微專題06 妙用等和線解決平面向量系數(shù)和、差、商、平方問題（六大題型）（原卷版）

微專題06妙用等和線解決平面向量系數(shù)和、差、商、平方問題【題型歸納目錄】題型一：?jiǎn)栴}（系數(shù)為1）題型二：?jiǎn)栴}（系數(shù)不為1）題型三：?jiǎn)栴}題型四：?jiǎn)栴}題型五：?jiǎn)栴}題型六：?jiǎn)栴}【方法技巧與總結(jié)】（1）平面向量共線定理已知，若，則三點(diǎn)共線；反之亦然。（2）等和線平面內(nèi)一組基底及任一向量，，若點(diǎn)在直線上或者在平行于的直線上，則（定值），反之也成立，我們把直線以及與直線平行的直線稱為等和線。①當(dāng)?shù)群途€恰為直線時(shí)，；②當(dāng)?shù)群途€在點(diǎn)和直線之間時(shí)，；③當(dāng)直線在點(diǎn)和等和線之間時(shí)，；④當(dāng)?shù)群途€過點(diǎn)時(shí)，；⑤若兩等和線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則定值互為相反數(shù)；【典型例題】題型一：?jiǎn)栴}（系數(shù)為1）【例1】（2024·山東濱州·統(tǒng)考一模）在中，M為BC邊上任意一點(diǎn)，N為線段AM上任意一點(diǎn)，若（，），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2024·陜西西安·高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，為邊上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且滿足，若，則的值為A． B． C．1 D．4【變式1-2】（2024·重慶銅梁·高一統(tǒng)考期末）在中，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)，點(diǎn)滿足，若存在實(shí)數(shù)和，使得，則（

）A． B． C． D．題型二：?jiǎn)栴}（系數(shù)不為1）【例2】（2024·山東濰坊·高一統(tǒng)考期末）已知是內(nèi)一點(diǎn)，且，點(diǎn)在內(nèi)（不含邊界），若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【變式2-1】（2024·江蘇南京·高一南京師大附中?？计谀┰谏刃沃?，，，為弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且．則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式2-2】（2024·遼寧沈陽·高三統(tǒng)考期末）如圖，在扇形中，，為弧上且與不重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，若（）存在最大值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型三：?jiǎn)栴}【例3】（2024·上海徐匯·高二位育中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，OM//AB，點(diǎn)P在由射線OM、線段OB及AB的延長線組成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動(dòng)，且，當(dāng)時(shí)，y的取值范圍是【變式3-1】（2024·河南平頂山·高一統(tǒng)考期末）如圖所示，點(diǎn)P在由線段AB，AC的延長線及線段BC圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界），則下列說法中正確的是．（填寫所有正確說法的序號(hào)）①存在點(diǎn)P，使得；②存在點(diǎn)P，使得；③存在點(diǎn)P，使得；④存在點(diǎn)P，使得．【變式3-2】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知△ABC中，，若點(diǎn)P為四邊形AEDF內(nèi)一點(diǎn)(不含邊界)且，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為.題型四：?jiǎn)栴}【例4】（2024·江蘇·高三專題練習(xí)）在中，點(diǎn)是的三等分點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線分別交直線于點(diǎn)，且，，若的最小值為，則正數(shù)的值為【變式4-1】（2024·江蘇鹽城·高一統(tǒng)考期末）在△ABC中，點(diǎn)是的三等分點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線分別交直線，于點(diǎn)，，且，(，)，若的最小值為3，則正數(shù)的值為.【變式4-2】（2024·山東菏澤·高一統(tǒng)考期末）在中，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，且滿足，過點(diǎn)的直線分別交直線于點(diǎn)，且，，其中且，若的最小值為.題型五：?jiǎn)栴}【例5】（2024·山西·高一統(tǒng)考期末）已知在中，點(diǎn)滿足，點(diǎn)在線段(不含端點(diǎn)，)上移動(dòng)，若，則.【變式5-1】（2024·山東濰坊·高三開學(xué)考試）在中，點(diǎn)D滿足，當(dāng)點(diǎn)E在射線AD（不含點(diǎn)A）上移動(dòng)時(shí)，若，則的最小值為．【變式5-2】（2024·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中?？计谀┰谥?，點(diǎn)滿足，當(dāng)點(diǎn)在線段（不包含端點(diǎn)）上移動(dòng)時(shí)，若，則的取值范圍是A． B． C． D．題型六：?jiǎn)栴}【例6】（2024·江蘇泰州·高一泰州中學(xué)階段練習(xí)）在中，點(diǎn)滿足，當(dāng)點(diǎn)在射線（不含點(diǎn)）上移動(dòng)時(shí)，若，則的取值范圍為．【變式6-1】（2024·天津·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)在線段上移動(dòng)（不含端點(diǎn)），若，則，的最小值為.【變式6-2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）在中，點(diǎn)滿足，當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)，若，則的最小值為.【變式6-3】（2024·山東德州·高三統(tǒng)考期末）在中，為邊上任意一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且滿足，則的最小值為.【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM中點(diǎn)，，則的值為（

）A． B． C． D．12．（2024·安徽六安·高一六安一中校考期末）如圖所示，在中，點(diǎn)D是邊上任意一點(diǎn)，M是線段的中點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)和，使得，則（

）A． B． C． D．3．（2024·重慶·高三重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，為中點(diǎn)，點(diǎn)在內(nèi)（不含邊界），若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2024·廣東惠州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，且滿足，過點(diǎn)的直線分別交直線、于點(diǎn)、，且，，其中且，若的最小值為3，則正數(shù)的值為(

)A．2 B．3 C． D．5．（2024·江西南昌·高三階段練習(xí)）在中，點(diǎn)是的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)B），過點(diǎn)的直線分別交直線，于不同兩點(diǎn)，若，均為正數(shù)，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．二、多選題6．（2024·江蘇南京·高一南京市寧海中學(xué)校聯(lián)考期末）在中，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，若存在使，則的取值可能是（

）A． B．C． D．7．（2024·浙江寧波·高一寧波市北侖中學(xué)?？计谀┮阎莾?nèi)一點(diǎn)，且，點(diǎn)在內(nèi)（不含邊界），若，則的值可能為（

）A． B． C． D．8．（2024·重慶·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，點(diǎn)滿足，當(dāng)點(diǎn)在線段上（不含點(diǎn)）移動(dòng)時(shí)，記，則（

）A． B．C．的最小值為 D．的最小值為9．（2024·湖北武漢·高三校聯(lián)考期末）在中，點(diǎn)D滿足，當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上移動(dòng)時(shí)，記，則（

）A． B．C．的最小值為2 D．的最小值為三、填空題10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓O，P為圓O上任一點(diǎn)，若，則2x＋2y的最大值為

11．（2024·福建三明·高二三明一中?？奸_學(xué)考試）如圖，在扇形中，，C為弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的取值范圍是.12．（2024·四川綿陽·高一統(tǒng)考期末）在扇形中，，為弧上的一動(dòng)點(diǎn)，若，則的取值范圍是．13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在扇形中，，，C為弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的取值范圍是.14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）扇形中，，為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，其中.（1）的取值范圍為；（2）的取值范圍為.15．（2024·吉林·高一階段練習(xí)）如圖，在中，分別為上的點(diǎn)，且，，.設(shè)為四邊形內(nèi)一點(diǎn)（點(diǎn)不在邊界上），若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為16．（2024·重慶萬州·高一萬州外國語學(xué)校天子湖校區(qū)?？计谀┤鐖D，在中，，點(diǎn)在線段上移動(dòng)（不含端點(diǎn)），若，則的取值范圍是．四、解答題17．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）在學(xué)習(xí)向量三點(diǎn)共線定理時(shí)，我們知道當(dāng)P、A、B三點(diǎn)共線，O為直線外一點(diǎn)，且時(shí)，（如圖1），小明同學(xué)提出了如下兩個(gè)問題，請(qǐng)同學(xué)們幫助小明解答．(1)當(dāng)或時(shí)，O、P兩點(diǎn)的位置與AB所在直線之間存在什么關(guān)系？寫出你的結(jié)論，并說明理由；(2)如圖2，射線，點(diǎn)P在由射線OM、線段OA及BA的延長線圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動(dòng)，且，求實(shí)數(shù)x的取值范圍，并求當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)y的取值范圍．18．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，，點(diǎn)P在由射線，線段及的延長線圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動(dòng)，且．（1）求x的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，求y的取值范圍．19．（2024·上海浦東新·高二華師大二附中?？茧A段練習(xí)）小郭是一位熱愛臨睡前探究數(shù)學(xué)問題的同學(xué)，在學(xué)習(xí)向量三點(diǎn)共線定理時(shí)，我們知道當(dāng)P、A、B三點(diǎn)共線，O為直線外一點(diǎn)，且時(shí)，x+y=1（如圖1)第二天，小郭提出了如下三個(gè)問題，請(qǐng)同學(xué)幫助小郭解答.

（1）當(dāng)x+y>1或x+y<1時(shí)，O、P兩點(diǎn)的位置與AB所在直線