM,yM),由y'=設(shè)直線AB的方程為m(x?2)+n(y?1)=1，因?yàn)橹本€AB的斜率為1，易得m=-n由y=x24，變形為(y?1+1)=4(y?1)=聯(lián)立直線AB，齊次化得4y?14n(y?1)2得：4n因?yàn)锳M⊥BM，所以kAM4m?4n=?1,聯(lián)立m=?n4m?4n=?1,求得m=?m(x?2)+n(y?1)=1，得直線AB得方程為x?y+7=0.重心放在過程分析上，針對(duì)題目中每一個(gè)環(huán)節(jié)反復(fù)地進(jìn)行比較、分析，培養(yǎng)學(xué)生會(huì)獨(dú)立思考、真正會(huì)解題的能力。重點(diǎn)從轉(zhuǎn)化和運(yùn)算這兩個(gè)方面，進(jìn)而幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)重點(diǎn)，特別強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生選擇最佳的運(yùn)算途徑，不斷優(yōu)化自己的運(yùn)算策略，從而形成較為簡(jiǎn)潔的運(yùn)算思路．在教學(xué)過程中，留給學(xué)生充足的時(shí)間，多想、多算，不斷滲透數(shù)學(xué)直觀感受、數(shù)學(xué)抽象思維、邏輯推理技巧、數(shù)學(xué)運(yùn)算等眾多數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)以學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)為基礎(chǔ)，教師進(jìn)行針對(duì)性的教學(xué).首先，學(xué)生是學(xué)習(xí)及認(rèn)識(shí)的主體；其次，學(xué)生的學(xué)是教師教的出發(fā)點(diǎn)和歸宿.那么，如何激發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性呢？我認(rèn)為，問題的精心設(shè)計(jì)是前提，導(dǎo)學(xué)分析得當(dāng)是關(guān)鍵.數(shù)學(xué)家哈爾斯說：“問題是數(shù)學(xué)的心臟.”而我們遇到的圓錐曲線中的斜率概念是核心概念，它用代數(shù)形式刻畫了直線的位置，大多圓錐曲線的性質(zhì)都涉及斜率.其中，斜率之和（之積）為定值的問題在教材中經(jīng)常以例題的形式出現(xiàn)，但并沒有“點(diǎn)破”隱藏在問題背后的本質(zhì)規(guī)律，我們都知道要“用教材教”，那么，面對(duì)“還在迷惑”的學(xué)生，教師應(yīng)如何設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)怎樣的問題？才能激發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考，去探索，去一步步撥開迷霧，發(fā)現(xiàn)題目中隱藏的真相？結(jié)合實(shí)際中的教學(xué)嘗試和教學(xué)反思，認(rèn)為問題的設(shè)計(jì)要做到以下幾點(diǎn).1.將火力集中在題目的中心思想上去，不能“靈機(jī)一動(dòng)”斜率之積為定值的問題并不是教材所給的教學(xué)內(nèi)容，將這個(gè)問題滲透在平常的圓錐曲線教學(xué)中，碰到相關(guān)的問題時(shí)想到了就提一下，結(jié)果造成大面積學(xué)生理解不夠透徹，知識(shí)框架凌亂，碰到類似問題也不懂得應(yīng)用.容易出現(xiàn)教師自己感覺講了很多遍，但學(xué)生還是不清楚，教學(xué)效率低下的情況.與其這樣?xùn)|一榔頭西一棒子，還不如集中精神，設(shè)計(jì)好一系列相關(guān)問題，所以教學(xué)中要花費(fèi)兩課時(shí)的時(shí)間去給學(xué)生滲透，讓學(xué)生得到較為深刻的理解和記憶，而在平常碰到類似問題時(shí)，則適當(dāng)點(diǎn)撥提醒，鼓勵(lì)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)的新性質(zhì)解決問題.2.要“鋪設(shè)臺(tái)階”，不要“一步登天”大部分學(xué)生都覺得圓錐曲線問題難度較大，不少學(xué)生經(jīng)常逃避這類問題，因此在設(shè)計(jì)斜率之和（之積）為定值的問題時(shí)，從教材中的問題拋磚引玉提出，由特殊到一般，從具體到抽象，采用問題鏈的形式，多鋪設(shè)幾個(gè)臺(tái)階，讓盡量多的學(xué)生能跟上步驟，也保持學(xué)生進(jìn)一步探索的信心.筆者反對(duì)過早提出總結(jié)性的結(jié)論，因?yàn)檫@樣做會(huì)讓學(xué)生缺乏逐漸發(fā)現(xiàn)、逐漸認(rèn)識(shí)的過程，擺在學(xué)生面前的性質(zhì)結(jié)論只會(huì)成為空洞的、冷漠的一堆數(shù)學(xué)符號(hào)，教學(xué)效果可想而知.筆者也反對(duì)不顧學(xué)生的理解水平，拔高結(jié)論的理解層次.例如，本文所提的斜率之積問題，站在更高的角度看，是幾何中的仿射變換問題，但這對(duì)許多學(xué)生（個(gè)別尖子生除外）來說，不但超出了理解水平，增加了學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，還影響了其繼續(xù)學(xué)好解析幾何的信心.筆者認(rèn)為，通過在“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)不斷設(shè)計(jì)好問題，讓學(xué)生積極嘗試，發(fā)現(xiàn)性質(zhì)，并能用類比圓的思想來理解和記憶橢圓和雙曲線中的新性質(zhì)，就可以了.3.要“前后類比”，不要“顧此失彼”圓錐曲線中斜率之積為定值的性質(zhì)比較多，橢圓和雙曲線中都有性質(zhì)，并且既有弦的情形，又有切線的情形，倘若不注意，不從諸多性質(zhì)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)和難易變化中精心設(shè)計(jì)問題的順序排布，則容易讓學(xué)生產(chǎn)生混淆，顧此失彼，也記不牢.特別是圓錐曲線中斜率之積問題的專題教學(xué)存在學(xué)習(xí)難度較大、結(jié)論較多情況，所以教師在“導(dǎo)學(xué)”過程中應(yīng)注意以下幾點(diǎn).（1）要注意數(shù)形結(jié)合思想的強(qiáng)調(diào).（2）宜借助信息技術(shù)來輔助教學(xué).（3）引導(dǎo)學(xué)生從一般和特殊的聯(lián)系觀點(diǎn)來思考問題.（4）應(yīng)注重學(xué)習(xí)的螺旋式上升，避免揠苗助長(zhǎng).圓錐曲線中斜率之和（之積）為定值的問題屬于難度較大的教學(xué)內(nèi)容，預(yù)設(shè)得再好，在實(shí)際教學(xué)中也可能出現(xiàn)預(yù)想不到的困難.預(yù)設(shè)問題碰到學(xué)生冷場(chǎng)時(shí)，可以適當(dāng)調(diào)整問題難度，退到較為簡(jiǎn)單的特殊情形，喚醒學(xué)生的思維，等待學(xué)生意識(shí)到前后兩個(gè)問題間存在某種關(guān)聯(lián)時(shí)，再次對(duì)原預(yù)設(shè)問題進(jìn)行攻堅(jiān)突破，這也是一種以退為進(jìn)的策略.當(dāng)然，若是退一步，學(xué)生還接受不了，則應(yīng)戰(zhàn)略性地放棄，將寶貴的教學(xué)時(shí)間放在其他問題的突破上，因?yàn)橛猩岵庞械?例如，在本課例的設(shè)計(jì)中，部分例題和變式題的難度較大，部分學(xué)生一下子接受不了很正常，可以先放一放，讓學(xué)生在后續(xù)的學(xué)習(xí)中再慢慢消化，融會(huì)貫通[1]傅毓?jié)?郭守靜.指向核心素養(yǎng)的解題策略研究——