天津市東麗區(qū)軍糧城第二中學高三第二次聯(lián)考新高考數學試卷及答案解析

天津市東麗區(qū)軍糧城第二中學高三第二次聯(lián)考新高考數學試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在三棱錐中，，，則三棱錐外接球的表面積是（）A． B． C． D．2．已知命題：使成立．則為（）A．均成立 B．均成立C．使成立 D．使成立3．已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準線分別交于點、，O為坐標原點．若雙曲線的離心率為2，三角形AOB的面積為，則p=（）．A．1 B． C．2 D．34．一個正三棱柱的正（主）視圖如圖，則該正三棱柱的側面積是（）A．16 B．12 C．8 D．65．某網店2019年全年的月收支數據如圖所示，則針對2019年這一年的收支情況，下列說法中錯誤的是（）A．月收入的極差為60 B．7月份的利潤最大C．這12個月利潤的中位數與眾數均為30 D．這一年的總利潤超過400萬元6．學業(yè)水平測試成績按照考生原始成績從高到低分為、、、、五個等級．某班共有名學生且全部選考物理、化學兩科，這兩科的學業(yè)水平測試成績如圖所示．該班學生中，這兩科等級均為的學生有人，這兩科中僅有一科等級為的學生，其另外一科等級為，則該班（）A．物理化學等級都是的學生至多有人B．物理化學等級都是的學生至少有人C．這兩科只有一科等級為且最高等級為的學生至多有人D．這兩科只有一科等級為且最高等級為的學生至少有人7．在長方體中，，則直線與平面所成角的余弦值為（）A． B． C． D．8．已知非零向量、，若且，則向量在向量方向上的投影為（）A． B． C． D．9．已知集合A＝{0，1}，B＝{0，1，2}，則滿足A∪C＝B的集合C的個數為（）A．4 B．3 C．2 D．110．劉徽是我國魏晉時期偉大的數學家，他在《九章算術》中對勾股定理的證明如圖所示.“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其余不移動也.合成弦方之冪，開方除之，即弦也”.已知圖中網格紙上小正方形的邊長為1，其中“正方形為朱方，正方形為青方”，則在五邊形內隨機取一個點，此點取自朱方的概率為（）A． B． C． D．11．若兩個非零向量、滿足，且，則與夾角的余弦值為（）A． B． C． D．12．已知，，，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某種產品的質量指標值服從正態(tài)分布，且．某用戶購買了件這種產品，則這件產品中質量指標值位于區(qū)間之外的產品件數為_________．14．點是曲線（）圖象上的一個定點，過點的切線方程為，則實數k的值為______.15．曲線f(x)=(x2+x)lnx在點(1，f(1))處的切線方程為____.16．在中，角的對邊分別為，且．若為鈍角，，則的面積為____________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知四棱錐中，底面為等腰梯形，，，，丄底面.（1）證明：平面平面；（2）過的平面交于點，若平面把四棱錐分成體積相等的兩部分，求二面角的余弦值.18．（12分）某大型公司為了切實保障員工的健康安全，貫徹好衛(wèi)生防疫工作的相關要求，決定在全公司范圍內舉行一次普查，為此需要抽驗1000人的血樣進行化驗，由于人數較多，檢疫部門制定了下列兩種可供選擇的方案.方案①：將每個人的血分別化驗，這時需要驗1000次.方案②：按個人一組進行隨機分組，把從每組個人抽來的血混合在一起進行檢驗，如果每個人的血均為陰性，則驗出的結果呈陰性，這個人的血只需檢驗一次（這時認為每個人的血化驗次）；否則，若呈陽性，則需對這個人的血樣再分別進行一次化驗，這樣，該組個人的血總共需要化驗次.假設此次普查中每個人的血樣化驗呈陽性的概率為，且這些人之間的試驗反應相互獨立.（1）設方案②中，某組個人的每個人的血化驗次數為，求的分布列；（2）設，試比較方案②中，分別取2，3，4時，各需化驗的平均總次數；并指出在這三種分組情況下，相比方案①，化驗次數最多可以平均減少多少次？（最后結果四舍五入保留整數）19．（12分）為了解本學期學生參加公益勞動的情況，某校從初高中學生中抽取100名學生，收集了他們參加公益勞動時間（單位：小時）的數據，繪制圖表的一部分如表.（1）從男生中隨機抽取一人，抽到的男生參加公益勞動時間在的概率：（2）從參加公益勞動時間的學生中抽取3人進行面談，記為抽到高中的人數，求的分布列；（3）當時，高中生和初中生相比，那學段學生平均參加公益勞動時間較長.（直接寫出結果）20．（12分）如圖，在三棱錐中，，，，平面平面，、分別為、中點．（1）求證：；（2）求二面角的大小．21．（12分）已知函數.（1）討論的單調性；（2）曲線在點處的切線斜率為.（i）求；（ii）若，求整數的最大值.22．（10分）某企業(yè)原有甲、乙兩條生產線，為了分析兩條生產線的效果，先從兩條生產線生產的大量產品中各抽取了100件產品作為樣本，檢測一項質量指標值．該項指標值落在內的產品視為合格品，否則為不合格品．乙生產線樣本的頻數分布表質量指標合計頻數2184814162100（1）根據甲生產線樣本的頻率分布直方圖，以從樣本中任意抽取一件產品且為合格品的頻率近似代替從甲生產線生產的產品中任意抽取一件產品且為合格品的概率，估計從甲生產線生產的產品中任取5件恰有2件為合格品的概率；（2）現(xiàn)在該企業(yè)為提高合格率欲只保留其中一條生產線，根據上述圖表所提供的數據，完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有90%把握認為該企業(yè)生產的這種產品的質量指標值與生產線有關？若有90%把握，請從合格率的角度分析保留哪條生產線較好？甲生產線乙生產線合計合格品不合格品合計附：，．0.1500.1000.0500.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

取的中點，連接、，推導出，設設球心為，和的中心分別為、，可得出平面，平面，利用勾股定理計算出球的半徑，再利用球體的表面積公式可得出結果.【詳解】取的中點，連接、，由和都是正三角形，得，，則，則，由勾股定理的逆定理，得.設球心為，和的中心分別為、.由球的性質可知：平面，平面，又，由勾股定理得.所以外接球半徑為.所以外接球的表面積為.故選：B.【點睛】本題考查三棱錐外接球表面積的計算，解題時要分析幾何體的結構，找出球心的位置，并以此計算出球的半徑長，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.2、A【解析】試題分析：原命題為特稱命題，故其否定為全稱命題，即．考點：全稱命題.3、C【解析】試題分析：拋物線的準線為，雙曲線的離心率為2，則，，漸近線方程為，求出交點，，，則；選C考點：1.雙曲線的漸近線和離心率；2.拋物線的準線方程；4、B【解析】

根據正三棱柱的主視圖，以及長度，可知該幾何體的底面正三角形的邊長，然后根據矩形的面積公式，可得結果.【詳解】由題可知：該幾何體的底面正三角形的邊長為2所以該正三棱柱的三個側面均為邊長為2的正方形，所以該正三棱柱的側面積為故選：B【點睛】本題考查正三棱柱側面積的計算以及三視圖的認識，關鍵在于求得底面正三角形的邊長，掌握一些常見的幾何體的三視圖，比如：三棱錐，圓錐，圓柱等，屬基礎題.5、D【解析】

直接根據折線圖依次判斷每個選項得到答案.【詳解】由圖可知月收入的極差為，故選項A正確；1至12月份的利潤分別為20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，7月份的利潤最高，故選項B正確；易求得總利潤為380萬元，眾數為30，中位數為30，故選項C正確，選項D錯誤.故選：.【點睛】本題考查了折線圖，意在考查學生的理解能力和應用能力.6、D【解析】

根據題意分別計算出物理等級為，化學等級為的學生人數以及物理等級為，化學等級為的學生人數，結合表格中的數據進行分析，可得出合適的選項.【詳解】根據題意可知，名學生減去名全和一科為另一科為的學生人（其中物理化學的有人，物理化學的有人），表格變?yōu)椋何锢砘瘜W對于A選項，物理化學等級都是的學生至多有人，A選項錯誤；對于B選項，當物理和，化學都是時，或化學和，物理都是時，物理、化學都是的人數最少，至少為（人），B選項錯誤；對于C選項，在表格中，除去物理化學都是的學生，剩下的都是一科為且最高等級為的學生，因為都是的學生最少人，所以一科為且最高等級為的學生最多為（人），C選項錯誤；對于D選項，物理化學都是的最多人，所以兩科只有一科等級為且最高等級為的學生最少（人），D選項正確.故選：D.【點睛】本題考查合情推理，考查推理能力，屬于中等題.7、C【解析】

在長方體中，得與平面交于，過做于，可證平面，可得為所求解的角，解，即可求出結論.【詳解】在長方體中，平面即為平面，過做于，平面，平面，平面，為與平面所成角，在，，直線與平面所成角的余弦值為.故選:C.【點睛】本題考查直線與平面所成的角，定義法求空間角要體現(xiàn)“做”“證”“算”，三步驟缺一不可，屬于基礎題.8、D【解析】

設非零向量與的夾角為，在等式兩邊平方，求出的值，進而可求得向量在向量方向上的投影為，即可得解.【詳解】，由得，整理得，，解得，因此，向量在向量方向上的投影為.故選：D.【點睛】本題考查向量投影的計算，同時也考查利用向量的模計算向量的夾角，考查計算能力，屬于基礎題.9、A【解析】

由可確定集合中元素一定有的元素，然后列出滿足題意的情況，得到答案.【詳解】由可知集合中一定有元素2，所以符合要求的集合有，共4種情況，所以選A項.【點睛】考查集合并集運算，屬于簡單題.10、C【解析】

首先明確這是一個幾何概型面積類型，然后求得總事件的面積和所研究事件的面積，代入概率公式求解.【詳解】因為正方形為朱方，其面積為9，五邊形的面積為，所以此點取自朱方的概率為.故選：C【點睛】本題主要考查了幾何概型的概率求法，還考查了數形結合的思想和運算求解的能力，屬于基礎題.11、A【解析】

設平面向量與的夾角為，由已知條件得出，在等式兩邊平方，利用平面向量數量積的運算律可求得的值，即為所求.【詳解】設平面向量與的夾角為，，可得，在等式兩邊平方得，化簡得.故選：A.【點睛】本題考查利用平面向量的模求夾角的余弦值，考查平面向量數量積的運算性質的應用，考查計算能力，屬于中等題.12、D【解析】

構造函數，利用導數求得的單調區(qū)間，由此判斷出的大小關系.【詳解】依題意，得，，.令，所以.所以函數在上單調遞增，在上單調遞減.所以，且，即，所以.故選：D.【點睛】本小題主要考查利用導數求函數的單調區(qū)間，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查對數式比較大小，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

直接計算，可得結果.【詳解】由題可知：則質量指標值位于區(qū)間之外的產品件數：故答案為：【點睛】本題考查正太分布中原則，審清題意，簡單計算，屬基礎題.14、1【解析】

求出導函數，由切線斜率為4即導數為4求出切點橫坐標，再由切線方程得縱坐標后可求得．【詳解】設，由題意，∴，，，即，∴，．故答案為：1．【點睛】本題考查導數的幾何意義，函數圖象某點處的切線的斜率就是該點處導數值．本題屬于基礎題．15、【解析】

求函數的導數，利用導數的幾何意義即可求出切線方程.【詳解】解：∵，

∴，

則，

又，即切點坐標為（1，0），

則函數在點(1，f(1))處的切線方程為，

即，

故答案為：.【點睛】本題主要考查導數的幾何意義，根據導數和切線斜率之間的關系是解決本題的關鍵.16、【解析】

轉化為，利用二倍角公式可求解得，結合余弦定理可得b，再利用面積公式可得解.【詳解】因為，所以．又因為，且為銳角，所以．由余弦定理得，即，解得，所以故答案為：【點睛】本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應用，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見證明；（2）【解析】

（1）先證明等腰梯形中，然后證明，即可得到丄平面，從而可證明平面丄平面；（2）由，可得到，列出式子可求出，然后建立如圖的空間坐標系，求出平面的法向量為，平面的法向量為，由可得到答案．【詳解】（1）證明：在等腰梯形，，易得在中，，則有，故，又平面，平面，，即平面，故平面丄平面.（2）在梯形中，設，，，，而,即，.以點為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖的空間坐標系，則，，設平面的法向量為，由得，取，得，，同理可求得平面的法向量為，設二面角的平面角為，則，所以二面角的余弦值為.【點睛】本題考查了兩平面垂直的判定，考查了利用空間向量的方法求二面角，考查了棱錐的體積的計算，考查了空間想象能力及計算能力，屬于中檔題．18、（1）分布列見解析；（2）406.【解析】

（1）計算個人的血混合后呈陰性反應的概率為，呈陽性反應的概率為，得到分布列.（2）計算，代入數據計算比較大小得到答案.【詳解】（1）設每個人的血呈陰性反應的概率為，則.所以個人的血混合后呈陰性反應的概率為，呈陽性反應的概率為.依題意可知，，所以的分布列為：（2）方案②中.結合（1）知每個人的平均化驗次數為：時，，此時1000人需要化驗的總次數為690次，時，，此時1000人需要化驗的總次數為604次，時，，此時1000人需要化驗的次數總為594次，即時化驗次數最多，時次數居中，時化驗次數最少，而采用方案①則需化驗1000次，故在這三種分組情況下，相比方案①，當時化驗次數最多可以平均減少次.【點睛】本題考查了分布列，數學期望，意在考查學生的計算能力和應用能力.19、（1）（2）詳見解析（3）初中生平均參加公益勞動時間較長【解析】

（1）由圖表直接利用隨機事件的概率公式求解；（2）X的所有可能取值為0，1，2，3.由古典概型概率公式求概率，則分布列可求；（3）由圖表直接判斷結果.【詳解】（1）100名學生中共有男生48名，其中共有20人參加公益勞動時間在，設男生中隨機抽取一人，抽到的男生參加公益勞動時間在的事件為，那么；（2）的所有可能取值為0，1，2，3.∴；；；.∴隨機變量的分布列為：（3）由圖表可知，初中生平均參加公益勞動時間較長.【點睛】本小題主要考查古典概型的計算，考查超幾何分布的分布列的計算，屬于基礎題.20、(1)證明見解析；(2)60°.【解析】試題分析：（1）連結PD，由題意可得,則AB⊥平面PDE，；（2）法一：結合幾何關系做出二面角的平面角，計算可得其正切值為，故二面角的大小為；法二：以D為原點建立空間直角坐標系，計算可得平面PBE的法向量．平面PAB的法向量為．據此計算可得二面角的大小為.試題解析：（1）連結PD，PA=PB，PDAB．，BCAB，DEAB．又，AB平面PDE，PE平面PDE，∴ABPE．（2）法一：平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PDAB，PD平面ABC．則DEPD,又EDAB，PD平面AB=D，DE平面PAB,過D做DF垂直PB與F，連接EF，則EFPB，∠DFE為所求二面角的平面角，則：DE=，DF=，則，故二面角的大小為法二：平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PDAB，PD平面ABC．如圖，以D為原點建立空間直角坐標系，B(1，0，0)，P(0，0，)，E(0，，0)，=(1，0，)，=(0，，）．設平面PBE的法向量，令，得．DE平面PAB，平面PAB的法向量為．設二面角的大小為，由圖知，，所以即二面角的大小為.21、（