離散型隨機變量及其分布列、數(shù)字特征講義-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

基礎(chǔ)課59離散型隨機變量及其分布列、數(shù)字特征考點考向課標要求真題印證考頻熱度核心素養(yǎng)離散型隨機變量的分布列、期望與方差理解2023年新高考Ⅰ卷T2023年全國甲卷（理）T2022年全國甲卷（理）T2022年北京卷T2022年浙江卷T★★★邏輯推理數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)運算命題分析預(yù)測從近幾年高考的情況來看，一般以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等偏上，命題熱點是以離散型隨機變量為載體，常常與排列組合、二項分布、超幾何分布交匯，具有知識點多、覆蓋面廣、綜合性強的特點.預(yù)計2025年高考的命題情況變化不大，但應(yīng)加強對題目的理解、板塊綜合運用的訓(xùn)練一、離散型隨機變量一般地，對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點w，都有①唯一的實數(shù)Xw與之對應(yīng)，我們稱X二、離散型隨機變量的分布列一般地，設(shè)離散型隨機變量X的可能取值為x1，x2，?，xn，我們稱②X取每一個值xi的概率PX=xi=三、離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)1.pi2.③p1四、離散型隨機變量的均值與方差若離散型隨機變量X的分布列為Xxx…x…xPpp…p…p1.均值稱EX=④x1p2.方差稱DX=x1?EX2p1+五、均值與方差的性質(zhì)1.EaX2.DaX+b=⑩a均值與方差的四個常用性質(zhì)1.Ek=k，D2.EX3.DX4.若X1，X2相互獨立，則5.若X是隨機變量，則YY題組1走出誤區(qū)1.判一判.（對的打“√”,錯的打“×”）（1）離散型隨機變量的概率分布列描述了由這個隨機變量所刻畫的隨機現(xiàn)象.(√)（2）在離散型隨機變量的分布列中，隨機變量取各個值的概率之和可以小于1.(×)（3）離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的.(√)（4）隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離均值的平均程度越小.(√)2.（多選題）（易錯題）已知隨機變量X的分布列為PX=n=aA.PB.aC.PD.以上均不正確【易錯點】隨機變量分布列概率和為1，此處容易忽略隨機變量取0的情況.[解析]根據(jù)題意，隨機變量X的分布列為PX=n=an+1n題組2走進教材3.（雙空題）（人教A版選修③P71?T3改編）已知隨機變量X的分布列為PX=0=0.2，PX=1[解析]由題意知，0.2+a+b=4.（多選題）（人教A版選修③P60·例3改編）編號為1，2，3的三位學(xué)生隨意入座編號為1，2，3的三個座位，每位學(xué)生坐一個座位，設(shè)與座位編號相同的學(xué)生的人數(shù)是ξ，則(BCD).A.ξ的所有可能取值是1，2，3 B.PC.Eξ=1[解析]ξ的所有可能取值為0,1,3，故A錯誤.ξ=0表示三位學(xué)生全坐錯了，有2種情況，即編號為1,2,3的座位上分別坐了編號為2,3,1或3,1,2的學(xué)生，則Pξ=0=2A33=13ξ013P111故Eξ=0×13+1×1題組3走向高考5.[2022·浙江卷]（雙空題）現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6，從這7張卡片中隨機抽取3張，記所抽取的卡片上數(shù)字的最小值為ξ，則Pξ=2[解析]從寫有數(shù)字1，2，2，3，4，5，6的7張卡片中任取3張共有C73種取法，其中所抽取的卡片上的數(shù)字的最小值為2的取法有C41+C21C42種，所以Pξ=考點一離散型隨機變量分布列的性質(zhì)［自主練透］1.設(shè)離散型隨機變量X的分布列為X?01P11q則q=(BA.12 B.1?22 C.[解析]由題意，有12+1?2q+q2=2.設(shè)隨機變量ξ的概率分布列如表所示：ξ1234P11a1則Pξ?2A.712 B.12 C.512[解析]根據(jù)隨機變量ξ的概率分布列知，16+14+a+13=1，解得a3.[2024·濟南模擬]（多選題）設(shè)離散型隨機變量ξ的分布列如表所示：ξ?0123P11112則下列各式不正確的是(ABD).A.Pξ<3C.P2<ξ[解析]Pξ<3=110+15+110+15=34.設(shè)離散型隨機變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m（1）求2X+（2）求隨機變量η=[解析]（1）由分布列的性質(zhì)知，0.2+0.1+列表為X012342X13579從而2X+2X13579P0.20.10.10.30.3（2）由（1）知m=X01234X10123所以Pη=1=PX=故η=η0123P0.10.30.30.3離散型隨機變量分布列性質(zhì)的應(yīng)用1.利用“總概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的取值范圍或值；2.利用“離散型隨機變量在某范圍內(nèi)的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和”求某些特定事件的概率；3.可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確.考點二離散型隨機變量分布列的求法［師生共研］典例1已知袋中有5個球，編號為1，2，3，4，5，在袋中同時取出3個球，以ξ表示取出的三個球中的最小號碼，求ξ的分布列.[解析]隨機變量ξ的所有可能取值為1，2，3,Pξ=1=C42ξ123P331變式設(shè)問已知袋內(nèi)有5個白球和6個紅球，從中摸出2個球，記X=0,兩球全紅,[解析]由題意得，X的所有可能取值為0，1，PX=0可得X的分布列為X01P38離散型隨機變量分布列的四個解題步驟明取值明確隨機變量的所有可能取值有哪些及每一個取值所表示的意義求概率要弄清楚隨機變量的概率類型，利用相關(guān)公式求出變量取每一個值所對應(yīng)的概率畫表格按規(guī)范要求形式寫出分布列作檢驗利用分布列的性質(zhì)檢驗分布列是否正確甲，乙兩位同學(xué)組隊去參加答題拿小豆的游戲，規(guī)則如下：甲同學(xué)先答兩道題，至少答對一題后，乙同學(xué)才有機會答題，同樣也是兩次機會，每答對一道題得10粒小豆.已知甲每題答對的概率均為p，乙第一題答對的概率為23，第二題答對的概率為12，且乙有機會答題的概率為（1）求p的值;[解析]由已知得，當甲至少答對1題后，乙才有機會答題，所以乙有機會答題的概率P=1?（2）求甲、乙共同拿到小豆的數(shù)量X的分布列.[解析]X的所有可能取值為0，10，20，30，40，PXPXPXPXPX所以X的分布列為X010203040P119133考點三離散型隨機變量分布列的數(shù)字特征［多維探究］均值、方差的計算典例2[2023·全國甲卷節(jié)選]一項試驗旨在研究臭氧效應(yīng).試驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到試驗組，另外20只分配到對照組，試驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.設(shè)X表示指定的2只小白鼠中分配到對照組的只數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.[解析]依題意，X的所有可能取值為0,1,2，則PX=0=C所以X的分布列為X012P192019故EX變式設(shè)問若典例2中的條件不變，則X的方差為1939[解析]由典例2知X的分布列且EX=1求離散型隨機變量ξ的均值與方差的步驟1.理解ξ的意義，寫出ξ可能的全部取值；2.求ξ取每個值的概率；3.寫出ξ的分布列；4.由均值、方差的定義求Eξ，D決策問題典例3據(jù)悉某計劃的校考由試點高校自主命題，?？歼^程中達到筆試優(yōu)秀才能進入面試環(huán)節(jié).已知甲、乙兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目且每門科目是否達到優(yōu)秀相互獨立.若某考生報考甲大學(xué)，每門科目達到優(yōu)秀的概率均為13，若該考生報考乙大學(xué)，每門科目達到優(yōu)秀的概率依次為16，25，n（1）若n=（2）該計劃規(guī)定每名考生只能報考一所試點高校，若以筆試過程中達到優(yōu)秀科目個數(shù)的期望為依據(jù)作出決策，該考生更有希望進入甲大學(xué)的面試環(huán)節(jié)，求n的取值范圍.[解析]（1）設(shè)“該考生報考甲大學(xué)恰好有一門筆試科目優(yōu)秀”為事件A，則PA“該考生報考乙大學(xué)恰好有一門筆試科目優(yōu)秀”為事件B，則PB（2）該考生報考甲大學(xué)達到優(yōu)秀科目的個數(shù)設(shè)為X，依題意，X～B3該同學(xué)報考乙大學(xué)達到優(yōu)秀科目的個數(shù)設(shè)為Y，隨機變量Y的所有可能取值為0，1，2，3，PY=0=56×故隨機變量Y的分布列為Y0123P1132n則EY因為該考生更有希望進入甲大學(xué)的面試，所以EY<EX，即17+30n30利用均值、方差進行決策的兩個思路1.當均值不同時，兩個隨機變量取值的水平可見分歧，可對問題作出決策；2.若兩個隨機變量均值相同或相差不大，則可通過分析兩個變量的方差來研究隨機變量取值的離散程度或者穩(wěn)定程度，進而作出決策.某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個100元，在機器使用期間，如果備件不足再購買，那么每個300元.現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，如柱狀圖所示.以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù).（1）求X的分布列；[解析]由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺機器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8，9，10，11的概率分別為0.2，0.4，0.2，0.2，X的所有可能取值為