圓錐曲線的發(fā)展歷史教材

圓錐曲線新泰一中

2013.12.216/20/2024圓錐曲線的形成用一個(gè)平面截圓錐面所得的曲線形成圓錐曲線26/20/202422012/12/10梅內(nèi)克繆斯（Menaechmus）約公元前380-前320，古希臘時(shí)代圓錐曲線的第一個(gè)人2012/12/10他是古希臘數(shù)學(xué)家，為歐多克索斯（Eudoxus）的學(xué)生，又是柏拉圖學(xué)園中的成員。曾為Cyzicus的學(xué)校校長，擔(dān)任幾何學(xué)教師，著名于一時(shí)。他是系統(tǒng)地研究圓錐曲線的第一個(gè)人，建立最早圓錐取線的概念，并分為三類來研究它，所以后來的學(xué)者稱為梅內(nèi)克繆斯（Menaechmus）三曲線。2012/12/10梅內(nèi)克繆斯從西波克拉解決倍立方問題的研究中受到啟發(fā)。他取三種圓錐（即直角、銳角和鈍角的圓錐），用垂直于錐面一母線的平面截每種錐面，分別得到了拋物線、橢圓和雙曲線的一支。2012/12/10梅內(nèi)克繆斯曾當(dāng)過當(dāng)時(shí)亞歷山大大帝的老師，亞歷山大問梅內(nèi)克繆斯，是否可以專門為他把幾何搞得簡單一些。梅內(nèi)克謬斯則回答說："在大王的國家里有老百姓走的小路，也有國王您走的大道，然而在幾何里卻只有一條道路。"這個(gè)廣為流傳的故事出自古希臘晚期作家斯托比亞斯的著作之中。2012/12/10解析幾何的先驅(qū)2012/12/10

笛卡兒(René·Descartes)(1596-1650)

法國科學(xué)家、哲學(xué)家,

數(shù)學(xué)家，1596年3月13日，生于法國西部的希列塔尼半島上的圖朗城，3天后，母親去世，從小便失去母親的笛卡兒一直體弱多病。1649年10月，勒內(nèi).笛卡兒應(yīng)瑞典女王克里斯蒂娜的邀請(qǐng)來到瑞典首都斯德哥爾摩，為這位19歲的姑娘講授哲學(xué)和數(shù)學(xué)，很遺憾由于笛卡兒對(duì)女王的生活習(xí)慣不適應(yīng)，加上嚴(yán)寒冬天的威脅，這位偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和哲學(xué)家病倒了。1650年2月11日，這位科學(xué)巨人與世長辭了。

2012/12/10

笛卡兒他是以下列身份的結(jié)合來研究數(shù)學(xué)的，作為哲學(xué)家、作為自然界的探索者、作為一個(gè)關(guān)心科學(xué)用途的人．他的基本思想是要建立起一種普通的數(shù)學(xué)，使算術(shù)，代數(shù)和幾何統(tǒng)一起來．他曾說：“我決心放棄那些僅僅是抽象的幾何，這就是說，不再去考慮那些僅僅是用來練習(xí)思維的問題．我這樣做，是為了研究另一種幾何，即目的在于解釋自然現(xiàn)象的幾何．

2012/12/10

著作：《幾何學(xué)》．笛卡《幾何學(xué)》所闡述的思想，被彌爾稱作“精密科學(xué)進(jìn)步中最偉大的一步”2012/12/10

笛卡兒的理論以兩個(gè)觀念為基礎(chǔ)：坐標(biāo)觀念和利用坐標(biāo)方法把帶有兩個(gè)未知數(shù)的任意代數(shù)方程看成平面上的一條曲線．2012/12/10

第三部分涉及高于二次方程的解法，指出了，方程可能有和它的次數(shù)一樣多的根，還提出了著名的笛卡兒符號(hào)法則．指出了多項(xiàng)式方程：f(x)=0的正根的最多數(shù)目等于系數(shù)變化的次數(shù)，而負(fù)根的最多數(shù)目等于兩個(gè)正號(hào)和兩個(gè)負(fù)號(hào)連續(xù)出現(xiàn)的次數(shù)．在他的《幾何學(xué)》中第一次出現(xiàn)變量與函數(shù)的思想．笛卡兒所謂的變量，是指具有變化長度而不變方向的線段，還指連續(xù)經(jīng)過坐標(biāo)軸上所有點(diǎn)的數(shù)字變量，正是變量的這兩種形式使笛卡兒試圖創(chuàng)造一種幾何與代數(shù)互相滲透的科學(xué)．笛卡兒的功績是把數(shù)學(xué)中兩個(gè)研究對(duì)象“形”與“數(shù)”統(tǒng)一起來，并在數(shù)學(xué)中引入“變量”，完成了數(shù)學(xué)史上一項(xiàng)劃時(shí)代的變革2012/12/10

笛卡兒對(duì)韋達(dá)所采用的符號(hào)作了改進(jìn)，他用字母表中開頭幾個(gè)字母a;b;c

等表示己知數(shù)，而用末尾幾個(gè)字母x;y;z等表示未知數(shù)，這種表示法一直沿用至今．他還考慮過高次拋物線(yn

=px;n>2)，并且給出了作擺線切線的相當(dāng)精巧的方法．笛卡兒認(rèn)為科學(xué)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)．2012/12/10費(fèi)馬是法國數(shù)學(xué)家，1601年8月出生于生活在富裕舒適的環(huán)境中．費(fèi)馬小時(shí)候受教于他的叔叔皮埃爾，受到了良好的啟蒙教育，培養(yǎng)了他廣泛的興趣和愛好，對(duì)他的性格也產(chǎn)生了重要的影響．直到14歲時(shí)，費(fèi)馬才入博蒙￠德￠洛馬涅公學(xué)，畢業(yè)后先后在奧爾良大學(xué)和圖盧茲大學(xué)學(xué)習(xí)法律在數(shù)學(xué)上，《數(shù)學(xué)論集》是費(fèi)馬去世后由其長子將其筆記、批注及書信整理成書而出版的．我們現(xiàn)在早就認(rèn)識(shí)到時(shí)間性對(duì)于科學(xué)的重要，即使在17世紀(jì)，這個(gè)問題也是突出的．費(fèi)馬的數(shù)學(xué)研究成果不及時(shí)發(fā)表，得不到傳播和發(fā)展，并不完全是個(gè)人的名譽(yù)損失，而是影響了那個(gè)時(shí)代數(shù)學(xué)前進(jìn)的步伐2012/12/10

費(fèi)馬在研究阿波羅尼奧斯著作時(shí)發(fā)現(xiàn)，如果通過坐標(biāo)系把代數(shù)用于幾何，軌跡的研究就易于進(jìn)行，他定義了以下曲線：直線方程為：b=d=(a?x)=y；橢圓方程為：a2?x2=ky2；雙曲線方程為：xy

=k2;a2+x2=ky2；拋物線方程為：x2=ay;y2=ax．后來又寫了一篇短文《平面與立體軌跡引論》(1679年表)，提出了一個(gè)很重要的命題：兩個(gè)未知量決定一個(gè)方程式，對(duì)應(yīng)著一條軌跡可以描繪一條直線或曲線．1643年他又在一封信中描述了三維解析幾何的思想．2012/12/101629年以前，費(fèi)馬便著手重寫公元前三世紀(jì)古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼奧斯（與歐幾里得、阿基米德齊名的古希臘數(shù)學(xué)家，他的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果）失傳的《平面軌跡》一書。他用代數(shù)方法對(duì)阿波羅尼奧斯關(guān)于軌跡的一些失傳的證明作了補(bǔ)充，對(duì)古希臘幾何學(xué)，尤其是阿波羅尼奧斯圓錐曲線論（蘇注：圓錐曲線包括橢圓、雙曲線和拋物線。對(duì)于圓錐曲線，后文需用它說明一個(gè)問題，到那時(shí)，我再對(duì)它作出較詳細(xì)的解釋）進(jìn)行了總結(jié)和整理，對(duì)曲線作了一般研究。并于1630年用拉丁文撰寫了僅有八頁的論文《平面與立體軌跡引論》（蘇注：即研究“點(diǎn)”在平面和立體空間中運(yùn)動(dòng)劃出的“軌跡”，主要指直線和各種曲線。費(fèi)爾馬又是用代數(shù)方法研究的，所以與笛卡爾的類似。笛卡爾坐標(biāo)中實(shí)際也是將直線和曲線看成點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡的，所以又叫“變數(shù)”?！包c(diǎn)的坐標(biāo)”有規(guī)律地變化，就“跑”出了一條拋物線或雙曲線……）。

2012/12/10

費(fèi)馬一生從未受過專門的數(shù)學(xué)教育，數(shù)學(xué)研究也不過是業(yè)余之愛好．然而，在17世紀(jì)的法國還找不到哪位數(shù)學(xué)家可以與之匹敵：他是解析幾何的發(fā)明者之一；對(duì)于微積分誕生的貢獻(xiàn)僅次于牛頓、萊布尼茨，概率論的主要?jiǎng)?chuàng)始人，以及獨(dú)承17世紀(jì)數(shù)論天地的人．此外，費(fèi)馬對(duì)物理學(xué)也有重要貢獻(xiàn)．一代數(shù)學(xué)大才費(fèi)馬堪稱是17世紀(jì)法國最偉大的數(shù)學(xué)家．2012/12/10把數(shù)量關(guān)系的研究轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的研究，或者把圖形性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的研究，這種解決問題過程中“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)化的研究策略，就是數(shù)形結(jié)合的思想。數(shù)形結(jié)合思想就是要使抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維與形象思維結(jié)合起來.

2012/12/10數(shù)形結(jié)合思想：數(shù)（式）形“幾何意義”觀察形的變化得出結(jié)論2012/12/10A從點(diǎn)P(m,3)向圓引切線，則切線長最小值為--------。(x+2)2(y+2)2+=126YXO3-2-2PPP2012/12/10直線l

過點(diǎn)M(-1,2)且與以P(-2,-3)、Q(4,0)為端點(diǎn)的線段相交，則l斜率的取值范圍是------------。2YXO4-2-3-1MPQππ2YXO[5,+∞)∪(-∞,]522012/12/10已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，

點(diǎn)A(9,2)不在雙曲線上，在這個(gè)曲線上求一點(diǎn)M，使最小，并求出這個(gè)最小值。9x2y216=1MA35MF+2YXO9-235-3-5A(9,2)FMdM2012/12/10YXO5-5-44已知x，y滿足條件，求y-3x的最值。x216+y225=1y-3x最大值為：13y-3x最小值為：-132012/12/10圓錐曲線的歷史兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家最先開始研究圓錐曲線，并獲得了大量的成果。古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼（Apollonius)(約公元前262-前190）采用平面切割圓錐的方法來研究這幾種曲線。著有《圓錐曲線》一書，全書共八卷，含487個(gè)命題，古希臘幾何的登峰造極之作.用垂直于錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當(dāng)平面傾斜到“和且僅和”圓錐的一條母線平行時(shí)，得到拋物線；當(dāng)平面再傾斜一些就可以得到雙曲線。阿波羅尼在其著作中使用純幾何方法已經(jīng)取得了今天高中數(shù)學(xué)中關(guān)于圓錐曲線的全部性質(zhì)和結(jié)果。256/20/202425圓錐曲線的歷史在阿波羅尼的《圓錐曲線》問世后的13個(gè)世紀(jì)里，整個(gè)數(shù)學(xué)界對(duì)圓錐曲線的研究一直沒有什么新進(jìn)展。11世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家曾利用圓錐曲線來解三次代數(shù)方程，12世紀(jì)起，圓錐曲線經(jīng)阿拉伯傳入歐洲，但當(dāng)時(shí)對(duì)圓錐曲線的研究仍然沒有突破。直到16世紀(jì)，有兩年事促使了人們對(duì)圓錐曲線作進(jìn)一步研究。德國天文學(xué)家開普勒（Kepler,1571~1630）繼承了哥白尼的日心說，揭示出行星按橢圓軌道環(huán)繞太陽運(yùn)行的事實(shí)；意大利物理學(xué)家伽利略（Galileo,1564~1642）得出物體斜拋運(yùn)動(dòng)的軌道是拋物線。人們發(fā)現(xiàn)圓錐曲線不僅是依附在圓錐面上的靜態(tài)曲線，而且是自然界物體運(yùn)動(dòng)的普遍形式。266/20/202426圓錐曲線與天文學(xué)天文從圓開始地心說的起源很早，最初由古希臘學(xué)者歐多克斯提出，經(jīng)亞里士多德完善以地球?yàn)橹行?，以太陽、月亮及其他星球的圓形軌跡為邊際的球體式宇宙體系這種模型經(jīng)常出現(xiàn)與實(shí)際觀察數(shù)據(jù)不符中國古代的蓋天說與渾天說都是地心說。276/20/202427圓錐曲線與天文學(xué)公元150年左右，天文學(xué)家托勒密（ClaudiusPtolemy）對(duì)這體系進(jìn)行了修改，引進(jìn)更多的圓，當(dāng)一個(gè)圓在旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，圓心也在繞另外一個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)，這個(gè)數(shù)學(xué)模型延續(xù)了1000多年286/20/202428圓錐曲線與天文學(xué)16世紀(jì)，天文學(xué)家哥白尼提出了新的天體模型：日心說.以太陽為中心，通過這一改變，可以把復(fù)雜的圓周的總數(shù)從77個(gè)減少到31個(gè)，當(dāng)仍然用圓作為天體運(yùn)行的軌跡模型，其計(jì)算結(jié)果并不完全符合觀測(cè)到的事實(shí).296/20/2024291600年，天才觀察家第谷邀請(qǐng)開普勒（Kepler）稱為他的助手兩人經(jīng)常爭吵，同時(shí)多次和解，共事18個(gè)月，第谷去世，開普勒接受了第谷一生所有的觀測(cè)數(shù)據(jù)開普勒憑借其過人的數(shù)學(xué)才能與堅(jiān)忍不拔的毅力，經(jīng)過多年的艱苦探索后，提出了影響巨大的三個(gè)定律306/20/202430圓錐曲線與天文學(xué)開普勒三定律行星的軌道是橢圓，太陽位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上.太陽與行星的連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積.行星在軌道上運(yùn)行一周所需時(shí)間的平方與軌道主軸的立方成正比

316/20/202431圓錐曲線與天文學(xué)開普勒被譽(yù)為“天空的立法者”。通過對(duì)數(shù)據(jù)的整理而獲得的，是否有更一般的定理？1684年8月，哈雷訪問牛頓，哈雷問：如果太陽的引力與行星離太陽距離的平方成反比，行星運(yùn)行的曲線會(huì)是什么樣的呢？牛頓馬上回答：會(huì)是一個(gè)橢圓兩年后，《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》，其核心是牛頓三大運(yùn)動(dòng)定律及萬有引力定律326/20/2024圓錐曲線與天文學(xué)怎樣由萬有引力定律推到出開普勒第三定律？向心力，其中m是物體質(zhì)量，v是速度，r是圓周長

假設(shè)

336/20/2024圓錐曲線與天文學(xué)數(shù)學(xué)之用有時(shí)需要等待漫長的時(shí)間，圓錐曲線的歷史為此提供了一個(gè)極為典型的例證.346/20/20241579年蒙蒂（GuidobaldodelMonte,1545~1607）橢圓定義為：到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和為定長的動(dòng)點(diǎn)的軌跡。從而改變了過去對(duì)圓錐曲線的定義。不過，這對(duì)圓錐曲線性質(zhì)的研究推進(jìn)并不大，也沒有提出更多新的定理或新的證明方法。356/20/2024橢圓的光學(xué)性質(zhì)

從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上。366/20/2024雙曲線的光學(xué)性質(zhì)

從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)上376/20/2024拋物線的光學(xué)性質(zhì)從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過拋物線反射后，反射光線都平行于拋物線的對(duì)稱軸。一束平行光垂直于拋物線的準(zhǔn)線，向拋物線的開口射進(jìn)來，經(jīng)拋物線反射后，反射光線匯聚在拋物線的焦點(diǎn)。386/20/2024格雷戈里反射望遠(yuǎn)鏡格雷戈里(Gregory)（1638~1675），蘇格蘭數(shù)學(xué)家，1663年，在論文《光學(xué)的進(jìn)展》中，提出了他設(shè)計(jì)的反射望遠(yuǎn)鏡的方案兩個(gè)反射鏡和一個(gè)透鏡主鏡是一個(gè)中間帶小孔的拋物面鏡，附屬的第二個(gè)反射鏡是凹形橢圓面鏡396/20/2024牛頓反射望遠(yuǎn)鏡1668年，牛頓發(fā)明了一個(gè)與格雷戈里不同的反射望遠(yuǎn)鏡把第二個(gè)反射鏡換成了平面鏡，這面鏡的反光面正好和望遠(yuǎn)鏡的主軸成45°制造工藝簡單，可達(dá)到很高精度現(xiàn)在仍在天文愛好者中流行406/20/2024卡塞格林反射望遠(yuǎn)鏡1672年，卡塞格林發(fā)明了另一種天文望遠(yuǎn)鏡，他的設(shè)計(jì)方案極為巧妙主鏡仍是拋物面，但第二個(gè)反射鏡換成了一個(gè)雙曲面的凸面鏡，這兩個(gè)反射鏡的焦點(diǎn)重合，這樣光線經(jīng)拋物面反射后匯聚到雙曲面的一個(gè)焦點(diǎn)，在匯聚前右由雙曲面反射到雙曲面的另一個(gè)焦點(diǎn)，在哪里聚焦成像。在成像處附近正是鏡筒底部的小窗口，在那里安置目鏡。416/20/2024天文望遠(yuǎn)鏡解析幾何的誕生推動(dòng)了天文望遠(yuǎn)鏡設(shè)計(jì)的發(fā)展有了解析幾何，人們就不必再猜測(cè)某種曲面反射鏡的光學(xué)性質(zhì)，而是在這種反射鏡實(shí)際制造出來之前就可以用代數(shù)方法計(jì)算出其光學(xué)性質(zhì)。橢圓拋物面反射鏡、雙曲拋物面反射鏡與拋物面反射鏡結(jié)合426/20/2024杰尼西亞的耳朵西西里島上舒古拉帝國暴君杰尼西亞往往把囚徒關(guān)在一個(gè)山洞里，囚徒們多次密謀逃跑，但秘密的計(jì)劃總是被杰尼西亞所發(fā)現(xiàn)。起初，囚徒們以為獄友中有內(nèi)奸，他們互相指責(zé)、懷疑，但始終沒有發(fā)現(xiàn)任何一個(gè)囚徒在告密。

后來