數(shù)列的綜合問題講義-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

基礎(chǔ)課35數(shù)列的綜合問題考點(diǎn)考向課標(biāo)要求真題印證考頻熱度核心素養(yǎng)等差、等比數(shù)列的綜合理解2022年全國甲卷（文）T2021年全國乙卷（文）T19★★★邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)列與其他知識(shí)的交匯理解2023年北京卷T2020年新課標(biāo)Ⅱ卷（理）T★★☆邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算命題分析預(yù)測(cè)從近幾年高考的情況來看，一般以壓軸題的形式出現(xiàn)，屬于中檔題或較難題，命題熱點(diǎn)以遞推式為載體，常常與不等式、函數(shù)、方程交匯，具有知識(shí)點(diǎn)多、覆蓋面廣、綜合性強(qiáng)的特點(diǎn).預(yù)計(jì)2025年高考命題情況變化不大，但應(yīng)加強(qiáng)對(duì)閱讀、理解、遷移和運(yùn)算的訓(xùn)練一、數(shù)列與函數(shù)數(shù)列與函數(shù)的綜合問題主要有以下兩類：1.已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般是利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題；2.已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法等對(duì)式子化簡(jiǎn)變形.二、數(shù)列中不等式恒成立的問題數(shù)列中有關(guān)項(xiàng)或前n項(xiàng)和的恒成立問題，往往轉(zhuǎn)化為數(shù)列的最值問題；項(xiàng)或前n項(xiàng)和的不等關(guān)系可以利用不等式的性質(zhì)或基本不等式求解.題組1走出誤區(qū)1.判一判.（對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”）（1）已知等差數(shù)列{an}的公差d>0，等比數(shù)列{bn}的公比為q，若a1（2）已知數(shù)列{an}滿足a1，a2，a3成等差數(shù)列，a1，a2，（3）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n（4）若數(shù)列{an}滿足an+1=2a2.（易錯(cuò)題）記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=1，Sn+1=4an【易錯(cuò)點(diǎn)】忽視對(duì)bn?100[解析]由Sn+1=4an+1故數(shù)列{bn}是首項(xiàng)b所以cn題組2走進(jìn)教材3.（人教A版選修②P56·T10改編）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S4=4S2,a2n=2a[解析]設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由a2n=2an+1得聯(lián)立①②解得{a1=1,d=所以cn則Tn=1由③?④得?2Tn4.（人教A版選修②P37·例9改編）設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3=9A..144 B..81 C..45 D..63[解析]由等比數(shù)列的性質(zhì)可知S3，S6?S3，S9?S6，?成新的等比數(shù)列，設(shè)這個(gè)新數(shù)列的公比為q題組3走向高考5.[2021·新高考Ⅱ卷]（多選題）設(shè)正整數(shù)n=a0?20+a1A.ω2n=ωC.ω8n+5[解析]∵2n=a0?當(dāng)n=2時(shí)，2n+3=7=1?20∵8n+5=a0?23∵2n?1=故選ACD.考點(diǎn)一等差、等比數(shù)列的綜合問題［師生共研］典例1[2024·上海模擬]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=3n（1）求證：{a（2）是否存在常數(shù)a,b，使得對(duì)一切正整數(shù)n，都有an=logab[解析]（1）因?yàn)閿?shù)列{an}的前n所以當(dāng)n=1時(shí)，當(dāng)n≥2時(shí)，所以an=Sn?Sn?1所以an+1?a（2）存在.因?yàn)閎n=64所以數(shù)列{bn}所以bn所以logabn=loga29?所以6=?6故存在常數(shù)a,b，當(dāng)a=12,b=11等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合問題的解題策略1.分析已知條件和求解目標(biāo)，為最終解決問題設(shè)置中間問題，例如求和需要先求出通項(xiàng)、求通項(xiàng)需要先求出首項(xiàng)和公差（公比）等，確定解題的順序.2.注意細(xì)節(jié)：在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中，若等比數(shù)列的公比不能確定，則要看其是否有等于1的可能，在數(shù)列的通項(xiàng)問題中第一項(xiàng)和后面的項(xiàng)能否用同一個(gè)公式表示等，這些細(xì)節(jié)對(duì)解題的影響也是巨大的.[2024·濱州模擬]已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1（1）求數(shù)列{an}[解析]設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)閎2=4，所以又an=2log2bn（2）將數(shù)列{an}中不在數(shù)列{bn}中的項(xiàng)按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列{cn}[解析]由（1）得bn=2n=2?2n?1=a2n?1，即bn是數(shù)列{an}中的第2n?1項(xiàng).設(shè)數(shù)列考點(diǎn)二數(shù)列與其他知識(shí)的交匯問題［多維探究］數(shù)列與不等式典例2[2022·新高考Ⅰ卷]記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1（1）求數(shù)列{a（2）求證：1a[解析]（1）∵a1=1，∴S1=a1=1,∴S1a1=1,又{Sn∴=1顯然對(duì)于n=1也成立，∴{a（2）∵1∴1數(shù)列與不等式的結(jié)合，不僅應(yīng)熟練掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，還要靈活運(yùn)用不等式證明、不等式恒成立問題的處理方法.數(shù)列與函數(shù)典例3已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)都為正整數(shù)的等比數(shù)列，a1=3,且a3是a2與（1）求數(shù)列{an}（2）若k?bn+5[解析]（1）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q∵a3是a2與3即2q=1+34q2，解得q=2又b1+1=2∴bn+（2）由k?整理可得k2n?1+2?令fn=n∴當(dāng)n≤4時(shí)，fn+1∴當(dāng)n=4或n=5時(shí)，∴k?316≥116解題時(shí)要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，靈活運(yùn)用函數(shù)的思想求解.在求解過程中往往會(huì)遇到數(shù)列的求和、和的最值問題，利用函數(shù)性質(zhì)或不等式性質(zhì)求解較為常規(guī).1.設(shè)遞增等差數(shù)列{bn}滿足b2=3，且（1）求數(shù)列{b（2）設(shè)Tn=1b1[解析]（1）設(shè)數(shù)列{bn}因?yàn)?+b1，3所以3+b2又因?yàn)閐>0，所以所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為b（2）Tn由（1）知，bn=n+1所以Tn故?n∈N2.[2024·浙江模擬]已知在公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a1=1，且a1,a3,a13（1）求數(shù)列{an}（2）設(shè)cn=bn?an，數(shù)列{cn}的前