五年級奧數(shù)數(shù)論數(shù)的整除、約數(shù)倍數(shù)（C級）

數(shù)的整除、約數(shù)倍數(shù)

'J課前預(yù)習(xí)

“0”

大約1500年前，歐洲的數(shù)學(xué)家們是不知道用“0”的。他們使用羅馬數(shù)字。羅馬數(shù)字是用幾個表示數(shù)的符

號，按照一定規(guī)則，把它們組合起來表示不同的數(shù)目。在這種數(shù)字的運用里，不需要“0”這個數(shù)字。

而在當(dāng)時，羅馬帝國有一位學(xué)者從印度記數(shù)法里發(fā)現(xiàn)了“0”這個符號。他發(fā)現(xiàn)，有了“0”，進(jìn)行數(shù)學(xué)運算

方便極了，他非常高興，還把印度人使用“0”的方法向大家做了介紹。過了一段時間，這件事被當(dāng)時的羅馬

教皇知道了。當(dāng)時是歐洲的中世紀(jì)，教會的勢力非常大，羅馬教皇的權(quán)利更是遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過皇帝。教皇非常惱

怒，他斥責(zé)說，神圣的數(shù)是上帝創(chuàng)造的，在上帝創(chuàng)造的數(shù)里沒有“0”這個怪物，如今誰要把它給引進(jìn)來，誰

就是褻瀆上帝！于是，教皇就下令，把這位學(xué)者抓了起來，并對他施加了酷刑，用夾子把他的十個手指頭

緊緊夾注，使他兩手殘廢，讓他再也不能握筆寫字。就這樣，“0”被那個愚昧、殘忍的羅馬教皇明令禁止了。

但是，雖然“0”被禁止使用，然而羅馬的數(shù)學(xué)家們還是不管禁令，在數(shù)學(xué)的研究中仍然秘密地使用“0”,

仍然用“0”做出了很多數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)。后來“0”終于在歐洲被廣泛使用，而羅馬數(shù)字卻逐漸被淘汰了。

J知識框架

一'常見數(shù)字的整除判定方法：

1.一個數(shù)的末位能被2或5整除，這個數(shù)就能被2或5整除；

2.一個數(shù)的末兩位能被4或25整除，這個數(shù)就能被4或25整除；

3.一個數(shù)的末三位能被8或125整除，這個數(shù)就能被8或125整除；

4.一各位數(shù)數(shù)字和能被3整除，這個數(shù)就能比9整除；

5.一個數(shù)各位數(shù)數(shù)字和能被9整除，這個數(shù)就能被9整除；

6.如果一個整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差能被11整除，那么這個數(shù)能被

11整除.

7.1001特征（家有三子7、11、13）

一個數(shù)除以7的余數(shù)，其末三位與前面隔開，等于末三位與前面隔出數(shù)的差除以7的余數(shù)；

一個數(shù)除以11的余數(shù)，其末三位與前面隔開，等于末三位與前面隔出數(shù)的差除以11的余數(shù)；

或者，其奇數(shù)位數(shù)字之和（從個位往高位數(shù)，個位為第1位，即為奇數(shù)位）減去偶數(shù)位數(shù)字之和所得的差

除以11的余數(shù)；

一個數(shù)除以13的余數(shù)，其末三位與前面隔開，等于末三位與前面隔出數(shù)的差（大減小）能被13整除；

【備注】（以上規(guī)律僅在十進(jìn)制數(shù)中成立.）

二'整除性質(zhì)

性質(zhì)1如果數(shù)a和數(shù)b都能被數(shù)c整除，那么它們的和或差也能被c整除.即如果c|a,

c|b,那么c|（a+b）.

性質(zhì)2如果數(shù)a能被數(shù)b整除，b又能被數(shù)c整除，那么a也能被c整除.即如果b|a,

c|b,那么c|a.

用同樣的方法，我們還可以得出：

性質(zhì)3如果數(shù)a能被數(shù)b與數(shù)c的積整除，那么a也能被b或c整除.即如果beIa,那

么b|a,cIa.

性質(zhì)4如果數(shù)a能被數(shù)b整除，也能被數(shù)c整除，且數(shù)b和數(shù)c互質(zhì)，那么a一定能被b

與c的乘積整除.即如果b|a,c|a,且(b,c)=l,那么beIa.

例如：如果3|12,4|12,且(3,4)=1,那么(3x4)|12.

性質(zhì)5如果數(shù)a能被數(shù)b整除，那么am也能被bm整除.如果b|a,那么bm|am(m為非0

整數(shù))；

性質(zhì)6如果數(shù)a能被數(shù)b整除，且數(shù)c能被數(shù)d整除，那么bd也能被ac整除.如果bIa,且

d|c,那么acIbd；

三、質(zhì)數(shù)與合數(shù)

一個數(shù)除了1和它本身，不再有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做質(zhì)數(shù)(也叫做素數(shù)).一個數(shù)除了1和它本身,

還有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù).

要特別記?。?。和1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù).

常用的100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、

61、67、71、73、79、83、89、97,共計25個；除了2其余的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)；除了2和5,其余

的質(zhì)數(shù)個位數(shù)字只能是1,3,7或9.

考點：⑴值得注意的是很多題都會以質(zhì)數(shù)2的特殊性為考點.

⑵除了2和5,其余質(zhì)數(shù)個位數(shù)字只能是1,3,7或9.這也是很多題解題思路，需要大家注意.

四、質(zhì)因數(shù)與分解質(zhì)因數(shù)

1.質(zhì)因數(shù)：如果一個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么就說這個質(zhì)數(shù)是這個數(shù)的質(zhì)因數(shù).

互質(zhì)數(shù)：公約數(shù)只有1的兩個自然數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù).

分解質(zhì)因數(shù)：把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù).

例如：30=2x3x5淇中2、3、5叫做30的質(zhì)因數(shù).又如12=2x2x3=2?x3,2、3都叫做例的質(zhì)

因數(shù)，其中后一個式子叫做分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式，在求一個數(shù)約數(shù)的個數(shù)和約數(shù)的和的時候都要

用到這個標(biāo)準(zhǔn)式.分解質(zhì)因數(shù)往往是解數(shù)論題目的突破口，因為這樣可以幫助我們分析數(shù)字的特征.

2.唯一分解定理

任何一個大于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即：n=p^xp^xp^xxp?

其中為質(zhì)數(shù)，?!<?2<為自然數(shù)，并且這種表示是唯一的.該式稱為n的質(zhì)因子分解式.

例如：三個連續(xù)自然數(shù)的乘積是210,求這三個數(shù).

分析：；210=2x3x5x7,...可知這三個數(shù)是5、6和7.

3.部分特殊數(shù)的分解

111=3x37；1001=7x11x13；11111=41x271；10001=73x137；1995=3x5x7x19；

1998=2x3x3x3x37；2007=3x3x223；2008=2x2x2x251；10101=3x7x13x37.

4.判斷一個數(shù)是否為質(zhì)數(shù)的方法

根據(jù)定義如果能夠找到一個小于P的質(zhì)數(shù)q(均為整數(shù))，使得q能夠整除P，那么P就不是質(zhì)數(shù)，

所以我們只要拿所有小于P的質(zhì)數(shù)去除P就可以了；但是這樣的計算量很大，對于不太大的p,我

們可以先找一個大于且接近P的平方數(shù)K?，再列出所有不大于K的質(zhì)數(shù)，用這些質(zhì)數(shù)去除p,如

沒有能夠除盡的那么p就為質(zhì)數(shù).

例如：149很接近144=12x12,根據(jù)整除的性質(zhì)149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是質(zhì)

數(shù).

五、約數(shù)的概念與最大公約數(shù)

0被排除在約數(shù)與倍數(shù)之外

1.求最大公約數(shù)的方法

①分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來.

例故口：231=3x7x11,252=22X32X7,所以（231,252）=3x7=21;

2|1812

②短除法：先找出所有共有的約數(shù)，然后相乘.例如：3|96,所以（12,18）=2x3=6;

32

③輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù).用輾轉(zhuǎn)

相除法求兩個數(shù)的最大公約數(shù)的步驟如下：先用小的一個數(shù)除大的一個數(shù)，得第一個余數(shù)；再用第一個余

數(shù)除小的一個數(shù)，得第二個余數(shù)；又用第二個余數(shù)除第一個余數(shù)，得第三個余數(shù)；這樣逐次用后一個余數(shù)

去除前一個余數(shù)，直到余數(shù)是0為止.那么，最后一個除數(shù)就是所求的最大公約數(shù).（如果最后的除數(shù)是1,

那么原來的兩個數(shù)是互質(zhì)的）.

例如，求600和1515的最大公約數(shù)：1515-600=2315;600-315=1285;315+285=130;

285+30=915;30+15=20;所以1515和600的最大公約數(shù)是15.

2.最大公約數(shù)的性質(zhì)

①幾個數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個商是互質(zhì)數(shù)；

②幾個數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)；

③幾個數(shù)都乘以一個自然數(shù)〃，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個數(shù)的最大公約數(shù)乘以”.

3.求一組分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)

先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，其他分?jǐn)?shù)不變；求出各個分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)a;求出各個分?jǐn)?shù)的分子的

h

最大公約數(shù)b;—即為所求.

六'倍數(shù)的概念與最小公倍數(shù)

1.求最小公倍數(shù)的方法

①分解質(zhì)因數(shù)的方法；

例如：231=3x7x11,252=22X32X7,所以[231,252]=x32義7xl1=2772;

②短除法求最小公倍數(shù)；

2|1812

例如：3|96,所以[18,12]=2乂3乂3乂2=36；

32

③[a,b]=廣]

(a,b)

2.最小公倍數(shù)的性質(zhì)

①兩個數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù).

②兩個互質(zhì)的數(shù)的最小公倍數(shù)是這兩個數(shù)的乘積.

③兩個數(shù)具有倍數(shù)關(guān)系，則它們的最大公約數(shù)是其中較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是較大的數(shù).

3.求一組分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)方法步驟

先將各個分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)；求出各個分?jǐn)?shù)分子的最小公倍數(shù)。；求出各個分?jǐn)?shù)分母的最大公約數(shù)6；-

口左一「

即為所求.例如：[―3,—5r]=-[~3,5]—=一15

412(4,12)4

注意：兩個最簡分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)不能是整數(shù)，最小公倍數(shù)可以是整數(shù).例如：[1,-1=^4=4

[23J(2,3)

七'最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的常用性質(zhì)

1.兩個自然數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，所得的商互質(zhì)。

如果根為A、B的最大公約數(shù)，且A=ma,B=mb，那么。、b互質(zhì)，所以A、B的最小公倍數(shù)為mab,

所以最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)有如下一?些基本關(guān)系：

M|AB

ab

①AxB=ma義mb=mxmab,即兩個數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之積等于這兩個數(shù)的積；

②最大公約數(shù)是A、B、A+B,A-3及最小公倍數(shù)的約數(shù).

2.兩個數(shù)的最大公約和最小公倍的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。

即(a,6)x[q,6]=ox6,此性質(zhì)比較簡單，學(xué)生比較容易掌握。

3.對于任意3個連續(xù)的自然數(shù)，如果三個連續(xù)數(shù)的奇偶性為

a)奇偶奇，那么這三個數(shù)的乘積等于這三個數(shù)的最小公倍數(shù)

例如：5x6x7=210,210就是567的最小公倍數(shù)

b)偶奇偶，那么這三個數(shù)的乘積等于這三個數(shù)最小公倍數(shù)的2倍

例如：6x7x8=336,而6,7,8的最小公倍數(shù)為336+2=168

性質(zhì)(3)不是一個常見考點，但是也比較有助于學(xué)生理解最小公倍數(shù)與數(shù)字乘積之間的大小關(guān)系，即

“幾個數(shù)最小公倍數(shù)一定不會比他們的乘積大”。

八'求約數(shù)個數(shù)與所有約數(shù)的和

1.求任一整數(shù)約數(shù)的個數(shù)

一個整數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是在對其嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后，將每個質(zhì)因數(shù)的指數(shù)(次數(shù))加1后所得的乘積。

如:1400嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)之后為23*52*7,所以它的約數(shù)有(3+l)x(2+l)x(l+l)=4x3x2=24個。(包括1

和1400本身)

約數(shù)個數(shù)的計算公式是本講的一個重點和難點，授課時應(yīng)重點講解，公式的推導(dǎo)過程是建立在開篇講

過的數(shù)字“唯一分解定理''形式基礎(chǔ)之上，結(jié)合乘法原理推導(dǎo)出來的，不是很復(fù)雜，建議給學(xué)生推導(dǎo)并要求其

掌握。難點在于公式的逆推，有相當(dāng)一部分?？嫉钠y題型考察的就是對這個公式的逆用，即先告訴一個

數(shù)有多少個約數(shù)，然后再結(jié)合其他幾個條件將原數(shù)“還原構(gòu)造''出來，或者是“構(gòu)造出可能的最值”。

2.求任一整數(shù)的所有約數(shù)的和

一個整數(shù)的所有約數(shù)的和是在對其嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后，將它的每個質(zhì)因數(shù)依次從1加至這個質(zhì)因數(shù)的

最高次需求和，然后再將這些得到的和相乘，乘積便是這個合數(shù)的所有約數(shù)的和。

故口：21000=23X3X53X7,所以21000所有約數(shù)的和為

(1+2+22+23)(1+3)(1+5+52+53)(1+7)=74880

此公式?jīng)]有第一個公式常用，推導(dǎo)過程相對復(fù)雜，需要許多步提取公因式，建議幫助學(xué)生找規(guī)律性的

記憶即可。

重難點

V-------------------------------------)

重點：

1、熟悉和掌握常見數(shù)字的整除判定特性，在這個基礎(chǔ)上對沒有整除判定特性的數(shù)字可以將其轉(zhuǎn)化為幾

個有整除判定特性的數(shù)字乘積形式來分析其整除性質(zhì)。

2、分解質(zhì)因數(shù)法是一個數(shù)論重點方法，本講另一個授課重點在于讓孩子對這個方法能夠熟練并且靈活

運用。

3、本講中的知識點并不難理解，對于約數(shù)、最大公約數(shù)；倍數(shù)、最小公倍數(shù)的定義我們在學(xué)校的課本

上都已經(jīng)學(xué)習(xí)過，所以重點在于一些性質(zhì)的應(yīng)用，完全平方數(shù)在考試中經(jīng)常出現(xiàn)，所以對于平方差公式還

有一些主要性質(zhì)一定要記住.

難點：

’：、在將數(shù)字的整除性上升到字母和代數(shù)式的整除性上，這個對與學(xué)生的代數(shù)思維是一個良好的訓(xùn)也是

一個不小的挑戰(zhàn)。

2、在對質(zhì)數(shù)和合數(shù)的基本認(rèn)識，在這個基礎(chǔ)之上能夠會與之前的一些知識點結(jié)合運用。

3、核心目標(biāo)是讓孩子對數(shù)字的本質(zhì)結(jié)構(gòu)有一個深入的認(rèn)識，即所謂的整數(shù)唯一分解定理，教師可以在

課前讓學(xué)生練習(xí)幾個兩位或三位整數(shù)的分解，然后幫學(xué)生做一個找規(guī)律式的不完全歸納，讓學(xué)生自己初步

領(lǐng)悟“原來任何一個數(shù)字都可以表示為又△☆x...xAA的結(jié)構(gòu),，

'J例題精講

【例1】已知九位數(shù)2007口1202既是9的倍數(shù)，又是11的倍數(shù)；那么，這個九位數(shù)是多少？

【考點】數(shù)的整除【難度】☆☆☆【題型】解答

【解析】設(shè)原數(shù)=200&出，:9|2007a設(shè)62=>a+6=4或者a+b=13,V11120073262=>

2+0+a+2+2-(0+7+1+/)=0或者(0+7+1+6)-(2+2+。+0+2)=11=a—6=2或者6—a=9根

,“，工.,,6fa+6=4.=3.fa+Z?=13.fa=2_1..

據(jù)兩數(shù)和差同奇偶，得：1或者>\不成立.所以，

[a-b=2[b=l[b-a=9(b=ll

20073262=200731212.

【答案】

(1)3,1

【鞏固】已知四十一位數(shù)55...5口99...9(其中5和9各有20個)能被7整除，那么中間方格內(nèi)的數(shù)字是多

少？

【考點】數(shù)的整除【難度】☆☆☆【題型】解答

【解析】我們知道abcabc這樣的六位數(shù)一定能整除7、11、13原41位數(shù)中從高位數(shù)起共有20個5,從低

位數(shù)起共有20個9,那么我們可以分別從低位和高位選出555555,和999999,從算式的結(jié)構(gòu)上將就是進(jìn)行

加法的分拆,即：555555x10...00(35個0)+555555x10...00(29個0)+…+5分99+999999/10…00(12個

0)+…+999999.這個算式的和就是原來的41位數(shù)，我們可以發(fā)現(xiàn)每一組含有555555或999999因數(shù)的部分都

已經(jīng)是7的倍數(shù)，唯獨剩余55口99待定，那么只要令55口99是7的倍數(shù)即可，即只要口44是7的倍數(shù)即可，

□應(yīng)為6

【答案】

(1)6

[例2]在六位數(shù)11口口11中的兩個方框內(nèi)各填入一個數(shù)字，使此數(shù)能被17和19整除，那么方框中的兩位

數(shù)是多少？

【考點】數(shù)的整除【難度】☆☆【題型】解答

【解析】采用試除法.設(shè)六位數(shù)為llx1000N茄5(411=H001如超i如果一個數(shù)能同時被

17和19整除，那么一定能被323整除.110011+323=340191,余191也可以看成不足323-191=132.所

以當(dāng)茄面=132+323〃時，即罰55是100的倍數(shù)時，六位數(shù)才是323的倍數(shù).所以有323〃的末位只能是

10—2=8,所以n只能是6,16,26,驗證有〃=16時，132+323x16=5300,所以原題的方框中填入5,

3得到的115311滿足題意.

【答案】

(1)53

【鞏固】如果六位數(shù)1992口口能被105整除，那么它的最后兩位數(shù)是多少？

【考點】數(shù)的整除【難度】☆☆【題型】解答

【解析】因為105=3＜卜,所以這個六位數(shù)同時滿足能被3、7、5整除的數(shù)的特征即可.

方法一：利用整除特征

末位只能為0或5

①如果末位填入0,那么數(shù)字和為1+9+9+2+□+0=21+口，要求數(shù)字和是3的倍數(shù)，所以口

可以為0,3,6,9,驗證2001處9,230—199=31,260-199=61,290-199=91,

有91是7的倍數(shù)，即199290是7的倍數(shù)，所以題中數(shù)字的末兩位為90.

②如果末位填入5,同上解法，驗證沒有數(shù)同時滿足能被3、7、5整除的特征.

所以，題中數(shù)的末兩位只能是90

方法二：采用試除法

用199200試除，199200-105=189715,余15可以看成不足，105-15=90.所以補上90,即在末兩

位的方格內(nèi)填入90即可.

【例3】從0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個數(shù)字中選出五個不同的數(shù)字組成一個五位數(shù)，使它能被

3、5、7、13整除，這個數(shù)最大是多少？

【考點】數(shù)的整除【難度】☆☆【題型】解答

【解析】本題采用試除法。

因為3,5,7,13的最小公倍數(shù)為1365,在100000之內(nèi)最大的1365的倍數(shù)為99645

(100000-1365=73.......355,100000-355=99645),但是不符合數(shù)字各不相同的條件，于是繼續(xù)減1365

依次尋找第二大，第三大的數(shù)，看是否符合即可。

有99645-1365=98280,98280-1365=96915.96915-1365=95550.95550-1365=94185.

所以，滿足題意的5位數(shù)最大為94185.

【答案】

(1)94185

【鞏固】請求出最大的七位數(shù)，使得它能被3、5、7、11、13整除，且各位數(shù)字互不相同，這個七位數(shù)是

多少？

【考點】數(shù)的整除【難度】☆☆【題型】解答

【解析】解法一：

因為7x11x13=1001,999x1001=999999不是七位數(shù)，這個七位數(shù)是1001xabcd=abcd000+abcd,

如果c不是9,那么b就會重復(fù)，所以c=9,因為是5的倍數(shù)，所以d=5,要使最大，先假設(shè)a

=8時，b取8,5,2都不符合要求，當(dāng)a=7時，b取9,6,3,。中3符合要求，所以最大的是

7402395分析題意知，這個七位數(shù)是7x11x13=1001的倍數(shù)，根據(jù)1001的特點，

解法二：

假設(shè)這個七位數(shù)是abcdefg,滿足abed—efg=n00n,很容易得出c=0,f=9,b和e相差1,如果

g=0,那么a=d,所以g=5。假設(shè)a=8,那么d=3,b和e就是2,1或者7,6,經(jīng)檢驗都不符

合要求。假設(shè)a=7,那么d=2,b和e就是4,3,經(jīng)檢驗剛好可以。這個七位數(shù)是7402395

【答案】

(1)9402392

【例4】把若干個自然數(shù)1、2、3..........連乘到一起，如果已知這個乘積的最末十三位恰好都是零，那么最

后出現(xiàn)的自然數(shù)最小應(yīng)該是多少？最大是多少？(★★)

【考點】數(shù)的整除【難度】☆☆【題型】解答

【解析】乘積末尾的零的個數(shù)是由乘數(shù)中因數(shù)2和5的個數(shù)決定的，有一對2和5乘積末尾就有一個零.由

于相鄰兩個自然數(shù)中必定有一個是2的倍數(shù)，而相鄰5個數(shù)中才有一個5的倍數(shù)，所以我們只要觀察因數(shù)5

的個數(shù)就可以了.5=5x1,10=5x2,15=5x3,20=5x4,25=5x5,30=5x6,.......,發(fā)現(xiàn)只有25、

50、75、100、……這樣的數(shù)中才會出現(xiàn)多個因數(shù)5,乘到55時共出現(xiàn)11+2=13個因數(shù)5,所以至少應(yīng)當(dāng)

寫到55,最多可以寫到59.

【答案】

(1)59

【鞏固】從50到100的這51個自然數(shù)的乘積的末尾有多少個連續(xù)的0

【考點】數(shù)的整除【難度】☆☆☆【題型】解答

【解析】

首先，50、60、70、80、90、100中共有7個0.其次，55、65、85、95和任意偶數(shù)相乘都可以產(chǎn)生一個0,

而75乘以偶數(shù)可以產(chǎn)生2個0,50中的因數(shù)5乘以偶數(shù)又可以產(chǎn)生1個0,所以一共有7+4+2+1=14個

0.

【例5】在小于5000的自然數(shù)中，能被11整除，并且數(shù)字和為13的數(shù)，共有多少個.

【考點】數(shù)的整除【難度】☆☆【題型】解答

【解析】兩位數(shù)字中能被n整除的數(shù)字是11、22...........99這些數(shù)字中顯然沒有這樣的數(shù).三位數(shù)，設(shè)這個

三位數(shù)為“be,有a+6+c=13和a+c—6=11,顯然有a+c=12,b=l,所以就有913,814,715,616,

517,418,319這7個.四位數(shù)，設(shè)這個四位數(shù)為嬴7,(1)有a+6+c+d=13和(a+c)-(b+d)=ll中，若

a+c=12,b+d=l貝Ua=3或4有2種組合，b和d有2種.因此有4種；⑵有a+b+c+d=13和(6+4)一

(a+c)=ll,a+c=l,6+d=12,則只能a=l,c=0,b和d有7種組合.綜上所述，這樣的數(shù)有7+4+7=18

個.

【鞏固】用1,9,8,8這四個數(shù)字能排成幾個被11除余8的四位數(shù)？(★★★)

【考點】數(shù)的整除【難度】☆☆☆【題型】解答

【解析】現(xiàn)在要求被11除余8,我們可以這樣考慮：這樣的數(shù)加上3后，就能被11整除了.所以我們得到

“一個數(shù)被11除余8”的判定法則：將偶位數(shù)字相加得一個和數(shù)，再將奇位數(shù)字相加再加3,得另一個和數(shù)，

如果這兩個和數(shù)之差能被11整除，那么這個數(shù)是被11除余8的數(shù)；否則就不是.要把1,9,8,8排成一

個被11除余8的四位數(shù)，可以把這4個數(shù)分成兩組，每組2個數(shù)字.其中一組作為千位和十位數(shù)，它們的

和記作A;另外一組作為百位和個位數(shù)，它們之和加上3記作3.我們要適當(dāng)分組，使得能被11整除.現(xiàn)

在只有下面4種分組法：

偶位奇位

(1)1,89,8

(2)1,98,8

(3)9,81,8

(4)8,81,9

經(jīng)過驗證，只有第⑴種分組法滿足前面的要求：A=l+8=9,3=9+8+3=20,5-A=ll能被

H整除.其余三種分組都不滿足要求.根據(jù)判定法則還可以知道，如果一個數(shù)被11除余8,那么

在奇位的任意兩個數(shù)字互換，或者在偶位的任意兩個數(shù)字互換得到的新數(shù)被11除也余8.于是，

上面第⑴種分組中，1和8任一個可以作為千位數(shù)，9和8中任一個可以作為百位數(shù).這樣共有4

種可能的排法：1988,1889,8918,8819.

【答案】

(1)這樣共有4種可能的排法:1988,1889,8918,8819.

【例6】4個一位數(shù)的乘積是360,并且其中只有一個是合數(shù)，那么在這4個數(shù)字所組成的四位數(shù)中，最大

的一個是多少？

【考點】質(zhì)數(shù)與合數(shù)【難度【題型】解答

【解析】將360分解質(zhì)因數(shù)得360=2x2x2x3x3x5,它是6個質(zhì)因數(shù)的乘積.因為題述的四個數(shù)中只有一

個是合數(shù)，所有該合數(shù)必至少為6-3=3個質(zhì)因數(shù)的積，又只有3個2相乘才能是一位數(shù)，所以這4個乘數(shù)

分別為3,3,5,8,所組成的最大四位數(shù)是8533.

【答案】

(1)8533

【鞏固】(老師可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？)

大毛、二毛、三毛、小明四個人，他們的年齡一個比一個大2歲，他們四個人年齡的乘積是48384。問他們

四個人的年齡各是幾歲？(★★★)

【考點】質(zhì)數(shù)與合數(shù)【難度】☆☆☆【題型】解答

【解析】題中告訴我們，48384是四個人年齡的乘積，只要我們把48384分解質(zhì)因數(shù)，再按照每組相差2來

分成四個數(shù)相乘，這四個數(shù)就是四個人的年齡了。

48384=28x33x7

=(22x3)x(2x7)x24x(2x32)

=12x14x16x18

由此得出這四個人的年齡分別是12歲、14歲、16歲、18歲。

由題意可知，這四個數(shù)是相差2的四個整數(shù)。它們的積是偶數(shù)，當(dāng)然這四個數(shù)不是奇數(shù)，一定是偶

數(shù)。又因為48384的個位數(shù)字不是0,顯然這四個數(shù)中，沒有個位數(shù)字是。的，那么這四個數(shù)的個

位數(shù)字一定是2、4、6、8o又因為1。4<48384,而48384<2。4,所以可以斷定，這四個數(shù)一定是

12、14、16、18o也就是說，這四個人的年齡分別是12歲、14歲、16歲、18歲。答：這四個人

的年齡分別是12歲、14歲、16歲、18歲。

【答案】

(1)這四個人的年齡分別是12歲、14歲、16歲、18歲。

【例7】甲、乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是90,乙、丙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是105,甲、丙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是126,

那么甲數(shù)是多少？

【考點】因數(shù)與倍數(shù)【難度】☆☆☆【題型】解答

【解析】對90分解質(zhì)因數(shù)：90=2X32X5.

因為126是甲的倍數(shù)，又126不是5的倍數(shù)，所以甲中不含因數(shù)5.

如果乙也不含因數(shù)5,那么甲、乙的最小公倍數(shù)也不含因數(shù)5,但90是5的倍數(shù)，所以乙含有因

數(shù)5.

因為105不是2的倍數(shù)，所以乙也不是2的倍數(shù)，即乙中不含因數(shù)2,于是甲必含有因數(shù)2.

因為105不是9的倍數(shù)，所以乙也不是9的倍數(shù)，即乙最多含有1個因數(shù)3.由于甲、乙兩數(shù)的最

小公倍數(shù)是90,90中含有2個因數(shù)3,所以甲必含有2個因數(shù)3,那么甲=2x32=18.

【答案】

(1)18

【例8】已知兩個自然數(shù)的積為240,最小公倍數(shù)為60,求這兩個數(shù).

【考點】因數(shù)與倍數(shù)【難度】☆☆☆【題型】解答

【解析】由于兩個自然數(shù)的積=兩數(shù)的最大公約數(shù)*兩數(shù)的最小公倍數(shù)，可以得到，最大公約數(shù)是

240+60=4,設(shè)這兩個數(shù)分別為4a、4b,那么9/)=1,且ax6=6D-4卷，所以。和6可以取1和15或

3和5,所以這兩個數(shù)是4和60或12和20.

【答案】

(1)兩個數(shù)是4和60或12和20.

【鞏固】已知兩數(shù)的最大公約數(shù)是21,最小公倍數(shù)是126,求這兩個數(shù)的和是多少？

【考點】因數(shù)與倍數(shù)【難度】☆☆☆【題型】解答

【解析】假設(shè)這兩個數(shù)是21a和2仍，易得21xaxb=126,所以。xb=6,由。和Z?互質(zhì)，那么就有

6=lx6=2x3兩種情況.所以甲、乙是：21x1=21,21x6=126或21x2=42,21x3=63兩種情況.它們

的和是147或105.

【答案】

(1)147或105.

【例9】數(shù)360的約數(shù)有多少個?這些約數(shù)的和是多少?

【考點】因數(shù)個數(shù)【難度】☆☆【題型】解答

【解析】360分解質(zhì)因數(shù):360=2x2x2x3x3x5=23x32x5;

360的約數(shù)可以且只能是2ax3bx5c,(其中a,b,c均是整數(shù)，且a為0~3,6為。?2,c為0?1).

因為a、b、c的取值是相互獨立的，由計數(shù)問題的乘法原理知，約數(shù)的個數(shù)為(3+l)x(2+l)x(l+l)=24.

我們先只改動關(guān)于質(zhì)因數(shù)3的約數(shù)，可以是1,3,32,它們的和為(1+3+32),所以所有360約數(shù)的和為

(l+3+32)x2yx5w;

我們再來確定關(guān)于質(zhì)因數(shù)2的約數(shù)，可以是1,2,22,23,它們的和為(1+2+22+23),所以所有360約數(shù)的

牙口為(1+3+32)義(1+2+22+23)x5w;

最后確定關(guān)于質(zhì)因數(shù)5的約數(shù)，可以是1,5,它們的和為(1+5),所以所有360的約數(shù)的和為

(l+3+32)x(l+2+22+23)x(l+5).

于是,我們計算出值:13X15X6=1170.所以,360所有約數(shù)的和為1170.

【答案】

(1)1170

【鞏固】數(shù)160的約數(shù)個數(shù)是多少？它們的和是多少？它們的積呢？

【考點】因數(shù)個數(shù)【難度】☆☆☆【題型】解答

【解析】對任意一個自然數(shù)，我們首先可以將它作因式分解，化成質(zhì)數(shù)及其次數(shù)的乘積，以160為例，我們

有160=25x51要算它的約數(shù)的個數(shù)，我們可以這樣來理解：約數(shù)的因數(shù)只可能是2,5.并且它們的次數(shù)不會

超過原數(shù)的次數(shù)，從而約數(shù)的因數(shù)的2的次數(shù)可以為0,1,2,3,4,5;而5的次數(shù)也只可能是0或1.把它展

開你就可以發(fā)現(xiàn)它就是我們要求的：情況1:不包含5的約數(shù)：1,2,2?,23,2”,，情況2:包含5的約數(shù):1x5,

2x5,22X5,23X5,24x5,2,x5.從而我們可以任意地從中選若干個2,5的次數(shù)，即：(l+5)x(l+l)

=12.(個)所以它的約數(shù)的和：(1+2+2?+23+24+25)x(1+5)至于要算它們的約數(shù)的積，我們可以將它的約

數(shù)配對：一個約數(shù)和它被原數(shù)除的數(shù)組成一對(如2和80是160的一對).這樣，對于非平方數(shù)而言，我們得到

整數(shù)對，并且它們的積就是原數(shù)本身；而對于平方數(shù)而言，僅僅是多了一個數(shù)(它的開方)，從而通過對它的

約數(shù)的個數(shù)，可以求出它們的積.對本題而言，我們有(1;160),(2;80),(4;40),(5;32),(8;20),(10;16)

共6對.從而它們的積為1606.

【答案】

(1)12

(2)(1+2+22+23+24+25)X(1+5)

(3)1606.

【例10】如圖，霰鼠和老鼠分別從長157米的小路兩端A、B開始向另一端挖洞。老鼠對露鼠說：“你挖完

后，我再挖?！边@樣一來，由于老鼠原來要挖的一些洞恰好也是噩鼠要挖的洞，所以老鼠可以少挖多少個洞？

【考點】因數(shù)個數(shù)【難度】☆☆【題型】解答

【解析】因為157除以5的余數(shù)是2,可得下圖，由圖中很明顯可知，殿鼠和老鼠重合的第一個洞在距離A

點12米處.因為[3,5]=15,(157—12)+15=145+15=910,所以，老鼠和霰鼠要挖的洞里重合的有

9+1=10(個).

霰鼠A?----1-I--------1-I------1--------18老鼠

02367912157單位：米

【答案】

(1)10

【鞏固】有一些小朋友排成一行，從左面第一人開始每隔2人發(fā)一個蘋果；從右面第一人開始每隔4人發(fā)

一個桔子，結(jié)果有10個小朋友蘋果和桔子都拿到.那么這些小朋友最多有多少人？

【考點】因數(shù)個數(shù)【難度】☆☆☆【題型】解答

【解析】蘋果每3人發(fā)1個，桔子每5人發(fā)1個.因為[3,5]=15,所以蘋果和桔子都拿到的10個小朋友之間

共有15x(10-1)+1=136(人).在他們的左邊最多有4個小朋友拿到蘋果，所以左邊最多還有3x4=12(人)；

右邊最多有2個小朋友拿到桔子，所以右邊最多還有5x2=10(人).所以最多有：136+12+10=158(人).

【答案】

(1)158

【例11]已知正整數(shù)a、b之差為120,它們的最小公倍數(shù)是其最大公約數(shù)的105倍，那么a、b中較大的數(shù)

是多少？

【考點】因數(shù)個數(shù)【難度】☆☆【題型】解答

【解析】設(shè),有a=b+120,又設(shè)(a,b)=cl,a=pd,b=qd,(p,q)=1,3.p>q,貝U=pqd,

有pqd=105d,所以pq=105=3x5x7.因為a—b=(p—q)d=120,所以(p-q)是120的約數(shù).

①若/?=105,q=l,貝"p-q=104,不符合；

②若p=35,q=3,貝"p_q=32,不符合；

③若p=21,q=5,則p_q=16,不符合；

④若p=15,q=7,貝”p_q=8,符合條件.

由(p—g)d=8d=120,得d=15,從而a、b中較大的數(shù)。=pd=15x15=225.

【答案】

(1)225

【鞏固】已知兩個自然數(shù)的和為54,它們的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差為114,求這兩個自然數(shù).設(shè)這

【考點】因數(shù)個數(shù)【難度】☆☆【題型】解答

【解析】兩個自然數(shù)分別是利o、mb,其中為它們的最大公約數(shù)，。與6互質(zhì)(不妨設(shè)a46),根據(jù)題意

有：

[mb+ma=m(a+b)=54

\mab—m=m{ab—1)=114

所以可以得到機是54和114的公約數(shù)，所以是(54,114)=6的約數(shù).m=l,2,3或6.

如果m=1,由，wx(a+>)=54,有a+b=54;又由〃zx(a匕-1)=114,有必=115.

115=1x115=5x23,但是1+115=116/54,5+23=28^54,所以相wl.

如果/w=2,由7〃x(a+6)=54,有a+b=27;又由—1)=114,有ab=58.

58=1x58=2x29,但是1+58=59工27,2+29=31x27,所以機片2.

如果根=3,由〃zx(a+6)=54,有a+b=18;又由機x(aZ?—1)=114,有必=39.

39=1x39=3x13,但是1+39=40218,3+13=16/18,所以m23.

如果相=6,由znx(a+6)=54,有a+0=9;又由租x(必-1)=114,有ab=20.

20表示成兩個互質(zhì)的數(shù)的乘積有兩種形式：20=1x20=4*5,雖然1+20=21/9,但是有4+5=9,

所以取%=6是合適的，此時a=4,6=5,這兩個數(shù)分別為24和30.

【例121恰有8個約數(shù)的兩位數(shù)有個.

【考點】因數(shù)個數(shù)【難度】☆☆【題型】解答

【解析】根據(jù)約數(shù)個數(shù)公式，先將8進(jìn)行分解：8=lx8=2x4=2x2x2,所以恰有8個約數(shù)的數(shù)至多有3

個不同的質(zhì)因數(shù)，分解質(zhì)因數(shù)后的形式可能為A’，A'B3,A'B'C1.

其中由于27=128>100,所以A,形式的沒有符合條件的兩位數(shù)；

形式中，B不能超過3,即可能為2或3,有2x33、3x23、5x23>7x2\llx23,共5個；

HMCi形式的有2*3*5、2x3x7、2x3x11,2x3x13、2x5x7,共5個.

所以共有5+5=10個符合條件的數(shù).

【答案】

(1)10

【鞏固】能被2145整除且恰有2145個約數(shù)的數(shù)有個.

【考點】因數(shù)個數(shù)【難度】☆☆【題型】解答

【解析】先將2145分解質(zhì)因數(shù)：2145=3x5x11x13,所以能被2145整除的數(shù)必定含有3,5,11,13這4

個質(zhì)因數(shù)；由于這樣的數(shù)恰有2145個約數(shù)，所以它至多只有4個質(zhì)因數(shù)，否則至少有5個質(zhì)因數(shù)，根據(jù)約

數(shù)個數(shù)的計算公式，則有5個大于1的整數(shù)的乘積等于2145,而2145只能分解成3,5,11,13的乘積,

矛盾.所以所求的數(shù)恰好只有3,5,11,13這4個質(zhì)因數(shù).

對于這樣的每一個數(shù)，分解質(zhì)因數(shù)后3,5,11,13這4個因子的賽次都恰好是2=(3-1),4=(5-1),

10=(11-1),12=(13-1)的一個排列，所以共有4!=24種

【答案】

(1)24

【例13］已知A數(shù)有7個約數(shù)，B數(shù)有12個約數(shù)，且A、B的最小公倍數(shù)［4司=1728,則B=.

【考點】因數(shù)個數(shù)【難度】☆☆【題型】解答

【解析】

1728=26X33,由于A數(shù)有7個約數(shù)，而7為質(zhì)數(shù)，所以A為某個質(zhì)數(shù)的6次方，由于1728只有2和3

這兩個質(zhì)因數(shù)，如果A為36,那么1728不是A的倍數(shù)，不符題意，所以4=26,那么33為B的約數(shù)，設(shè)

B=2'X33,貝|他+1)義(3+1)=12,得k=2,所以3=2?/33=108.

【答案】

(1)108

【鞏固】如果一個自然數(shù)的2004倍恰有2004個約數(shù)，這個自然數(shù)自己最少有多少個約數(shù)？

【考點】因數(shù)個數(shù)【難度】☆☆☆☆☆【題型】解答

【解析】設(shè)這個自然數(shù)是。，2004=22X3X167,將。分解質(zhì)因數(shù)，設(shè)。=2'x3?xl67;x%入出&。上，其中

x,y,z可以是0或正整數(shù)，其余的系數(shù)都是正整數(shù)，則這個數(shù)的約數(shù)的個數(shù)

A=(x+l)(y+l)(z+1)(偽+i)(b2+1)(b”+1).

因為這個自然數(shù)的2004倍恰有2004個約數(shù)，所以

(尤+3)(y+2)(z+2)(偽+1)(2+1)3“+1)=2004=2?x3x167

七,日

口jX_J-2004—_(x__+_3__)(_y_+__2_)_(_z_+__2)—x+3xy+2xz+2

A(x+l)(y+l)(z+l)x+1y+1z+1

要想使A最小，需要使出*士最大，

x+1y+1z+1

而9=3-二＜3,皿=2-上＜2,出=2-二＜2,

x+1x+1y+1y+1z+1z+1

2004

所以----＜3x2x2=12,得到A2167.

A

要想使等號成立，必須％=y=z=0,n=l,4=166,即此數(shù)為一個不是2,3,167的質(zhì)數(shù)的166

次方，此時這個數(shù)的約數(shù)有167個.故這個自然數(shù)最少有167個約數(shù).

二課堂檢測

1.由1,3,4,5,7,8這六個數(shù)字所組成的六位數(shù)中，能