五年級奧數(shù)教案第4講：數(shù)陣

（五年級）備課教員：***

第四講數(shù)陣

1.五年級奧數(shù)教案第4講：數(shù)陣

知識目標

陣。

一、教學(xué)目標：1.通過數(shù)陣的學(xué)習(xí)，體會倒推法和排除法的靈活

能力目標

運用，有條理地進行思考和推理的能力。

1.通過對數(shù)陣的探究，提高對數(shù)字規(guī)律探索的興

情感目標

趣,并發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的邏輯之美。

二、教學(xué)重點：讓學(xué)生掌握一些較簡單的幻方和數(shù)陣解題方法。

三、教學(xué)難點：訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，形成自己的邏輯思考方法。

四、教學(xué)準備：PPT

五、教學(xué)過程:

第一課時（50分鐘）

一、導(dǎo)入（5分）

【設(shè)計意圖：結(jié)合大禹的故事案例，培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)良的傳統(tǒng)美德一一艱苦奮斗、大

公無私，從而引出大禹治水過程中發(fā)現(xiàn)“神龜”的故事，介紹聞名于世的“洛書”

圖案的含義，并激發(fā)學(xué)生對幻方和數(shù)陣的探索興趣?！?/p>

師：同學(xué)們，你們還記得大禹的故事嗎？

生：知道，三過家門而不入。

師：嗯，誰來講講大禹三過家門而不入的故事？

生：...

師：不錯，他在治水中表現(xiàn)出了哪些高貴的傳統(tǒng)美德呢？

生：...

師：老師也非常崇拜大禹。同學(xué)們，我們要不要一起做個像大禹一樣的偉人?。?/p>

生：要。

師：大禹治水的故事不僅僅是三過家門而不入,老師還知道一個有趣的故事，

睜大你們的眼睛,請看！

（出示PPT）

這是什么？

生：烏龜。

師：對，老師今天講的故事就是跟烏龜有關(guān)。

一天,大禹照常帶領(lǐng)著民眾去治水。他們路過洛河的時候,突然風(fēng)起云涌,河

面一陣翻滾,大禹以為剛治好的水患,現(xiàn)在又要引起水災(zāi)了。片刻后，河面恢復(fù)了

寧靜,大禹虛驚了一場,這時候從中慢慢浮起了一只大烏龜，足足有小孩子那么

大...

你們看，就是這只大烏龜！它的背上呢，有個神奇的圖。想看嗎？

生：想。

（出示PPT）

師：同學(xué)們，看出來這是什么圖了嗎？數(shù)數(shù)上面圓的個數(shù)。

生：老師,這是個幻方。

師：今天我們就來學(xué)習(xí)幻方演變而來的數(shù)陣,它跟幻方同樣充滿奧妙和樂趣。

【探究新知，引入新課：

四年級的時候,我們學(xué)習(xí)了奇數(shù)階幻方,簡單的復(fù)習(xí)后,我們就可以開始進

一步學(xué)習(xí)由幻方思想演變而來的填數(shù)問題：數(shù)陣?！?/p>

【板書課題：數(shù)陣】________________________________________________________

二、探索發(fā)現(xiàn)授課（40分）

（一）例題1：（10分）

將1?9這九個數(shù)填在下圖正方形的九個方格中,使得每個橫行、豎行和對

角線上三個數(shù)的和都相等。

講解重點：復(fù)習(xí)簡單的幻方,知道什么叫做幻和和階數(shù)，以及求奇數(shù)階幻方的方

法,引導(dǎo)求幻方的思想到數(shù)陣。

師：同學(xué)們，這個圖案是不是跟烏龜上的圖案是一樣的？

生：...

師：不錯，它是個三階幻方，同學(xué)們還記得什么是階數(shù)嗎？

生：...

師：是的，每一行或者每一列有幾個數(shù)就叫幾階幻方。我們常把幻方分成兩種。

一種是奇數(shù)階幻方，比如本題的幻方,一種是偶數(shù)階幻方。同學(xué)們還記得

奇數(shù)階幻方的求解方法嗎？

生：...

師：看來同學(xué)們的記性相當(dāng)好哦,動動你的筆,把這個幻方求出來吧！

（三階幻方是最簡單的幻方,只要給學(xué)生時間,學(xué)生就能湊出來）

師：看來同學(xué)們都做出來了，非常棒！請一位同學(xué)來說下你是怎么做的？

生：...

師：同學(xué)們還有其它方法嗎？

生：...

師：各位同學(xué)都說得非常好,老師來總結(jié)一下,這9個數(shù)的和是多少？

生：45o

師：對,總和是45,那它的幻和是多少？

（四年級春季教材已經(jīng)系統(tǒng)地學(xué)習(xí)過幻方,沒有學(xué)習(xí)的學(xué)生可以簡單地指導(dǎo)下，

每一行或每一列的和是幻和）

生：454-3=15

師：用它們的總和除以階數(shù)，就能得出該幻方的幻和。中心數(shù)就是15+3=5,把

5填在中心,那其它數(shù)怎么填呢？

生：...

師：看來同學(xué)們都是用湊的方法，那老師來教一個簡單的方法。我們把最小的

一個數(shù)1填在第一行的中間位置，與中心數(shù)5差1的,4、6填在右斜線的

2個角上,其它數(shù)知道怎么填了嗎？

（幻方是軸對稱圖形,數(shù)字旋轉(zhuǎn)后位置上發(fā)生變化，但本質(zhì)上還是原來的幻方）

生：幻和是15,老師我知道怎么填了。

師：不錯,那么請一位同學(xué)把剩下的數(shù)字填寫完整。

師：下面的練習(xí)同學(xué)們動手按照老師的方法做做看,然后我們就要開啟更有趣

的數(shù)陣挑戰(zhàn)了。

練習(xí)1：（5分）

將7、9、11、13、15、17、19、21、23這九個數(shù)填入下列正方形的九個方

格中,使得每個橫行、豎行和對角線上三個數(shù)的和都相等。

分析：

先求出幻和、中心數(shù)，然后依次把最小的數(shù)和與中心數(shù)相鄰的2個數(shù)依次

填上,填寫其它數(shù)就非常簡單了。

板書：

H15

233

（二）例題2：（10分）

將1?6這六個數(shù)分別填入下圖的。里,使每邊上三個O內(nèi)的和相等。

講解重點：讓學(xué)生會用總和的方法填寫數(shù)陣，復(fù)習(xí)下數(shù)陣中常用的等差公式,讓

學(xué)生體會數(shù)字的神奇。

師：例題1中我們運用到了先算出總和的方法求出幻和、中心數(shù)，那么本題

的總和是多少呢？誰能第一個告訴老師,獎勵5個大拇指？

生：1+2+3+4+5+6=21。

師：這是個等差數(shù)列,誰還記得等差公式？

生：...

師：這位同學(xué)非常棒,也獎勵5個大拇指，所以1+2+3+4+5+6=(1+6)X6+2=21。

那我們再來觀察一下這個數(shù)陣,從題目中給出了什么要求？

生：每邊上的三個。的和相等。

師：每邊上的三個。的和相等，等于多少？

生：老師，不知道。

師：是的,那我們把頂點。的數(shù)標記為a、b、c,其它三個數(shù)標記為d、e、fo

那么每邊上三個。的和相等,用字母表示可以轉(zhuǎn)換成什么？

生：a+b+d=a+c+e=b+c+f0

師：看來同學(xué)們都會用代數(shù)的方法表示了，我們再把每一行的數(shù)加起來看看。

生：...

板書：

a+b+d+a+c+e+b+c+f=a+b+c+d+e+f+a+b+c

師：我們可以發(fā)現(xiàn),a+b+c+d+e+f就是21,那剩下的a、b、c三個頂點的數(shù)是

多少呢？

生：...

師：不錯,好像是沒有其它條件了，那我們再把題目仔細看看,每邊上的三個

。的和相等,那它們相加的和是每邊上的和的3倍嗎？

生：是的。

師：21是3的倍數(shù)，那么a+b+c是誰的倍數(shù)嗎？

生：3的倍數(shù)。

師：這位同學(xué)們做到了舉一反三，真棒！1?6中3個數(shù)之和是3的倍數(shù)，有哪

些組合？

生:(1,2,3),(1,2,6),(1,3,5),(2,3,4),(1,5,6),

(2,4,6),(3,4,5),(4,5,6)。

師：所以它們每條邊和的總和是不是可以求出來了？

生：是的。

師：那么每條邊的和是多少？(1,2,3)這組是多少？

生：9o

師：不錯,那它們都對嗎，我們來試下填寫完整。老師做前面2個，這組的同

學(xué)(1,3,5),(2,3,4),(1,5,6)，那組的同學(xué)(2,4,6),

(3,4,5),(4,5,6)，比一比，看誰做填得快？

生：...

師：同學(xué)們，告訴老師結(jié)果,都是對的嗎？老師這里(1,2,6)可是不對的哦!

生：我這里(1,5,6),(2,3,4)是不對的、(3,4,5)是不對的。

師：所以剩下的就是(1,2,3),(1,3,5),(2,4,6),(4,5,6)。

師：同學(xué)們，看看老師列出的數(shù)陣，還發(fā)現(xiàn)什么了嗎？

生：(1,2,3)和(4,5,6)>(1,3,5)和(2,4,6)剛好是這6個數(shù)。

它們還是個等差數(shù)列。

師：看來任何規(guī)律都逃不了你們的火眼金睛,那你們有膽量挑戰(zhàn)練習(xí)2嗎？

練習(xí)2：(5分)

將1?9這九個數(shù)分別填入下圖的。里,使每邊上四個。內(nèi)的和都是17。

分析：

總數(shù)是1+2+3……9=45,每邊和的總和是17X3=51,可以求出3個頂點數(shù)的和

是51-45=6,這3個數(shù)只能是1、2、3o

1.理解幻方里總和、幻和、階數(shù)的概念，總和=幻和X階數(shù)，奇數(shù)階幻方中心

數(shù)=幻和+階數(shù)。

2.解決封閉數(shù)陣的時候，學(xué)會用總和的思想求頂點數(shù)，同時利用自然數(shù)、倍數(shù)

等數(shù)的特性輔助求解,并對得出的組合逐一排除,最后得到正確答案。

第二課時（50分）

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入（3分）

【設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)能被2、3、5整除的數(shù)的特點，引出奇數(shù)、偶數(shù)，為下面的知

識點鋪墊】

師：同學(xué)們,上堂課中我們一直用到3的倍數(shù),能被3整除的數(shù)有什么特點嗎？

生：各個數(shù)位上的數(shù)相加的和能被3整除。

師：能被5整除呢？

生：個位上的數(shù)字是0或者5。

師：能被2整除的數(shù)呢？

生：個位上的數(shù)是2、4、6、8、0o

師：嗯,不錯哦，能被2整除的數(shù)又叫做什么數(shù)？

生：偶數(shù)。

師：那么偶數(shù)的約數(shù)必然是有1、2和它本身。

生：是的。

師：看來同學(xué)們都理解了一些數(shù)的特性,在解決數(shù)陣的時候我們經(jīng)常會用到這

些特性,那我們繼續(xù)來學(xué)習(xí)數(shù)陣吧！

二、探索發(fā)現(xiàn)授課（42分）

（一）例題3：（10分）

把7?12這6個數(shù)分別填入下面的圓圈內(nèi),使每條直線上的三個圓內(nèi)之和

相等,且最大。

講解重點：繼續(xù)運用總和的思想求每邊公共的數(shù),并學(xué)會合理地分析排除，得出

正確結(jié)果。

師：同學(xué)們，本題中有頂點嗎？

生：沒有。

師：雖然本題沒有頂點，每條直線上的數(shù)有共同的數(shù)嗎？

生：有，中間3個。

師：不錯,我們把這三個數(shù)記住a、b、co那么a這個點被計算了幾次呢？

（出示PPT）

生：計算了2次。

師：b點和c點呢？

生：也被計算了2次。

師：所以我們可以知道總和是多少？

生：7+8+...+12+a+b+c0

師：57+a+b+c,這里也是三條直線相加的和。所以這個和是不是3的倍數(shù)？

生：是的。

師：那么a+b+c是3的倍數(shù)。再看看條件,要使得每條直線上的3個圓內(nèi)之和

最大,實際上就是……

生：a+b+c最大。

師：a+b+c最大,它們的和還是3的倍數(shù),這6個數(shù)中是哪3個數(shù)？最快想到的

同學(xué)獎勵3個大拇指。

（通過不斷刺激學(xué)生的競爭,激發(fā)學(xué)生的興趣,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感）

生：10、11、12o

師：非常棒，獎勵3個大拇指！中間三個數(shù)知道了，其它數(shù)怎么填？請剛才那

位同學(xué)來寫一下，下面同學(xué)也一起填，比一比看誰填得快！

練習(xí)3：（5分）

將1?9九個自然數(shù)分別填入下圖的九個小三角形中,使靠近大三角形每條

邊上的五個數(shù)的和相等,并且盡可能大,這五個數(shù)之和最大是多少？

分析：

求和的時候每邊頂點上的相鄰的兩個數(shù)是共同數(shù),再根據(jù)五個數(shù)之和最大

及倍數(shù)關(guān)系得出只被計算了一次且不是相鄰的3個數(shù)是1、2、3,然后依次填寫

出其它數(shù)。

板書：

（二）例題4：（12分）

圖中填入五個不同的質(zhì)數(shù),要使橫行、豎行的三個數(shù)的和都是28,可以怎么

講解重點：理解質(zhì)數(shù)與奇數(shù)偶數(shù)結(jié)合產(chǎn)生的數(shù)的特點，并巧填數(shù)陣。

師：你們還記得什么是質(zhì)數(shù)嗎？

（有些版本的進度上還沒有學(xué)習(xí)，老師可以進行簡單地授新）

生：...

師：只能被1或者本身整除的自然數(shù)我們叫它為質(zhì)數(shù)，比如5、11,同學(xué)還能說

出其它質(zhì)數(shù)嗎？

生：……（有些同學(xué)會說1,出現(xiàn)這樣的情況下科學(xué)規(guī)定1不是質(zhì)數(shù)）

師：同學(xué)都理解了質(zhì)數(shù),那你們還記得什么是奇數(shù)和偶數(shù)嗎？

生：...

師：同學(xué)們的記憶力都相當(dāng)?shù)冒?。偶?shù)都是2的倍數(shù)，那么偶數(shù)能被1、2和本

身整除,那偶數(shù)都不是質(zhì)數(shù)嗎？

生：是的。

師：但是老師存在疑問了，2是質(zhì)數(shù)嗎？

生：...

（讓學(xué)生進行簡單的討論,明確告訴他們只有偶數(shù)2是質(zhì)數(shù),符合質(zhì)數(shù)的定義）

師：我們再回頭看看題目，要使橫行、豎行的三個數(shù)的和都是28,說明3個數(shù)

相加是偶數(shù)。什么情況下,3個數(shù)相加是偶數(shù)？

生：偶數(shù)+偶數(shù)+偶數(shù)、奇數(shù)+偶數(shù)+奇數(shù)。

師：看來只有2種情況下,3個數(shù)相加是偶數(shù),那么題目中還告訴我們這5個數(shù)

是質(zhì)數(shù),所以偶數(shù)+偶數(shù)+偶數(shù)這種情況可能嗎？

生：不可能。

師：所以唯一的一個偶數(shù)是多少？

生：2。

師：不錯,那這個2要填在哪？

生：中間。

師：中間的數(shù)出來了，那剩下2個數(shù)的和就是……

生:28-2=26o

師：兩個質(zhì)數(shù)相加是26的組合有哪些？

(給同學(xué)時間自己列出來,并進一步理解質(zhì)數(shù),鞏固知識)

看來什么難題都難不到你們，請這位最快完成的同學(xué)來說下？

生：(3,23)(7,19)

(有些同學(xué)會說出11、15等不是質(zhì)數(shù)的組合，老師要進一步對概念進行講解)

板書：

練習(xí)4：(5分)

圖中五個數(shù)都是不同的質(zhì)數(shù)，其中的四個數(shù)都在60?90之間，要使橫行、豎

行的三個數(shù)的和都是152,可以怎么填？

分析：

唯一的偶數(shù)是質(zhì)數(shù)的是2,那么另外2個質(zhì)數(shù)之和是150o

板書：

(61,2,89)、(67,2,83)、(71,2,79)三種組合。

例題5：(選講)

將1?9這九個數(shù)分別填入下圖的。里,使外三角形邊上。內(nèi)數(shù)之和等于里

面三角形邊上。內(nèi)數(shù)之和。

講解重點：繼續(xù)用求總和的方式解決數(shù)陣,在較復(fù)雜的題型中培養(yǎng)學(xué)生堅韌不拔

的品質(zhì)，讓學(xué)生獲得解決數(shù)學(xué)問題的成就感。

(請一位同學(xué)讀題)

師：同學(xué)們,用你們的火眼金睛看看，圖中哪幾個點計算和的時候用到了2